圓的一般方程+同步練習 高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

課時精練25圓的一般方程一、基礎鞏固選擇題每小題5分，共25分1.圓x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圓心和半徑長分別為()(4，－6)，16 (2，－3)，4(－2，3)，4 (2，－3)，162.方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是()(－∞，－2) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))(－2，0) eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))3.已知點A(2，1)在圓C：x2＋y2－2x＋my＋2＝0的外部，則實數(shù)m的取值范圍為()(－3，－2)∪(2，＋∞)(－2，2)∪(3，＋∞)(－2，＋∞)(－3，＋∞)4.若Rt△ABC的斜邊的兩端點A，B的坐標分別為(－3，0)和(7，0)，則直角頂點C的軌跡方程為()x2＋y2＝25(y≠0)x2＋y2＝25(x－2)2＋y2＝25(y≠0)(x－2)2＋y2＝255.(多選)圓x2＋y2－4x－1＝0()關于點(2，0)對稱關于直線y＝0對稱關于直線x＋3y－2＝0對稱關于直線x－y＋2＝0對稱6.過三點O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程為________.7.到點O(0，0)的距離是到點A(3，0)的距離的eq\f(1,2)的點M的軌跡方程為________.8.點M，N在圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且點M，N關于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的面積為________.9.(10分)下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求出其圓心和半徑.(1)x2＋y2－4x＝0.(2)x2＋y2－4x－2y＋5＝0.(3)2x2＋2y2－3x＋4y＋6＝0.10.(10分)已知線段AB的端點B的坐標為(8，6)，端點A在圓C：x2＋y2＋4x＝0上運動，求線段AB的中點P的軌跡方程，并說明它的軌跡是什么？二、綜合運用選擇題每小題5分，共10分11.若圓C的方程為x2＋y2＋mx＋2my＋(m－2)＝0，則圓C的最小周長為()eq\f(36π,5) eq\f(18\r(5)π,5)eq\f(12\r(5)π,5) eq\f(6\r(5)π,5)12.圓C：x2＋y2－4x＋2y＝0關于直線y＝x＋1對稱的圓的方程是()(x＋1)2＋(y－2)2＝5(x＋4)2＋(y－1)2＝5(x＋2)2＋(y－3)2＝5(x－2)2＋(y＋3)2＝513.(15分)已知A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判斷這四點是否在同一個圓上.三、創(chuàng)新拓展14.(15分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍；(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON(O為坐標原點)，求m的值；(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程.參考答案1.C[由x2＋y2＋4x－6y－3＝0，得(x＋2)2＋(y－3)2＝16，故圓心為(－2，3)，半徑長為4.]2.D[由方程表示圓的條件得a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即3a2＋4a－4<0，解得－2<a<eq\f(2,3).]3.A[將A(2，1)代入方程左側，則應滿足22＋12－2×2＋m×1＋2>0，解得m>－3.又因為(－2)2＋m2－4×2>0，解得m>2或m<－2，∴－3<m<－2或m>2.]4.C[設頂點為C(x，y)，eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，即(－3－x，－y)·(7－x，－y)＝0，化簡得(x－2)2＋y2＝25(y≠0).]5.ABC[x2＋y2－4x－1＝0?(x－2)2＋y2＝5，即圓心的坐標為(2，0).A項，圓是關于圓心對稱的中心對稱圖形，而點(2，0)是圓心，故正確；B項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線y＝0過圓心，故正確；C項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x＋3y－2＝0過圓心，故正確；D項，圓是關于直徑所在直線對稱的軸對稱圖形，直線x－y＋2＝0不過圓心，故不正確.]6.x2＋y2－8x＋6y＝0[設過三點O(0，0)，M(1，1)，N(4，2)的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(F＝0，,1＋1＋D＋E＋F＝0，,16＋4＋4D＋2E＋F＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝6，,F＝0，))故所求圓的方程為x2＋y2－8x＋6y＝0.]7.(x＋1)2＋y2＝4[設點M的坐標是(x，y)，則eq\f(|MO|,|MA|)＝eq\f(1,2).∴eq\f(\r(x2＋y2),\r(（x－3）2＋y2))＝eq\f(1,2).化簡，得x2＋y2＋2x－3＝0，即所求軌跡方程為(x＋1)2＋y2＝4.]8.9π[圓x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圓心坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(k,2)，－1))，由圓的性質(zhì)知直線x－y＋1＝0經(jīng)過圓心，∴－eq\f(k,2)＋1＋1＝0，得k＝4，圓x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半徑為eq\f(1,2)eq\r(42＋22＋16)＝3，∴該圓的面積為9π.]9.解(1)由方程可知D＝－4，E＝F＝0.∵D2＋E2－4F＝D2＝16>0，∴方程表示圓，即有－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝0，∴圓心為(2，0)，圓的半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝2.(2)由方程可知D＝－4，E＝－2，F(xiàn)＝5.∵D2＋E2－4F＝16＋4－20＝0.∴方程表示一個點，又－eq\f(D,2)＝2，－eq\f(E,2)＝1，∴方程表示的點的坐標是(2，1).(3)原方程可化為x2＋y2－eq\f(3,2)x＋2y＋3＝0，易知D＝－eq\f(3,2)，E＝2，F(xiàn)＝3.∵D2＋E2－4F＝eq\f(9,4)＋4－12<0，∴該方程無實數(shù)解，方程不表示任何圖形.10.解設點P的坐標為(x，y)，點A的坐標為(x0，y0)，由于點B的坐標為(8，6)，且P為線段AB的中點，∴x＝eq\f(x0＋8,2)，y＝eq\f(y0＋6,2)，于是有x0＝2x－8，y0＝2y－6.∵點A在圓C上運動，∴點A的坐標滿足方程x2＋y2＋4x＝0，即xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＋4x0＝0，∴(2x－8)2＋(2y－6)2＋4(2x－8)＝0，化簡整理，得x2＋y2－6x－6y＋17＝0，即(x－3)2＋(y－3)2＝1.故點P的軌跡是以(3，3)為圓心，1為半徑的圓.11.D[由題意知，圓C的半徑r＝eq\f(\r(m2＋（2m）2－4（m－2）),2)＝eq\f(\r(5\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2,5)))\s\up12(2)＋\f(36,5)),2)≥eq\f(1,2)×eq\f(6\r(5),5)＝eq\f(3\r(5),5)，當且僅當m＝eq\f(2,5)時等號成立，則圓C的最小周長為2πrmin＝eq\f(6\r(5)π,5).]12.C[把圓C的方程化為標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝5，∴圓心C(2，－1).設圓心C關于直線y＝x＋1的對稱點為C′(x0，y0)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0－（－1）,x0－2)＝－1，,\f(y0－1,2)＝\f(x0＋2,2)＋1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－2，,y0＝3，))故C′(－2，3)，∴圓C關于直線y＝x＋1對稱的圓的方程為(x＋2)2＋(y－3)2＝5.]13.解法一線段AB，BC的斜率分別是kAB＝1，kBC＝－1，得kAB≠kBC，則A，B，C三點不共線，設過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因為A，B，C三點在圓上，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＋2E＋F＋5＝0，,E＋F＋1＝0，,7D－6E＋F＋85＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(D＝－8，,E＝4，,F＝－5，))所以過A，B，C三點的圓的方程為x2＋y2－8x＋4y－5＝0，將點D的坐標(4，3)代入圓的方程，得42＋32－8×4＋4×3－5＝0，即點D在圓上，故A，B，C，D四點在同一個圓上.法二因為kAB×kBC＝eq\f(2－1,1－0)×eq\f(1＋6,0－7)＝－1，所以AB⊥BC，所以AC是過A，B，C三點的圓的直徑，|AC|＝eq\r(（1－7）2＋（2＋6）2)＝10，線段AC的中點M(4，－2)即為圓心.因為|DM|＝eq\r(（4－4）2＋（3＋2）2)＝5＝eq\f(1,2)|AC|.所以點D在圓M上，所以A，B，C，D四點在同一個圓上.14.解(1)已知x2＋y2－2x－4y＋m＝0，則D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝m.若此方程表示圓，則D2＋E2－4F＝20－4m>0，所以m<5.即m的取值范圍為(－∞，5).(2)將x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0，得5y2－16y＋8＋m＝0，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，所以y1＋y2＝eq\f(16,5)，y1y2＝eq\f(8＋m,5).因為OM⊥ON，所以x1x2＋y1y2＝0，所以5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，所以m＝eq\f(8,5).(3)設圓心為(a，