2024屆江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2024屆江蘇揚(yáng)州市邗江區(qū)公道中學(xué)高三下學(xué)期開學(xué)聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且對(duì)于任意，滿足，則（）A． B． C． D．2．水平放置的，用斜二測畫法作出的直觀圖是如圖所示的，其中，則繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體的表面積為（）A． B． C． D．3．若函數(shù)f(x)＝x3＋x2－在區(qū)間(a，a＋5)上存在最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是A．[－5，0) B．(－5，0) C．[－3，0) D．(－3，0)4．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．5．如圖，正方體中，，，，分別為棱、、、的中點(diǎn)，則下列各直線中，不與平面平行的是（）A．直線 B．直線 C．直線 D．直線6．已知函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，則（）A．或 B．或C．或 D．或7．四人并排坐在連號(hào)的四個(gè)座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數(shù)是（）A．12 B．16 C．20 D．88．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A． B． C． D．9．已知函數(shù)（，是常數(shù)，其中且）的大致圖象如圖所示，下列關(guān)于，的表述正確的是（）A．， B．，C．， D．，10．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．11．盒中有6個(gè)小球，其中4個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任取個(gè)球，在取出的球中，黑球放回，白球則涂黑后放回，此時(shí)盒中黑球的個(gè)數(shù)，則()A．， B．，C．， D．，12．設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，，則橢圓的離心率為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為____________.14．已知，且，則__________．15．正四棱柱中，，.若是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則與平面所成角的正切值的最大值為___________.16．已知向量，，若，則________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，直線與圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左焦點(diǎn).（1）求證：直線與橢圓相切；（2）判斷是否為定值，并說明理由.18．（12分）設(shè)橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，下頂點(diǎn)為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）直線與橢圓交于，兩點(diǎn)（異于點(diǎn)），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).19．（12分）設(shè)拋物線過點(diǎn).（1）求拋物線C的方程；（2）F是拋物線C的焦點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若，求的值.20．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為.已知，.（1）若，求；（2）求的面積的最大值.21．（12分）2019年12月以來，湖北省武漢市持續(xù)開展流感及相關(guān)疾病監(jiān)測，發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例，均診斷為病毒性肺炎/肺部感染，后被命名為新型冠狀病毒肺炎（CoronaVirusDisease2019，COVID—19），簡稱“新冠肺炎”.下圖是2020年1月15日至1月24日累計(jì)確診人數(shù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖.為了預(yù)測在未釆取強(qiáng)力措施下，后期的累計(jì)確診人數(shù)，建立了累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的兩個(gè)回歸模型，根據(jù)1月15日至1月24日的數(shù)據(jù)（時(shí)間變量t的值依次1，2，…，10）建立模型和.（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為累計(jì)確診人數(shù)y與時(shí)間變量t的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（2根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及附表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（3）以下是1月25日至1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)，根據(jù)（2）的結(jié)果回答下列問題：時(shí)間1月25日1月26日1月27日1月28日1月29日累計(jì)確診人數(shù)的真實(shí)數(shù)據(jù)19752744451559747111（?。┊?dāng)1月25日至1月27日這3天的誤差（模型預(yù)測數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)據(jù)差值的絕對(duì)值與真實(shí)數(shù)據(jù)的比值）都小于0.1則認(rèn)為模型可靠，請(qǐng)判斷（2）的回歸方程是否可靠？（ⅱ）2020年1月24日在人民政府的強(qiáng)力領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民共同采取了強(qiáng)力的預(yù)防“新冠肺炎”的措施，若采取措施5天后，真實(shí)數(shù)據(jù)明顯低于預(yù)測數(shù)據(jù)，則認(rèn)為防護(hù)措施有效，請(qǐng)判斷預(yù)防措施是否有效？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（，，……，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.參考數(shù)據(jù)：其中，.5.53901938576403152515470010015022533850722．（10分）已知.（1）解關(guān)于x的不等式：；（2）若的最小值為M，且，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式判斷求解數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后求解數(shù)列的和，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【詳解】當(dāng)時(shí)，．所以數(shù)列從第2項(xiàng)起為等差數(shù)列，，所以，，．，，．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用、數(shù)列求和以及數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力，是中檔題．2、B【解析】

根據(jù)斜二測畫法的基本原理，將平面直觀圖還原為原幾何圖形，可得，,繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體,圓錐的側(cè)面展開圖是扇形根據(jù)扇形面積公式即可求得組合體的表面積.【詳解】根據(jù)“斜二測畫法”可得，，，繞AB所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是兩個(gè)相同圓錐的組合體，它的表面積為.故選:【點(diǎn)睛】本題考查斜二測畫法的應(yīng)用及組合體的表面積求法,難度較易.3、C【解析】

求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)單調(diào)性得到函數(shù)的簡圖，得到a滿足的不等式組，從而得解.【詳解】由題意，f′(x)＝x2＋2x＝x(x＋2)，故f(x)在(－∞，－2)，(0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－2，0)上是減函數(shù)，作出其圖象如圖所示．令x3＋x2－＝－，得x＝0或x＝－3，則結(jié)合圖象可知，解得a∈[－3，0)，故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而研究函數(shù)的最值，屬于?？碱}型.4、D【解析】

作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得：，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解析】

充分利用正方體的幾何特征，利用線面平行的判定定理，根據(jù)判斷A的正誤.根據(jù)，判斷B的正誤.根據(jù)與相交，判斷C的正誤.根據(jù)，判斷D的正誤.【詳解】在正方體中，因?yàn)?，所以平面，故A正確.因?yàn)?，所以，所以平面故B正確.因?yàn)?，所以平面，故D正確.因?yàn)榕c相交，所以與平面相交，故C錯(cuò)誤.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查正方體的幾何特征，線面平行的判定定理，還考查了推理論證的能力，屬中檔題.6、C【解析】

簡單判斷可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，并計(jì)算，結(jié)合對(duì)稱性，可得結(jié)果.【詳解】由，可知函數(shù)關(guān)于對(duì)稱當(dāng)時(shí)，，可知在單調(diào)遞增則又函數(shù)關(guān)于對(duì)稱，所以且在單調(diào)遞減，所以或，故或所以或故選：C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的對(duì)稱性以及單調(diào)性求解不等式，抽象函數(shù)給出式子的意義，比如：，，考驗(yàn)分析能力，屬中檔題.7、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個(gè)空位置里進(jìn)行插空，有種，所以共有種.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，求得的坐標(biāo)得出答案.【詳解】解：，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．9、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和特征以及圖象的平移可得正確的選項(xiàng).【詳解】從題設(shè)中提供的圖像可以看出，故得，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查圖象的平移以及指數(shù)函數(shù)的圖象和特征，本題屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.11、C【解析】

根據(jù)古典概型概率計(jì)算公式，計(jì)算出概率并求得數(shù)學(xué)期望，由此判斷出正確選項(xiàng).【詳解】表示取出的為一個(gè)白球，所以.表示取出一個(gè)黑球，，所以.表示取出兩個(gè)球，其中一黑一白，，表示取出兩個(gè)球?yàn)楹谇?，，表示取出兩個(gè)球?yàn)榘浊?，，所?所以，.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算，屬于中檔題.12、C【解析】

根據(jù)表示出線段長度，由勾股定理，解出每條線段的長度，再由勾股定理構(gòu)造出關(guān)系，求出離心率.【詳解】設(shè)，則由橢圓的定義，可以得到,在中，有，解得在中，有整理得，故選C項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查幾何法求橢圓離心率，是求橢圓離心率的一個(gè)常用方法，通過幾何關(guān)系，構(gòu)造出關(guān)系，得到離心率.屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、（或?qū)懗桑窘馕觥?/p>

設(shè)與的夾角為，通過，可得，化簡整理可求出，從而得到答案.【詳解】設(shè)與的夾角為可得，故，將代入可得得到，于是與的夾角為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，向量垂直轉(zhuǎn)化為數(shù)量積為0是解決本題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力及計(jì)算能力.14、【解析】試題分析：因,故,所以，,應(yīng)填.考點(diǎn)：三角變換及運(yùn)用．15、2.【解析】

如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，由得，證明為與平面所成角，令，用三角函數(shù)表示出，求解三角函數(shù)的最大值得到結(jié)果.【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，則，，又，得即；又平面，為與平面所成角，令，當(dāng)時(shí)，最大，即與平面所成角的正切值的最大值為2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查了立體幾何中的動(dòng)點(diǎn)問題，考查了直線與平面所成角的計(jì)算.對(duì)于這類題，一般是建立空間直角坐標(biāo)，在動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)內(nèi)引入?yún)?shù)，將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力和直觀想象能力.16、10【解析】

根據(jù)垂直得到，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，則，解得，故，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）是，理由見解析.【解析】

（1）根據(jù)判別式即可證明．（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和韋達(dá)定理即可證明，需要分類討論，【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)直線方程為或，直線與橢圓相切.當(dāng)時(shí)，由得，由題知，，即，所以.故直線與橢圓相切.（2）設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，所以，即.當(dāng)時(shí)，由得，則，，.因?yàn)?所以，即.故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查向量的運(yùn)算，注意直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據(jù)離心率和的面積是得到方程組，計(jì)算得到答案.（2）先排除斜率為0時(shí)的情況，設(shè)，，聯(lián)立方程組利用韋達(dá)定理得到，，根據(jù)化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是.（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，直線與直線關(guān)于軸對(duì)稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設(shè)條件矛盾，故直線的斜率不為0.設(shè)，，直線的方程為聯(lián)立，整理得則，.因?yàn)橹本€與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線過定點(diǎn)問題，計(jì)算出是解題的關(guān)鍵，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.19、（1）（2）【解析】

(1)代入計(jì)算即可.(2)設(shè)直線AB的方程為,再聯(lián)立直線與拋物線的方程,消去可得的一元二次方程,再根據(jù)韋達(dá)定理與求解,進(jìn)而利用弦長公式求解即可.【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€過點(diǎn),所以,所以,拋物線的方程為（2）由題意知直線AB的斜率存在,可設(shè)直線AB的方程為,,.因?yàn)?所以,聯(lián)立,化簡得,所以,,所以,,解得,所以.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的方程以及聯(lián)立直線與拋物線求弦長的簡單應(yīng)用.屬于基礎(chǔ)題.20、（1）；（2）4【解析】

（1）根據(jù)已知用二倍角余弦求出，進(jìn)而求出，利用正弦定理，即可求解；（2）由邊角，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出的最大值，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）∵，∴，由正弦定理得.（2）由（1）知