2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)試題文）試題

2022-2023學(xué)年江蘇省蘇州大學(xué)高三下學(xué)期期中考試（數(shù)學(xué)試題文）試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，若則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的值是（）A． B． C． D．43．我國(guó)古代數(shù)學(xué)家秦九韶在《數(shù)書(shū)九章》中記述了“三斜求積術(shù)”，用現(xiàn)代式子表示即為：在中，角所對(duì)的邊分別為，則的面積.根據(jù)此公式，若，且，則的面積為（）A． B． C． D．4．向量，，且，則（）A． B． C． D．5．下列說(shuō)法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．“若，則”的逆命題為真命題C．，使成立D．“若，則”是真命題6．若函數(shù)在時(shí)取得最小值，則（）A． B． C． D．7．在中，角的對(duì)邊分別為，若．則角的大小為()A． B． C． D．8．已知直線(xiàn)過(guò)雙曲線(xiàn)C：的左焦點(diǎn)F，且與雙曲線(xiàn)C在第二象限交于點(diǎn)A，若（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線(xiàn)C的離心率為A． B． C． D．9．設(shè)集合，，則集合A． B． C． D．10．i是虛數(shù)單位，若，則乘積的值是()A．－15 B．－3 C．3 D．1511．如果直線(xiàn)與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能12．設(shè)a=log73，，c=30.7，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，其中是虛數(shù)單位，是的共軛復(fù)數(shù)，則________.14．已知中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，的面積為，則線(xiàn)段的取值范圍是__________.15．己知函數(shù)，若關(guān)于的不等式對(duì)任意的恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16．已知不等式的解集不是空集,則實(shí)數(shù)的取值范圍是；若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18．（12分）已知（）過(guò)點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1.（1）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)，求函數(shù)的表達(dá)式；（2）在（1）的條件下，函數(shù)，求在上的值域.19．（12分）已知直線(xiàn)：（為參數(shù)），曲線(xiàn)（為參數(shù)）．（1）設(shè)與相交于，兩點(diǎn)，求；（2）若把曲線(xiàn)上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來(lái)的倍，得到曲線(xiàn)，設(shè)點(diǎn)是曲線(xiàn)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線(xiàn)距離的最小值．20．（12分）已知函數(shù).（1）討論函數(shù)單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，求證：.21．（12分）已知函數(shù)，，設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)方程（其中為常數(shù)）的兩根分別為，，證明：．（注：是的導(dǎo)函數(shù)）22．（10分）如圖，在三棱柱中，、、分別是、、的中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若底面是正三角形，，在底面的投影為，求到平面的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

根據(jù)，得到有解，則，得，，得到，再根據(jù)，有，即，可化為，根據(jù)，則的解集包含求解，【詳解】因?yàn)?，所以有解，即有解，所以，得，，所以，又因?yàn)?，所以，即，可化為，因?yàn)?，所以的解集包含，所以或，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題，2．D【解析】

模擬程序運(yùn)行，觀(guān)察變量值的變化，得出的變化以4為周期出現(xiàn)，由此可得結(jié)論．【詳解】；如此循環(huán)下去，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)不滿(mǎn)足，循環(huán)結(jié)束，輸出的值是4.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查程序框圖，考查循環(huán)結(jié)構(gòu)．解題時(shí)模擬程序運(yùn)行，觀(guān)察變量值的變化，確定程序功能，可得結(jié)論．3．A【解析】

根據(jù)，利用正弦定理邊化為角得，整理為，根據(jù)，得，再由余弦定理得，又，代入公式求解.【詳解】由得，即，即，因?yàn)?，所以，由余弦定理，所以，由的面積公式得故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理以及類(lèi)比推理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.4．D【解析】

根據(jù)向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算以及誘導(dǎo)公式，即可得出答案.【詳解】故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)以及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.5．D【解析】選項(xiàng)A，否命題為“若，則”，故A不正確．選項(xiàng)B，逆命題為“若，則”，為假命題，故B不正確．選項(xiàng)C，由題意知對(duì)，都有，故C不正確．選項(xiàng)D，命題的逆否命題“若，則”為真命題，故“若，則”是真命題，所以D正確．選D．6．D【解析】

利用輔助角公式化簡(jiǎn)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的最值，求得在函數(shù)取得最小值時(shí)的值．【詳解】解：，其中，，，故當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取最小值，所以，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查輔助角公式，正弦函數(shù)的最值的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．A【解析】

由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得，結(jié)合，可得，結(jié)合范圍，可得，可得，即可得解的值．【詳解】解：∵，∴由正弦定理可得：，∵，∴，∵，，∴，∴．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．8．B【解析】

直線(xiàn)的傾斜角為，易得．設(shè)雙曲線(xiàn)C的右焦點(diǎn)為E，可得中，，則，所以雙曲線(xiàn)C的離心率為.故選B．9．B【解析】

先求出集合和它的補(bǔ)集，然后求得集合的解集，最后取它們的交集得出結(jié)果.【詳解】對(duì)于集合A，，解得或，故.對(duì)于集合B，，解得.故.故選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查對(duì)數(shù)不等式的解法，考查集合的補(bǔ)集和交集的運(yùn)算.對(duì)于有兩個(gè)根的一元二次不等式的解法是：先將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)，且不等號(hào)的另一邊化為，然后通過(guò)因式分解，求得對(duì)應(yīng)的一元二次方程的兩個(gè)根，再利用“大于在兩邊，小于在中間”來(lái)求得一元二次不等式的解集.10．B【解析】，∴，選B．11．B【解析】

根據(jù)圓心到直線(xiàn)的距離小于半徑可得滿(mǎn)足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線(xiàn)與圓相交，圓心到直線(xiàn)的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線(xiàn)與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．12．D【解析】

，，得解．【詳解】，，，所以，故選D【點(diǎn)睛】比較不同數(shù)的大小，找中間量作比較是一種常見(jiàn)的方法．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

設(shè)，代入已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，求得的值.【詳解】設(shè)，由，得，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本小題主要考查共軛復(fù)數(shù)，考查復(fù)數(shù)相等的條件，屬于基礎(chǔ)題.14．【解析】

設(shè)，利用正弦定理，根據(jù)，得到①，再利用余弦定理得②，①②平方相加得：，轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題求解.【詳解】設(shè)，所以，即①由余弦定理得，即②，①②平方相加得：，即，令，設(shè)，在上有解，所以，解得，即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理和余弦定理在平面幾何中的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于難題.15．【解析】

首先判斷出函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，且在定義域上單調(diào)遞增，由此不等式對(duì)任意的恒成立，可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進(jìn)而建立不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：函數(shù)的定義域?yàn)?，且，函?shù)為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)，顯然此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為定義在上的增函數(shù)，不等式即為，在上恒成立，，解得．故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性及奇偶性的綜合運(yùn)用，考查不等式的恒成立問(wèn)題，屬于常規(guī)題目．16．【解析】

利用絕對(duì)值的幾何意義，確定出的最小值，然后根據(jù)題意即可得到的取值范圍化簡(jiǎn)不等式，求出的最大值，然后求出結(jié)果【詳解】的最小值為，則要使不等式的解集不是空集，則有化簡(jiǎn)不等式有，即而當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，解得或所以答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查的是函數(shù)恒成立的問(wèn)題和絕對(duì)值不等式，要注意到絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合來(lái)解答本題，注意去絕對(duì)值時(shí)的分類(lèi)討論化簡(jiǎn)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）判斷公比不為1，運(yùn)用等比數(shù)列的求和公式，解方程可得公比，進(jìn)而得到所求通項(xiàng)公式；（2）求得，運(yùn)用數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，以及等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算可得所求和.【詳解】解：（1）設(shè)公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，可得時(shí)，，不成立；當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去），則；（2），前項(xiàng)和，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式的運(yùn)用，考查數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于中檔題．18．(1)；(2).【解析】

試題分析：(1)由題意可得函數(shù)f(x)的解析式為，則.(2)整理函數(shù)h(x)的解析式可得：，結(jié)合函數(shù)的定義域可得函數(shù)的值域?yàn)?試題解析：(1)由函數(shù)取得最大值1，可得,函數(shù)過(guò)得，，∵，∴，.(2)，，，值域?yàn)?19．（1）；（2）．【解析】

(1)將直線(xiàn)和曲線(xiàn)化為普通方程，聯(lián)立直線(xiàn)和曲線(xiàn)，可得交點(diǎn)坐標(biāo)，可得的值；（2）可得曲線(xiàn)的參數(shù)方程，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式結(jié)合三角形的最值可得答案.【詳解】解：（1）直線(xiàn)的普通方程為，的普通方程．聯(lián)立方程組，解得與的交點(diǎn)為，，則．（2）曲線(xiàn)的參數(shù)方程為（為參數(shù)），故點(diǎn)的坐標(biāo)為，從而點(diǎn)到直線(xiàn)的距離是，由此當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化及參數(shù)方程的基本性質(zhì)、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式等，屬于中檔題.20．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）根據(jù)的導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論單調(diào)性（2）欲證，只需證，構(gòu)造函數(shù)，證明，這時(shí)需研究的單調(diào)性，求其最大值即可【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，，①?dāng)時(shí)，由得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；②當(dāng)時(shí)，由得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；③當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時(shí)，由，得，由，得，或，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，欲證，只需證，令，，則，因存在，使得成立，即有，使得成立.當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下：0單調(diào)遞增單調(diào)遞減所以.因?yàn)?，所以，所?即，所以當(dāng)時(shí)，成立.【點(diǎn)睛】考查求函數(shù)單調(diào)性的方法和用函數(shù)的最值證明不等式的方法，難題.21．（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）見(jiàn)解析【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間；（2）求出含有參數(shù)的，再求出，由的兩根是，得，計(jì)算，代入后可得結(jié)論．【詳解】解：，函數(shù)的定義域?yàn)?，．?）當(dāng)時(shí)，，由得，由得，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）證明：由條件可得，，，方程的兩根分別為，，，且，可得．．【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、方程根的知識(shí)．在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間，由確定減區(qū)間．22．（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】

（1）連接，連接、交于點(diǎn)，并連接