新教材同步系列2024春高中數(shù)學第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積課件新人教A版必修第二冊

第六章平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運算6.2.4向量的數(shù)量積學習目標素養(yǎng)要求1．理解平面向量夾角的定義，并會求已知兩個非零向量的夾角數(shù)學運算2．理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，并會計算平面向量的數(shù)量積數(shù)學運算3．了解平面向量的投影的概念及投影向量的意義數(shù)學抽象4．掌握平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運算律，并會應(yīng)用數(shù)學運算、邏輯推理|自學導(dǎo)引|平面向量的數(shù)量積的相關(guān)概念1．向量的夾角(0≤θ≤π)

夾角2．兩向量的垂直如果a與b的夾角為______，我們說a與b_______，記作a⊥b．3．平面向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量___________叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝__________．規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．垂直|a||b|cosθ

|a||b|cosθ

投影投影向量投影向量【預(yù)習自測】已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角θ＝120°，則a·b＝____________，a在b上的投影向量的模為____________．向量的數(shù)量積的運算結(jié)果與線性運算的結(jié)果有什么不同？【提示】數(shù)量積的運算結(jié)果是實數(shù)，線性運算的運算結(jié)果是向量．向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則(1)a·e＝e·a＝__________．(2)a⊥b?__________．|a|cosθ

a·b＝0

【預(yù)習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若a·b＜0，則a與b的夾角為鈍角． (

)(2)|a·b|≤|a||b|，當且僅當a∥b時等號成立． (

)(3)若a·b≠0，則a與b不垂直．

(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√【解析】(1)當a與b的夾角是180°時，a·b＝－|a||b|＜0，但180°不是鈍角．(2)若|a·b|＝|a||b|，則|cosθ|＝1，cosθ＝±1，θ＝180°或θ＝0°，則a∥b．(3)由a⊥b?a·b＝0知其正確性．向量數(shù)量積的運算律(1)a·b＝b·a(交換律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．【預(yù)習自測】判斷下列命題是否正確．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)【答案】(1)√

(2)√【解析】(1)由數(shù)量積的結(jié)合律可知其正確性．(2)由數(shù)量積的分配律可知其正確性．a(chǎn)·(b·c)＝(a·b)·c成立嗎？【提示】(a·b)·c≠a·(b·c)，因為a·b，b·c是數(shù)量積，是實數(shù)，不是向量，所以(a·b)·c與向量c共線，a·(b·c)與向量a共線．因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情況下不成立．|課堂互動|題型1平面向量數(shù)量積的計算

(1)已知向量a，b滿足|a|＝1，a⊥b，則向量a－2b在向量－a上的投影向量的模為 (

)A．0 B．1【答案】B(2)已知|a|＝4，|b|＝5，當①a∥b；②a⊥b；③a與b的夾角為30°時，分別求a與b的數(shù)量積．解：①當a∥b時，若a與b同向，則θ＝0°，a·b＝|a||b|cos0°＝4×5×1＝20．若a與b反向，則θ＝180°，所以a·b＝|a||b|cos180°＝4×5×(－1)＝－20．②當a⊥b時，θ＝90°，a·b＝|a||b|cos90°＝0．求平面向量數(shù)量積的步驟(1)求a與b的夾角θ，θ∈[0，π]．(2)分別求|a|和|b|．(3)求數(shù)量積，即a·b＝|a||b|cosθ，要特別注意書寫時a與b之間用實心圓點“·”連接，而不能用“×”連接，也不能省略．求向量的模的常見思路及方法(2)一些常見的等式應(yīng)熟記，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a－b)＝a2－b2等．

【答案】C【答案】B求向量夾角的基本步驟及注意事項(1)步驟：(2)注意事項：在個別含有|a|，|b|與a·b的等量關(guān)系式中，常利用消元思想計算cosθ的值．【答案】(1)B

(2)－8或5錯解：設(shè)向量a＋λb與λa＋b的夾角為θ．∵兩向量的夾角為銳角，|素養(yǎng)達成|1．兩向量a與b的數(shù)量積是一個實數(shù)，不是一個向量，其值可以為正(當a≠0，b≠0，0°≤θ＜90°時)，也可以為負(當a≠0，b≠0，90°＜θ≤180°時)，還可以為0(當a＝0或b＝0或θ＝90°時)．2．數(shù)量積對結(jié)合律一般不成立，因為(a·b)·c＝|a||b|·cos〈a，b〉·c是一個與c共線的向量，而a·(b·c)＝a·|b|·|c|cos〈b，c〉是一個與a共線的向