阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 微點(diǎn)2 阿波羅尼斯圓的逆用

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)2阿波羅尼斯圓的逆用專(zhuān)題1阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用微點(diǎn)2阿波羅尼斯圓的逆用【微點(diǎn)綜述】當(dāng)題目給了阿氏圓和一個(gè)定點(diǎn)，我們可以通過(guò)下述方法快速找到另一個(gè)定點(diǎn)，便于計(jì)算，令圓O與直線OA相交于M，N兩點(diǎn)設(shè)點(diǎn)E為OA上一點(diǎn)，且滿足，由阿氏圓定理，，則，∴①同理，∴②由①②消OA得：，即，即，由①②消R得：，因此，滿足條件的點(diǎn)E在阿氏圓的圓心和定點(diǎn)A的連線上，且或．【典例刨析】例1．（2022·湖南·臨澧一中高二開(kāi)學(xué)考試）1．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，他對(duì)圓錐曲線有深刻系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線論》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為λ(λ＞0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓．下面我們來(lái)研究與此相關(guān)的一個(gè)問(wèn)題，已知圓O：x2＋y2＝1上的動(dòng)點(diǎn)M和定點(diǎn)A，B(1，1)，則2|MA|＋|MB|的最小值為（

）A． B．C． D．2．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)A，B的距離之比為，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓、點(diǎn)和點(diǎn)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（約前262—前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)且的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)P滿足，則r的取值為（

）A．1 B．5 C．1或5 D．不存在4．已知點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．5．已知圓C：，定點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____．例6．（2022江西·南昌八中高二月考）6．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元首262～公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)(且)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．已知，，圓上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足，則的取值為_(kāi)______.【針對(duì)訓(xùn)練】7．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德并稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩定點(diǎn)的距離之比，那么點(diǎn)的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，定點(diǎn)的坐標(biāo)為，若點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得?阿基米德被稱(chēng)為亞歷山大時(shí)期數(shù)學(xué)三巨匠，他對(duì)圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果在他的代表作《圓錐曲線》一書(shū)，阿波羅尼斯圓是他的研究成果之一，指的是：已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)A?B的距離之比為λ(λ>0，λ≠1)，那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.若已知圓O：x2+y2=1和點(diǎn)，點(diǎn)B(4，2)，M為圓O上的動(dòng)點(diǎn)，則2|MA|+|MB|的最小值為_(kāi)__________（2022安徽·合肥六中高二期中）9．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯約公元前262~公元前190年的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，著作中有這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓.已知圓和，點(diǎn)，為圓上動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)______.（2022上海金山中學(xué)高二期末）10．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個(gè)著名的幾何問(wèn)題：在平面上給定兩點(diǎn)A、B，動(dòng)點(diǎn)P滿足（其中是正常數(shù)，且），則P的軌跡是一個(gè)圓，這個(gè)圓稱(chēng)之為“阿波羅尼斯圓”．現(xiàn)已知兩定點(diǎn)，P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________11．阿波羅尼斯證明過(guò)這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為，動(dòng)點(diǎn)滿足，求的最小值．（2022·江蘇省江陰高級(jí)中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試）12．希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比為定值的點(diǎn)的軌跡是圓”.后來(lái)，人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)阿氏圓.已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)是滿足的阿氏圓上的任一點(diǎn)，則該阿氏圓的方程為_(kāi)__________________；若點(diǎn)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在軸上的射影為，則的最小值為_(kāi)_____.答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)參考答案：1．C【分析】討論點(diǎn)M在x軸上與不在x軸上兩種情況，若點(diǎn)M不在x軸上，構(gòu)造點(diǎn)K(－2，0)，可以根據(jù)三角形的相似性得到，進(jìn)而得到2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|，最后根據(jù)三點(diǎn)共線求出答案.【詳解】①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)或(1，0)．若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(－1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋；若點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，0)，則2|MA|＋|MB|＝2×＋．②當(dāng)點(diǎn)M不在x軸上時(shí)，取點(diǎn)K(－2，0)，如圖，連接OM，MK，因?yàn)閨OM|＝1，|OA|＝，|OK|＝2，所以．因?yàn)椤螹OK＝∠AOM，所以△MOK∽△AOM，則，所以|MK|＝2|MA|，則2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．易知|MB|＋|MK|≥|BK|，所以|MB|＋|MK|的最小值為|BK|．因?yàn)锽(1，1)，K(－2，0)，所以(2|MA|＋|MB|)min＝|BK|＝．又<1＋<4，所以2|MA|＋|MB|的最小值為．故選：C2．B【分析】令，則，由阿氏圓的定義可知：，由數(shù)形結(jié)合可知的最大值.【詳解】設(shè)，令，則，由題知圓是關(guān)于點(diǎn)A、C的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即，，點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M位于圖中的位置時(shí)，的值最大，最大為.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，圓上動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是通過(guò)數(shù)形結(jié)合知兩線段距離差的最值是在兩端點(diǎn)為起點(diǎn)的的射線上，屬于一般題.3．C【分析】直接設(shè)點(diǎn)P，根據(jù)可以求得點(diǎn)P的軌跡為圓，根據(jù)題意兩圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則兩圓外切或內(nèi)切，可得或．【詳解】設(shè)點(diǎn)P∵即整理得：∴點(diǎn)P的軌跡為以為圓心，半徑的圓，∵圓的為圓心，半徑的圓由題意可得：或∴或故選：C．4．10【分析】解法1：借助阿波羅尼斯圓的逆用，得到，進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線即可求出最值；解法2：將轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而結(jié)合進(jìn)而根據(jù)三點(diǎn)共線即可求出最值．【詳解】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用假設(shè)，使得，則，從而可得，從而可知圓心坐標(biāo)為，所以，，解得，即．所以．即的最小值為10．解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法由，得．表示的是動(dòng)點(diǎn)與和之間的距離之和，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，和最小，故．5．【分析】解法1：阿波羅尼斯圓的逆用，設(shè)，使得，利用兩點(diǎn)間的距離公式化簡(jiǎn)可求得，得直線與圓C相交，則，從而可求得其最小值，解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法，，可得當(dāng)點(diǎn)共線，且在之間時(shí)取得最小值.【詳解】解：解法1：阿波羅尼斯圓的逆用設(shè)，使得，則，整理，得，即所以，，從而．經(jīng)驗(yàn)證，知直線與圓C相交．從而．所以的最小值為．解法2：代數(shù)轉(zhuǎn)逆法．所以的最小值為．故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查阿波羅尼斯圓的逆用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)阿波羅尼斯圓，設(shè)，使得，化簡(jiǎn)后將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.6．【分析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)題意求出點(diǎn)的軌跡方程可知軌跡為圓，由題意可知兩圓相外切，再討論內(nèi)切和外切列方程即可得求解.【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，得，整理得，即點(diǎn)的軌跡方程為：，又因?yàn)閳A上有且僅有一個(gè)點(diǎn)滿足，所以兩圓相切，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓C：的圓心坐標(biāo)為，半徑為，兩圓的圓心距為3，當(dāng)兩圓外切時(shí)，，得，因?yàn)?，故舍去，?dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，，，得．故答案為：.7．D【分析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點(diǎn)之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因?yàn)榍?，所以，整理可得，又?dòng)點(diǎn)M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因?yàn)?，所以的最小值，?dāng)M在位置或時(shí)等號(hào)成立.故選：D8．【分析】設(shè)M(x，y)，令2|MA|=|MC|，根據(jù)圓x2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A?C的阿波羅尼斯圓，且，求得點(diǎn)C坐標(biāo)，再連接BC，由直線段最短求解.整理得：【詳解】設(shè)M(x，y)，令2|MA|=|MC|，則，由題知圓x2+y2=1是關(guān)于點(diǎn)A?C的阿波羅尼斯圓，且，設(shè)點(diǎn)C(m，n)，則，整理得：，比較兩方程可得：，，，即m=-2，n=0，所以點(diǎn)C(-2，0)，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)M位于圖中M1?M2的位置時(shí)，2|MA|+|MB|=|MC|+|MB|的值最小，最小為.故答案為：9．【分析】根據(jù)阿波羅尼斯圓的性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間線段最短進(jìn)行求解即可.【詳解】令，則.由題意可得圓是關(guān)于點(diǎn)A，C的阿波羅尼斯圓，且設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為，則整理得由題意得該圓的方程為，所以，解得所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為，所以，因此當(dāng)點(diǎn)M、C、B在同一條直線上時(shí)，的值最小，且為，故最小為.故答案為：10．【分析】在軸上取，由可得，可得，利用兩點(diǎn)間距離公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖，在軸上取點(diǎn)，，，，，（當(dāng)且僅當(dāng)為與圓交點(diǎn)時(shí)取等號(hào)），.故答案為：.11．【分析】以經(jīng)過(guò)、的直線為軸，線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)已知條件可得出點(diǎn)的軌跡方程，