人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十二章 全等三角形知識歸納與題型突破（12類題型清單）

第十二章全等三角形知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.要點詮釋：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等.要點詮釋：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP角平分線?？妓姆N輔助線：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系出現(xiàn)。0303題型歸納題型一全等圖形識別例題：（23-24七年級下·陜西寶雞·期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．

2．（23-24七年級下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（

）A． B． C． D．3．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）下列各組的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．題型二全等三角形的概念例題：（23-24七年級下·陜西西安·期中）下列判斷正確的個數(shù)是（

）（1）形狀相同的兩個三角形是全等形；（2）全等圖形的周長都相等；（3）面積相等的兩個等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的面積相等C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．等邊三角形都全等2．（23-24八年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等3．（23-24八年級上·陜西安康·期中）下列說法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形 B．兩個全等三角形的面積不一定相等C．周長相等的兩個三角形是全等三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形題型三全等三角形的性質(zhì)例題：（23-24七年級下·四川資陽·期末）如圖，已知點A在上，，

(1)試說明：；(2)若，，求的長鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，，其中點A、E、B、D在一條直線上．

(1)若，求的大??；(2)若，求的長．2．（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知，點在邊上，與交于點，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長之和．3．（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖所示，，點在邊上，與交于點．

(1)若，，求線段的長；(2)若，，求的度數(shù)．題型四添加一個條件使兩三角形全等例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補充一個條件______后，可用“”判斷．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，點在一條直線上，已知，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點，，，在一條直線上，，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．3．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．題型五用SAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知，，．求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

題型六用ASA證明兩三角形全等例題：（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點，點在上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點A、、、在同一條直線上，若，，求證：．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點B為中點，．(1)求證：．(2)若，求的長．題型七用AAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級中學(xué)?？既＃┤鐖D，點E在邊上，，，．求證：鞏固訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時，求的度數(shù)．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知點是線段上一點，，．(1)求證：；(2)求證：．題型八用SSS證明兩三角形全等例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點在一條直線上，，求證：．

鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點，．求證：．

2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．題型九用HL證明兩直角三角形全等例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點O．求證：．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．2．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知相交于點O，，于點M，于點N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)例題：（2024上·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的一點，，平分，交邊于點，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．2．（2024上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側(cè)，且，，測得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長度．3．（2023上·廣西來賓·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積；(3)猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．題型十一角平分線的性質(zhì)定理例題：（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·河南周口·期末）如圖，在中，平分，．若，，則．2．（23-24八年級上·安徽阜陽·期中）如圖，兩兩相交的三條公路中央有一深水湖泊，要在陸地建一個加油站P到三條公路距離相等，這樣的位置有處．

3．（23-24八年級下·陜西西安·期末）如圖，中，和的平分線交于點D，于點E，已知，的面積是5，則周長是．題型十二角平分線的判定定理例題：（23-24七年級下·湖南衡陽·期末）如圖，是AD中點，平分．

(1)若，求證：平分．(2)若，求證：．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·山東威?！て谥校┤鐖D，在中，D是的垂直平分線上一點，過點D作，垂足為點E，F(xiàn)，．求證：點D在的平分線上．

2．（23-24八年級下·河南鄭州·階段練習(xí)）如圖，于E，交的延長線于點F．(1)求證：平分；(2)若，求的長．3．（23-24七年級上·黑龍江大慶·期末）如圖所示，在外作和，使，且，連接相交于P點．(1)求證：；(2)______（用含的代數(shù)式表示）；(3)求證：點A在的平分線上．

第十二章全等三角形知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識速記一、全等圖形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合.能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形.要點詮釋：一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.兩個全等形的周長相等，面積相等.二、全等三角形能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.三、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對應(yīng)邊相等；全等三角形的對應(yīng)角相等.要點詮釋：全等三角形對應(yīng)邊上的高相等，對應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等.全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具.四、全等三角形的判定五、全等三角形的證明思路六、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因為全等三角形是研究特殊三角形、四邊形、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個出發(fā)點.運用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題.可以適當(dāng)總結(jié)證明方法.1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個三角形全等.(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點到角兩邊的距離相等.(3)等式性質(zhì).2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明.(2)證明兩個角所在的兩個三角形全等.(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明.(4)同角（等角）的余角（補角）相等.(5)對頂角相等.3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明.4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形.5.證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個角所在的兩個三角形及它們?nèi)鹊臈l件.（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個角所在的三角形全等的條件不充分時，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個三角形全等以補足條件.（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個三角形之間不存在全等關(guān)系，此時應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì).七、角平分線概念：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成完全相同的角，這條射線叫做這個角的角平分線。角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；數(shù)學(xué)語言：∵∠MOP=∠NOP，PA⊥OMPB⊥ON∴PA=PB判定定理：到角兩邊距離相等的點在角的平分線上．?dāng)?shù)學(xué)語言：∵PA⊥OMPB⊥ONPA=PB

∴∠MOP=∠NOP角平分線常考四種輔助線：圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系出現(xiàn)。0303題型歸納題型一全等圖形識別例題：（23-24七年級下·陜西寶雞·期中）下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了全等圖形．根據(jù)全等圖形的定義（能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形）逐項判斷即可得．【詳解】解：A、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；B、兩個圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；C、兩個圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項符合題意；D、兩個圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·全國·課后作業(yè)）下列各選項中的兩個圖形屬于全等形的是（）A． B． C． D．

【答案】B【分析】本題考查圖形全等，涉及全等圖形的定義，根據(jù)能夠完全重合的兩個圖形是全等圖形，逐項驗證即可得到答案，熟記全等圖形的定義是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的定義可知，只有這兩個圖形能夠完全重合，故選：B．2．（23-24七年級下·四川成都·期中）下列各組圖形中，是全等圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查全等圖形的概念，形狀和大小完全相同的圖形是全等圖形，據(jù)此即可求解．【詳解】解：根據(jù)全等圖形的概念，只有B選項中的兩個圖形形狀和大小完全相同，是全等圖形，故選：B．3．（2024七年級下·全國·專題練習(xí)）下列各組的兩個圖形屬于全等圖形的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了全等形的定義，掌握能夠完全重合的圖形是全等形成為解題的關(guān)鍵．運用全等形的定義逐項判斷即可解答．【詳解】解：A、兩只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本選項錯誤；B、兩個圖形能夠完全重合，故本選項正確C、兩個正方形的邊長不相等，不能完全重合，故本選項錯誤；C、圓內(nèi)兩條相交的線段不能完全重合，故本選項錯誤．故選D．題型二全等三角形的概念例題：（23-24七年級下·陜西西安·期中）下列判斷正確的個數(shù)是（

）（1）形狀相同的兩個三角形是全等形；（2）全等圖形的周長都相等；（3）面積相等的兩個等腰三角形是全等形；（4）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查了全等圖形的判定與性質(zhì)，利用全等圖形的判定與性質(zhì)即可確定正確的選項．【詳解】解：（1）形狀相同的兩個三角形不一定是全等形，故錯誤；（2）全等圖形的周長都相等，故正確；（3）面積相等的兩個等腰三角形不一定是全等形，故錯誤；（4）全等三角形對應(yīng)邊上的高、中線及對應(yīng)角平分線分別相等，故正確；故選：B鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·江蘇泰州·階段練習(xí)）下列說法中正確的是（

）A．全等三角形是指形狀相同的兩個三角形 B．全等三角形的面積相等C．全等三角形是指面積相等的兩個三角形 D．等邊三角形都全等【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的定義和性質(zhì)，掌握全等形的概念、全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)全等三角形的定義和性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、全等三角形是指形狀和大小相同的兩個三角形，該選項錯誤；B、全等三角形的面積相等，該選項正確；C、面積相等的兩個三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤；D、等邊三角形不一定都是全等三角形，該選項錯誤．故選：B．2．（23-24八年級上·甘肅定西·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．形狀相同的兩個三角形全等 B．面積相等的兩個三角形全等C．全等三角形的周長相等、面積相等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【分析】本題考查三角形全等的概念及性質(zhì)，根據(jù)三角形全等的概念和性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A選項：形狀和大小完全相同的兩個三角形全等，故形狀相同的兩個三角形不一定全等，本選項說法錯誤；B選項：全等的兩個三角形面積相等，但面積相等的兩個三角形不一定全等，故本選項說法錯誤；C選項：全等三角形的周長相等，面積相等，本選項說法正確；D選項：等邊三角形的形狀相同，但大小不同，故本選項說法錯誤.故選：C3．（23-24八年級上·陜西安康·期中）下列說法正確的是（

）A．全等三角形是指形狀、大小相同的三角形 B．兩個全等三角形的面積不一定相等C．周長相等的兩個三角形是全等三角形 D．所有的等邊三角形都是全等三角形【答案】A【分析】根據(jù)能夠完全重合的兩個三角形是全等三角形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．【詳解】A、形狀相同大小相等的三角形能夠完全重合，是全等三角形，故本選項正確；B、兩個全等三角形的面積一定相等，故本選項錯誤；C、周長相等的三角形，形狀不一定相同，大小不一定相等，所以不一定是全等三角形，故本選項錯誤；D、所有的等邊三角形形狀都相同，大小與邊長有關(guān)，邊長不相等，則不能夠重合，所以不一定是全等三角形，故本選項錯誤．故選：A．題型三全等三角形的性質(zhì)例題：（23-24七年級下·四川資陽·期末）如圖，已知點A在上，，

(1)試說明：；(2)若，，求的長【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定，掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等得到，然后根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行得到結(jié)論即可；（2）根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等得到，，然后利用線段的和差即可得到結(jié)果．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴；（2）解：∵，∴，，又∵，∴．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·福建泉州·期末）如圖，，其中點A、E、B、D在一條直線上．

(1)若，求的大??；(2)若，求的長．【答案】(1)(2)【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）先根據(jù)垂直以及直角三角形兩銳角互余求出，再利用全等三角形對應(yīng)角相等即可得到的大??；（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到，則，即可得到．【詳解】（1）解：∵∴，∵，∴，∵∴（2）∵，∴∴，∴2．（23-24七年級下·陜西榆林·期末）如圖，已知，點在邊上，與交于點，，．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求與的周長之和．【答案】(1)(2)31【分析】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等是解本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，計算即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出，根據(jù)三角形的周長公式計算即可．【詳解】（1）解：∵，，∴．∵，∴，∴，即，∴．（2）解：∵，∴，，∴與的周長和，．3．（23-24七年級下·四川樂山·期末）如圖所示，，點在邊上，與交于點．

(1)若，，求線段的長；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)；（1）由，得到，而，即可得到的長；（2）由，得到，由三角形外角的性質(zhì)得到，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：解：，∴.（2）解：，.題型四添加一個條件使兩三角形全等例題：（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，D在上，E在上，且，補充一個條件______后，可用“”判斷．

【答案】或【分析】由于兩個三角形已經(jīng)具備，，故要找邊的條件，只要不是這兩對角的夾邊即可．【詳解】解：∵，，∴若用“”判斷，可補充的條件是或；故答案為：或．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟知掌握判定三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·黑龍江雞西·?？既＃┤鐖D，點在一條直線上，已知，請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件_________使得．（要求不添加任何線段）

【答案】（答案不唯一）【分析】由可得，再根據(jù)三角形全等的證明，可知可以添加條件為：兩邊及其夾角（）、兩邊及一邊（）即可解答．【詳解】解：∵，∴，∵，∴可添加條件為：可證明或可證明．故答案為：（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查的是三角形全等判定，掌握證明全等三角形的方法有：,特別是不能判定三角形全等是解題的關(guān)鍵．2．（2023·北京大興·統(tǒng)考二模）如圖，點，，，在一條直線上，，，只需添加一個條件即可證明，這個條件可以是________（寫出一個即可）．【答案】或或或（答案不唯一）．【分析】根據(jù)，或添加條件即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，∴，即，則有邊角兩個條件，要添加一個條件分三種情況，（1）根據(jù)“”，則可添加：，（2）根據(jù)“”，則可添加：或，（3）根據(jù)“”，則可添加：，故答案為：或或或（答案不唯一）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，解此題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的幾種判斷方法．3．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________；要使用“”證明，應(yīng)添加條件：_______________________．【答案】（或）（或）【分析】根據(jù)：斜邊與直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等，使，已知，，添加的條件是直角邊相等即可；要使用“”，需要添加角相等即可．【詳解】解：已知，，要使用“”，添加的條件是直角邊相等，故答案為：（或）；要使用“”，需要添加角相等，添加的條件為：（或）．故答案為：（或）．【點睛】本題考查了全等三角形的判定．本題的關(guān)鍵是，全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．題型五用SAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東廣州·?？寄M預(yù)測）如圖，已知，，．求證：．

【答案】證明見解析．【分析】根據(jù)全等三角形的判定定理推出即可．【詳解】證明：在和中，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，注意：全等三角形的判定定理有，兩直角三角形全等還有等．鞏固訓(xùn)練1．（2023·吉林松原·校聯(lián)考三模）已知，如圖，點、、、在同一直線上，、相交于點，，垂足為，，垂足為，且，．求證：．【答案】見解析【分析】根據(jù)，，得到，根據(jù)，得到，結(jié)合，則可根據(jù)判定．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查三角形全等的判定，熟記三角形全等的判定定理是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山東濟(jì)南·七年級濟(jì)南育英中學(xué)?？计谥校┤鐖D，點B、E、C、F在一條直線上，，，．求證：．

【答案】見解析【分析】由得到，根據(jù)可得，又由，根據(jù)即可證明．【詳解】證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定，根據(jù)題意找到證明全等需要的條件是解題的關(guān)鍵．題型六用ASA證明兩三角形全等例題：（2023春·廣東惠州·八年級?？计谥校┤鐖D，，點，點在上，，求證：．

【答案】見解析【分析】首先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，利用等式的性質(zhì)可得，然后再利用判定即可．【詳解】證明：∵，，，，即，在和中，，∴．【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．鞏固訓(xùn)練1．（2023·校聯(lián)考一模）如圖，點A、、、在同一條直線上，若，，求證：．【答案】見解析【分析】由知，結(jié)合，，依據(jù)“”可判定≌，依據(jù)兩三角形全等對應(yīng)邊相等可得．【詳解】證明：，，即，在和中，，，．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·浙江溫州·溫州市第八中學(xué)?？既＃┤鐖D，在和中，，點B為中點，．(1)求證：．(2)若，求的長．【答案】(1)見解析(2)4，見解析【分析】（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)和點B為中點即可求出．【詳解】（1）證明：∵，，，∴（2）解：∵，，∴，，∵點B為中點，∴，∴，∴；【點睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定條件是解答本題的關(guān)鍵．題型七用AAS證明兩三角形全等例題：（2023·廣東汕頭·廣東省汕頭市聿懷初級中學(xué)?？既＃┤鐖D，點E在邊上，，，．求證：【答案】證明見解析【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，得到，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得出，即可利用“”證明．【詳解】證明：，，，，，，在和中，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，，，．

(1)求證：．(2)當(dāng)，時，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)，利用三角形全等的判定定理即可證明；（2）根據(jù)三角形全等的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)即可求解【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴．（2）解：∵，，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握各知識點，利用好數(shù)形結(jié)合的思想是解本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·八年級課時練習(xí)）如圖，已知點是線段上一點，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）由得，即，從而即可證得；（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．【詳解】（1）證明：，，，在和中，，；（2）解：，，，，．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型八用SSS證明兩三角形全等例題:（2023·云南玉溪·統(tǒng)考三模）如圖，點在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)題意，運用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．【詳解】證明：∵，∴，即，在和中∴．【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的中點，．求證：．

【答案】見解析【分析】根據(jù)是的中點，得到，再利用證明兩個三角形全等．【詳解】證明：是的中點，，在和中，，【點睛】本題考查了線段中點，三角形全等的判定，其中對三角形判定條件的確定是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）如圖，已知，點分別在上，，．(1)求證：；(2)求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）直接根據(jù)證明即可．（2）根據(jù)（1）得，然后證明即可．【詳解】（1）解：證明：在和中，

∴．（2）解：由（1）知，∴

，

在和中，

∴，

∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，熟記全等三角形的性質(zhì)與判定是解題關(guān)鍵．題型九用HL證明兩直角三角形全等例題：（2023·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，在和中，于A，于D，，與相交于點O．求證：．【答案】見解析【分析】由即可證明．【詳解】證明：∵，，∴，在和中，，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握直角三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．（2023春·廣東河源·八年級統(tǒng)考期中）如圖，點A，D，B，E在同一直線上，．(1)求證：；(2)，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先說明，再根據(jù)即可證明結(jié)論；（2）由（1）可知，再利用平角的性質(zhì)即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴，∴，在和中，∴．（2）解：∵，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平角的性質(zhì)等知識點，熟練掌握全等三角形的判斷與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·七年級單元測試）如圖，已知相交于點O，，于點M，于點N，．(1)求證：；(2)試猜想與的大小關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)，理由見解析【分析】（1）根據(jù)可證明；（2）根據(jù)證明可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：∵，∴，即，∵，，∴，在和中，，∴；（2）解：，理由如下：∵，∴，在和中，，∴，∴．【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．題型十三角形全等的判定與性質(zhì)例題：（2024上·浙江麗水·八年級統(tǒng)考期末）如圖，．(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】此題主要考查了三角形全等的判定，三角形外角的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形全等的判定定理．（1）根據(jù)判定即可；（2）根據(jù)題意可得，在中根據(jù)外角的性質(zhì)即可求出．【詳解】（1）證明：∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：∵，∴，∵，是的外角，．鞏固訓(xùn)練1．（2023上·甘肅武威·八年級?？计谥校┤鐖D，在中，是邊上的一點，，平分，交邊于點，連接．

(1)求證：；(2)若，，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答．（1）根據(jù)平分，可以得到，然后根據(jù)題目中的條件即可證明和全等，從而可以得到結(jié)論成立；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和和角平分線的定義可以得到的度數(shù)，進(jìn)而求解的度數(shù)．【詳解】（1）證明：平分，，在和中，；（2）解：，，，平分，，，，，．2．（2024上·四川宜賓·八年級統(tǒng)考期末）小明和小亮準(zhǔn)備用所學(xué)數(shù)學(xué)知識測一池塘的長度，經(jīng)過實地測量，繪制如下圖，點在直線l上（點F、C之間的距離為池塘的長度），點A、D在直線l的異側(cè)，且，，測得．

(1)求證：；(2)若，，求池塘的長度．【答案】(1)證明詳見解析；(2)44m．【分析】本題考查全等三角形判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等．（1）根據(jù)題意利用平行線的性質(zhì)，全等三角形判定即可得到本題答案；（2）根據(jù)題意利用第（1）問結(jié)論由全等三角形性質(zhì)即可得到本題答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵在和中，，∴；（2）解：由（1）可知：，∴，∴，∴，又∵，∴，又∵，∴，∴池塘的長為．3．（2023上·廣西來賓·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在四邊形中，于點B，于點D，點E，F(xiàn)分別在，上，，．

(1)求證：；(2)若，，求四邊形的面積；(3)猜想，，三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【答案】(1)證明見解析(2)48(3)猜想，證明見解析【分析】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)，熟練的確定全等三角形是解本題的關(guān)鍵．（1）連接，直接利用證明，可得，再證明，即可得到結(jié)論；（2）由，可得，從而可得四邊形的面積；（3）先證明，，可得，再結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可得結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，連接，

在和中，，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，（2）由（1）得，，∵，，，∴；（3）猜想，證明：∵，∴，，∵，，∴，∵，∴．題型十一角平分線的性質(zhì)定理例題：（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）如圖，點是平分線上一點，，垂足為，若，則點到邊的距離是．【答案】5【分析】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，作，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出即可得出答案．【詳解】解：過P作于點E，∵點P是平分線上一點，，∴，∵，∴，∴點P到邊的距離是5．故答案為：5．鞏固訓(xùn)練1．（23-24七年級下·河南周口·期末）如圖，在中，平分，．若，，則．【答案】9【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理，過D作于F，利用角平分線的性質(zhì)定理求出，然后利用三