人教版八年級數(shù)學(xué)上冊 第十四章 整式的乘法與因式分解知識歸納與題型突破（單元復(fù)習(xí) 12類題型清單）

第十四章整式的乘法與因式分解知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識速記一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負(fù)號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.四、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.五、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.六、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：九、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.十、補充公式；；；.十一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.十二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯誤.十四、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.十五、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.0303題型歸納題型一整式的運算正誤判斷例題：（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023·四川資陽·中考真題）下列計算正確的是（）A． B．C． D．3．（23-24七年級下·江西九江·階段練習(xí)）下列計算正確的是（）A． B． C． D．題型二判斷是否是因式分解例題：（2024上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．（2024上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．題型三冪的混合運算例題：計算：(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練1．計算下列各題(1)(2)（是整數(shù)）(3)（是整數(shù)）2．計算：(1)(2)；(3)先化簡，再求值：，其中．題型四逆用冪的相關(guān)公式求值例題：已知：，，，(1)求的值；(2)求的值．鞏固訓(xùn)練1．已知，，求(1)；(2)2．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．3．回答下列問題．(1)填空：①，②，(2)比一比，（1）中每組中的兩個算式的結(jié)果是否相等？猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時，．(3)試一試，計算：的值．4．小紅學(xué)習(xí)了七年級下冊“第八章冪的運算”后，發(fā)現(xiàn)冪的運算法則如果反過來寫，式子可以表達(dá)為：；；，可以起到簡化計算的作用．(1)在括號里填空：；；(2)已知：，．①求的值．

②求的值．(3)已知，求的值．題型五整式的四則運算例題:（24-25八年級上·全國·單元測試）計算：(1)．(2)．(3)鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)（用簡便方法計算）．2．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計算下列各題(1)；(2)．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）化簡(1)(2)(3)(4)(5)(6)4．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）某學(xué)生化簡出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）(1)該學(xué)生解答過程是從第______步開始出錯，其錯誤原因是______；(2)請你幫助他寫出正確的簡化過程．題型六整式的化簡求值例題：（23-24七年級下·廣東深圳·期末）先化簡，再求值：，其中a=2，鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級上·福建福州·單元測試）先化簡，再求值：．其中2．（23-24七年級下·全國·單元測試）先化簡，再求值：，其中，．3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）先化簡，再求值：，其中，．4．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）先化簡，再求值：，其中．5．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）先化簡，再求值：，其中，．題型七整式運算與圖形面積例題：三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長方形中，它們既不重疊也無空隙．已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計算當(dāng)，，時陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長為，圖2陰影部分周長之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長有關(guān)，若有關(guān)請說明理由，若無關(guān)，求出的值．鞏固訓(xùn)練1．如圖，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？2．如圖，一個長方形運動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運動場的面積．題型八公因式例題：多項式的公因式是（）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練1．下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與B．與C．與D．與2．多項式的公因式是（）A． B． C． D．題型九判斷能否用平方差或完全平方公式因式分解例題1：（2024上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式能用平方差公式分解因式的是(

)A． B． C． D．例題2：（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中能用完全平方公式進行因式分解的有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個鞏固訓(xùn)練1．（2024上·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）下列各式中，不能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．2．（2024上·河北唐山·八年級統(tǒng)考期末）對于下列多項式，能用平方差公式進行因式分解的是（

）①

②

③

④A．①② B．①④ C．③④ D．②③3．（2024上·廣東廣州·八年級統(tǒng)考期末）已知多項式可以用完全平方公式進行因式分解，則的值為（

）A．4 B．8 C． D．4．（2024上·山東泰安·八年級統(tǒng)考期末）下列各多項式中，能運用公式法分解因式的有（

）（1）

（2）

（3）

（4）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個題型十綜合提公因式和公式法因式分解例題：（2024上·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）因式分解：(1)(2)(3)鞏固訓(xùn)練1．（2024上·山東臨沂·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．2．（2024上·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期末）分解因式：(1)；(2)．題型十一運用因式分解求多項式的值例題：（2024上·上海普陀·七年級統(tǒng)考期末）如果，那么的值是（

）A． B． C．1 D．0鞏固訓(xùn)練1．長方形的長和寬分別為a，b，若長方形的周長為16，面積為12，則值為．2．（2023上·湖北武漢·八年級期末）若，則代數(shù)式值為.

第十四章整式的乘法與因式分解知識歸納與題型突破（題型清單）0101思維導(dǎo)圖0202知識速記一、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)(其中都是正整數(shù)).即同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.要點詮釋：（1）同底數(shù)冪是指底數(shù)相同的冪，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，即（都是正整數(shù)）.（3）逆用公式：把一個冪分解成兩個或多個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（都是正整數(shù)）.二、冪的乘方法則(其中都是正整數(shù)).即冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(，均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運算能將某些冪變形，從而解決問題.三、積的乘方法則(其中是正整數(shù)).即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的冪相乘.要點詮釋：（1）公式的推廣：(為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更簡便.如：注意事項（1）底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.（2）同底數(shù)冪的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時,指數(shù)才可以相加.指數(shù)為1，計算時不要遺漏.（3）冪的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加.（4）積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.（5）靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.（6）帶有負(fù)號的冪的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.四、單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它們的指數(shù)作為積的一個因式.要點詮釋：（1）單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用.（2）單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.（3）運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.（4）三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.五、單項式與多項式相乘的運算法則單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：（1）單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項式的問題.（2）單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.（3）計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.（4）對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.六、多項式與多項式相乘的運算法則多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即.要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：.七、平方差公式平方差公式：兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.要點詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又有“相反項”，而結(jié)果是“相同項”的平方減去“相反項”的平方.常見的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號變化：如（5）增項變化：如（6）增因式變化：如八、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見的變形：九、添括號法則添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負(fù)號，括到括號里的各項都改變符號.要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正確.十、補充公式；；；.十一、因式分解把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.要點詮釋：（1）因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運算.十二、公因式多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.要點詮釋：（1）公因式必須是每一項中都含有的因式.（2）公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.十三、提公因式法把多項式分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式，另一個因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點詮釋：（1）提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項式各項的公因式.（3）當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負(fù)數(shù)時，通常先提出“—”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多項式的各項都要變號.（4）用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯誤.十四、公式法——平方差公式兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即：要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.（2）平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)（整式）的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)（整式）的和與這兩個數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.十五、公式法——完全平方公式兩個數(shù)的平方和加上（減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；（2）完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項式或多項式.0303題型歸納題型一整式的運算正誤判斷例題：（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）下列運算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【知識點】冪的乘方運算、積的乘方運算、同底數(shù)冪的除法運算、運用完全平方公式進行運算【分析】本題考查了整式的運算，利用積的乘方法則、同底數(shù)冪相除法則、冪的乘方法則、完全平方公式逐項判定即可．【詳解】解∶A．，原計算正確，符合題意；B．，原計算錯誤，不符合題意；C．，原計算錯誤，不符合題意；D．，原計算錯誤，不符合題意；故選：A．鞏固訓(xùn)練1．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】同底數(shù)冪相乘、冪的乘方運算、積的乘方運算、運用完全平方公式進行運算【分析】本題考查完全平方公式、同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方，掌握完全平方公式及同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方與積的乘方的運算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，不正確，不符合題意；，不正確，不符合題意；，正確，符合題意；，不正確，不符合題意．故選：．2．（2023·四川資陽·中考真題）下列計算正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【知識點】合并同類項、冪的乘方運算、計算單項式乘單項式、運用平方差公式進行運算【分析】本題考查整式的運算，根據(jù)合并同類項，平方差公式，單項式乘單項式，冪的乘方的法則，逐一進行計算，判斷即可．【詳解】解：A．與不能合并，原式計算錯誤，故A不符合題意；B．，原式計算正確，故B符合題意；C．，原式計算錯誤，故C不符合題意；D．，原式計算錯誤，故D不符合題意；故選：B．3．（23-24七年級下·江西九江·階段練習(xí)）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識點】同底數(shù)冪相乘、積的乘方運算、同底數(shù)冪的除法運算、運用完全平方公式進行運算【分析】本題考查了同底數(shù)冪的乘除法，積的乘方，完全平方公式，逐項計算各選項整式的值，再判斷即可，解題關(guān)鍵是掌握冪的運算法則．【詳解】A、，故原計算錯誤，不符合題意；B、，原計算正確，符合題意；C、，故原計算錯誤，不符合題意；D、，故原計算錯誤，不符合題意；故選：B．題型二判斷是否是因式分解例題：（2024上·山東濟寧·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左到右的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查了因式分解的意義，因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積的形式．【詳解】解：A.，是整式的乘法，不是因式分解；B.，結(jié)果不是積的形式，不是因式分解；C.，是因式分解；

D.，是整式的乘法，不是因式分解；故選C．鞏固訓(xùn)練1．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）下列各式從左邊到右邊的變形中，屬于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本題考查了因式分解的意義，把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積．根據(jù)因式分解是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，可得答案．【詳解】解：A、是多項式乘多項式的整式乘法，不是因式分解，故A錯誤；B、沒把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，不是因式分解，故B錯誤；C、屬于整式乘法運算，不是因式分解，故C錯誤；D、把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式積，屬于因式分解，故D正確；故選：D．2．（2024上·山東威?！ぐ四昙壗y(tǒng)考期末）下列由左邊到右邊的變形，是因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】此題考查因式分解：將一個多項式寫成幾個整式乘積的形式，叫因式分解，熟練掌握因式分解的定義及分解方法是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：A.不是因式分解，故不符合題意；B.，錯誤，不符合題意；C.不是因式分解，故不符合題意；D.是因式分解，符合題意；故選：D．題型三冪的混合運算例題：計算：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）先計算冪的乘方，再計算同底數(shù)冪的除法；（2）先計算同底數(shù)冪的乘法、乘方，再計算同底數(shù)冪的乘法與除法．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘法與除法，，，（，，都是正整數(shù)），注意負(fù)數(shù)的奇次冪還是負(fù)數(shù)．鞏固訓(xùn)練1．計算下列各題(1)(2)（是整數(shù)）(3)（是整數(shù)）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法法則計算即可；（3）先化為同底數(shù)冪，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法法則計算即可；【詳解】（1）；（2）；（3）；【點睛】本題主要考查了冪的混合運算及其逆運用，熟練掌握冪的運算性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．計算：(1)(2)；(3)先化簡，再求值：，其中．【答案】(1)(2)(3)，－25．【分析】（1）先算冪的乘方，再算乘除，最后計算加減即可求解；（2）把作為一個整體，從左往右計算，即可求解；（3）先算括號內(nèi)的，再計算除法，最后再代入求值，即可求解．【詳解】（1）原式；（2）原式．（3）原式===，當(dāng)=－5時，原式=－25．【點睛】本題主要考查了冪的混合運算，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，熟練掌握冪的運算法則，零指數(shù)冪，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則是解題的關(guān)鍵．題型四逆用冪的相關(guān)公式求值例題：已知：，，，(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)冪的乘方的運算法則及有理數(shù)乘方的運算法則即可解答；（2）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除混合運算法則：即可解答．【詳解】（1）解：∵，∴；（2）解：∵，，，∴．【點睛】本題考查了同底數(shù)冪的乘除混合運算法則，冪的乘方的運算法則，掌握同底數(shù)冪的乘除混合運算的法則是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練1．已知，，求(1)；(2)【答案】(1)150(2)【分析】（1）先求出，再根據(jù)進行求解即可；（2）先求出，，再根據(jù)進行求解即可．【詳解】（1）解：∵，∴，即，∴；（2）解：∵，，∴，，即，，∴．【點睛】本題主要考查了冪的乘方計算，同底數(shù)冪乘除法的逆運算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．2．（1）已知，求的值；（2）已知，求的值．【答案】（1）8；（2）1025【分析】本題主要考查了同底數(shù)冪乘法的逆運算，冪的乘方的逆運算和積的乘方計算，熟知相關(guān)計算法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)同底數(shù)冪乘法的逆運算法則得到，據(jù)此代值計算即可；（2）先根據(jù)積的乘方將所求式子變形為，再根據(jù)冪的乘方的逆運算法則進一步變形為，據(jù)此代值計算即可．【詳解】解：（1）∵，，∴．（2）∵，∴．3．回答下列問題．(1)填空：①，②，(2)比一比，（1）中每組中的兩個算式的結(jié)果是否相等？猜一猜：當(dāng)n為正整數(shù)時，．(3)試一試，計算：的值．【答案】(1)①，；②，(2)相等，(3)【分析】（1）①第1個先計算括號內(nèi)的運算，再計算乘方運算，第2個先計算乘方運算，再計算乘法運算；②第1個先計算括號內(nèi)的運算，再計算乘方運算，第2個先計算乘方運算，再計算乘法運算；（2）由（1）歸納可得：；（3）由，可得，再利用規(guī)律進行簡便運算即可．【詳解】（1）解：①；；②，；（2）（n為正整數(shù)）（3）．【點睛】本題考查的是乘方運算的含義，積的乘法運算的應(yīng)用，理解題意，歸納總結(jié)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．4．小紅學(xué)習(xí)了七年級下冊“第八章冪的運算”后，發(fā)現(xiàn)冪的運算法則如果反過來寫，式子可以表達(dá)為：；；，可以起到簡化計算的作用．(1)在括號里填空：；；(2)已知：，．①求的值．

②求的值．(3)已知，求的值．【答案】(1)，，(2)①；②(3)的值為：【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運算即可求解；（2）①根據(jù)同底數(shù)冪的乘的逆運算即可求解；②根據(jù)同底數(shù)冪的乘除法的逆運算即可求解；（3）根據(jù)乘方的運算，將等式左邊化成底數(shù)相同的數(shù)，再根據(jù)同底數(shù)冪的乘法運算法則列式解方程即可求解．【詳解】（1）解：∵同底數(shù)冪的乘法是底數(shù)不變，指數(shù)相加，即，∴；∵同底數(shù)冪的除法是底數(shù)不變，指數(shù)相減，即，∴；∵冪的乘方是底數(shù)不變，指數(shù)相乘，即，∴；故答案為：，，．（2）解：，①∵，∴原式，∴的值為：；②∵，∴原式，∴的值為：．（3）解：變形得，，∴，∴，解得，，∴的值為：．【點睛】本題主要考查整式的乘除法的逆運算，掌握同底數(shù)冪的乘除法運算法則，及逆運算的計算方法，解方程的方法是解題的關(guān)鍵．題型五整式的四則運算例題:（24-25八年級上·全國·單元測試）計算：(1)．(2)．(3)【答案】(1)(2)(3)【知識點】整式四則混合運算【分析】本題考查了整式的混合運算，解題的關(guān)鍵是正確掌握相關(guān)運算法則．（1）首先計算單項式乘以多項式，去括號然后合并同類項，即可解題；（2）首先計算單項式乘以多項式，去括號然后合并同類項，即可解題；（3）先提取公因式，計算括號內(nèi)的，再計算單項式乘以多項式，即可解題．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．鞏固訓(xùn)練1．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）計算：(1)；(2)；(3)；(4)（用簡便方法計算）．【答案】(1)(2)(3)(4)【知識點】整式四則混合運算、冪的乘方運算、積的乘方運算、運用平方差公式進行運算【分析】本題考查了整式的混合運算，包括冪的乘方與積的乘方、平方差公式，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)冪的乘方、同底數(shù)冪的乘除法計算即可得出答案；（2）根據(jù)單項式乘以多項式、冪的乘方與積的乘方法則去括號，再合并即可得出答案；（3）先去括號，再合并同類項即可得出答案；（4）利用平方差公式計算即可得解．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：．2．（24-25八年級上·河南南陽·階段練習(xí)）計算下列各題(1)；(2)．【答案】(1)(2)【知識點】整式的混合運算、運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算【分析】（）利用完全平方公式、平方差公式展開，再合并即可求解；（）利用完全平方公式展開，再合并即可求解；本題考查了整式的混合運算，掌握整式的運算法則和乘法公式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：原式，；（2）解：原式，．3．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）化簡(1)(2)(3)(4)(5)(6)【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【知識點】計算單項式乘多項式及求值、計算多項式乘多項式、運用平方差公式進行運算、運用完全平方公式進行運算【分析】本題主要考查了整式的混合計算：（1）先計算積的乘方，再計算單項式乘以單項式即可；（2）根據(jù)單項式乘以多項式的計算法則求解即可；（3）根據(jù)完全平方公式求解即可；（4）根據(jù)同底數(shù)冪乘法計算法則求解即可；（5）先根據(jù)平方差公式和多項式乘以多項式的計算法則去括號，然后合并同類項即可；（6）根據(jù)平方差公式和完全平方公式求解即可．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：；（4）解：；（5）解：；（6）解：．4．（24-25八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）某學(xué)生化簡出現(xiàn)了錯誤，解答過程如下：解：原式（第一步）（第二步）（第三步）(1)該學(xué)生解答過程是從第______步開始出錯，其錯誤原因是______；(2)請你幫助他寫出正確的簡化過程．【答案】(1)二；去括號未變號；(2)見解析．【知識點】整式的加減運算、運用完全平方公式進行運算【分析】本題考查了整式的運算，涉及到了完全平方公式的展開，熟悉掌握運算的法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)運算法則逐步判斷即可；（2）根據(jù)運算法則運算即可．【詳解】（1）解：由題意可得：該學(xué)生解答過程是從第二步開始出錯，其錯誤原因是去括號未變號；故答案為：二；去括號未變號；（2）解：正確過程為：原式題型六整式的化簡求值例題：（23-24七年級下·廣東深圳·期末）先化簡，再求值：，其中a=2，【答案】，【知識點】整式四則混合運算、已知字母的值，求代數(shù)式的值【分析】本題考查了整式的四則混合運算，涉及完全平方公式及運用；平方差公式及應(yīng)用，多項式除以單項式等知識，求代數(shù)式的值．利用完全平方公式和平方差公式計算乘方，乘法，然后將括號內(nèi)的式子去括號，合并同類項進行化簡，再算括號外面的除法，最后代入求值．【詳解】解：原式===，當(dāng)a=2，時，原式=．鞏固訓(xùn)練1．（23-24八年級上·福建福州·單元測試）先化簡，再求值：．其中【答案】，【知識點】實數(shù)的混合運算、整式四則混合運算【分析】本題考查了整式的化簡求值，實數(shù)的運算等知識，先利用積的乘方法則、單項式除以單項式法則、多項式除以單項式法則以及合并同類項法則化簡，然后把代入計算即可．【詳解】解：原式當(dāng)時，原式．2．（23-24七年級下·全國·單元測試）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，1【知識點】整式的加減中的化簡求值、整式四則混合運算【分析】根據(jù)去括號，合并同類項，整式的乘除，進行化簡，然后代入求值計算即可．本題考查了整式的乘除，整式的化簡求值，正確化簡是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，當(dāng)，時，原式．3．（23-24七年級下·河南鄭州·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】，．【知識點】整式的加減中的化簡求值、整式四則混合運算【分析】本題考查了整式的混合運算—化簡求值，先利用完全平方公式、多項式乘以多項式去括號，再合并同類項，最后利用多項式除以單項式計算即可化簡，代入，計算即可得出答案，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：．當(dāng)，時，原式．4．（23-24七年級下·寧夏銀川·期末）先化簡，再求值：，其中．【答案】，5【知識點】整式四則混合運算、絕對值非負(fù)性【分析】本題考查平方差公式，完全平方公式的運用，整式的混合運算、絕對值非負(fù)性的應(yīng)用等知識，先利用平方差公式，完全平方公式將中括號內(nèi)的算式進行化簡，再進行除法運算，再根據(jù)平方和絕對值的非負(fù)性得到，的值，代入求解即可．能夠熟練掌握運算順序是解決本題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，∴，，∴，，則，原式．5．（23-24七年級下·陜西渭南·期末）先化簡，再求值：，其中，．【答案】；22【知識點】整式四則混合運算【分析】此題主要考查了整式的混合運算，正確掌握整式的混合運算法則是解題關(guān)鍵．直接利用多項式乘以多項式進而計算，再合并同類項，把已知數(shù)據(jù)代入求出答案．【詳解】解：原式，當(dāng)，時，原式．題型七整式運算與圖形面積例題：三張大小不一的正方形紙片按如圖1和圖2方式分別置于相同的長方形中，它們既不重疊也無空隙．已知正方形的邊長為，正方形的邊長為，正方形的邊長為．(1)用代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積，并計算當(dāng)，，時陰影部分的面積．(2)記圖1中陰影部分周長為，圖2陰影部分周長之和為，判斷的值是否與正方形A、B、C的邊長有關(guān)，若有關(guān)請說明理由，若無關(guān)，求出的值．【答案】(1)(2)的值與三個小正方形的邊長無關(guān)，值為0【分析】本題考查了多項式乘以多項式，整式的加減，解題的關(guān)鍵是掌握運算法則．（1）用長方形的面積減去3個正方形的面積即可；（2）分別求出m，n的值相減即可．【詳解】（1）由題意知：長方形的長為，寬為長方形的面積所以圖1中陰影部分的面積當(dāng)，，時，陰影部分的面積（2）圖1中陰影部分的周長圖2中陰影部分的周長即的值與三個小正方形的邊長無關(guān)，值為0．鞏固訓(xùn)練1．如圖，某社區(qū)有兩塊相連的長方形空地，一塊長為，寬為；另一塊長為，寬為．現(xiàn)將兩塊空地進行改造，計劃在中間邊長為的正方形（陰影部分）中種花，其余部分種植草坪．(1)求計劃種植草坪的面積；(2)已知，，若種植草坪的價格為30元/，求種植草坪應(yīng)投入的資金是多少元？【答案】(1)計劃種植草坪的面積為(2)種植草坪應(yīng)投入的資金是243000元【分析】本題考查了列代數(shù)式，多項式乘多項式，以及整式的混合運算-化簡求值，弄清楚題意是解答本題的關(guān)鍵．（1）計劃種植草坪的面積等于2個矩形的面積減去陰影部分的面積，利用多項式乘多項式法則，平方差公式和完全平方公式化簡，去括號合并得到最簡結(jié)果即可；（2）將a與b的值代入（1）中求得的栽花面積和草坪面積，再根據(jù)總價=單價×數(shù)量計算即可求解．【詳解】（1）解：（1）兩塊空地總面積：，，栽花面積：，草坪面積：．（2），，草坪價格為30元/，應(yīng)投入的資金元．2．如圖，一個長方形運動場被分隔成，，，，，共個區(qū)，區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形．

(1)列式表示每個區(qū)長方形場地的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(2)列式表示整個長方形運動場的周長，并將式子化簡；（用含、的代數(shù)式表示）(3)如果，，求整個長方形運動場的面積．【答案】(1)右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：(2)整個長方形運動場的周長為：(3)整個長方形運動場的面積為【分析】本題主要考查整式的混合運算與圖形周長、面積的計算，掌握整式的混合運算，代入求值是解題的關(guān)鍵．（1）區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，圖形結(jié)合即可求解；（2）根據(jù)長方形的周長的計算方法，整式的加減運算進行化簡即可求解；（3）根據(jù)長方形的面積的計算方法列式，代入，計算即可．【詳解】（1）解：區(qū)是邊長為的正方形，區(qū)是邊長為的正方形，∴區(qū)長方形場地的長為：，寬為：，∴右上方區(qū)長方形場地的周長為：，左下角區(qū)長方形場地的周長為：．（2）解：由（1）可知，區(qū)長方形場地的長為：，寬為，∴整個長方形運動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運動場的周長為：．（3）解：整個長方形運動場的長為：，寬為：，∴整個長方形運動場的面積為：，當(dāng)，時，原式，∴整個長方形運動場的面積為．題型八公因式例題：多項式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查公因式，找出多項式中各項的系數(shù)的最大公約數(shù)，以及相同字母的最低指數(shù)次冪，即可得到答案．【詳解】解：系數(shù)的最大公約數(shù)是，相同字母的最低指數(shù)次冪是，∴公因式為．故選：C．鞏固訓(xùn)練1．下列各式中，沒有公因式的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】B【分析】根據(jù)公因式的定義逐一分析即可．【詳解】解：A、，與有公因式，故本選項不符合題意；B、與沒有公因式，故本選項符合題意；C、與有公因式，故本選項不符合題意；D、與有公因式，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了公因式的含義，熟記公因式的定義與公因式的確定是解題的關(guān)鍵．2．多項式的公因式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了確定多項式中各項的公因式，可概括為三“定”：①定系數(shù)，即確定各項系數(shù)的最大公約數(shù)；②定字母，即確定各項的相同字母因式（或相同多項式因式）；③定指數(shù)，即各項相同字母因式（或相同多項式因式）的指數(shù)的最低次冪．按照公因式的確定方法，公因式的系數(shù)應(yīng)取，字母x取x，字母y取y,字z取z．【詳解】∵多項式中，各項系數(shù)絕對值的最大公約數(shù)是4，各項相同字母x的最低次冪是x，各項相同字母y的最低次冪是y，各項相同字母z的最低次冪是z，∴多項式的公因式是．故選：C．題型九判斷能否用平方差或完全平方公式因式分解例題1：（2024上·湖北襄陽·八年級統(tǒng)考期末）下列多項式能用平方差公式分解因式的是(

)A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了運用平方差公式分解因式，掌握平方差公式的形式是解題關(guān)鍵．【詳解】解：由題意得：只有B選項能用平方差公式分解因式，故選：B例題2：（2024下·全國·七年級假期