北京市北工大附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

2024年9月份高三數(shù)學(xué)試卷月考試卷一、選擇題共10題，每題4分，共40分．在每題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.設(shè)復(fù)數(shù)，則（）A. B.C.3 D.5【答案】B【解析】【分析】求得后再求模長(zhǎng)即可.【詳解】,故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與模長(zhǎng)運(yùn)算等.屬于基礎(chǔ)題型.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C3.下列函數(shù)中，在區(qū)間上單調(diào)遞減的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)解析式直接判斷單調(diào)性.【詳解】A選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：函數(shù)的定義域?yàn)?，且在上單調(diào)遞增，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：B.4.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，由可得：，充分性成立，當(dāng)時(shí)，，但不一定，必要性不成立，故選：A5.已知球的半徑為2，球心到平面的距離為，則球被平面截得的截面面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)球的性質(zhì)可求出截面圓的半徑即可求解.【詳解】設(shè)截面圓半徑為，由球的性質(zhì)可知：則截面圓的半徑，所以球被平面截得的截面面積為，故選：.6.在平面直角坐標(biāo)系中，角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，其終邊過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C.1 D.7【答案】D【解析】【分析】由終邊經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)可求，再利用兩角和的正切公式即可求解.【詳解】由終邊過點(diǎn)，可得，所以.故選：D7.已知為定義在上的函數(shù)，，且為奇函數(shù)，則（）A. B. C.0 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行賦值求解即可.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以有即.故選：A8.木楔在傳統(tǒng)木工中運(yùn)用廣泛.如圖，某木楔可視為一個(gè)五面體，其中四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，且均為等邊三角形，，，則該木楔的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，取的中點(diǎn)O，連接，求出，結(jié)合三棱錐和三棱柱的體積公式計(jì)算即可.【詳解】如圖，分別過點(diǎn)A，B作的垂線，垂足分別為G，H，連接，則由題意等腰梯形全等于等腰梯形，則.取的中點(diǎn)O，連接，因?yàn)?，所以，則，∴.因?yàn)?，，所以，因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?，又因?yàn)椋矫?，所以平面，所以平面，同理可證平面，∴多面體的體積，故選：D.9.已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，點(diǎn)在線段上，，點(diǎn)在線段上，且與的面積相等，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由與的面積相等以及可得，從而是的中點(diǎn)，再根據(jù)數(shù)量積的定義即可求得.【詳解】如圖所示：，，而，，所以是的中點(diǎn)，，，.故選：C10.現(xiàn)實(shí)生活中，空曠田野間兩根電線桿之間的電線與峽谷上空橫跨深澗的觀光索道的鋼索有相似的曲線形態(tài)，這類曲線在數(shù)學(xué)上常被稱為懸鏈線.在合適的坐標(biāo)系中，這類曲線可用函數(shù)來表示.下列結(jié)論正確的是（）A.若，則函數(shù)為奇函數(shù) B.若，則函數(shù)有最小值C.若，則函數(shù)為增函數(shù) D.若，則函數(shù)存在零點(diǎn)【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性、單調(diào)性、最值以及零點(diǎn)的判斷和求解方法，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)A：取，滿足，此時(shí)，其定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且，此時(shí)為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：，令，故若存在最小值，則有最小值，因?yàn)?，故，根?jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知，有最小值，無最大值，故當(dāng)時(shí)，有最大值沒有最小值，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，滿足，又是單調(diào)減函數(shù)，是單調(diào)減函數(shù)，故是單調(diào)減函數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：令，即，則，因?yàn)?，故，解得，故?dāng)，即為函數(shù)零點(diǎn)，故D正確.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，處理問題的關(guān)鍵是充分把握函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的判斷方法以及函數(shù)零點(diǎn)的求解過程，屬綜合中檔題.二、填空題共5題，每題5分，共25分．11.函數(shù)的定義域是_______________.【答案】【解析】【分析】列出需滿足的不等式，再取交集即為函數(shù)定義域.【詳解】由題意，，解得且，所以的定義域?yàn)?，故答案為?2.已知向量，，且，則______.【答案】2【解析】【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，，且，所以，即，解?故答案為：213.將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，則______；若為偶函數(shù)，則的最小值是______.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換關(guān)系求出的解析式，從而可得的值；再利用函數(shù)是偶函數(shù)建立方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象，即，所以；若函數(shù)為偶函數(shù)，則，，得，，當(dāng)時(shí)，取得最小值為，故答案為：；．14.已知函數(shù)其中.若，則函數(shù)的值域是______；若函數(shù)有且僅有2個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】①.②.【解析】【分析】（1）由分段函數(shù)分別求值域即可；（2）易知在和時(shí)，分別有一個(gè)零點(diǎn)，由二次函數(shù)的零點(diǎn)分布情況即可求解.【詳解】（1）時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上：，即函數(shù)的值域是.（2），當(dāng)時(shí)，令，得，故在上，函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，由題意可知：在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，所以或，解得或，所以的取值范圍是.故答案為：；.15.已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且.給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③對(duì)任意的，都有；④存在常數(shù)，使得對(duì)任意的，都有，其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______.【答案】①②③【解析】【分析】首先由題設(shè)條件分析出數(shù)列與的增減性，根據(jù)和隨著增大的變化情況可以判斷①；然后分析，發(fā)現(xiàn)其實(shí)際上為，，即可以想到判斷是否成立，可建立關(guān)于的代數(shù)式，通過此對(duì)代數(shù)式正負(fù)的判斷，即可判斷，即可判斷②；我們可以將③中的題設(shè)轉(zhuǎn)化為判斷是否成立，我們發(fā)現(xiàn)的每一項(xiàng)都是大于的，而個(gè)大于的數(shù)相加大于個(gè)相加，而當(dāng)時(shí)，，即可判斷，即可判斷③；而根據(jù)前面的研究，可以較易對(duì)④作出判斷.【詳解】由題意知：，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∵，∴，∴，∵隨著的增大而增大，∴，∴，∴，即，∴隨著增大而減小，故：為正項(xiàng)單調(diào)遞減無窮數(shù)列，且，∴，故①正確；∵，∴，∴，∵隨著的增大而增大，∴，，∴，隨著的增大而減小，∴，，∴，∴，∴，∴，∴，即：，故②正確；∵，∴要判斷，即判斷：，即判斷：，即判斷：，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，∴對(duì)任意的都成立，∴對(duì)任意的，都有，故③正確；根據(jù)以上分析可以得出：為，隨著的增大而減小的遞減數(shù)列，且隨著的增大，的值無限接近，∴存在常數(shù)，對(duì)任意的，當(dāng)足夠大時(shí)，總會(huì)有，故④錯(cuò)誤.故答案為：①②③.三、解答題共6題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期及值域；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）最小正周期為，值域?yàn)?；?）.【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換將化為標(biāo)準(zhǔn)型，再求其性質(zhì)即可；（2）根據(jù)（1）中所求，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，列出不等式，即可求得結(jié)果.【小問1詳解】，故的最小正周期，的值域?yàn)?【小問2詳解】根據(jù)（1）中所求，，令，解得.故的單調(diào)增區(qū)間為：.17.已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5．（Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求和：．【答案】（1）an=2n?1.（2）【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為，代入建立方程進(jìn)行求解；（Ⅱ）由是等比數(shù)列，知依然是等比數(shù)列，并且公比是，再利用等比數(shù)列求和公式求解.試題解析：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.因?yàn)閍2+a4=10，所以2a1+4d=10.解得d=2.所以an=2n?1.（Ⅱ）設(shè)等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)閎2b4=a5，所以b1qb1q3=9.解得q2=3.所以.從而.【名師點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列求和，一般數(shù)列求和的方法：（1）分組轉(zhuǎn)化法，一般適用于等差數(shù)列+等比數(shù)列的形式；（2）裂項(xiàng)相消法求和，一般適用于，,等的形式；（3）錯(cuò)位相減法求和，一般適用于等差數(shù)列等比數(shù)列的形式；（4）倒序相加法求和，一般適用于首末兩項(xiàng)的和是一個(gè)常數(shù)，這樣可以正著寫和與倒著寫和，兩式相加除以2即可得到數(shù)列求和.18.在中，，．再從條件①?條件②?條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一，并求（1）的值；（2）的面積．條件①：；條件②：；條件③：．注：如果選擇的條件不符合要求，得分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①，根據(jù)，由作圓法知滿足條件的有兩個(gè)，不合題意；若選②，根據(jù)，由作圓法知滿足條件的有且僅有一個(gè)，利用余弦定理可構(gòu)造方程求得的值；若選③，利用正弦定理可求得，由余弦定理可構(gòu)造方程求得的值；（2）利用三角形面積公式可直接求得結(jié)果.【小問1詳解】若選條件①，，，滿足條件的有兩個(gè)，不合題意，不能選擇條件①；若選條件②，，，滿足條件的有且僅有一個(gè)，由余弦定理得：，解得：或（舍），；若選條件③，，，；由正弦定理得：，由余弦定理得：，解得：或（舍），則滿足條件的有且僅有一個(gè)，.【小問2詳解】由（1）知：，.19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值．【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求斜率，再代入切線方程公式中即可；（Ⅱ）設(shè)，求，根據(jù)確定函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求函數(shù)的最大值為，從而可以知道恒成立，所以函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，再根據(jù)單調(diào)性求最值.試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所?又因?yàn)?，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)處的切線方程為.（Ⅱ）設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以對(duì)任意有，即.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.因此在區(qū)間上的最大值為，最小值為.【名師點(diǎn)睛】這道導(dǎo)數(shù)題并不難，比一般意義上的壓軸題要簡(jiǎn)單很多，第二問比較有特點(diǎn)的是需要兩次求導(dǎo)數(shù)，因?yàn)橥ㄟ^不能直接判斷函數(shù)的單調(diào)性，所以需要再求一次導(dǎo)數(shù)，設(shè)，再求，一般這時(shí)就可求得函數(shù)的零點(diǎn)，或是()恒成立，這樣就能知道函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)單調(diào)性求其最值，從而判斷的單調(diào)性，最后求得結(jié)果.20.已知，，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；（2）若關(guān)于方程有兩個(gè)不等實(shí)根，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，若滿足，求證：.【答案】（1）極小值為0，無極大值.（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）把代入函數(shù)中，并求出f′x，根據(jù)f′x的正負(fù)得到的單調(diào)性，進(jìn)而求出的極值.（2）等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，求導(dǎo)得到函數(shù)y=gx的單調(diào)性和極值，畫出y=gx的大致圖象，數(shù)形結(jié)合求解即可.（3）求出f′x，并得函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，可得則，，要證，只需證，只需證，即證，令，對(duì)?x求導(dǎo)證明即可.小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋髮?dǎo)可得，令，得，當(dāng)時(shí)，f′x<0，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，f′x>0，函數(shù)在區(qū)間0,+所以y=fx在處取到極小值為0，無極大值.【小問2詳解】方程，當(dāng)時(shí)，顯然方程不成立，所以，則，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，即與的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，，當(dāng)或時(shí)，，在區(qū)間和0,1上單調(diào)遞減，并且時(shí)，gx<0，當(dāng)x∈0,1時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間1,+∞上單調(diào)遞增，時(shí)，當(dāng)時(shí)，取得最小值，，作出函數(shù)y=gx因此與有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，，故的取值范圍為.【小問3詳解】證明：，由，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y=fx在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.由題意，且，則，.要證，只需證，而，且函數(shù)在上單調(diào)遞減，故只需證，又，所以只需證，即證，令，即，，由均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.所以函數(shù)?x在R上單調(diào)遞增由，可得，即，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，即得證.21.給定正整數(shù)，設(shè)數(shù)列是的一個(gè)排列，對(duì)，表示以為首項(xiàng)的遞增子列的最大長(zhǎng)度，表示以為首項(xiàng)的遞減子列的最大長(zhǎng)度.（1）若，，，，，求和；（2）求證：，；（3）求的最小值.【答案】（1），（2）證明見解析（3）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值是.【解析】【分析】（1）直接根據(jù)定義求解；（2）分情況討論證明，故可推知和不能同時(shí)為零，進(jìn)而得到結(jié)論；（3）對(duì)的奇偶性分情況討論，并利用小問2得到的結(jié)果即可.【小問1詳解】以為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞增子列是，以為首項(xiàng)的最長(zhǎng)遞減子列是和.所以，.【小問2詳解】對(duì)，由于是的一個(gè)排列，故.若，則每個(gè)以為首項(xiàng)遞增子列都可以在前面加一個(gè)，得到一個(gè)以為首項(xiàng)的更長(zhǎng)的遞增子列，所以；而每個(gè)以為首項(xiàng)的遞減子列都不包含，且，故可將替換為，得到一個(gè)長(zhǎng)度相同的遞減子列，所以.這意味著；若，同理有，，故.總之有，從而和不能同時(shí)為零，故.【小問3詳解】根據(jù)小問2的證明過程知和不能同時(shí)為零，故.情況一：當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，設(shè)，則一方面有；另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，.則對(duì)，有，.故此時(shí).結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.情況二：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，設(shè)，則一方面有；另一方面，考慮這樣一個(gè)數(shù)列：，.則對(duì)，有，.故此時(shí).結(jié)合以上兩方面，知的最小值是.綜上，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，的最小值是；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，的最小值是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求最小（或最大）值的本質(zhì)在于，先證明所求的表達(dá)式一定不小于