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試卷第=page4242頁,共=sectionpages4343頁第二十一章一元二次方程知識歸納與題型突破(17題型清單)01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、一元二次方程的概念1.概念等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程滿足的條件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.對“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解(1)該項系數(shù)不為0:(2)該項未知數(shù)指數(shù)為2;(3)當(dāng)方程中的二次項系數(shù)含有字母時,字母取值不確定,這個方程不一定是一元二次方程二、一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.2.一元二次方程的一般形式的特點:方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項系數(shù)不為0.3.特殊形式二次項系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時,一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:4.注意事項確定一元二次方程的各項和各項系數(shù)時注意不要丟掉前面的符號.一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時,若二次項系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).三、一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等3.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的區(qū)別四、一元二次方程的解法:直接開平方法直接開平方法解一元二次方程:將方程化成x+a2=b(b≥0)的形式,則x五、一元二次方程的解法:配方法1.配方法:配方法是一種以配方為手段,以開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法.2.用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟是:(1)化二次項系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項系數(shù);(2)移項,即使方程的左邊為二次項和一次項,右邊為常數(shù)項;(3)配方,即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方;(4)化原方程為(x+m)2=n的形式;(5)如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解;如果n<0,則原方程無解.注意:實際在解方程的過程中,一般也只是針對且為偶數(shù)時,才使用配方法,否則可以考慮使用公式法來更加簡單。六、公式法1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通過配方推導(dǎo)出來的.一元二次方程的求根公式是:(=b2-4ac≥0)2.推導(dǎo)過程:一元二次方程,用配方法將其變形為:3.公式法解方程的步驟:①化方程為一元二次方程的一般形式;②確定a、b、c的值;③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,則代人求根公式,求出x1,x2.若b2-4ac<0,則方程無解.七、一元二次方程根的判別式()1.=1\*GB3①當(dāng)時,方程有兩個不相等的實根;=2\*GB3②當(dāng)時,方程有兩個相等的實根;=3\*GB3③當(dāng)時,方程沒有實根。判別式作用:①定根的個數(shù);②求待定系數(shù)的值。注意:(1)在使用根的判別式之前,應(yīng)將一元二次方程化成一般式;(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時,必須檢驗二次項系數(shù)a≠0(3)證明恒為正數(shù)的常用方法:把△的表達式通過配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。七、因分解法1.元二次方程通過因式分解,分解為兩個一次因式乘積等于0的形式,再使這兩個一次因式分別等于0,實現(xiàn)降次的方法。即將一元二次方程化簡為;從而得出:,因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個一次因式相乘的形式。2.分解的主要方法:提取公因式法:通過提取公因式達到因式分解的目的,進而求解一元二方程。乘法公式:因式分解的目的在將方程化成兩個因式乘積等于0的形式,利用如下乘法公式,有時可以很好解決。=1\*GB3①平方差公式:a2?b2=(a+b)(a?b);=2\*GB3②完全平方公式:a2十字相乘法:十字相乘法能將某些二次三項式因式分解。十字相乘法的二次三項式需滿足三個條件:=1\*GB3①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項;=2\*GB3②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項;=3\*GB3③十字交叉相乘積的和等于一次項。例如:用十字相乘法解方程:2x2?x?6=0∴方程可分解為:(2x+3)(x-2)=0∴x1=?=1\*GB3①雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解,但它往往并非最簡單的,一定要注意方法的選用。②解一元二次方程時一般不使用配方法(除特別要求外)但又必須熟練掌握。=3\*GB3③四種求方程方法的一定要合理選用,依次按直接開平方、因式分解,配方法和公式法的順序考慮選用。八、因分解法韋達定理:如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,.那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.九、一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實際問題涉及的類型,建立等量關(guān)系式;=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則,設(shè)未知數(shù)x;=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程;=4\*GB3④解方程并解答。注:一元二次方程通常有2解,但是,應(yīng)檢驗方程的2個根是否都符合實際情況。十、二次方程應(yīng)用題常見類型:1)面積問題;2)平均變化率問題;3)銷售利潤問題;4)傳播問題;5)循環(huán)問題;6)數(shù)字問題。十一、變化率問題1.增長率問題a(1+x)2=b,其中a為增長前的量,x為增長率,2為增長次數(shù),b為增長后的量.2.降低率問題a(1-x)2=b,其中a為降低前的量,x為降低率,2為降低次數(shù),b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.總結(jié):有關(guān)增長率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“-”).十二、傳播問題實例探索數(shù)量關(guān)系:第一輪傳播后的量=傳播前的量×(1+傳播速度)第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×(1+傳播速度)=傳播前的量×(1+傳播速度)2十三、循環(huán)問題(1)重疊類型(雙循環(huán)):n支球隊互相之間都要打一場比賽,總共比賽場次為m?!?支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽,∴1支球隊需要比(n-1)場∵存在n支這樣的球隊,∴比賽場次為:n(n-1)場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽,∴上述求法有重疊部分∴m=1(2)不重疊類型(單循環(huán)):n支球隊,每支球隊要在主場與所有球隊各打一場,總共比賽場次為m?!?支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽,∴1支球隊需要比(n-1)場∵存在n支這樣的球隊,∴比賽場次為:n(n-1)場∵A與B比賽在A的主場,B與A比賽在B的主場,不是同一場比賽,∴上述求法無重疊∴m=n(n?1)0303題型歸納題型一一元二次方程的定義例題:(23-24八年級下·山東煙臺·期中)下列方程中:①;②;③;④;⑤;⑥,一元二次方程的個數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4鞏固訓(xùn)練2.(23-24八年級下·浙江金華·期末)下列方程中,屬于一元二次方程的是(
)A. B. C. D.3.(23-24八年級下·山東濟寧·期末)下列方程中一定是關(guān)于x的一元二次方程的是(
)A. B.C. D.4.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)關(guān)于的方程是一元二次方程,則的值是(
)A. B.2 C. D.4題型二一元二次方程的一般形式例題:5.(24-25九年級上·浙江·假期作業(yè))若一元二次方程(為常數(shù)),化成一般形式為,則的值分別是()A. B. C. D.鞏固訓(xùn)練6.(23-24八年級下·江蘇南通·期末)一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是(
)A.1,2,3 B.0,2, C.0,, D.1,2,7.(2023·湖北孝感·一模)已知一元二次方程,將其化成二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后,它的常數(shù)項是.8.(23-24八年級下·全國·假期作業(yè))將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(1);(2);(3)關(guān)于的方程.題型三一元二次方程的解例題:9.(23-24八年級下·山東威海·期末)若a,b,c滿足,則關(guān)于x的方程的兩個根的平方和是(
)A.2 B.3 C.5 D.8鞏固訓(xùn)練10.(23-24八年級下·河南鄭州·期末)若關(guān)于x的一元二次方程有一根為,則一元二次方程必有一根為(
)A.2024 B.2025 C.2026 D.202711.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)若m是方程的一個根,則代數(shù)式的值是.12.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)已知關(guān)于x的一元二次方程,如果a,b,c滿足,我們就稱這個一元二次方程為波浪方程.(1)判斷方程是否為波浪方程,并說明理由.(2)已知關(guān)于x的波浪方程的一個根是,求這個波浪方程.題型四用配方法解一元二次方程例題:13.(23-24八年級下·安徽亳州·期末)解方程:.鞏固訓(xùn)練14.(23-24八年級下·山東濟南·期末)用配方法解一元二次方程,配方正確的是(
)A. B.C. D.15.(23-24八年級下·浙江紹興·期末)用配方法解方程時,變形結(jié)果正確的是(
)A. B. C. D.16.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)用配方法解一元二次方程,下列配方正確的是(
)A. B. C. D.題型五配方法的應(yīng)用例題:17.(23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí))已知,則的最小值是(
)A. B.0 C.2 D.4鞏固訓(xùn)練18.(23-24八年級下·浙江嘉興·期末)已知關(guān)于的多項式,當(dāng)時,該多項式的值為,則多項式的值可以是(
)A.3.5 B.3.25 C.3 D.2.7519.(23-24八年級下·浙江寧波·期中)代數(shù)式的值恒為(
)A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非正數(shù) D.非負(fù)數(shù)20.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)已知實數(shù)滿足,設(shè),則的最大值是(
)A. B. C. D.121.(2024八年級下·浙江·專題練習(xí))用配方法說明,無論取何值,代數(shù)式的值總小于0.22.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)先閱讀下面內(nèi)容,再解決問題:若關(guān)于、的方程,求、的值.解;因為所以所以即所以,所以,解得,(1)模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程,已知,求、的值;(2)若、是方程的解,求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積.題型六用公式法解一元二次方程例題:23.(23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末)解方程:.鞏固訓(xùn)練24.(24-25九年級上·安徽·假期作業(yè))用求根公式解一元二次方程時,,的值是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,25.(23-24八年級下·浙江湖州·期末)在用求根公式求一元二次方程的根時,小珺正確地代入了a,b,c得到,則她求解的一元二次方程是(
)A. B.C. D.26.(2024·浙江金華·二模)設(shè)關(guān)于的一元二次方程,已知①,;②,;③,.請在上述三組條件中選擇其中一組,的值,使這個方程有兩個實數(shù)根,并解這個方程.題型七用根的判別式判斷根的情況例題:27.(23-24八年級下·廣東廣州·期末)方程的根的情況是(
)A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根鞏固訓(xùn)練28.(2024·河南駐馬店·三模)下列一元二次方程中,有兩個不相等的實數(shù)根的是(
)A. B.C. D.題型八根據(jù)根的判別式求字母的值例題:29.(23-24八年級下·安徽合肥·期中)已知:關(guān)于x的一元二次方程.(1)若是方程的一個根,求k的值;(2)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根.鞏固訓(xùn)練30.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)關(guān)于的一元二次方程的根情況是(
)A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.實數(shù)根的個數(shù)由的值確定31.(23-24八年級下·安徽合肥·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于,則的值是(
)A. B. C. D.或32.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)已知關(guān)于的方程.(1)判斷此方程根的情況;(2)若是該方程的一個根,求代數(shù)式的值.33.(2024·甘肅金昌·三模)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)當(dāng)時,求方程的解;(2)若該方程有實數(shù)根,求的取值范圍.34.(2024·遼寧朝陽·三模)關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則的最小整數(shù)值是(
)A. B. C. D.35.(23-24八年級下·浙江紹興·期末)若方程有兩個相等的實數(shù)根,則的值是(
)A.2 B.3 C.4 D.836.(2024九年級·云南·專題練習(xí))若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根,則的取值范圍是()A. B.C.且 D.且題型九用因式分解法解一元二次方程例題:37.(23-24八年級下·浙江金華·期末)解方程:(1).(2).鞏固訓(xùn)練38.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)解關(guān)于的方程得(
)A., B.,C., D.,39.(12-13九年級上·廣東廣州·期末)已知x為實數(shù),若,則.40.(23-24八年級下·浙江杭州·期中)已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若的兩邊的長是這個方程的兩個實數(shù)根,第三邊的長為5,當(dāng)是直角三角形時,求k的值.題型十換元法例題:41.(2024九年級下·云南·專題練習(xí))用換元法解方程時,設(shè),則原方程可化為關(guān)于的方程是()A. B.C. D.鞏固訓(xùn)練42.(2024·上海徐匯·三模)如果實數(shù)x滿足,那么的值是.43.(23-24八年級下·安徽合肥·期中)若關(guān)于x的一元二次方程有一根為,則一元二次方程必有一根為(
)A.2024 B.2025 C.2026 D.202744.(23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程(都是常數(shù),且)的解為,則方程(都是常數(shù),且)的解為.題型十一一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系例題:45.(2024·云南昆明·三模)已知和是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則(
)A. B. C.6 D.鞏固訓(xùn)練46.(2024八年級下·全國·專題練習(xí))已知a、b、c是的三條邊的長,那么方程的根的情況是()A.沒有實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個相等的負(fù)實根 D.只有一個實數(shù)根47.(2024·江西九江·模擬預(yù)測)已知、是一元二次方程的兩根,則.48.(23-24八年級下·浙江杭州·期中)已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)當(dāng)時,解這個方程;(2)試判斷這個一元二次方程根的情況,并說明理由;(3),是這個方程的兩個實數(shù)根,若n、t為正整數(shù),且,求n的值.題型十二增長率問題例題:49.(23-24八年級下·福建福州·階段練習(xí))公安部門提醒市民,騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量,該品牌頭盔4月份銷售1500個,6月份銷售2160個,且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率;(2)按照這個增長率,預(yù)計7月份該品牌頭盔銷售量是多少?鞏固訓(xùn)練50.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)某企業(yè)今年1月份的利潤為200萬元,2月份和3月份的利潤合計為750萬元,設(shè)2月份和3月份利潤的平均增長率為,根據(jù)題意可列方程為(
)A. B.C. D.51.(2024·云南·中考真題)兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元.設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為,根據(jù)題意,下列方程正確的是(
)A. B.C. D.52.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議,提出要節(jié)約用紙,逐步走向“無紙化”辦公.據(jù)統(tǒng)計,該單位2月份紙的用紙量為1000張,到了4月份紙的用紙量降到了640張.求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率.題型十三傳播問題例題:53.(17-18九年級上·全國·課后作業(yè))有一個人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感。(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?(2)如果按照這樣的傳染速度,經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感?鞏固訓(xùn)練54.(23-24八年級下·重慶九龍坡·期末)甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病,感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn).在“甲流”初期,若有一人感染了“甲流”,若得不到有效控制,則每輪傳染平均一個人傳染x人,經(jīng)過兩輪傳染后共有256人感染了“甲流”.則關(guān)于x的方程為(
)A. B.C. D.55.(2024·云南昭通·一模)有一臺電腦感染了某種電腦病毒,經(jīng)過兩輪感染后,共有臺電腦感染了該病毒.設(shè)每輪感染中,平均一臺電腦可以感染臺電腦,下列方程正確的是(
)A. B. C. D.56.(23-24八年級下·山東威?!て谥校┙晔謾C微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi),嚴(yán)重影響了人們的生活,最近小王收到一條垃圾短信,此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人,如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā),從小王開始計算,轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信.(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人?(2)如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā),從小王開始計算,三輪后會有多少人有此短信?題型十四幾何圖形問題例題:57.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)如圖,校園空地上有一面長為4米的墻.為了創(chuàng)建美麗校園,學(xué)校決定用這面墻和20米的圍欄圍成一個矩形花園.(1)如圖1,利用墻圍成矩形花園,若圍成的花園面積為32平方米,求花園的邊長:(2)如圖2,用圍欄補墻得到矩形花園,花園的面積可能為36平方米嗎?若能,請求出的長;若不能,請說明理由.鞏固訓(xùn)練58.(23-24八年級下·山東威?!て谀┤鐖D,在寬10米、長22米的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分),余下部分種植草坪,要使草坪的面積為160平方米.設(shè)道路的寬為x米,可列方程(
)A.B.C.D.59.(2023·吉林長春·模擬預(yù)測)《增刪算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)著作,其中記載“圓中方形”問題:其大意為“有一塊圓形的田,中間有一塊正方形水池,測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好平方步,從水池邊到圓周,每邊最大相距步遠,在這個不變圖形中,應(yīng)該能求出正方形的邊長和圓的直徑.”如圖,設(shè)正方形的邊長是步,則列出的方程是()A. B.C. D.60.(23-24八年級下·浙江金華·期末)如圖1,將面積為4的正方形分為①②③④四部分,分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形,則長為.題型十五營銷問題例題:61.(23-24八年級下·浙江杭州·期末)某汽車租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車,2021年每輛汽車的日租金為100元,由于物價上漲,到2023年日租金上漲到121元.(1)求2021年至2023年日租金的平均增長率.(2)經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),從2023年開始,當(dāng)每輛汽車的日租金定為121元時,汽車可全部租出;日租金每增加1元,就要少租出2輛.已知汽車租賃公司每日需為每輛租出的汽車支付各類費用31元,每輛未租出的汽車支付各類費用10元.①在每輛汽車日租金121元的基礎(chǔ)上,設(shè)上漲元,則每輛汽車的日租金為______元,實際能租出______輛車.②當(dāng)每輛汽車的日租金上漲多少元時,該租賃公司的日收益可達28200元?(日收益總租金各類費用)鞏固訓(xùn)練62.(2024·浙江溫州·三模)某品牌店銷售一款進價為每件50元的男士短袖,若按每件80元出售,每月可銷售200件.值此父親節(jié)來臨之際,該店實行降價促銷.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這款男士短袖的售價每下降1元,其銷售數(shù)量就增加20件.當(dāng)每件男士短袖降價多少元時,該店銷售這款男士短袖的利潤為8000元?設(shè)每件男士短袖降價x元,可列出方程為(
)A. B.C. D.63.(23-24八年級下·山東濟南·期末)濟南市公安交警部門提醒市民:“出門戴頭盔,放心平安歸”.某商店統(tǒng)計了某品牌頭盔的銷售量,四月份售出375個,六月份售出540個,且從四月份到六月份月增長率相同.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率;(2)經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),此種品牌頭盔如果每個盈利10元,月銷售量為500個,若在此基礎(chǔ)上每個漲價1元,則月銷售量將減少20個,現(xiàn)在既要使月銷售利潤達到6000元,又要盡可能讓顧客得到實惠,那么該品牌頭盔每個應(yīng)漲價多少元?64.(23-24八年級下·安徽亳州·期末)某社區(qū)超市銷售甲、乙兩種面粉,已知購買20袋甲種面粉和16袋乙種面粉需要資金800元,購買40袋甲種面粉和8袋乙種面粉需要資金1000元.(1)甲、乙兩種面粉每袋的售價分別為多少元?(2)已知該超市在四月份共售出甲種面粉500袋、乙種面粉300袋.五月份超市將甲種面粉每袋的售價提高元,乙種面粉每袋的售價不變,結(jié)果與四月份相比,五月份甲種面粉的銷量下降了袋,乙種面粉的銷量上升了袋,但甲種面粉的銷量仍高于乙種面粉,銷售總額比四月份多出3000元,求的值.題型十六動點問題例題:65.(23-24九年級上·四川眉山·期末)如圖,在中,,,,P、Q分別是上的動點,若點P、Q同時從M、N兩點出發(fā)分別沿方向向點C勻速運動,它們的速度都是,要使的面積為面積的一半,則需經(jīng)過的時間為(
)
A.2或 B. C. D.鞏固訓(xùn)練66.(23-24九年級上·江蘇無錫·期中)如圖,在矩形中,,,點從點出發(fā)沿以的速度向點移動,一直到達點為止;同時,點從點出發(fā)沿邊以的速度向點移動.設(shè)運動時間為,當(dāng)時,()
A. B.或4 C.或 D.
67.(22-23九年級上·河南鄭州·期中)如圖,矩形中,,點E從點B出發(fā),沿以的速度向點C移動,同時點F從點C出發(fā),沿以的速度向點D移動,當(dāng)E,F(xiàn)兩點中有一點到達終點時,另一點也停止運動.當(dāng)是以為底邊的等腰三角形時,則點運動時間為(
)A. B. C.6 D.68.(23-24九年級上·河南南陽·階段練習(xí))如圖,將邊長為的正方形沿其對角線剪開,再把沿著方向平移,得到,若兩個三角形重疊部分的面積為,則它移動的距離等于(
)
A. B. C.或 D.題型十七其它問題例題:69.(2024·四川達州·模擬預(yù)測)圖1是我國古代傳說中的洛書,圖2是洛書的數(shù)字表示.相傳,大禹時,洛陽西洛寧縣洛河中浮出神龜,背馱“洛書”,獻給大禹.大禹依此治水成功,遂劃天下為九州.又依此定九章大法,治理社會,流傳下來收入《尚書》中,名《洪范》.《易?系辭上》說:“河出圖,洛出書,圣人則之”.洛書是一個三階幻方,就是將已知的9個數(shù)填入3×3的方格中,使每一橫行、每一豎列以及兩條斜對角線上的數(shù)字之和都相等.圖3是一個不完整的幻方,根據(jù)幻方的規(guī)則,由已知數(shù)求出x的值應(yīng)為()A.或 B.1或 C.或4 D.1或4鞏固訓(xùn)練70.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)某商店以2400元購進一種盒裝茶葉,第一個月每盒按進價增加20%作為售價,售出50盒.第二個月每盒以低于進價5元作為售價,售完余下的茶葉.全部售完后共盈利350元,求每盒茶葉的進價.設(shè)每盒茶葉的進價為元.下面選項列方程正確的是(
)A.B.C.D.71.(23-24八年級下·浙江·期中)為了測一個礦井的深度,將一塊石頭從井口丟下去,6.5秒后聽到它落地的聲音,已知音速為330米/秒,石頭從井口落下的距離s與時間t的關(guān)系式為(g為10米秒).若設(shè)石頭從井口落到并底用了x秒,則可列方程為(
)A. B.C. D.72.(2024·天津和平·一模)如圖,在設(shè)計人體雕像時,使雕像的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比,等于下部與全部(全身)的高度比,可以增加視覺美感.按此比例,如果雕像的高為,設(shè)雕像下部高,則下列結(jié)論不正確的是()A.雕像的上部高度與下部高度的關(guān)系為:B.依題意可以列方程C.依題意可以列方程D.雕塑下部高度為
第二十一章一元二次方程知識歸納與題型突破(17題型清單)01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、一元二次方程的概念1.概念等號兩邊都是整式,只含有一個未知數(shù)(一元),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程,叫做一元二次方程.2.一元二次方程滿足的條件(三要素)(1)是整式方程;(2)只含有一個未知數(shù);(3)整理后未知數(shù)的最高次數(shù)是2.3.對“未知數(shù)的最高次數(shù)是2”的理解(1)該項系數(shù)不為0:(2)該項未知數(shù)指數(shù)為2;(3)當(dāng)方程中的二次項系數(shù)含有字母時,字母取值不確定,這個方程不一定是一元二次方程二、一元二次方程的一般形式1.一般形式一元二次方程的一般形式是(a≠0).其中是二次項,a是二次項系數(shù);bx是一次項,b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.2.一元二次方程的一般形式的特點:方程右邊是0,左邊是關(guān)于x的二次整式,且二次項系數(shù)不為0.3.特殊形式二次項系數(shù)不為0,當(dāng)b取0或c取0時,一元二次方程的一般形式呈現(xiàn)如下情況:4.注意事項確定一元二次方程的各項和各項系數(shù)時注意不要丟掉前面的符號.一般情況下,將一元二次方程整理為一般形式時,若二次項系數(shù)為負(fù)數(shù),要乘“-1”把它轉(zhuǎn)化為正數(shù),若有的項系數(shù)是分?jǐn)?shù),要把它轉(zhuǎn)化為整數(shù).三、一元二次方程的解(根)1.概念使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值就是這個一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5都是方程的解(根).2.一元二次方程的解(根)滿足的條件(1)未知數(shù)的值;(2)使方程左右兩邊相等3.判斷一個數(shù)是不是一元二次方程的解(根)的方法4.一元一次方程和一元二次方程根的區(qū)別四、一元二次方程的解法:直接開平方法直接開平方法解一元二次方程:將方程化成x+a2=b(b≥0)的形式,則x五、一元二次方程的解法:配方法1.配方法:配方法是一種以配方為手段,以開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的方法.2.用配方法解一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0)的一般步驟是:(1)化二次項系數(shù)為1,即方程兩邊同除以二次項系數(shù);(2)移項,即使方程的左邊為二次項和一次項,右邊為常數(shù)項;(3)配方,即方程兩邊都加上一次項系數(shù)的絕對值一半的平方;(4)化原方程為(x+m)2=n的形式;(5)如果n≥0就可以用兩邊開平方來求出方程的解;如果n<0,則原方程無解.注意:實際在解方程的過程中,一般也只是針對且為偶數(shù)時,才使用配方法,否則可以考慮使用公式法來更加簡單。六、公式法1.公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法.它是通過配方推導(dǎo)出來的.一元二次方程的求根公式是:(=b2-4ac≥0)2.推導(dǎo)過程:一元二次方程,用配方法將其變形為:3.公式法解方程的步驟:①化方程為一元二次方程的一般形式;②確定a、b、c的值;③求出b2-4ac的值;④若b2-4ac≥0,則代人求根公式,求出x1,x2.若b2-4ac<0,則方程無解.七、一元二次方程根的判別式()1.=1\*GB3①當(dāng)時,方程有兩個不相等的實根;=2\*GB3②當(dāng)時,方程有兩個相等的實根;=3\*GB3③當(dāng)時,方程沒有實根。判別式作用:①定根的個數(shù);②求待定系數(shù)的值。注意:(1)在使用根的判別式之前,應(yīng)將一元二次方程化成一般式;(2)在確定一元二次方程待定系數(shù)的取值范圍時,必須檢驗二次項系數(shù)a≠0(3)證明恒為正數(shù)的常用方法:把△的表達式通過配方化成“完全平方式+正數(shù)”的形式。七、因分解法1.元二次方程通過因式分解,分解為兩個一次因式乘積等于0的形式,再使這兩個一次因式分別等于0,實現(xiàn)降次的方法。即將一元二次方程化簡為;從而得出:,因式分解法的關(guān)鍵是分解成兩個一次因式相乘的形式。2.分解的主要方法:提取公因式法:通過提取公因式達到因式分解的目的,進而求解一元二方程。乘法公式:因式分解的目的在將方程化成兩個因式乘積等于0的形式,利用如下乘法公式,有時可以很好解決。=1\*GB3①平方差公式:a2?b2=(a+b)(a?b);=2\*GB3②完全平方公式:a2十字相乘法:十字相乘法能將某些二次三項式因式分解。十字相乘法的二次三項式需滿足三個條件:=1\*GB3①十字左邊上下兩數(shù)相乘等于二次項;=2\*GB3②十字右邊上下兩數(shù)相乘等于常數(shù)項;=3\*GB3③十字交叉相乘積的和等于一次項。例如:用十字相乘法解方程:2x2?x?6=0∴方程可分解為:(2x+3)(x-2)=0∴x4)解一元二次方程的方法選擇:=1\*GB3①雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解,但它往往并非最簡單的,一定要注意方法的選用。②解一元二次方程時一般不使用配方法(除特別要求外)但又必須熟練掌握。=3\*GB3③四種求方程方法的一定要合理選用,依次按直接開平方、因式分解,配方法和公式法的順序考慮選用。八、因分解法韋達定理:如果是一元二次方程的兩個根,由解方程中的公式法得,.那么可推得這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.九、一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟=1\*GB3①根據(jù)題意和實際問題涉及的類型,建立等量關(guān)系式;=2\*GB3②以利于表示等量關(guān)系式為原則,設(shè)未知數(shù)x;=3\*GB3③依據(jù)等量關(guān)系式和未知數(shù)x建立方程;=4\*GB3④解方程并解答。注:一元二次方程通常有2解,但是,應(yīng)檢驗方程的2個根是否都符合實際情況。十、二次方程應(yīng)用題常見類型:1)面積問題;2)平均變化率問題;3)銷售利潤問題;4)傳播問題;5)循環(huán)問題;6)數(shù)字問題。十一、變化率問題1.增長率問題a(1+x)2=b,其中a為增長前的量,x為增長率,2為增長次數(shù),b為增長后的量.2.降低率問題a(1-x)2=b,其中a為降低前的量,x為降低率,2為降低次數(shù),b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.總結(jié):有關(guān)增長率和降低率的有關(guān)數(shù)量關(guān)系增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的量是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“-”).十二、傳播問題實例探索數(shù)量關(guān)系:第一輪傳播后的量=傳播前的量×(1+傳播速度)第二輪傳播后的量=第一輪傳播后的量×(1+傳播速度)=傳播前的量×(1+傳播速度)2十三、循環(huán)問題(1)重疊類型(雙循環(huán)):n支球隊互相之間都要打一場比賽,總共比賽場次為m?!?支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽,∴1支球隊需要比(n-1)場∵存在n支這樣的球隊,∴比賽場次為:n(n-1)場∵A與B比賽和B與A比賽是同一場比賽,∴上述求法有重疊部分∴m=1(2)不重疊類型(單循環(huán)):n支球隊,每支球隊要在主場與所有球隊各打一場,總共比賽場次為m?!?支球隊要和剩下的(n-1)支球隊比賽,∴1支球隊需要比(n-1)場∵存在n支這樣的球隊,∴比賽場次為:n(n-1)場∵A與B比賽在A的主場,B與A比賽在B的主場,不是同一場比賽,∴上述求法無重疊∴m=n(n?1)0303題型歸納題型一一元二次方程的定義例題:(23-24八年級下·山東煙臺·期中)下列方程中:①;②;③;④;⑤;⑥,一元二次方程的個數(shù)為(
)A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義,只含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次為2的整式方程叫做一元二次方程,據(jù)此求解即可.【詳解】解:①,是一元二次方程;②,當(dāng)時,不是一元二次方程;③,不是整式方程,不是一元二次方程;④,是一元二次方程;⑤,含有兩個未知數(shù),不是一元二次方程;;⑥,即,未知數(shù)的最高次不是2,不是一元二次方程;∴一元二次方程有2個,故選:B.鞏固訓(xùn)練2.(23-24八年級下·浙江金華·期末)下列方程中,屬于一元二次方程的是(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的定義,根據(jù)一元二次方程的定義:“含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程”進行判斷即可求解.【詳解】解:A、含有兩個未知數(shù),未知數(shù)的最高次數(shù)是2,不是一元二次方程,故不符合題意;B、未知數(shù)的最高次數(shù)是1,不是一元二次方程,故不符合題意;C、含有一個未知數(shù),且未知數(shù)的最高次數(shù)是2,是一元二次方程,故符合題意;D、不是整式方程,故不符合題意;故選:C.3.(23-24八年級下·山東濟寧·期末)下列方程中一定是關(guān)于x的一元二次方程的是(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的定義,熟練掌握一元二次方程的定義是只含有一個未知數(shù),并且未知數(shù)項的最高次數(shù)是2的整式方程是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程的定義即可解答.【詳解】解:A、,當(dāng)時不是一元二次方程,故不符合題意;B、,當(dāng)時不是一元二次方程,故不符合題意;C、,含有兩個未知數(shù),不是一元二次方程,故不符合題意;D、是一元二次方程,故符合題意.故選:D.4.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)關(guān)于的方程是一元二次方程,則的值是(
)A. B.2 C. D.4【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義,根據(jù)一元二次方程的定義解方程求解以及不等式即可得出答案.【詳解】解:根據(jù)題意可得出且解得:,故選:A.題型二一元二次方程的一般形式例題:5.(24-25九年級上·浙江·假期作業(yè))若一元二次方程(為常數(shù)),化成一般形式為,則的值分別是()A. B. C. D.【答案】B【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式.要確定二次項系數(shù),一次項系數(shù)和常數(shù)項,必須先把一元二次方程化成一般形式,根據(jù)完全平方公式、移項法則把原方程化為一般形式,根據(jù)題意列出方程,解方程得到答案.【詳解】解:,則,∴,由題意得:,,解得:,,故選:B.鞏固訓(xùn)練6.(23-24八年級下·江蘇南通·期末)一元二次方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項分別是(
)A.1,2,3 B.0,2, C.0,, D.1,2,【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的一般形式,解題關(guān)鍵在于將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的一般形式即可解答.將方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程的一般形式,然后找出方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項即可.【詳解】解:方程的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別是1,,,故選D7.(2023·湖北孝感·一模)已知一元二次方程,將其化成二次項系數(shù)為正數(shù)的一般形式后,它的常數(shù)項是.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的一般式,熟練掌握運算的法則是解題的關(guān)鍵.先把化方程為一般式,從而得到常數(shù)項.【詳解】解:,去括號,得,合并,得,所以常數(shù)項是.故答案為:.8.(23-24八年級下·全國·假期作業(yè))將下列方程化成一元二次方程的一般形式,并寫出二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.(1);(2);(3)關(guān)于的方程.【答案】(1),二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為(2),二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為0(3),二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為【分析】本題考查的是一元二次方程的一般形式,掌握一般形式是解本題的關(guān)鍵;(1)先移項,把方程的右邊化為0,從而可得答案;(2)先去括號,再移項,把方程的右邊化為0,從而可得答案;(3)先移項,把方程的右邊化為0,從而可得答案;【詳解】(1)解:移項,得.二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為.(2),去括號,得;移項、合并同類項,得,整理,得.二次項系數(shù)為3,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為0.(3)移項、合并同類項,得.二次項系數(shù)為,一次項系數(shù)為,常數(shù)項為.題型三一元二次方程的解例題:9.(23-24八年級下·山東威海·期末)若a,b,c滿足,則關(guān)于x的方程的兩個根的平方和是(
)A.2 B.3 C.5 D.8【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的根,根據(jù)題意,得到方程的兩個根為和,進而求出兩個根的平方和即可.【詳解】解:∵a,b,c滿足,∴關(guān)于x的方程的兩個根分別為和,∴;故選C.鞏固訓(xùn)練10.(23-24八年級下·河南鄭州·期末)若關(guān)于x的一元二次方程有一根為,則一元二次方程必有一根為(
)A.2024 B.2025 C.2026 D.2027【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的定義,理解一元二次方程根的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)一元二次方程根的定義,可得一元二次方程中,滿足該方程,進而即可求解.【詳解】解:設(shè),則一元二次方程可化為,,關(guān)于x的一元二次方程有一根為,一元二次方程有一個根為,則,即,一元二次方程必有一根為2025.故選:B.11.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)若m是方程的一個根,則代數(shù)式的值是.【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式求值,一元二次方程的解:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.先根據(jù)一元二次方程解的定義得到,則,再把變形為,然后利用整體代入的方法計算.【詳解】解:是方程的一個根,,,.故答案為:.12.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)已知關(guān)于x的一元二次方程,如果a,b,c滿足,我們就稱這個一元二次方程為波浪方程.(1)判斷方程是否為波浪方程,并說明理由.(2)已知關(guān)于x的波浪方程的一個根是,求這個波浪方程.【答案】(1)該方程是波浪方程(2)【分析】本題主要考查了一元二次方程的解,理解題中所給波浪方程的定義及熟知一元二次方程解得定義是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)波浪方程的定義對所給方程進行判斷即可.(2)根據(jù)波浪方程的定義,結(jié)合方程的一個根為,得到關(guān)于a,c的方程組即可解決問題.【詳解】(1)解:,,,,故該方程是波浪方程;(2)解:由已知得:解得,這個波浪方程為.題型四用配方法解一元二次方程例題:13.(23-24八年級下·安徽亳州·期末)解方程:.【答案】,【分析】本題考查了解一元二次方程,熟練掌握一元二次方程的各種解法是解題的關(guān)鍵.利用配方法即可求解.【詳解】解:配方得:即或,,.鞏固訓(xùn)練14.(23-24八年級下·山東濟南·期末)用配方法解一元二次方程,配方正確的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查解一元二次方程-配方法,解題的關(guān)鍵是熟練掌握完全平方公式.方程移項變形后,利用完全平方公式化簡得到結(jié)果,即可做出判斷.【詳解】解:,移項,得,配方,得,即,故選:C.15.(23-24八年級下·浙江紹興·期末)用配方法解方程時,變形結(jié)果正確的是(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】本題考查了配方法解一元二次方程,掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵.根據(jù)配方法的步驟先把常數(shù)項移到等號的右邊,再在等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方,配成完全平方的形式,從而得出答案.【詳解】解:∵,∴,∴,∴;故選:A.16.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)用配方法解一元二次方程,下列配方正確的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題主要考查用配方法解一元二次方程,將常數(shù)項移到方程的右邊,兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可得.【詳解】.故選:D.題型五配方法的應(yīng)用例題:17.(23-24九年級下·江蘇南通·階段練習(xí))已知,則的最小值是(
)A. B.0 C.2 D.4【答案】D【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用.利用配方法對原式進行變形,再根據(jù)偶次方的運算計算出結(jié)果.【詳解】解:因為,,,所以當(dāng),時,原式有最小值4,故選:D.鞏固訓(xùn)練18.(23-24八年級下·浙江嘉興·期末)已知關(guān)于的多項式,當(dāng)時,該多項式的值為,則多項式的值可以是(
)A.3.5 B.3.25 C.3 D.2.75【答案】A【分析】本題考查了代數(shù)式及配方法,不等式及偶次方的非負(fù)性,熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵.先將代入原式,可整理得,再代入到,配方得,進而求解即可.【詳解】∵當(dāng)時,該多項式的值為,∴,整理得,即∵,∴,即,∴,∴,四個選項中,只有A符合,故選:A.19.(23-24八年級下·浙江寧波·期中)代數(shù)式的值恒為(
)A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.非正數(shù) D.非負(fù)數(shù)【答案】A【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用,熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵.將原式整理為,即可獲得答案.【詳解】解:∵,又∵,∴,∴代數(shù)式的值恒為正數(shù).故選:A.20.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)已知實數(shù)滿足,設(shè),則的最大值是(
)A. B. C. D.1【答案】B【分析】根據(jù),可以得到,然后可以得到,進而得到,再設(shè),即可得到,然后即可寫出的最大值,從而可以得到的最大值.本題考查配方法的應(yīng)用、非負(fù)數(shù)的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是明確題意,求出的最大值.【詳解】解:,,,,設(shè),則,則,的最大值為,即的最大值為,故選:B.21.(2024八年級下·浙江·專題練習(xí))用配方法說明,無論取何值,代數(shù)式的值總小于0.【答案】見解析【分析】本題主要考查配方的應(yīng)用,將配方,先把二次項系數(shù)化為1,然后再加上一次項系數(shù)一半的平方,然后根據(jù)配方后的形式,再根據(jù)這一性質(zhì)即可證得.【詳解】證明:,,,,無論為何實數(shù),代數(shù)式的值總小于零.22.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)先閱讀下面內(nèi)容,再解決問題:若關(guān)于、的方程,求、的值.解;因為所以所以即所以,所以,解得,(1)模仿閱讀內(nèi)容解關(guān)于、的方程,已知,求、的值;(2)若、是方程的解,求關(guān)于的一次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積.【答案】(1),(2)【分析】本題考查了配方法的應(yīng)用,一次函數(shù)的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練掌握配方法和一次函數(shù)的性質(zhì).(1)根據(jù)題意把方程進行配方即可求解;(2)先根據(jù)配方法求出、,進而得到一次函數(shù)的解析式,再求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo),最后利用三角形面積公式求解即可.【詳解】(1)解:即,,解得:,;(2)即,解得,將,代入一次函數(shù),得,令,則;令,則,解得;該函數(shù)與軸的交點為,于軸的交點為一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸交點所圍成的三角形的面積為.題型六用公式法解一元二次方程例題:23.(23-24八年級下·黑龍江哈爾濱·期末)解方程:.【答案】【分析】本題考查解一元二次方程,先將所給一元二次方程化成一般形式,再利用公式法求解.【詳解】解:,,,方程有兩個不等的實數(shù)根,即.鞏固訓(xùn)練24.(24-25九年級上·安徽·假期作業(yè))用求根公式解一元二次方程時,,的值是(
)A.,, B.,,C.,, D.,,【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程的一般形式,認(rèn)知一次項系數(shù)二次項系數(shù)常數(shù)項是解題的關(guān)鍵.按照未知數(shù)的降冪排列,據(jù)此可得答案.【詳解】解:,,則,,,故選:C25.(23-24八年級下·浙江湖州·期末)在用求根公式求一元二次方程的根時,小珺正確地代入了a,b,c得到,則她求解的一元二次方程是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的解,解題的關(guān)鍵是掌握求根公式中字母所表示的意義.根據(jù)求根公式解答.【詳解】解:由知:,,.所以該一元二次方程為:.故選:A.26.(2024·浙江金華·二模)設(shè)關(guān)于的一元二次方程,已知①,;②,;③,.請在上述三組條件中選擇其中一組,的值,使這個方程有兩個實數(shù)根,并解這個方程.【答案】若選①,則方程的解為;若選②,則方程的解為【分析】本題考查了解一元二次方程,一元二次方程根的判別式,根據(jù)題意解一元二次方程,即可求解.【詳解】解:①當(dāng),,∴,∴解得:;②,;∴∴解得:;③,.,原方程無解.題型七用根的判別式判斷根的情況例題:27.(23-24八年級下·廣東廣州·期末)方程的根的情況是(
)A.沒有實數(shù)根 B.有兩個相等的實數(shù)根C.有兩個不相等的實數(shù)根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程根的判別式.利用一元二次方程根的判別式,即可求解.【詳解】解:∵,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,故選:C鞏固訓(xùn)練28.(2024·河南駐馬店·三模)下列一元二次方程中,有兩個不相等的實數(shù)根的是(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本題主要考查根的判別式.分別求出每個方程判別式的值,根據(jù)判別式的值與方程的解的個數(shù)間的關(guān)系得出答案.【詳解】解:A、,方程沒有實數(shù)根,不符合題意;B、,方程有兩個相等的實數(shù)根,不符合題意;C、,方程有兩個不相等的實數(shù)根,符合題意;D、,方程沒有實數(shù)根,不符合題意;故選:C.題型八根據(jù)根的判別式求字母的值例題:29.(23-24八年級下·安徽合肥·期中)已知:關(guān)于x的一元二次方程.(1)若是方程的一個根,求k的值;(2)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根.【答案】(1)(2)見解析【分析】本題考查了根的判別式:一元二次方程的根與有如下關(guān)系:當(dāng)時,方程有兩個不相等的實數(shù)根;當(dāng)時,方程有兩個相等的實數(shù)根;當(dāng)時,方程無實數(shù)根.(1)把代入一元二次方程得到關(guān)于的一次方程,然后解一次方程即可;(2)先計算根的判別式的值得到,則可判斷,然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論.【詳解】(1)解:把代入得,解得;(2)證明:,方程有兩個不相等的實數(shù)根.鞏固訓(xùn)練30.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)關(guān)于的一元二次方程的根情況是(
)A.有兩個相等的實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.沒有實數(shù)根 D.實數(shù)根的個數(shù)由的值確定【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式,配方法,熟記判別式并靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵.先確定a、b、c的值,計算的值進行判斷即可求解.【詳解】由題意可知:,,,方程有兩個不相等的實數(shù)根.故選:B.31.(23-24八年級下·安徽合肥·階段練習(xí))關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于,則的值是(
)A. B. C. D.或【答案】D【分析】本題考查一元二次方程根的判別式,利用根的判別式的定義得到,然后解關(guān)于的方程即可.解題的關(guān)鍵是掌握:一元二次方程的根的判別式為.也考查了解一元二次方程.【詳解】解:∵關(guān)于的一元二次方程的根的判別式等于,∴,整理,得:,解得:,,即的值為或.故選:D.32.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)已知關(guān)于的方程.(1)判斷此方程根的情況;(2)若是該方程的一個根,求代數(shù)式的值.【答案】(1)方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)【分析】本題考查了根的判別式以及一元二次方程的解,熟練掌握“當(dāng)根的判別式時方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式即可得出,由此得出方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)將代入原方程可求出,將其代入代數(shù)式中即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:,方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)解:將代入方程,得,即,,.33.(2024·甘肅金昌·三模)已知關(guān)于的一元二次方程.(1)當(dāng)時,求方程的解;(2)若該方程有實數(shù)根,求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】本題考查解一元二次方程,一元二次方程跟的判別式.(1)利用配方法解方程即可;(2)根據(jù)一元二次方程跟的判別式,列出不等式求解即可.【詳解】(1)解:當(dāng)時,原方程可化為,配方,得,解得;(2)解:∵該方程有實數(shù)根,∴,解得,即若該方程有實數(shù)根,的取值范圍是.34.(2024·遼寧朝陽·三模)關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,則的最小整數(shù)值是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查一元二次方程的根的存在性,熟練掌握利用判別式確定一元二次方程的根的存在性是解題的關(guān)鍵.【詳解】解:關(guān)于的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根,,解得,是關(guān)于的一元二次方程,,的最小整數(shù)值為.故選:D.35.(23-24八年級下·浙江紹興·期末)若方程有兩個相等的實數(shù)根,則的值是(
)A.2 B.3 C.4 D.8【答案】C【分析】本題主要考查解一元二次方程根的判別式,掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵.本題有兩個相等的實數(shù)根,即,代入數(shù)值計算求解即可.【詳解】解:∵該方程有兩個相等實根,∴,解得;故答案為:C.36.(2024九年級·云南·專題練習(xí))若關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根,則的取值范圍是()A. B.C.且 D.且【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的定義以及判別式的應(yīng)用,根據(jù)關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根,得出,再解出的取值范圍,即可作答.【詳解】解:∵關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根∴∴且故選:C題型九用因式分解法解一元二次方程例題:37.(23-24八年級下·浙江金華·期末)解方程:(1).(2).【答案】(1),(2),【分析】本題考查解一元二次方程,解方程常用的方法有:直接開平方法、因式分解法、配方法、公式法等,熟練掌握并靈活運用適當(dāng)?shù)姆椒ㄊ墙忸}關(guān)鍵.(1)先移項,利用因式分解解方程即可;(2)利用十字相乘法解方程即可;【詳解】(1)解:,,∴,.(2),∴,.鞏固訓(xùn)練38.(23-24八年級下·廣西梧州·期中)解關(guān)于的方程得(
)A., B.,C., D.,【答案】B【分析】本題主要考查了解一元二次方程,掌握運用因式分解法求解即可.直接運用因式分解法解一元二次方程即可.【詳解】解:,,或,,.故選B.39.(12-13九年級上·廣東廣州·期末)已知x為實數(shù),若,則.【答案】1【分析】本題主要考查了換元法解一元二次方程,換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,設(shè),則原方程轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程,然后利用因式分解法解該方程求得y的值即可.【詳解】解:設(shè),則,整理,得.所以或.解得或.當(dāng)時,,此時該方程無解,故舍去.綜上所述,.故答案為:1.40.(23-24八年級下·浙江杭州·期中)已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)求證:方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若的兩邊的長是這個方程的兩個實數(shù)根,第三邊的長為5,當(dāng)是直角三角形時,求k的值.【答案】(1)見解析(2)k的值為12或3【分析】本題考查一元二次方程綜合,涉及一元二次方程根的情況與判別式關(guān)系,一元二次方程根與直角三角形結(jié)合等,熟練掌握一元二次方程相關(guān)定義與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.(1)根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式,可得出進而可證出方程有兩個不相等的實數(shù)根;(2)利用因式分解法可求出的長,分為直角邊及為斜邊兩種情況,利用勾股定理可得出關(guān)于k的一元一次方程或一元二次方程解之即可得出k值,取其正值(利用三角形的三邊關(guān)系判定其是否構(gòu)成三角形)即可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得:∴方程有兩個不相等的實數(shù)根(2)∵,即解得:當(dāng)為直角邊時,,解得:當(dāng)為斜邊時,,解得:(不合題意,舍)綜上:k的值為12或3題型十換元法例題:41.(2024九年級下·云南·專題練習(xí))用換元法解方程時,設(shè),則原方程可化為關(guān)于的方程是()A. B.C. D.【答案】A【分析】本題考查了用換元法解分式方程,能正確換元是解此題的關(guān)鍵.設(shè),則原方程化為,再整理即可.【詳解】解:,設(shè),則原方程化為:,,,故選:.鞏固訓(xùn)練42.(2024·上海徐匯·三模)如果實數(shù)x滿足,那么的值是.【答案】3【分析】本題主要考查了用換元法解一元二次方程、解分式方程,利用完全平方公式把方程變形是解題的關(guān)鍵.利用完全平方公式把方程變形為,利用換元法,設(shè),則,轉(zhuǎn)化為解一元二次方程,求出可能的值,分別得出分式方程,計算檢驗是否有解,即可得出答案.【詳解】解:∵,∴,,設(shè),則,因式分解得:,∴或,解得:或,當(dāng)時,則,整理得:,∴,解得:,,經(jīng)檢驗,,都是方程的解,∴的值為;當(dāng)時,則,整理得:,,∴時,方程無解.綜上所述,的值為,故答案為:.43.(23-24八年級下·安徽合肥·期中)若關(guān)于x的一元二次方程有一根為,則一元二次方程必有一根為(
)A.2024 B.2025 C.2026 D.2027【答案】C【分析】本題考查了換元法解一元二次方程,利用整體思想解一元二次方程是解題的關(guān)鍵.利用整體思想設(shè)得到方程,再根據(jù)關(guān)于x的一元二次方程有一根為,即可得到t的值,從而可求解.【詳解】解:∵,∴,即.設(shè),則.∵關(guān)于x的一元二次方程有一根為,∴在中,,∴,解得:,∴一元二次方程必有一根為2026.故選C.44.(23-24八年級下·江蘇揚州·階段練習(xí))已知關(guān)于x的一元二次方程(都是常數(shù),且)的解為,則方程(都是常數(shù),且)的解為.【答案】【分析】本題考查一元二次方程的解,根據(jù)題意,可得:或,進行求解即可.【詳解】解:∵關(guān)于x的一元二次方程(都是常數(shù),且)的解為,∴方程,即:的解為:或,∴;故答案為:.題型十一一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系例題:45.(2024·云南昆明·三模)已知和是一元二次方程的兩個實數(shù)根,則(
)A. B. C.6 D.【答案】D【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系,牢記“兩根之和等于,兩根之積等于”是解題的關(guān)鍵.利用根與系數(shù)的關(guān)系,可得出,將其代入中,即可求出結(jié)論.【詳解】解:∵和是一元二次方程的兩個實數(shù)根,,,故選:D.鞏固訓(xùn)練46.(2024八年級下·全國·專題練習(xí))已知a、b、c是的三條邊的長,那么方程的根的情況是()A.沒有實數(shù)根 B.有兩個不相等的實數(shù)根C.有兩個相等的負(fù)實根 D.只有一個實數(shù)根【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程根的判別式、三角形的三邊關(guān)系,解本題的關(guān)鍵在熟練掌握根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,判斷出方程有兩個不等的負(fù)實根.根據(jù)三角形三邊關(guān)系得到,然后利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式求解即可.【詳解】解:在方程中,可得:,∵a、b、c是的三條邊的長,∴.,即,∴,∴,∴方程有兩個不相等的實數(shù)根,又∵兩根的和是,兩根的積是,∴方程有兩個不等的負(fù)實根.故選:C.47.(2024·江西九江·模擬預(yù)測)已知、是一元二次方程的兩根,則.【答案】1【分析】本題考查了一元二次方程的解、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系,關(guān)于x的一元二次方程的兩個實數(shù)根,和系數(shù),,,有如下關(guān)系:,,由題意得出,,從而得出,將式子變形為,整體代入計算即可得出答案.【詳解】解:∵、是一元二次方程的兩根,∴,,∴,∴,故答案為:.48.(23-24八年級下·浙江杭州·期中)已知關(guān)于x的一元二次方程.(1)當(dāng)時,解這個方程;(2)試判斷這個一元二次方程根的情況,并說明理由;(3),是這個方程的兩個實數(shù)根,若n、t為正整數(shù),且,求n的值.【答案】(1),(2)方程有兩個實數(shù)解.理由見詳解(3)的值為1或2【分析】(1)利用因式分解法解方程;(2)先計算根的判別式的值得到△,利用根的判別式的意義即可解答;(3)先利用公式法解方程得或,由于,所以或,當(dāng),則,利用整除性得當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,.本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系:若,是一元二次方程的兩根時,,.也考查了根的判別式.【詳解】(1)解:當(dāng)時,原方程化為,,或,∴,;(2)解:方程有兩個實數(shù)解.理由如下:,當(dāng)時,,方程有兩個相等的實數(shù)解;當(dāng)時,,方程有兩個不相等的實數(shù)解;綜上所述,方程有兩個實數(shù)解;(3)依題意,解方程得或,,或,當(dāng)時,,、為正整數(shù),當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時,,綜上所述,的值為1或2.題型十二增長率問題例題:49.(23-24八年級下·福建福州·階段練習(xí))公安部門提醒市民,騎車出行必須嚴(yán)格遵守“一盔一帶”的規(guī)定.某頭盔經(jīng)銷商統(tǒng)計了某品牌頭盔4月份到6月份的銷量,該品牌頭盔4月份銷售1500個,6月份銷售2160個,且從4月份到6月份銷售量的月增長率相同.(1)求該品牌頭盔銷售量的月增長率;(2)按照這個增長率,預(yù)計7月份該品牌頭盔銷售量是多少?【答案】(1)(2)2592【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.(1)設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可;(2)根據(jù)題意列式計算即可.【詳解】(1)解:設(shè)該品牌頭盔銷售量的月增長率為x,依題意,得:,解得:,(不合題意,舍去).∴該品牌頭盔銷售量的月增長率為;(2)(個).∴預(yù)計7月份該品牌頭盔銷售量是2592個.鞏固訓(xùn)練50.(23-24八年級下·安徽滁州·期末)某企業(yè)今年1月份的利潤為200萬元,2月份和3月份的利潤合計為750萬元,設(shè)2月份和3月份利潤的平均增長率為,根據(jù)題意可列方程為(
)A. B.C. D.【答案】D【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)2月份和3月份的利潤合計為750萬元列出一元二次方程即可.【詳解】解:1月份的利潤為200萬元,則2月份的利潤為,則3月份的利潤為,∴根據(jù)題意可列方程為.故選:D.51.(2024·云南·中考真題)兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元,隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步,現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元.設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為,根據(jù)題意,下列方程正確的是(
)A. B.C. D.【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)甲種藥品成本的年平均下降率為,利用現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本年(平均下降率),即可得出關(guān)于的一元二次方程.【詳解】解:甲種藥品成本的年平均下降率為,根據(jù)題意可得,故選:B.52.(24-25九年級上·全國·假期作業(yè))某單位響應(yīng)綠色環(huán)保倡議,提出要節(jié)約用紙,逐步走向“無紙化”辦公.據(jù)統(tǒng)計,該單位2月份紙的用紙量為1000張,到了4月份紙的用紙量降到了640張.求從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率.【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為,利用該單位4月份紙的用紙量該單位2月份紙的用紙量從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率,可列出關(guān)于的一元二次方程,解之取其符合題意的值,即可得出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)從2月到4月該單位紙的用紙量月平均降低率為,根據(jù)題意得:,,解得:,(不符合題意,舍去).答:該單位紙的用紙量月平均降低率為.題型十三傳播問題例題:53.(17-18九年級上·全國·課后作業(yè))有一個人患了流感,經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感。(1)每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人?(2)如果按照這樣的傳染速度,經(jīng)過三輪傳染后共有多少人患流感?【答案】(1)每輪傳染中平均一個人傳染個人.(2).【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵在于讀懂題意,設(shè)出合適的未知數(shù),找出等量關(guān)系,列方程求解.(1)設(shè)第一個人傳染了人,根據(jù)兩輪傳染后共有人患了流感;列出方程,即可求解;(2)根據(jù)題意,求出三輪之后患流感的人數(shù).【詳解】(1)解:設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染個人,由題意得:,解得:,,,不合題意,舍去,,答:每輪傳染中平均一個人傳染個人.(2)則第三輪的患病人數(shù)為:.故答案為:.鞏固訓(xùn)練54.(23-24八年級下·重慶九龍坡·期末)甲流病毒是一種傳染性極強的急性呼吸道傳染病,感染者的臨床以發(fā)熱、乏力、干咳為主要表現(xiàn).在“甲流”初期,若有一人感染了“甲流”,若得不到有效控制,則每輪傳染平均一個人傳染x人,經(jīng)過兩輪傳染后共有256人感染了“甲流”.則關(guān)于x的方程為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用,根據(jù)題意,第一輪傳染了x人,第二輪傳染了人,根據(jù)“經(jīng)過兩輪傳染后共有256人感染”列方程求解即可.【詳解】解:設(shè)每輪傳染平均一個人傳染x人,根據(jù)題意,得,故選:C.55.(2024·云南昭通·一模)有一臺電腦感染了某種電腦病毒,經(jīng)過兩輪感染后,共有臺電腦感染了該病毒.設(shè)每輪感染中,平均一臺電腦可以感染臺電腦,下列方程正確的是(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】本題考查了從實際問題中抽象出一元二次方程,解題的關(guān)鍵是理解題意,正確找出等量關(guān)系.經(jīng)過一輪感染,1臺電腦感染了臺電腦,這臺電腦又感染給了,根據(jù)經(jīng)過兩輪感染了臺電腦列等量關(guān)系即可.【詳解】解:設(shè)每輪感染中,平均一臺電腦可以感染臺電腦,根據(jù)題意可得:,整理得:,故選:D.56.(23-24八年級下·山東威?!て谥校┙晔謾C微信上的垃圾短信泛濫成災(zāi),嚴(yán)重影響了人們的生活,最近小王收到一條垃圾短信,此短信要求接到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給若干人,如果收到此短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā),從小王開始計算,轉(zhuǎn)發(fā)兩輪后共有91人有此短信.(1)請求出這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給多少人?(2)如果收到短信的人都按要求轉(zhuǎn)發(fā),從小王開始計算,三輪后會有多少人有此短信?【答案】(1)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人(2)從小王開始計算,三輪后會有820人有此短信.【分析】本題主要考查了一元二次方程的實際應(yīng)用,含乘方的有理數(shù)混合計算的實際應(yīng)用:(1)設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人,則第一輪小王會發(fā)給x人,第一輪被轉(zhuǎn)發(fā)的x人每個人又要轉(zhuǎn)發(fā)x人,據(jù)此列出方程求解即可;(2)根據(jù)(1)所求列式求解即可.【詳解】(1)解:設(shè)這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給x人,由題意得,,整理得,解得或(舍去),答:這個短信要求收到短信的人必須轉(zhuǎn)發(fā)給9人;(2)解:人,答:從小王開始計算,三輪后會有820人有此短信.題型十四幾何圖形問題例題:57.(23-24八年級下·浙江寧波·期末)如圖,校園空地上有一面長為4米的墻.為了創(chuàng)建美麗校園,學(xué)校決定用這面墻和20米的圍欄圍成一個矩形花園.(1)如圖1,利用墻圍成矩形花園,若圍成的花園面積為32平方米,求花園的邊長:(2)如圖2,用圍欄補墻得到矩形花園,花園的面積可能為36平方米嗎?若能,請求出的長;若不能,請說明理由.【答案】(1)矩形花園的邊長分別為8米和4米(2)的長為6米【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,找準(zhǔn)等量關(guān)系,正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.(1)設(shè)米,則米,根據(jù)圍成的花園面積為32平方米,可列出關(guān)于的一元二次方程,解之可得出的值,再結(jié)合墻長4米,即可確定結(jié)論;(2)花園的面積能為36平方米,設(shè)米,則米,根據(jù)圍成的花園面積為36平方米,可列出關(guān)于的一元二次方程,解之可得出的值,再將其代入中,即可得出結(jié)論.【詳解】(1)解:設(shè)米,則米,根據(jù)題意得:,整理得:,解得:,,當(dāng)時,,不符合題意,舍去;當(dāng)時,,符合題意.答:花園的邊長為8米和4米;(2)解:花園的面積能為36平方米,設(shè)米,則米,根據(jù)題意得:,整理得:,解得:,.答:花園的面積能為36平方米,的長為6米.鞏固訓(xùn)練58.(23-24八年級下·山東威?!て谀┤鐖D,在寬10米、長22米的矩形地面上修筑同樣寬的道路(圖中陰影部分),余下部分種植草坪,要使草坪的面積為160平方米.設(shè)道路的寬為x米,可列方程(
)A.B.C.D.【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用,設(shè)道路的寬為x米,根據(jù)草坪的面積為160平方米,列出方程即可.【詳解】解:設(shè)道路的寬為x米,根據(jù)題意得:,故選:A.59.(2023·吉林長春·模擬預(yù)測)《增刪算法統(tǒng)宗》是我國古代數(shù)學(xué)著作,其中記載“圓中方形”問題:其大意為“有一塊圓形的田,中間有一塊正方形水池,測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好平方步,從水池邊到圓周,每邊最大相距步遠,在這個不變圖形中,應(yīng)該能求出正方形的邊長和圓的直徑.”如圖,設(shè)正方形的邊長是步,則列出的方程是()A. B.C. D.【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用,設(shè)正方形的邊長是步,根據(jù)圓的面積減去正方形的面積即可求解.【詳解】解:設(shè)正方形的邊長是步,則列出的方程是.故選:C.60.(23-24八年級下·浙江金華·期末)如圖1,將面積為4的正方形分為①②③④四部分,分成的4部分恰好拼成如圖2所示的矩形,則長為.【答案】【分析】本題考查了關(guān)于圖形的剪拼的一元二次方程的應(yīng)用,正確理解題目的意思,然后會根據(jù)題目隱含條件找到數(shù)量關(guān)系是解題關(guān)鍵.已知圖中的①和②,③和④形狀大小分別完全相同,結(jié)合圖中數(shù)據(jù)可知①④能拼成一個直角三角形,②③能拼成一個直角三角形,并且這兩個直角三角形形狀大小相同,利用這兩個直角三角形即可拼成矩形;利用拼圖前后的面積相等列出方程求解即可得出答案.【詳解】解:如圖圖1中的正方形面積為4正方形邊長為2直角三角形①中的長直角邊為2解得:(負(fù)值已舍去)故答案為:.題型十五營銷問題例題:61.(23-24八年級下·浙江杭州·期末)某汽車租賃公司共有300輛可供出租的某款汽車,2021年每輛汽車的日租金為100元,由于物價上漲,到2023年日租金上漲到121元.(1)求2021年至2023年日租金的平均增長率.(2)經(jīng)市場調(diào)研發(fā)現(xiàn),從2023年開始,當(dāng)每輛汽車的日租金定為121元時,汽車可全部租出;日租金每增加1元,就要少租出2輛.已知汽車租賃公司每日需為每輛租出的汽車支付各類費用31元,每輛未租出的汽車支付各類費用10元.①在每輛汽車日租金121元的基礎(chǔ)
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