人教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第二十二章 二次函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練（12考點(diǎn)72題）

試卷第=page22頁，共=sectionpages170170頁第二十二章二次函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一二次函數(shù)規(guī)律探究…………2考點(diǎn)二與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題………………8考點(diǎn)三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)………………26考點(diǎn)四二次函數(shù)背景下的最值討論問題………32考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象的變換問題………………41考點(diǎn)六二次函數(shù)的臨界點(diǎn)問題…………………66考點(diǎn)七與二次函數(shù)有關(guān)的角度問題……………83考點(diǎn)八與二次函數(shù)有關(guān)的線段問題……………94考點(diǎn)九與二次函數(shù)有關(guān)的特殊三角形問題……………………104考點(diǎn)十與二次函數(shù)有關(guān)的特殊四邊形問題……………………122考點(diǎn)十一二次函數(shù)營銷問題……………………147考點(diǎn)十二動(dòng)點(diǎn)背景下的二次函數(shù)問題…………155考點(diǎn)一二次函數(shù)規(guī)律探究1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

2．（23-24九年級(jí)上·廣東珠海·期中）如圖，點(diǎn)、、、…、在拋物線圖象上，點(diǎn)、、、…、在y軸上，若、、…、都為等腰直角三角形（點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的腰長=

3．（2023·浙江臺(tái)州·二模）觀察規(guī)律，，，…，運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點(diǎn)作x軸的垂線，交的圖像于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．則的值為．

4．（2021·山東德州·二模）如圖，拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3…An，…．則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為．考點(diǎn)二與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題5．（21-22九年級(jí)上·湖北荊州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)及對(duì)稱軸；（3）若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，線段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（4）若點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PBC的面積；若不存在，說明理由．6．（2022·天津?yàn)I海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C（0，4），點(diǎn)B為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．7．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．8．（23-24九年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及周長最小值；(3)如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．9．（2022·湖北恩施·一模）如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線的頂點(diǎn)是，且與x軸交于C，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G．(1)求b、c的值；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上任意點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段的長最??？最小值為多少？10．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．考點(diǎn)三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)11．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有最小值 B．當(dāng)時(shí)，無最大值C．當(dāng)時(shí)，有最小值 D．當(dāng)時(shí)，有最大值12．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（

）A．或 B．或C．或 D．或13．（19-20九年級(jí)上·湖北黃石·期中）已知函數(shù)，若使y＝k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為．14．（18-19九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，則稱Q點(diǎn)是P點(diǎn)的可控點(diǎn)．若P（x，y）滿足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）時(shí)，可控點(diǎn)Q（x，y′）滿足－16≤y′≤16，則a的取值范圍為．15．（22-23九年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)點(diǎn)P（2，2）在此函數(shù)的圖象上．①求n的值．②求此函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)．(2)當(dāng)n=1時(shí)，此函數(shù)的最大值為．考點(diǎn)四二次函數(shù)背景下的最值討論問題16．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．17．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或18．（2024·山東濟(jì)南·二模）拋物線，將其圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形是上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最大值記為，則取得最小值時(shí)，的值為(

)A． B． C． D．19．（2024·浙江·一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．420．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，若，時(shí)，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．421．（2024·陜西寶雞·二模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，則a的值為（

）A． B．4 C． D．22．（21-22九年級(jí)上·湖北荊州·期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最小值10，則m的值為．23．（21-22九年級(jí)上·湖南長沙·期末）二次函數(shù)y＝-(x-1)2+5，當(dāng)m≤x≤n且mn＜0時(shí)，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為．24．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的公共點(diǎn)為，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍；(3)線段長的最小值為．考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象的變換問題25．（2024·四川南充·二模）如圖，將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，原拋物線軸上方的圖象與翻折得到圖象組成一個(gè)新函數(shù)的圖象，若直線與新函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．26．（2024·遼寧大連·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到．點(diǎn)為的頂點(diǎn)，作直線．點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向上平移兩個(gè)單位長度得到點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線于點(diǎn)，以、為邊構(gòu)造矩形．設(shè)、、的圖象為．當(dāng)矩形與圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．27．（2024·四川廣元·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與其關(guān)于直線對(duì)稱的圖象交于四點(diǎn)，則四邊形的面積為．

28．（2024·陜西商洛·三模）如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)將拋物線先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)且以為邊的四邊形是矩形，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．29．（2024·河南焦作·二模）已知拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求a的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)在（1）的條件下，把時(shí)函數(shù)的圖象記為，將圖象繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，得到新圖象，設(shè)圖象與圖象組合成的圖象為．①圖象的解析式（寫出自變量的取值范圍）；②若直線與圖象M有3個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．30．（2024·山東濟(jì)南·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸分別交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．(1)如圖1，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求拋物線的表達(dá)式和點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)過點(diǎn)作軸的垂線，將拋物線在軸右側(cè)的部分沿直線翻折，將翻折得到的圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成新的圖形，記為圖形．①在（1）的條件下，在圖形位于軸上方的部分是否存在點(diǎn)，使得？若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；②如圖2，已知點(diǎn)和點(diǎn)是圖形上的點(diǎn)．設(shè)，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．31．（2024·湖北恩施·二模）如圖1，二次函數(shù)的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線經(jīng)過B、C兩點(diǎn)．(1)求出該二次函數(shù)的解析式．(2)已知點(diǎn)P為直線l上的一點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P作x軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)M，再過點(diǎn)M作y軸的垂線與該二次函數(shù)的圖像相交于另一點(diǎn)N．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．②當(dāng)?shù)拈L度隨t的增大而增大時(shí)，直接寫出t的取值范圍．(3)如圖2，將二次函數(shù)在x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸的上方，圖象的其余部分不變，得到一個(gè)“W”形狀的新圖象，再將直線l向上平移n個(gè)單位長度，得到直線，當(dāng)直線與這個(gè)新圖象有3個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求n的值．32．（2024·安徽滁州·三模）如圖1，以點(diǎn)A，B為端點(diǎn)的實(shí)線是一條開口向下的拋物線的一段，點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn)，直線是拋物線的對(duì)稱軸，于點(diǎn)D，，則稱實(shí)線表示的部分為該拋物線上的“正拋線”，點(diǎn)A，B分別為“正拋線”的左、右端點(diǎn)，點(diǎn)C為“正拋線”的頂點(diǎn)，的長為“正拋線”的高．(1)已知高為4的“正拋線”左端點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，求該“正拋線”所在拋物線的表達(dá)式；(2)已知拋物線上的“正拋線”以原點(diǎn)為左端點(diǎn)，求b；(3)如圖2，一種圖案由大小兩種不同的“正拋線”組成，在平面直角坐標(biāo)系中，所有大“正拋線”的端點(diǎn)都在x軸上，小“正拋線”的端點(diǎn)都在與其相鄰的大“正拋線”上，所有“正拋線”的頂點(diǎn)都在同一條直線上．求大“正拋線”與小“正拋線”高之比．33．（2024·湖北隨州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B和C，與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A．(1)求這條拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，過點(diǎn)M作直線軸于點(diǎn)N，交直線于點(diǎn)G，若點(diǎn)G為的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)將線段先向上平移5個(gè)單位長度，再向右平移1個(gè)單位長度，得到線段．現(xiàn)另有拋物線，請(qǐng)你根據(jù)a的不同取值范圍，探索拋物線與線段的交點(diǎn)個(gè)數(shù)（只需直接寫出a的取值范圍及對(duì)應(yīng)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可）．34．（2024·河北石家莊·二模）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)，對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式，并直接寫出拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)是線段上的一個(gè)點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線，與拋物線交于點(diǎn)．①若點(diǎn)在對(duì)稱軸上，判斷此時(shí)點(diǎn)是否為線段的中點(diǎn)，說明理由；②當(dāng)最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)將線段先向右平移1個(gè)單位長度，再向上平移3個(gè)單位得到線段，若拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．考點(diǎn)六二次函數(shù)的臨界點(diǎn)問題35．（2024·浙江嘉興·二模）已知直線與拋物線對(duì)稱軸左側(cè)部分的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則m的取值范圍是（

）A． B．或 C． D．或36．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線（a，b，c為常數(shù)，且）經(jīng)過和兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．37．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）定義：在平面直角坐標(biāo)系中，有一條直線，對(duì)于任意一個(gè)函數(shù)，與原函數(shù)中自變量大于或等于m的部分共同構(gòu)成一個(gè)新的函數(shù)圖象，則這個(gè)新函數(shù)叫做原函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”．例如：函數(shù)的“鏡面函數(shù)”的解析式為，，，，，函數(shù)關(guān)于直線的“鏡面函數(shù)”圖象與矩形的邊恰好有4個(gè)交點(diǎn)，則n的取值范圍是．38．（22-23九年級(jí)上·天津武清·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中有，兩點(diǎn)，如果拋物線與線段沒有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是．39．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)（b，c為常數(shù)）的圖象交y軸于點(diǎn)，其對(duì)稱軸為．(1)求該二次函數(shù)的關(guān)系式；(2)點(diǎn)A、C均在該二次函數(shù)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為n和．以線段為對(duì)角線作矩形，軸、當(dāng)矩形與該二次函數(shù)圖象有且只有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，設(shè)第三個(gè)公共點(diǎn)為P，若與矩形的面積之比為，請(qǐng)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)．40．（2024九年級(jí)下·北京·專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過和兩點(diǎn)．(1)求b和c的值（用含a的代數(shù)式表示）；(2)若該拋物線開口向下，且經(jīng)過，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小，求k的取值范圍；(3)已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求a的取值范圍．41．（2024·江西九江·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于該拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，拋物線的頂點(diǎn)為C．(1)求點(diǎn)A，B的坐標(biāo)．(2)若的面積為，求a的值．(3)如圖，已知點(diǎn)，，，，當(dāng)拋物線與正方形只有2個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求a的取值范圍．42．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（m為常數(shù)，）．(1)當(dāng)時(shí)，求該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)當(dāng)m取不同的值時(shí)，該函數(shù)的圖象總經(jīng)過一個(gè)或幾個(gè)定點(diǎn)，求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，，若該函數(shù)的圖象與線段恰有1個(gè)公共點(diǎn)，直接寫出m的取值范圍．43．（2024·四川樂山·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，我們稱橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)為“完美點(diǎn)”．拋物線（a為常數(shù)且）與y軸交于點(diǎn)A．(1)若，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若線段（含端點(diǎn)）上的“完美點(diǎn)”個(gè)數(shù)大于3個(gè)且小于6個(gè)，求a的取值范圍；(3)若拋物線與直線交于M、N兩點(diǎn)，線段與拋物線圍成的區(qū)域（含邊界）內(nèi)恰有4個(gè)“完美點(diǎn)”，求a的取值范圍．考點(diǎn)七與二次函數(shù)有關(guān)的角度問題44．（2024·黑龍江大慶·中考真題）如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)．點(diǎn)坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)在直線上方的拋物線上存在點(diǎn)，使得，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)已知，為拋物線上不與，重合的相異兩點(diǎn)．①若點(diǎn)與點(diǎn)重合，，且，求證：，，三點(diǎn)共線；②若直線，交于點(diǎn)，則無論，在拋物線上如何運(yùn)動(dòng)，只要，，三點(diǎn)共線，，，中必存在面積為定值的三角形．請(qǐng)直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．45．（23-24八年級(jí)下·重慶九龍坡·期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中放置了一塊30度的直角三角板，且直角三角板的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C均在坐標(biāo)軸上，．(1)求拋物線的解析式；(2)如圖1，已知直線上方拋物線上一點(diǎn)D，連接，求的面積最大值以及此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，將原拋物線沿射線方向平移得到新拋物線，新拋物線與y軸交于點(diǎn)C，已知點(diǎn)P為新拋物線上的一點(diǎn)，過B作直線交新拋物線于第四象限的點(diǎn)E，連接，當(dāng)時(shí)，寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)，并寫出求解點(diǎn)P的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．46．（20-21九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線()與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，其頂點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，該拋物線與交于另一點(diǎn)，連接．

(1)求該拋物線的解析式．(2)一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿與軸平行的方向向上運(yùn)動(dòng)，連接，，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒()，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)為何值時(shí)，？(3)在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)，使得被平分？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)八與二次函數(shù)有關(guān)的線段問題47．（2024·湖北武漢·二模）如圖，拋物線與x軸交于點(diǎn)和，與y軸正半軸交于點(diǎn)C．(1)直接寫出拋物線的解析式為：__________；(2)如圖1，連接，D為x軸上方拋物線上的點(diǎn)，且滿足，求D點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖2，M為對(duì)稱軸右側(cè)第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，N為拋物線上另一點(diǎn)，分別連接、、，且，拋物線對(duì)稱軸為直線l，線段、與直線l分別交于點(diǎn)P、Q，延長交直線l于點(diǎn)R，若滿足，求直線的解析式．48．（2024·湖南·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，是此二次函數(shù)的圖像上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖1，此二次函數(shù)的圖像與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)P在直線的上方，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)D，連接．若，求證的值為定值；(3)如圖2，點(diǎn)P在第二象限，，若點(diǎn)M在直線上，且橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)M作軸于點(diǎn)N，求線段長度的最大值．49．（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，與軸交于點(diǎn)，且?(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，點(diǎn)為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，且滿足，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)如圖，點(diǎn)為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，交軸于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長度是否會(huì)變化？若不變，求其值；若變化，求變化范圍．考點(diǎn)九與二次函數(shù)有關(guān)的特殊三角形問題50．（2024·四川雅安·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于，兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)如圖①，若點(diǎn)P是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），過點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)Q，當(dāng)線段的長度最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)如圖②，在（2）的條件下，過點(diǎn)Q的直線與拋物線交于點(diǎn)D，且．在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得為等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．51．（2024·四川遂寧·中考真題）二次函數(shù)的圖象與軸分別交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，為拋物線上的兩點(diǎn)．(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)的橫坐標(biāo)為，的橫坐標(biāo)為，試探究：的面積是否存在最小值，若存在，請(qǐng)求出最小值，若不存在，請(qǐng)說明理由．52．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上．

(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)點(diǎn)在第二象限內(nèi)，且的面積為3時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)在直線上是否存在點(diǎn)，使是以為斜邊的等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．53．（2024·四川達(dá)州·中考真題）如圖1，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．點(diǎn)是拋物線的頂點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖2，連接，，直線交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上位于點(diǎn)上方的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．54．（2024·甘肅隴南·二模）如圖，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)E，連接．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)點(diǎn)Q在該拋物線的對(duì)稱軸上，若是以為腰的等腰三角形，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；(3)若P為的中點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)F，G為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，軸于點(diǎn)M，N為直線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以F、M、G、N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．55．（2024·四川涼山·二模）如圖①，直線與軸、軸分別交于，兩點(diǎn)，拋物線與軸交于點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，設(shè)是點(diǎn)，間拋物線上的點(diǎn)（包括端點(diǎn)）．其橫坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式；(2)當(dāng)為何值時(shí)，面積取得最大值？請(qǐng)說明理由；(3)如圖②，連接，拋物線上是否存在點(diǎn)，使得是以為底的等腰三角形，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)，不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)十與二次函數(shù)有關(guān)的特殊四邊形問題56．（2024·吉林長春·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線（b為常數(shù)）經(jīng)過點(diǎn)．點(diǎn)P在拋物線上，且橫坐標(biāo)為m，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，連接、．(1)求該拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式．(2)連接，當(dāng)軸時(shí)，求m的值．(3)以線段、為鄰邊構(gòu)造，①邊的長的最小值為________，此時(shí)的面積為________．②當(dāng)，且拋物線在的內(nèi)部（不含的邊界）的部分的y值隨x的增大而增大或隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出m的取值范圍．57．（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）綜合與探究如圖，拋物線的對(duì)稱軸是直線，與軸交于點(diǎn)、兩點(diǎn)，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，(1)求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(3)點(diǎn)為線段上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，直線交拋物線于點(diǎn)，求線段的最大值；(4)點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在平面直角坐標(biāo)系中是否存在一點(diǎn)，使以點(diǎn)、、、為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．58．（2024·廣東汕頭·三模）如圖1，拋物線和直線交于A，兩點(diǎn)，過點(diǎn)作直線軸于點(diǎn)．(1)求的度數(shù)．(2)如圖2，點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長度的速度沿線段向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長度的速度沿線段向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．以為邊作矩形，使點(diǎn)在直線上．①當(dāng)為何值時(shí)，矩形的面積最??？并求出最小面積；②直接寫出當(dāng)為何值時(shí)，恰好有矩形的頂點(diǎn)落在拋物線上．59．（2024·四川瀘州·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，且關(guān)于直線對(duì)稱．(1)求該拋物線的解析式；(2)當(dāng)時(shí)，y的取值范圍是，求t的值；(3)點(diǎn)C是拋物線上位于第一象限的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)C作x軸的垂線交直線于點(diǎn)D，在y軸上是否存在點(diǎn)E，使得以B，C，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，求出該菱形的邊長；若不存在，說明理由．60．（23-24九年級(jí)下·海南省直轄縣級(jí)單位·階段練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)P是拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；(2)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線上方時(shí)，過點(diǎn)P作y軸的平行線交直線于點(diǎn)E．①求面積的最大值；②點(diǎn)M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)B，E，P，M為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)如圖2，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作交拋物線于點(diǎn)Q，過點(diǎn)D作于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)H到拋物線對(duì)稱軸距離的最大值．61．（2024·吉林長春·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線上．設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，記拋物線對(duì)稱軸與x軸的交點(diǎn)為D．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)若時(shí)，，則m的取值范圍為；(3)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，且軸，將線段的中點(diǎn)繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)Q，以、為鄰邊作矩形．①當(dāng)點(diǎn)N落在拋物線時(shí)，求的長；②設(shè)矩形的對(duì)稱中心為點(diǎn)R，當(dāng)點(diǎn)R位于拋物線的對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，連接，當(dāng)垂直于矩形的一條對(duì)角線時(shí)，直接寫出m的值．62．（23-24九年級(jí)下·江蘇南通·階段練習(xí)）如圖1，拋物線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．(1)求該拋物線的表達(dá)式．(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．(3)如圖2，過點(diǎn)P作直線的垂線，垂足為M．以為對(duì)角線作正方形，當(dāng)點(diǎn)Q落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，請(qǐng)寫出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)．考點(diǎn)十一二次函數(shù)營銷問題63．（2024·湖南懷化·一模）受新冠疫情影響，3月1日起，“君樂買菜”網(wǎng)絡(luò)公司某種蔬菜的銷售價(jià)格開始上漲．如圖1，前四周該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格(元/)與周次(是正整數(shù)，)的關(guān)系可近似用函數(shù)刻畫；進(jìn)入第5周后，由于外地蔬菜的上市，該蔬菜每周的平均銷售價(jià)格(元/)從第5周的6元/下降至第6周的5.6元/，與周次()的關(guān)系可近似用函數(shù)刻畫．(1)求，的值．(2)若前五周該蔬菜的銷售量與每周的平均銷售價(jià)格元之間的關(guān)系可近似地用如圖所示的函數(shù)圖象刻畫，第周的銷售量與第周相同：①求與的函數(shù)表達(dá)式；②在前六周中，哪一周的銷售額元最大？最大銷售額是多少？(3)若該蔬菜第7周的銷售量是，由于受降雨的影響，此種蔬菜第周的可銷售量將比第周減少．為此，公司又緊急從外地調(diào)運(yùn)了此種蔬菜，剛好滿足本地市民的需要，且使此種蔬菜第周的銷售價(jià)格比第周僅上漲．若在這一舉措下，此種蔬菜在第周的總銷售額與第周剛好持平，請(qǐng)通過計(jì)算估算出的整數(shù)值．64．（2024·湖北黃石·二模）為助推鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展，解決茶農(nóng)賣茶難問題，某地政府在新茶上市天內(nèi)，幫助“幸福村”茶農(nóng)合作社集中銷售茶葉，設(shè)第天（為整數(shù)）的售價(jià)為（元/斤），日銷售額為（元）．據(jù)銷售記錄知：①第天銷量為斤，以后每天比前一天多賣斤；②前天的價(jià)格一直為元/斤，后天價(jià)格每天比前一天跌元，(1)當(dāng)時(shí)，寫出與的關(guān)系式；(2)當(dāng)為何值時(shí)日銷售額最大，最大為多少？(3)若日銷售額不低于元時(shí)可以獲得較大利潤，當(dāng)天合作社將向希望小學(xué)捐款元，用于捐資助學(xué)，若“幸福村”茶農(nóng)合作社計(jì)劃幫助希望小學(xué)購買元的圖書，求的最小整數(shù)值．65．（2024·湖南常德·一模）2023年6月29日，安鄉(xiāng)“中國醬鹵之鄉(xiāng)”成功授牌，安鄉(xiāng)的醬鹵美食深受全國各地人們喜愛．某醬鹵店開通了網(wǎng)上銷售渠道，在開始售賣當(dāng)天提供150件某醬鹵制品，很快就被搶購一空，該店決定讓當(dāng)天未購買到的顧客可通過網(wǎng)上預(yù)約在第二天優(yōu)先購買，并且從第二天起，每天比前一天多供應(yīng)m件（m為正整數(shù)）．經(jīng)過連續(xù)15天的銷售統(tǒng)計(jì)，得到第x天（，且x為正整數(shù)）的供應(yīng)量（單位：件）和需求量（單位：件）的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表，其中需求量與x滿足某二次函數(shù)關(guān)系．（假設(shè)當(dāng)天預(yù)約的顧客第二天都會(huì)購買，當(dāng)天的需求量不包括前一天的預(yù)約數(shù)）第x天12…6…11…15供應(yīng)量（件）150………需求量（件）220229…245…220…164(1)直接寫出與x和與x的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出x的取值范圍）(2)已知從第10天開始，有需求的顧客都不需要預(yù)約就能購買到（即前9天的總需求量超過總供應(yīng)量，前10天的總需求量不超過總供應(yīng)量），求m的值；（參考數(shù)據(jù)：前9天的總需求量為2136件）(3)在第（2）問m取最小值的條件下，若每件醬鹵制品售價(jià)為100元，求第4天的銷售額．66．（2023·山東青島·三模）某食品廠生產(chǎn)一種半成品食材，成本為2元/千克，每天的產(chǎn)量p（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足函數(shù)關(guān)系式，從市場反饋的信息發(fā)現(xiàn)，該半成品食材每天的市場需求量q（百千克）與銷售價(jià)格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：銷售價(jià)格x（元/千克）24……10市場需求量q（百千克）1210……4已知按物價(jià)部門規(guī)定銷售價(jià)格x不低于2元/千克且不高于10元/千克．(1)直接寫出q與x的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)每天的產(chǎn)量小于或等于市場需求量時(shí)，這種半成品食材能全部售出，而當(dāng)每天的產(chǎn)量大于市場需求量時(shí)，只能售出符合市場需求量的半成品食材，剩余的食材由于保質(zhì)期短而只能廢棄，解答下列問題：①當(dāng)每天的半成品食材能全部售出時(shí)，求x的取值范圍；②求廠家每天獲得的利潤y（百元）與銷售價(jià)格x的函數(shù)關(guān)系式；③求廠家每天獲得的最大利潤y是多少？并求出取到最大利潤時(shí)x的值．(3)若要使每天的利潤不低于24（百元），并盡可能地減少半成品食材的浪費(fèi)，則x應(yīng)定為_________元/千克．考點(diǎn)十二動(dòng)點(diǎn)背景下的二次函數(shù)問題67．（2024·河北保定·二模）如圖1，一塊矩形電子屏中，G為上一感應(yīng)點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P為一光點(diǎn)，當(dāng)光點(diǎn)在光帶上運(yùn)動(dòng)時(shí)，會(huì)與感應(yīng)點(diǎn)發(fā)生反應(yīng)，照亮以為邊的正方形區(qū)域．因發(fā)生故障，只有光帶和正常工作，，光點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿勻速運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)停止．設(shè)光點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，照亮的正方形區(qū)域的面積為S．圖2為P點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中S與t的函數(shù)圖像，其中點(diǎn)Q表示P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)情形．(1)時(shí)，照亮的區(qū)域面積______，并求a值．(2)當(dāng)點(diǎn)P經(jīng)過M點(diǎn)又運(yùn)動(dòng)4秒時(shí)，照亮區(qū)域的面積達(dá)到了最小，已知此時(shí)S是t的二次函數(shù)．①求出點(diǎn)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)S關(guān)于t的函數(shù)解析式；②點(diǎn)P從開始運(yùn)動(dòng)到停止的整個(gè)過程中，直接寫出t為何值時(shí)，照亮區(qū)域的面積S為17．68．（2024·江西贛州·二模）如圖，在矩形中，已知，點(diǎn)是的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位的速度沿折線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．連接，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，的面積為，圖中的曲線是動(dòng)點(diǎn)在線段上時(shí)與的函數(shù)圖象．(1)填空：①____________；②當(dāng)時(shí)，直接寫出與的函數(shù)解析式為____________．(2)經(jīng)探究，發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是關(guān)于的二次函數(shù)．請(qǐng)求出此時(shí)與的函數(shù)解析式，并直接寫出自變量的取值范圍．(3)在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，若存在某個(gè)時(shí)刻，，，使得的值相等．①求出的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求的值．69．（2024·天津·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，為原點(diǎn)，是等腰直角三角形，，點(diǎn)，點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在邊上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），過點(diǎn)作，交的直角邊于點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．(1)如圖①，若點(diǎn)落在上，點(diǎn)的坐標(biāo)是__________，點(diǎn)的坐標(biāo)是__________；(2)設(shè)與重合部分面積為，．①如圖②，若重合部分為四邊形，與邊交于點(diǎn)，，試用含的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②當(dāng)時(shí)，求的取值范圍（請(qǐng)直接寫出結(jié)果即可）．70．（2023·吉林松原·三模）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)C停止，過點(diǎn)P作交點(diǎn)Q，以線段的中點(diǎn)為對(duì)稱中心將旋轉(zhuǎn)得到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，與重合部分的面積為S（）．

(1)求當(dāng)點(diǎn)D落在邊上時(shí)t的值；(2)求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量t的取值范圍；(3)直接寫出當(dāng)是等腰三角形時(shí)t的值．71．（23-24九年級(jí)上·遼寧沈陽·期末）問題提出：四邊形是正方形，是射線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在線段的延長線上，且，連接，將線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，設(shè)，四邊形的面積為（可等于0）．(1)如圖①，當(dāng)點(diǎn)由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)過程中，發(fā)現(xiàn)是關(guān)于的二次函數(shù)，并繪制成如圖②所示的圖象，拋物線經(jīng)過原點(diǎn)且頂點(diǎn)為，請(qǐng)根據(jù)圖象信息，回答下列問題：①正方形的邊長為___________（直接填空）；②求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；(3)若在射線上從下至上依次存在不同位置的兩個(gè)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的四邊形的面積與四邊形的面積相等，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．72．（2023·山東青島·二模）如圖1，在菱形中，、交于點(diǎn)E，厘米，點(diǎn)F在上，厘米．點(diǎn)P、Q分別從A、E兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以k厘米/秒的速度沿向點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，用時(shí)8秒到達(dá)點(diǎn)E；點(diǎn)Q以m厘米/秒的速度沿向點(diǎn)E勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒，的面積為平方厘米，的面積為平方厘米．

(1)圖2中的線段是與x的函數(shù)圖象，則與x的函數(shù)關(guān)系式為________，m的值為________；(2)圖2中的拋物線是與x的函數(shù)圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)是，求點(diǎn)P的速度及對(duì)角線的長；(3)在圖2中，點(diǎn)G是x軸正半軸上一點(diǎn)（，過G作垂直于x軸，分別交拋物線和線段于點(diǎn)M、N．①直接寫出線段的長在圖1中所表示的意義；②當(dāng)時(shí)，求線段長的最大值．

第二十二章二次函數(shù)綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一二次函數(shù)規(guī)律探究…………2考點(diǎn)二與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題………………8考點(diǎn)三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)………………26考點(diǎn)四二次函數(shù)背景下的最值討論問題………32考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象的變換問題………………41考點(diǎn)六二次函數(shù)的臨界點(diǎn)問題…………………66考點(diǎn)七與二次函數(shù)有關(guān)的角度問題……………83考點(diǎn)八與二次函數(shù)有關(guān)的線段問題……………94考點(diǎn)九與二次函數(shù)有關(guān)的特殊三角形問題……………………104考點(diǎn)十與二次函數(shù)有關(guān)的特殊四邊形問題……………………122考點(diǎn)十一二次函數(shù)營銷問題……………………147考點(diǎn)十二動(dòng)點(diǎn)背景下的二次函數(shù)問題…………155考點(diǎn)一二次函數(shù)規(guī)律探究1．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的圖象如圖所示，已知A點(diǎn)坐標(biāo)為，過點(diǎn)A作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸交拋物線于點(diǎn)，過點(diǎn)作交拋物線于點(diǎn)……，依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．

【答案】【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，先求出直線的解析式，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出直線的解析式，從而求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，以此類推可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)、、之間的規(guī)律求出點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】解：設(shè)直線的解析式為：，∵點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴直線的解析式為：，∵軸交拋物線于點(diǎn)，∴，∵交拋物線于點(diǎn)，∴設(shè)直線的解析式為：，∴將代入解析式中得：，∴直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，∵軸交拋物線于點(diǎn)，∴，同理可得：直線的解析式為：，當(dāng)時(shí)，解得：，，∴，……∴以此類推點(diǎn)∴的坐標(biāo)為：，故答案為：．2．（23-24九年級(jí)上·廣東珠?！て谥校┤鐖D，點(diǎn)、、、…、在拋物線圖象上，點(diǎn)、、、…、在y軸上，若、、…、都為等腰直角三角形（點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的腰長=

【答案】【分析】利用等腰直角三角形的性質(zhì)及點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系求出第一個(gè)等腰直角三角形的腰長，用類似的方法求出第二個(gè)，第三個(gè)…的腰長，觀察其規(guī)律，最后得出結(jié)論.【詳解】作軸,軸，垂足分別為C、E，軸于點(diǎn)F，軸于點(diǎn)D，軸于點(diǎn)N.、都是等腰直角三角形，設(shè)，則，將其代入解析式得：解得：（不符合題意）或,,可得,,，，.…的腰長為：.故答案為.

【點(diǎn)睛】此題考查了在函數(shù)圖象中利用點(diǎn)的坐標(biāo)與圖形的關(guān)系求線段的長度，涉及到了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，拋物線的解析式的運(yùn)用等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)．3．（2023·浙江臺(tái)州·二模）觀察規(guī)律，，，…，運(yùn)用你觀察到的規(guī)律解決以下問題：如圖，分別過點(diǎn)作x軸的垂線，交的圖像于點(diǎn)，交直線于點(diǎn)．則的值為．

【答案】【分析】先求出的坐標(biāo)，然后求出的長.運(yùn)用觀察到的規(guī)律求出的值，即可求出的值.【詳解】由，得

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)二次函數(shù)表達(dá)式求點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)一次函數(shù)表達(dá)式求點(diǎn)的坐標(biāo)，及平行于y軸的直線上的兩點(diǎn)間的距離.觀察規(guī)律，理解規(guī)律，并會(huì)正確應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.4．（2021·山東德州·二模）如圖，拋物線y＝x2在第一象限內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點(diǎn)（橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都為整數(shù)的點(diǎn)）依次為A1，A2，A3…An，…．將拋物線y＝x2沿直線L：y＝x向上平移，得一系列拋物線，且滿足下列條件：①拋物線的頂點(diǎn)M1，M2，M3，…Mn，…都在直線L：y＝x上；②拋物線依次經(jīng)過點(diǎn)A1，A2，A3…An，…．則頂點(diǎn)M2014的坐標(biāo)為．【答案】（4027，4027）【分析】根據(jù)拋物線y＝x2與拋物線yn＝（x﹣an）2+an相交于An，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律，可得答案．【詳解】解：M1（a1，a1）是拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1的頂點(diǎn)，拋物線y＝x2與拋物線y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，得x2＝（x﹣a1）2+a1，即2a1x＝a12+a1，x＝（a1+1），∵x為整數(shù)點(diǎn)，∴a1＝1，M1（1，1）；M2（a2，a2）是拋物線y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2頂點(diǎn)，拋物線y＝x2與y2相交于A2，x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，∴2a2x＝a22+a2，x＝（a2+1），∵x為整數(shù)點(diǎn)，∴a2＝3，M2（3，3），M3（a3，a3）是拋物線y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3頂點(diǎn)，拋物線y＝x2與y3相交于A3，x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，∴2a3x＝a32+a3，x＝（a3+1），∵x為整數(shù)點(diǎn)∴a3＝5，M3（5，5），∴點(diǎn)M2014，兩坐標(biāo)為：2014×2﹣1＝4027，∴M2014（4027，4027），故答案為：（4027，4027）．【點(diǎn)睛】本題是點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律型探究題，結(jié)合二次函數(shù)求出點(diǎn)的坐標(biāo)并觀察規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二與二次函數(shù)有關(guān)的最值問題5．（21-22九年級(jí)上·湖北荊州·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣交x軸于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．（1）求直線BC的解析式；（2）求拋物線的頂點(diǎn)及對(duì)稱軸；（3）若點(diǎn)Q是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，線段AQ+CQ是否存在最小值？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（4）若點(diǎn)P是直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，△PBC的面積是否存在最大值？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及此時(shí)△PBC的面積；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為；（3）存在，；（4）存在，【分析】（1）分別令進(jìn)而求得的坐標(biāo)，待定系數(shù)法求解一次函數(shù)解析式即可；（2）將二次函數(shù)解析式根據(jù)配方法化為頂點(diǎn)式，進(jìn)而求得頂點(diǎn)坐標(biāo)和對(duì)稱軸；（3）根據(jù)軸對(duì)稱確定最短路線問題可知存在點(diǎn)，即與對(duì)稱軸的交點(diǎn)坐標(biāo)使的線段最??；（4）過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，求得的長，根據(jù)求得的面積，進(jìn)而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得取得最大值時(shí)的點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）令，則整理得解得令，則設(shè)直線的解析式為解得直線的解析式為（2）頂點(diǎn)，對(duì)稱軸為；（3）由對(duì)稱性可知，與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為使得線段最小的點(diǎn)，時(shí)，存在點(diǎn)，使得線段最?。?）如圖，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，的面積最大為，此時(shí)存在點(diǎn)，使得的面積最大．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，軸對(duì)稱確定最短路線問題，二次函數(shù)最值問題，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·天津?yàn)I海新·二模）已知：拋物線（b，c為常數(shù)），經(jīng)過點(diǎn)A（－2，0），C（0，4），點(diǎn)B為拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)P為直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)M，N是該拋物線對(duì)稱軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)M在點(diǎn)N下方，求四邊形AMNC周長的最小值．【答案】(1)(2)（3，5）(3)【分析】(1)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)首先點(diǎn)B的坐標(biāo)，再求出直線BC的解析式，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)，,當(dāng)時(shí)，有最大值,即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）由四邊形AMNC的周長，得到當(dāng)AM+CN最小時(shí)，四邊形AMNC的周長最小，得出AM+CN=AM+DM，求出的最小值即可得到結(jié)論.【詳解】（1）解：∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（-2，0），C（0，4），∴解得∴該拋物線的解析式：（2）解：∵點(diǎn)B是拋物線與x軸的交點(diǎn)，∴，∴，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+n，

∵點(diǎn)B（6，0），C(0，4)∴解得，∴直線解析式為：，

如圖，過點(diǎn)P作PF⊥x軸于F，交于點(diǎn)Q，設(shè)點(diǎn)，

∴，∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，5）．（3）解：∵A（-2，0），C（0，4），∴，∵四邊形AMNC的周長，，∴當(dāng)AM+CN最小時(shí)，四邊形AMNC的周長最小.將CN向下平移2個(gè)單位長度，得到對(duì)應(yīng)線段DM，∴點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），∴AM+CN=AM+DM，可知拋物線的對(duì)稱軸為直線，如圖，作點(diǎn)D關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，可求得（4，2），連接，則，

過點(diǎn)作⊥x軸于點(diǎn)E，，，∴的最小值為，∴四邊形周長的最小值為．【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)中考?jí)狠S題，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、最短路線問題等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北恩施·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，點(diǎn)，在軸上，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，兩點(diǎn)，且與直線交于另一點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，為平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，是否存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形．若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）為軸上一點(diǎn)，過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，連接，．探究是否存在最小值．若存在，請(qǐng)求出這個(gè)最小值及點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）存在以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）存在最小值，最小值為，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．【分析】（1）由題意易得，進(jìn)而可得，則有，然后把點(diǎn)B、D代入求解即可；（2）設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，然后根據(jù)兩點(diǎn)距離公式可進(jìn)行分類求解即可；（3）由題意可得如圖所示的圖象，連接OM、DM，由題意易得DM=EM，四邊形BOMP是平行四邊形，進(jìn)而可得OM=BP，則有，若使的值為最小，即為最小，則有當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，然后問題可求解．【詳解】解：（1）∵四邊形為正方形，，∴，，∴，∴OB=1，∴，把點(diǎn)B、D坐標(biāo)代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）由（1）可得，拋物線解析式為，則有拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴由兩點(diǎn)距離公式可得，設(shè)點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形時(shí)，則根據(jù)菱形的性質(zhì)可分：①當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；②當(dāng)時(shí)，如圖所示：∴由兩點(diǎn)距離公式可得，即，解得：，∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為或；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的菱形，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或；（3）由題意可得如圖所示：連接OM、DM，由（2）可知點(diǎn)D與點(diǎn)E關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，，∴，DM=EM，∵過點(diǎn)作拋物線對(duì)稱軸的垂線，垂足為，∴，∴四邊形BOMP是平行四邊形，∴OM=BP，∴，若使的值為最小，即為最小，∴當(dāng)點(diǎn)D、M、O三點(diǎn)共線時(shí)，的值為最小，此時(shí)OD與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為M，如圖所示：∵，∴，∴的最小值為，即的最小值為，設(shè)線段OD的解析式為，代入點(diǎn)D的坐標(biāo)得：，∴線段OD的解析式為，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、菱形的性質(zhì)及軸對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（23-24九年級(jí)上·湖北孝感·階段練習(xí)）如圖1，拋物線與軸交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，已知點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)為拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)及周長最小值；(3)如圖2，點(diǎn)為直線上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)，的周長最小值為(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求解析式；（2）先求得然后求得求出的解析式，根據(jù)拋物線的解析式求得對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性可得在上時(shí)，的周長最小，進(jìn)而即可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)的坐標(biāo)，勾股定理，即可求解；（3）過點(diǎn)作軸于，交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，則點(diǎn)，由三角形面積公式可得，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線圖象上，∴，解得：，∴拋物線解析式為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得：∴,設(shè)直線的解析式為，代入、坐標(biāo)得，解得：，，∴直線的解析式為，∵∴拋物線對(duì)稱軸為直線依題意，，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，的周長最小則當(dāng)在直線上時(shí)，的周長最小當(dāng)時(shí)，，則∵，，，∴，，∴此時(shí)，的周長為

（3）解：由（2）可得直線的解析式為，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如圖，

設(shè)，則，∴，∴；∵，∴時(shí)，最大，為．此時(shí)；【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，利用參數(shù)列方程是本題的關(guān)鍵．9．（2022·湖北恩施·一模）如圖，已知直線與x軸，y軸分別交于點(diǎn)A，B，拋物線的頂點(diǎn)是，且與x軸交于C，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)E，P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作于點(diǎn)G．(1)求b、c的值；(2)若點(diǎn)M是拋物線對(duì)稱軸上任意點(diǎn)，點(diǎn)N是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)N，使得以點(diǎn)C，D，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)你求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)你說明理由．(3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，線段的長最??？最小值為多少？【答案】(1)，．(2)存在，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．(3)當(dāng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí)，有最小值，最小值為．【分析】（1）先根據(jù)頂點(diǎn)式寫出拋物線的解析式，然后展開，最后對(duì)比即可解答；（2）先確定拋物線的對(duì)稱軸，再令y=0確定C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而確定CD的長度，然后分以CD為邊和對(duì)角線兩種情況分別解答即可；（3）先根據(jù)直線確定A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，然后確定AB的長，再求出的值；如圖1，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，可得，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則、，再表示出PH的長，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)是∴拋物線為，即，故，．（2）解：存在，理由如下：∵拋物線的頂點(diǎn)是，∴拋物線的對(duì)稱軸為，將代入，得或，，．Ⅰ.如圖2，當(dāng)以為菱形的邊時(shí)，平行且等于.若點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)，，，把代入，得，點(diǎn)的坐標(biāo)為..，四邊形為菱形.即符合題意.同理可知，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為時(shí)，四邊形也為菱形.Ⅱ.如圖3，當(dāng)為菱形的對(duì)角線時(shí)，根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分，可得對(duì)稱軸垂直平分，所以，在對(duì)稱軸上.又因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．綜上所述，符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．（3）解：把代入，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.把代入，得，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為∴，∴，如圖1，過點(diǎn)作軸交于點(diǎn)，則有，∴，∴，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，此時(shí)有最小值，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)與特殊四邊形綜合、二次函數(shù)求最值等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．10．（2024·四川南充·中考真題）已知拋物線與軸交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；(2)如圖，拋物線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），直線，分別交拋物線于點(diǎn)，，設(shè)面積為，面積為，求的值；(3)如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)的直線（不與對(duì)稱軸重合）與拋物線交于點(diǎn)，，過拋物線頂點(diǎn)作直線軸，點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)．求的最小值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（）利用待定系數(shù)法即可求解；（）設(shè)，直線為，求出，直線為，求出，聯(lián)立方程組得，，再根據(jù)，即可求解；（）設(shè)直線為，由得，得，設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物，得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，則有，過點(diǎn)作于F，則，則，，根據(jù)勾股定理得，即可求出最小值．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于點(diǎn)，，，

解得，∴拋物線的解析式為；（2）設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，設(shè)，直線為，據(jù)題意得，，解得，∴，聯(lián)立得，解得或，∴，

，

，∴；（3）設(shè)直線為，由得，∴，∴，

設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線，得，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：，，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接，

由題意得直線，則，∴，過點(diǎn)作于F，則．則，，

在中，，

即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，解一元二次方程，根的判別式，勾股定理，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三二次函數(shù)背景下分段函數(shù)11．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·期中）已知函數(shù)，若則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，有最小值 B．當(dāng)時(shí)，無最大值C．當(dāng)時(shí)，有最小值 D．當(dāng)時(shí)，有最大值【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合和分類討論的思想進(jìn)行求解即可．【詳解】解：畫出函數(shù)圖象如圖：

由圖可知：當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即：，∴，∴，當(dāng)?shù)闹翟叫?，越小，無限接近0，但不等于0，即沒有最小值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，的值最大，為，綜上：當(dāng)時(shí)，有最大值，無最小值，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，即：，∴當(dāng)越小時(shí)，的值越大，即沒有最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，和的函數(shù)值相同時(shí)，的值最小，綜上：當(dāng)，有最小值，無最大值；故選項(xiàng)C正確，D錯(cuò)誤．故選C．12．（2024·湖北武漢·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，畫出了函數(shù)的部分圖象，若關(guān)于x的方程有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的值為（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】此題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合和分類討論是解題的關(guān)鍵，補(bǔ)全函數(shù)圖象，分和兩種情況分別利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解答即可.【詳解】解：由函數(shù)可知，和時(shí)的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，補(bǔ)全函數(shù)圖象如圖所示，當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得或，由圖象可知，不合題意，舍去，即，當(dāng)時(shí)，當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí)，則，即有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即，解得或，由圖象可知，不合題意，舍去，即，綜上可知，k的值為或，故選：D13．（19-20九年級(jí)上·湖北黃石·期中）已知函數(shù)，若使y＝k成立的x值恰好有三個(gè)，則k的值為．【答案】3【分析】首先在坐標(biāo)系中畫出已知函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法即可找到使y=k成立的x值恰好有三個(gè)的k值．【詳解】函數(shù)的圖象如圖：根據(jù)圖象知道當(dāng)y=3時(shí)，對(duì)應(yīng)成立的x有恰好有三個(gè)，∴k=3．故答案為3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用二次函數(shù)的圖象解決交點(diǎn)問題，解題的關(guān)鍵是把解方程的問題轉(zhuǎn)換為根據(jù)函數(shù)圖象找交點(diǎn)的問題．14．（18-19九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)P（x，y），Q（x，y′），其中y′＝，則稱Q點(diǎn)是P點(diǎn)的可控點(diǎn)．若P（x，y）滿足y＝－x2＋16，其中（－5≤x≤a）時(shí)，可控點(diǎn)Q（x，y′）滿足－16≤y′≤16，則a的取值范圍為．【答案】【分析】本題先理解定義，依據(jù)題意畫出函數(shù)圖象即可求解．【詳解】依題意，圖象上的點(diǎn)P的“可控變點(diǎn)”必在函數(shù)的圖象上（如圖），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∵，∴，∵，當(dāng)，代入，解得：，當(dāng)，代入，解得：，∵時(shí)，可控點(diǎn)Q（，）滿足，∴實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象應(yīng)用問題，解決此類問題：首先根據(jù)題意，大致畫出函數(shù)圖象，依據(jù)圖象確定數(shù)值的取值范圍．15．（22-23九年級(jí)上·吉林白城·階段練習(xí)）已知函數(shù)(1)點(diǎn)P（2，2）在此函數(shù)的圖象上．①求n的值．②求此函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)．(2)當(dāng)n=1時(shí)，此函數(shù)的最大值為．【答案】(1)①n=2；②（0，1）(2)1【分析】（1）①根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)比1大，將點(diǎn)P代入即可求得n的值．②根據(jù)當(dāng)圖象與y軸有交點(diǎn)時(shí)，x值為0；將x=0代入求出y值，即可得出交點(diǎn)坐標(biāo)．（2）當(dāng)n=1分別代入兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式中，求出各自表達(dá)式的最大值，最后兩者取最大值即可．【詳解】（1）①解：∵在點(diǎn)P（2，2）中，x≥1∴將點(diǎn)P（2，2）代入函數(shù)中得解得②解：求此函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)，即求當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)．∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為∴當(dāng)，∴此函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)為(0，1)．（2）解：當(dāng)n=1時(shí)，函數(shù)表達(dá)式為當(dāng)時(shí)，將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)為頂點(diǎn)式為．∴函數(shù)對(duì)稱軸為，在右側(cè)，函數(shù)圖象隨x的增大而減小．∴當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值，最大值為，解得．∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值1．當(dāng)時(shí)，將函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)為頂點(diǎn)式為．∴函數(shù)對(duì)稱軸為．∴當(dāng)，函數(shù)有最大值，最大值為，解得．∴當(dāng)n=1時(shí)，此函數(shù)的最大值為1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，根據(jù)x值的取值判斷函數(shù)表達(dá)式和用頂點(diǎn)式求函數(shù)最大值是解本題的關(guān)鍵．考點(diǎn)四二次函數(shù)背景下的最值討論問題16．（2023·遼寧大連·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，的最小值為，最大值為，則的值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【分析】本題考查了二次函數(shù)的最值問題，二次函數(shù)的增減性，由題意可得，，則的最小值為為負(fù)數(shù)，最大值為為正數(shù)．最大值為分兩種情況：①結(jié)合拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，求出，結(jié)合圖象最小值只能由時(shí)求出；②結(jié)合拋物線頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍，圖象最大值只能由求出，最小值只能由求出．【詳解】解：二次函數(shù)的大致圖象如下：

①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：或均不合題意，舍去；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，取最小值，即，解得：．當(dāng)時(shí)，取最大值，即，解得：，或時(shí)，取最小值，時(shí)，取最大值，，，，，此種情形不合題意，所以．故選：B．17．（2024·黑龍江大慶·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則a的值為（

）A．1或 B．2或 C．2或 D．或【答案】D【分析】依據(jù)題意，由，故拋物線的對(duì)稱軸是直線，拋物線開口向下，又當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的最大值為，最小值為，若，進(jìn)而分類討論計(jì)算可以得解．【詳解】解：由題意，∵，∴拋物線的對(duì)稱軸是直線，拋物線開口向下．①當(dāng)時(shí)，即，∵時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)時(shí)，取最小值為；當(dāng)時(shí)，取最大值為；又∵，∴∴，不合題意．②當(dāng)時(shí)，∵時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，取最大值為；當(dāng)時(shí)，取最小值為；又∵，∴，∴，不合題意．③當(dāng)時(shí)，即.∴當(dāng)時(shí)，取最大值為若當(dāng)時(shí)，取最小值為；∴，∴（舍去）或．當(dāng)時(shí)，取最小值為；∴，∴，∴（舍去）或．綜上，或．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的最值，一元二次方程的解法，解題時(shí)要熟練掌握并能靈活運(yùn)用是關(guān)鍵．18．（2024·山東濟(jì)南·二模）拋物線，將其圖象在軸下方的部分沿軸翻折，其余部分保持不變，組成圖形是上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的最大值記為，則取得最小值時(shí)，的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)．根據(jù)題意，結(jié)合所給選項(xiàng)畫出正確的圖形是解決本題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)的圖象的開口向上，圖象過原點(diǎn)，結(jié)合的取值范圍和所給選項(xiàng)，畫出相關(guān)圖形，得到時(shí)，的最大值，比較后得到取得最小值時(shí)，的值為多少．【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的左側(cè)或者軸．所給選項(xiàng)無，所以以對(duì)稱軸在軸左側(cè)為例，畫出圖形．由圖象可得：當(dāng)時(shí)，∴當(dāng)取的最小值時(shí)，最小，即②當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸在軸的右側(cè)．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，圖象的最高點(diǎn)為頂點(diǎn)．．或不合題意，舍去．取得最小值時(shí)，的值為．故選：C．19．（2024·浙江·一模）已知一次函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若的最小值為2，則m的值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】D【分析】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握一次函數(shù)性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．先分析和時(shí)導(dǎo)出，根據(jù)最小值可得最小值為，通過配方得到，再根據(jù)確定的取值．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)，，，的最小值為2，最小值為，，當(dāng)時(shí)，取得最小值，即，，由題意知，所以，當(dāng)時(shí)，，，不符合題意舍去，當(dāng)時(shí)，，滿足題意，故選：D20．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，若，時(shí)，y的最大值為，則t的值是（

）A． B．0 C．1 D．4【答案】C【分析】根據(jù)拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，可以求得該拋物線的對(duì)稱軸，然后再根據(jù)，時(shí)，y的最大值為即可求得的值．【詳解】解：∵拋物線過點(diǎn)，兩點(diǎn)，，解得：，∴拋物線即為，它的開口向下，對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，有最大值，若，則，∵當(dāng)時(shí)，y的最大值為，∴，即，解得：，∵，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．（2024·陜西寶雞·二模）已知二次函數(shù)（a為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，則a的值為（

）A． B．4 C． D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，根據(jù)題意可知二次函數(shù)，故該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，然后根據(jù)對(duì)稱軸所在的位置進(jìn)行分類討論計(jì)算即可；準(zhǔn)確了解當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最值會(huì)發(fā)生變化，從而結(jié)合方程解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：二次函數(shù)，該函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，函數(shù)的最大值為，當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最大值；時(shí)，函數(shù)有最小值；∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最大值；時(shí)，函數(shù)有最小值；∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為9，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值；函數(shù)有最大值；解得；當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)有最小值；函數(shù)有最大值；解得；故選：．22．（21-22九年級(jí)上·湖北荊州·期中）已知二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)有最小值10，則m的值為．【答案】或7/7或-1【分析】對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論，再根據(jù)最小值求出m的值即可．【詳解】解：當(dāng)m<2時(shí)，二次函數(shù)在x=2時(shí)取得最小值，所以，解得，（舍）；當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)在x=m時(shí)取得最小值，∴所以，該方程無解；當(dāng)m>4時(shí)，二次函數(shù)在x=4時(shí)取得最小值，所以，解得，（舍）；故答案為：或7．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵，同時(shí)注意分類討論思想的使用．23．（21-22九年級(jí)上·湖南長沙·期末）二次函數(shù)y＝-(x-1)2+5，當(dāng)m≤x≤n且mn＜0時(shí)，y的最小值為5m，最大值為5n，則m+n的值為．【答案】-3【分析】由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，據(jù)此得最小值為5m為負(fù)數(shù)，最大值為5n為正數(shù)．將最大值為5n分兩種情況，①頂點(diǎn)縱坐標(biāo)取到最大值，結(jié)合圖象最小值只能由x=m時(shí)求出．②頂點(diǎn)縱坐標(biāo)取不到最大值，結(jié)合圖象最大值只能由x=n求出，最小值只能由x=m求出．【詳解】二次函數(shù)y=﹣（x﹣1）2+5的大致圖象如下：①當(dāng)m≤0≤x≤n＜1時(shí)，當(dāng)x=m時(shí)y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣4，當(dāng)x=n時(shí)y取最大值，即5n=﹣（n﹣1）2+5，解得：n=-4或n=1（均不合題意，舍去）；②當(dāng)m≤0≤x≤1≤n時(shí)，當(dāng)x=m時(shí)y取最小值，即5m=﹣（m﹣1）2+5，解得：m=﹣4，當(dāng)x=1時(shí)y取最大值，即5n=﹣（1﹣1）2+5，解得：n=1，或x=n時(shí)y取最小值，x=1時(shí)y取最大值，5m=-（n-1）2+5，n=1，∴m=1，∵m＜0，∴此種情形不合題意，所以m+n=﹣4+1=-3．故答案為：-3．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的最值，一定要考慮二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是否在自變量的取值范圍內(nèi)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．24．（2024·江蘇南京·二模）已知二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖像與軸的公共點(diǎn)為，．(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)當(dāng)，且時(shí)，求的取值范圍；(3)線段長的最小值為．【答案】(1)(2)或(3)【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)的最值，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．（1）把代入得，可得，即可求解；（2）把代入得，把代入得，分類討論，利用數(shù)形結(jié)合思想即可解決；（3）先表示出，再由一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】（1）解：把代入得，∵圖像與x軸的公共點(diǎn)為，，∴．∵，∴；（2）解：把代入得，

把代入得，當(dāng)時(shí)，則，∴．當(dāng)時(shí)，則，∴．綜上所述，m的范圍是：或；（3）解：把代入得，∴，∵，∴，故答案為：．考點(diǎn)五二次函數(shù)圖象的變換問題25．（2024·四川南充·二模）如圖，將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，原拋物線軸上方的圖象與翻折得到圖象組成一個(gè)新函數(shù)的圖象，若直線與新函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是．【答案】或者【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，如圖所示，過點(diǎn)A的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，將直線向下平移到恰在點(diǎn)E處相切，此時(shí)與新圖象也有三個(gè)公共點(diǎn)，準(zhǔn)確畫出圖形，問題隨之得解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A的直線與新圖象有三個(gè)公共點(diǎn)，將直線向上平移到恰在點(diǎn)E處相切，此時(shí)與新圖象也有三個(gè)公共點(diǎn)，令，解得：，，∴，，∵將拋物線在軸下方的圖象沿軸翻折到軸上方，∴翻折之后的二次函數(shù)的解析式為：，將一次函數(shù)與二次函數(shù)聯(lián)立得：，整理得：，令，解得：，當(dāng)一次函數(shù)過點(diǎn)A時(shí)，將代入得：，解得：，∴若直線與這個(gè)新圖象有3個(gè)交點(diǎn)，則b的取值范圍為：或者，故答案為：或者．26．（2024·遼寧大連·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將拋物線：繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得到，向右平移4個(gè)單位，向上平移2個(gè)單位得到．點(diǎn)為的頂點(diǎn)，作直線．點(diǎn)為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，將點(diǎn)向上平移兩個(gè)單位長度得到點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線于點(diǎn)，以、為邊構(gòu)造矩形．設(shè)、、的圖象為．當(dāng)矩形與圖象有三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為．【答案】或或【分析】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象的平移等知識(shí)；利用二次函數(shù)的性質(zhì)，分情況利用數(shù)形結(jié)合的方法分析求解即可．【詳解】解：由題意知，的解析式為，的解析式為；①當(dāng)B與原點(diǎn)重合時(shí)，，此時(shí)矩形不存在；②當(dāng)Q在與y軸的交點(diǎn)上時(shí)，矩形與圖象G有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖：當(dāng)時(shí)，，即；故當(dāng)時(shí)，矩形與圖象G有三個(gè)公共點(diǎn)；③時(shí)，矩形與圖象G只有兩個(gè)公共點(diǎn)，如下圖所示；④由②中可知，當(dāng)時(shí)，矩形與圖象G有四個(gè)公共點(diǎn)；⑤如圖，當(dāng)點(diǎn)D在上時(shí)，矩形與圖象G有三個(gè)公共點(diǎn)；設(shè)直線的解析式為，把點(diǎn)A坐標(biāo)代入得，即；∵點(diǎn)Q向上平移兩個(gè)單位長度得到點(diǎn)B，，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為，即，把點(diǎn)D坐標(biāo)代入，得：，解得：（舍去），；即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為，故；⑥當(dāng)時(shí)，矩形與圖象G只有三個(gè)公共點(diǎn)，如圖；⑦當(dāng)時(shí)，矩形與圖象G只有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖；綜上，當(dāng)或或時(shí)，矩形與圖象G有三個(gè)公共點(diǎn)．27．（2024·四川廣元·三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與其關(guān)于直線對(duì)稱的圖象交于四點(diǎn)，則四邊形的面積為．

【答案】【分析】本題考查了軸對(duì)稱的性質(zhì)，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，四邊形的面積，聯(lián)立函數(shù)解析式求出坐標(biāo)，可求出，連接，設(shè)，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，可得，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得，，即可求解，由軸對(duì)稱的性質(zhì)對(duì)稱坐標(biāo)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由，解得或，∴，，∴，連接，

設(shè)，∵點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，∴，，把、代入得，，得，，整理得，，即，∴，把代入得，，整理得，，解得，，∴，，∴，∵，∴，故答案為：．28．（2024·陜西商洛·三模）如圖，拋物線與軸交于，，與軸交于點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；(2)將拋物線先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到新的拋物線，在的對(duì)稱軸上有一點(diǎn)，坐標(biāo)平面內(nèi)有一點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)且以為邊的四邊形是矩形，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為或【分析】（1）將點(diǎn)，代入得到關(guān)于、的二元一次方程組，求解即可；（2）分兩種情況，分別根據(jù)等腰三角形的判定和性質(zhì)、平移和矩形的性質(zhì)解答即可．【詳解】（1）解：∵拋物線與軸交于，，∴，解得：，∴拋物線的函數(shù)表達(dá)式為；（2）∵將拋物線先向右平移個(gè)單位長度，再向下平移個(gè)單位長度得到新的拋物線，∴，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，∵拋物線與軸交于點(diǎn)，∴，∵，，∴，，①如圖，當(dāng)為矩形一邊，且點(diǎn)在軸的下方，過作軸，∴，∴，∴，∴，∵在的對(duì)稱軸直線上，，∴，，∴，∴，∴點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位可得到點(diǎn)，∴點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向下平移個(gè)單位可得到；②當(dāng)為矩形一邊，且點(diǎn)在軸的上方，的對(duì)稱軸直線與軸交于點(diǎn)，∴，，∵在的對(duì)稱軸直線上，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴點(diǎn)向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位可得到點(diǎn)，∴點(diǎn)向左平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位可得到點(diǎn)；綜上所述，點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，以，為頂點(diǎn)，且以為邊的四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)及圖像的平移，平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余，兩點(diǎn)間距離等知識(shí)點(diǎn)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．29．（2024·河南焦作·二模）已知拋物線的頂點(diǎn)為D．(1)若拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，求a的值及頂點(diǎn)D的坐