中國礦業(yè)大學(北京)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》-課件-頻率與概率-等可能概型(古典概型)

一、頻率的定義與性質(zhì)二、概率的定義與性質(zhì)三、小結(jié)第三節(jié)頻率與概率中國礦業(yè)大學（北京）1.定義一、頻率的定義與性質(zhì)2.性質(zhì)設(shè)A是隨機試驗E的任一事件,則試驗序號12345672315124222521252418272512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.540.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502實例將一枚硬幣拋擲5次、50次、500次,各做

7遍,觀察正面出現(xiàn)的次數(shù)及頻率.波動最小隨n的增大,頻率

f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性從上述數(shù)據(jù)可得(2)拋硬幣次數(shù)n較小時,頻率f

的隨機波動幅度較大,但隨n

的增大,頻率f呈現(xiàn)出穩(wěn)定性.即當n

逐漸增大時頻率f總是在0.5附近擺動,且逐漸穩(wěn)定于0.5.(1)頻率有隨機波動性,即對于同樣的n,所得的

f不一定相同;實驗者德摩根蒲豐204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005我們再來看一個驗證頻率穩(wěn)定性的著名實驗高爾頓(Galton)板試驗.試驗?zāi)Ｐ腿缦滤?自上端放入一小球,任其自由下落,在下落過程中當小球碰到釘子時,從左邊落下與從右邊落下的機會相等.碰到下一排釘子時又是如此.最后落入底板中的某一格子.因此,任意放入一球,則此球落入哪一個格子,預(yù)先難以確定.但是如果放入大量小球,則其最后所呈現(xiàn)的曲線,幾乎總是一樣的.單擊圖形播放/暫停ESC鍵退出請看動畫演示重要結(jié)論頻率當n較小時波動幅度比較大，當n逐漸增大時，頻率趨于穩(wěn)定值，這個穩(wěn)定值從本質(zhì)上反映了事件在試驗中出現(xiàn)可能性的大?。褪鞘录母怕剩?/p>

醫(yī)生在檢查完病人的時候搖搖頭：“你的病很重，在十個得這種病的人中只有一個能救活.”當病人被這個消息嚇得夠嗆時，醫(yī)生繼續(xù)說：“但你是幸運的．因為你找到了我，我已經(jīng)看過九個病人了，他們都死于此病.”

醫(yī)生的說法對嗎?請同學們思考.

1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，給出了概率的嚴格定義，使概率論有了迅速的發(fā)展.二、概率的定義與性質(zhì)概率的可列可加性1.概率的定義證明由概率的可列可加性得2.性質(zhì)概率的有限可加性證明由概率的可列可加性得證明證明證明證明由圖可得又由性質(zhì)3得因此得推廣三個事件和的情況n個事件和的情況解SABAB(3)1.頻率(波動)概率(穩(wěn)定).2.概率的主要性質(zhì)三、小結(jié)Born:25Apr.1903inTambov,Tambov

province,Russia

Died:20Oct.1987inMoscow,Russia柯爾莫哥洛夫資料AndreyNikolaevichKolmogorov一、等可能概型二、典型例題三、小結(jié)第四節(jié)等可能概型(古典概型)1.定義一、等可能概型(古典概型)

設(shè)試驗E的樣本空間由n個樣本點構(gòu)成，A為E的任意一個事件，且包含

k個樣本點，則事件A出現(xiàn)的概率為:2.古典概型中事件概率的計算公式

設(shè)試驗E的樣本空間為S={e1,e2,...,en}，由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是3.計算公式推導1=P(S)=P({e1}{e2}...{en})=P({e1})+P({e2})+...+P({en})=nP({ei})所以P({ei})=1/n

設(shè)試驗E的樣本空間為S={e1,e2,...,en}，由于在試驗中每個基本事件發(fā)生的可能性相同,即有

P({e1})=P({e2})=...=P({en}).又由于基本事件是兩兩互不相容的,于是3.計算公式推導所以P({ei})=1/n3.計算公式推導(續(xù))

若事件A包含k個基本事件,即這里i1,i2,...,ik是1,2,...,n中某k個不同的數(shù).則有解二、典型例題排列組合

排列：從n個不同元素中任取m個，求取法數(shù).排列講次序，組合不講次序.全排列：Pn=n!，0!=1.選排列：

組合：注意：求排列、組合時，要掌握和注意：加法原則、乘法原則.加法原理

完成某件事情有n類途徑，在第一類途徑中有m1種方法，在第二類途徑中有m2種方法，依次類推，在第n

類途徑中有mn種方法，則完成這件事共有m1+m2+…+mn種不同的方法.乘法原理

完成某件事情需先后分成n

個步驟，做第一步有m1種方法，第二步有m2種方法，依次類推，第n

步有mn種方法，則完成這件事共有m1×m2×…×mn種不同的方法.

古典概型的基本模型:摸球模型(1)無放回地摸球問題1

設(shè)袋中有4只白球和2只黑球,現(xiàn)從袋中無放回地依次摸出2只球,求這2只球都是白球的概率.解基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為(2)有放回地摸球問題2

設(shè)袋中有4只紅球和6只黑球,現(xiàn)從袋中有放回地摸球3次,求前2次摸到黑球、第3次摸到紅球的概率.解第1次摸球10種第2次摸球10種第3次摸球10種6種第1次摸到黑球6種第2次摸到黑球4種第3次摸到紅球基本事件總數(shù)為A所包含基本事件的個數(shù)為課堂練習1o

電話號碼問題

在7位數(shù)的電話號碼中,第一位不能為0，求數(shù)字0出現(xiàn)3次的概率.

2o

骰子問題

擲3顆均勻骰子,求點數(shù)之和為4的概率.例2（書）一口袋裝有6只球,其中4只白球,2只紅球.從袋中取球兩次,每次隨機地取一只?？紤]兩種方式:

(a)第一次取一只球,觀察其顏色后放回袋中,攪勻后再取一球.這種取球方式叫做放回抽樣.

(b)第一次取一球不放回袋中,第二次從剩余的球中再取一球.這種取球方式叫做不放回抽樣,試分別就上面兩種情況求(1)取到的兩只球都是白球的概率;

(2)取到的兩只球顏色相同的概率;

(3)取到的兩只球中至少有一只是白球的概率.3637解(a)放回抽樣的情況.以A,B,C分別表示事件"取到的兩只球都是白球","取到的兩只球都是紅球","取到的兩只球中至少有一只是白球",易知"取到兩只顏色相同的球"這一事件即為AB,而

由于AB=f,得個基本事件.解（1）放回抽樣情況：顯然有（1）不放回抽樣情況：顯然樣本空間共有包含的基本事件數(shù)為古典概型的基本模型:球放入杯子模型(1)杯子容量無限問題1

把

4個球放到

3個杯子中去,求第1、2個杯子中各有兩個球的概率,其中假設(shè)每個杯子可放任意多個球.

4個球放到3個杯子的所有放法因此第1、2個杯子中各有兩個球的概率為(2)每個杯子只能放一個球問題2

把4個球放到10個杯子中去,每個杯子只能放一個球,求第1至第4個杯子各放一個球的概率.解第1至第4個杯子各放一個球的概率為2o

生日問題

某班有20個學生都是同一年出生的,求有10個學生生日是1月1日,另外10個學生生日是12月31日的概率.

課堂練習1o

分房問題

將張三、李四、王五3人等可能地分配到3間房中去,試求每個房間恰有1人的概率.在N件產(chǎn)品中抽取n件,其中恰有k件次品的取法共有于是所求的概率為解在N件產(chǎn)品中抽取n件的所有可能取法共有超幾何分布例4

在1~2000的整數(shù)中隨機地取一個數(shù),問取到的整數(shù)既不能被6整除,又不能被8整除的概率是多少?

設(shè)A為事件“取到的數(shù)能被6整除”,B為事件“取到的數(shù)能被8整除”，則所求概率為解于是所求概率為例5將

15名新生隨機地平均分配到三個班級中去,這15名新生中有3名是優(yōu)秀生.問(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的概率是多少?(2)3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的概率是多少?解15名新生平均分配到三個班級中的分法總數(shù):(1)每一個班級各分配到一名優(yōu)秀生的分法共有因此所求概率為(2)將3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有3種,對于每一種分法,其余12名新生的分法有因此3名優(yōu)秀生分配在同一個班級的分法共有因此所求概率為例6

某接待站在某一周曾接待過12次來訪,已知所有這12次接待都是在周二和周四進行的,問是否可以推斷接待時間是有規(guī)定的.

假設(shè)接待站的接待時間沒有規(guī)定,且各來訪者在一周的任一天中去接待站是等可能的.解周一周二周三周四周五周六周日12341277777

故一周內(nèi)接待12次來訪共有小概率事件在實際中幾乎是不可能發(fā)生的,從而可知接待時間是有規(guī)定的.周一周二周三周四周五周六周日周二周四1234122222212次接待都是在周二和周四進行的共有故12次接待都是在周二和周四進行的概率為例7

假設(shè)每人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于1/365,求64個人中至少有2人生日相同的概率.64個人生日各不相同的概率為故64個人中至少有2人生日相同的概率為解說明我們利用軟件包進行數(shù)值計算.定義

當隨機試驗的樣本空間是某個區(qū)域，并且任意一點落在度量(長度、面積、體積)相同的子區(qū)域是等可能的，則事件A的概率可定義為說明當古典概型的試驗結(jié)果為連續(xù)無窮多個時,就歸結(jié)為幾何概型.三、幾何概型

那么

兩人會面的充要條件為例7

甲、乙兩人相約在0到T這段時間內(nèi),在預(yù)定地點會面.先到的人等候另一個人,經(jīng)過時間t(t<T)后離去.設(shè)每人在0到T這段時間內(nèi)各時刻到達該地是等可能的,且兩人到達的時刻互不牽連.求甲、乙兩人能會面的概率.會面問題解故所求的概率為若以x,y

表示平面上點的坐標,則有例8

甲、乙兩人約定在下午1時到2時之間到某站乘公共汽車,又這段時間內(nèi)有四班公共汽車，它們的開車時刻分別為1:15、1:30、1:45、2:00.如果甲、乙約定(1)見車就乘;(2)最多等一輛車.求甲、乙同乘一車的概率.假定甲、乙兩人到達車站的時刻是互相不牽連的，且每人在

1時到2時的任何時刻到達車站是等可能的.見車就乘的概率為設(shè)x,y分別為甲、乙兩人到達的時刻,則有解最多等一輛車,甲、乙同乘一車的概率為蒲豐投針試驗例9

1777年,法國科學家蒲豐(Buffon)提出