張學奇 《微積分（第4版）學習指導與習題解答（上冊）》補充習題解答

微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答PAGEPAGE10微積分（第4版）學習指導與習題解答（上冊）補充習題解答目 錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章 函 數 3習題1.1 3習題1.2 4習題1.3 5第二章 限連續(xù) 6習題2.1 6習題2.2 6習題2.3 7習題2.4 7習題2.5 8習題2.6 9習題2.7 10第三章 數微分 13習題3.2 13習題3.3 14習題3.4 15習題3.5 15第四章 元數分應用 17習題4.2 17習題4.3 18習題4.4 19習題4.6 20習題4.7 20第五章 定分 22習題5.1 22習題5.2 22習題5.3 24習題5.4 26第六章 積分 28習題6.2 28習題6.3 29習題6.4 30第一章 函 數習題1.11.（偶數號題解答）（2）x211x211x3，不等式的區(qū)間表示為1,3；（4）x3x3或x3，不等式的區(qū)間表示為(,3)(3,)；3.（偶數號題解答）（2）要使函數有定義，只須x22x0，解得x0,x2，所以函數的定義域為(,0)(0,2)(2,).（4）要使函數有定義，只須x10，解得x1，所以函數的定義域為(1,).3x0 x3（6）要使函數有定義，只須

x0

，解得x0，所以函數的定義域為(,0)(0,3]6.（偶數號題解答）（2）yf(x2x1xxRxx，則1 2 1 22 1f(x)/f(x)221/22122112 12 1所以f(x)f(x)，即y2x1為(,)內單調增加函數.2 1（4）yf(x)12xx

R，則x 1 2當xx0時，f(x)f(x)1

2122(x1x2)01 2 2 1

x xxx 2 1 12微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答所以f(x)f(x)，即y12

為(,0)內單調減少函數.2 1 x當0x

x時，f(x)f(x)1

2122(x1x2)01 2 2 1

x xxx 2 1 122即y1 為)內單減函數x7.（偶數號題解答）（2）yf(x)xsin2x，因為f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x)，所以yxsin2x是奇函數.（4）yf(x)

xsinx

f(x(xsin(x)

xsinx

f(x)，y

xsinx2cosx

2x是偶函數.

2cos(x) 2cosx習題1.21.（偶數號題解答）（2）由y1ln(x2)解得xey12，即反函數為yex12.x x1

y y1（4）yx2

1x4解得x y

1y16，ex

x4x x1

lny xe4即反數為yx 1x16.lnx xe44.（偶數號題解答）（2）yu2,u1lnx；（4）yarcsinu,uv,v2x1微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答習題1.31.（偶數號題解答）（2）函數y12cosx圖形如下；x（4）函數yln(x2)1圖形如下yyOx3.（偶數號題解答））ynx1（）y1x)2（）yOyOxyx（1）（2）第二章 極限與連續(xù)習題2.1,,1,n（2）1:

111

，lim(1)n10 , , , n 2 34

n n（4）ln1：當n時，11ln1 n n n （2()n

1 12()n2()n,2 2

，當n時，un2

(1)n

不趨于一個常數，該數列極限不存在.習題2.23.（偶數號題解答）12x（2）對于任意給定的正數12x

012x

x

12，10Xlog21

0xX

012x所以lim10.12xx2x（4）對于任意給定的正數，取0，使得當0x2時，總有x24x24(x2)4x2x24x2所以limx2

x2x2

4.習題2.33.（偶數號題解答）x1arctanxxx由有界量與無窮小量的乘積還是無窮小量，得

limx

2arctanx＝0.x（4）x11xx x與無窮小量的乘積還是無窮小量，得limsinxsin1＝0.x x x習題2.41.（偶數號題解答）n1n1 nn2 nn121

limnn2 n2(n1 n)lim n

11

n2(111)n

1211n(n1)（4）11n(n1)n1.2 2.3 3.4微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答(11n n11)(11)(11n n1

)]

1]1.n

2 2 3 3 4

n

n12.（偶數號題解答）2

11（2）

xx

x

x2 00.xx33x21

x131 1x x3(2x3)20(3x2)30 2x3203x230（4）

50 x

(2x1)320

x2x12x12302 x

3 x

220330

330

.x21

21

2

2

2 x x1 3 5x2x3（6）lim(5 )lim

5.x

x x2

x x2（8）lim x

2 lim

x(x1)2x1

x21

x1(x1)(x1) lim(x1)(x2)limx23.x1(x1)(x1) x1 24.（偶數號題解答）（2）2x2x(2x2x21ln10.arctan1

limarctan1

arctanlim1（4）ex

x1ex

x1e

xx1earctan0e01.習題2.52.（偶數號題解答）微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答（2）x0

x

x)x0

x)xxx

1.

2 221cos1cosx2

2x x2sin

2sin2

2（4）

2

2.x0

1cosx

x0

2sin2x2

x0

sin2x2

x22sinxsina（6）lim lim

2cosxasinxa2 2xa

xa

xasinxa

xalimcosxa

2 cosa.xa

2 xa23.（偶數號題解答）

22x

22xx22x

1 x

1 x（2）

xx2

x12

x

22x x

1 x1

x(4)1 2x

x/2x4

e48e4 e8112 x/21 1（4）x)1cosx[1(1x)]1cosxe1x0 x0習題2.63.（偶數號題解答）（）當x0時，(1x2)~x2,ex21~x2.x0

x2)ex21

x0

x2x2

1.（4）x0時，1x~

x,sinx~x.所以222

tanxx

xxcosx

(1cosx)x0

3x

x0

3x

x0cosxsin2x＝

x2/

1 1x0x2x x02cosx 2

xsinx1x1xx

1~

,tanx~x.所以2limx0

xx

lim1x1xx1

xx2xx

1.2習題2.73.（偶數號題解答）x(xx(x2

x2

得函數在x0,x1,x1無定義，所以x0,x1,x1為函數的間斷點，又在x0處，

f(x)

x(x1)

1

1；x0

x0x(x1)(x1)

x0

x1lim

f(x)

x(x1)

1 1.x0

x0x(x1)(x1)

x0x1limx0

f(x)limx0

f(x)，所以x0為函數的第一間斷點，且為跳躍間斷點.x1

f(x)

x(x1)

1 1.x1

x1x(x1)(x1)

x1 2x1 x2x1 x(x2,x12補充義f ，即y2

1, x12

，則函數在x1處連續(xù).x1

f(x)

x(x1)

1

.x1

x1x(x1)(x1)

x1

x1所以x1為函數的第二類間斷點，且為無窮間斷點.1（4）函數在x0處無定義，因為limx0

f(x)limsinxcosx0 x

0，所以x0為函數的第一間斷點，且為可去間斷點.補充定義f(x)0.即f(x)

nxcos1x

,x0，則函數在x0連續(xù)., x0

x0（6）考函數f(x) 1

在x0的連續(xù)性.1ex0 x001 1因為limx0

f(x)limx01e1/x

x0

f(x)limx01e1/x

0，即limx0

f(x)limx0

f(x)，所以x0為函數的第一間斷點，且為跳躍間斷點.4.（偶數號題解答） 1

1 （2）arctan

arctan

1.x2xx0x2x

x x0

x2（4）limx

arcsin(

x2x)(x2x2x

x2x)(x2(x2x x2x)(x2x x2x) x2x x2xxarcsinlimxx

2xxx2x x2x2 1111xx1111xx2第三章 導數與微分習題3.21.（偶數號題解答）（2）y3x23xln3.（4）y3x2cosxx3sinx.（6）y(x2exsinx)ex(2xsinxx2sinxx2cosx).（8）y2x2(xsinxx)2x(sinxxxsinx)（10）y

2x[xsinxln2(xln2)cosx].sec2x(xsinx)tanx(1cosx)(xsinx)2xsec2xsinxsec2xtanxsinx.(xsinx)23.（偶數號題解答）（2）ysin(13x)(3).（4）y

2x.1x22

1 3(arctanx)2（6）y

x)（8）y ex(（8）y ex(2cos)(sin )(cos21 1 1 1 1sin2cos21e xxxx2x2x

1x2

1x2

.)).（10）ynsinn1xcosxcosnxnsinnxsinnxnsinn1xcos(n1)x.（12）ycos(cos2x)2cosx(sinx)cos(sin2x)sin(cos2x)[sin(sin2x)]2sinxcosxsin2xcos(cos2x).（14）y

1 sec2x1sinxlntanxcosx

1sec2xsinxlntanx.tanx2

22 tanx4.（偶數號題解答）（2）y

1 (f(2x))

2f(2x).1f2(2x) 1f2(2x)（4）y

1 (1f2(x))2f(x)f(x).1f2(x) 1f2(x)（6）ysinf2(x1)xcosf2(x1)2f(x1)f(x1)1sinf2(x2xf2(xf(xf(x.習題3.31.（偶數號題解答）（2）y

2x1x2

,y

2(1x2)4x2(1x2)2

2(1x2)(1x2)2.（4）y

2cosx(sinx)lnxcos2

xsin2xlnx

cos2xx xy

2cos2xlnxsin2x

xsin2xcos2xx x22 2sin2x cosx2cos2xlnx .x x2（6）y(1x)(1x)(1x)2

2(1x)2

,y

4(1x)3.6.（偶數號題解答） 1 1

(n)

(1)n(n2)!（2）y

lnx1

,y

,y

,,y .x x2

xn1（4）yexxex,y2exxex,y3exxex, ,y(n)nexxex.習題3.41.（偶數號題解答）（2）方程兩邊分別對x求導，得yxyexy

(yxy)y0所以

y

yyexy

xy.1xxe（4）方程兩邊分別對x求導，得yeycos(xy)(1y)

y

cos(xy)eycos(xy).習題3.52.（偶數號題解答）（2）2x2xsin2x)dx.（4）(2xe2xx2e2x2)dx2x(x1)e2xdx.（6）dy

1tanx

dtanx2

1tanx

sec2xdxcscxdx.2 22 2（8）dy2ln(1

x)dln(1

x)2ln(1 x)

1 1dx

ln(1 ln(1 x)xx1 x x3.1 x xx（2）x2；（4）1e5x； （6）2 .x56.（偶數號題解答）（2）由近似公式ln(1x)x，得ln1.002ln(10.002)0.002；（4）由近似公式f(x0x)f(x0)f(x0)x，得arctan1

1112

0.020.7954.第四章 一元函數微分學應用習題4.21.（偶數號題解答）lnsinx

cotx

csc2x 1（2）x(2x)2

lim2x4(2x)22

limx82

.8（4）

x

x3x

3x

3sin3x

3.x3x xx3x xx x

sinx2 2 2 2（6）lim

1cosx2

lim

1cosx2

lim

2xsinx2

1 sinx2lim

1.x0

x2sinx2

x0 x4

x0

4x3

2x0 x2 22.（偶數號題解答）1 11（2）limx2ex2x0

limx0

ex21x2

limx0

ex2(2x3)2x3

1limex2x01

11 x)

xx)

x1

1 .x0x

x2

x0 x2

x0 2x

1x0x) 21ln11x 1 1

lim

x21

2x 1

xln12 limxln12

x

lim2（6）lim1x

x2

ex

xex

xe

x exx1e012 2（8）lim(sinx)1lnxlime1lnx

lnsinx

lim2lnsinxex0nx

lim2cosxx01sinxe x

lim2cosxex0

e2.x0 x0習題4.31.（偶數號題解答）函數的定義域為y3x26x3x(x2y010x22())，.在y0，故函數在在y0，故函數在在(2,)內，y0，故函數在(2,)上單調增加.（4）y

x1x21x2x1x21x21x2111

0 (xR定義域(,)內都是單調增加的.1xy0xex2劃分成兩個區(qū)間：(0,e)，(e,)在ey0，故函數在在y0，故函數在3.（偶數號題解答）yy

x2)4x2

x2) 函定域為( , )，

x2)2

x2)2

0令y 0得駐點x1

x10

1x10

x10，x11x1是函數的極大值點，極大值為y(1)1.函數定義域為y2xexx2exxex(2xy0，0，x22x0時，y00x2時，y0x2時，y0x00；x2極大值為y(2)4e2.習題4.41.（偶數號題解答）（2）函數的定義域為y

2x，x2)23x2)28x2x2) 2(3x213y

(1x2)4

(1x2)3

y

0，得x .133當x 時，0；當133

x

10x

1，0，3所以曲線的凸區(qū)間為(3

1,1

3)，凹區(qū)間為(,3

1)，(1

3,)；拐點為33333 1,3.33334 （4）yln(1x2)2xarctanx的定義域為(,)，y

2x1x2

x

x1x2

)x，y

21x2

0，所以該函數在(,)內都是凸的，無拐點.習題4.61.（偶數號題解答）（2）因為f(x)xex，f(x)exxex，f(x)2exxex，,f3exxex, f(n)(x)(nexxex).,f0f1ff3f(n(0n，代入馬克勞林公式，得f(x)xex

(1)n1(n(1)n1(n1)!

xno(xn

).（4）f(xsin2x12xf(x2xf2cos2x,f,

將f0，

f0，

f2，

f(0)0，f(4)(0)

，代入馬克勞林公式，得f(x)

x22!

23 4x4!x

(1)n122n1(2n)!

x2n

o(x2n

).習題4.71.（偶數號題解答）（2）y

2x1x2

，令y0，得駐點x0，函數在駐點與區(qū)間端點處的函數205，比較大小可知，該函數在上的最大值為ln5，最小值為0.1221 1 21（4）y x3 x3(xx3(5x 2)y0x

，x03 3 53333 45 ，0，y(

2)5

，y(

1) 1 131 132 4比較大小可知，該函數在[1,12]上的最大值為0，最小值為－2.第五章 不定積分習題5.13.（偶數號題解答） （2）(x1)3dx(x33x23x1)dx1x4x33x2x 4 2（4）

3x43x21x21

dx(3x2

1x2

x31

arctanxC.（6）e

x1

exxdx(exx

1)dxex2xxx

C.1 1（8）

112x

dx

2cos2x

dx

2sec2xdx1tanxC.2cos2x

cos2xsin2x 1 1（10）sin2xcos2xdx

cos2xsin2xdx(sin2xcos2

)dxx(csc2xsec2x)dxcotxtanxC.1cos2x

1cos2x

1 2 1 1 1（12）12xdx

2cos2xdx2secx2dx2tanx2xC. sin2x sin2x 1 2（14）1cos2xsin2xdx2cos2xdx2tan 1(sec2x1x1xC.2 2 2

xdx習題5.2）1 1 1 1（2）12xdx212xd2x)2|12x|C.1 1 1 11 1 3（4）x

2x21dx

2x21d(2x21) (2x21)2C.4 6 x21 ex x2（6）exexdxe2x

dx e1 (e)1

C.（8）

sinx

dx

dx1

cos2xC

1 C.cos3xearctanx

cos3xarctanx

2cos2xarctanx（10）1x2dxe

darctanxe

C.（12）

tanxsecxdx 2(secx 2

d(secx1) 2(secx 2

1secx1

C.xx(1xx(1x)xx（14）xx

21(

dx)2

2arctan

xdarctan(arctan x)2C.（16）

xcosxsinxdx(xsinx)2

d(xsinx) 2(xsinx 2

1xsinx

C.（18）

1lnx(xlnx)2

dx

d(xlnx) 2(xlnx 2

1xlnx

C.x3 1 x2dx2 1 9 2（20）9x2dx29x22(19x2)dx 21x29 1 22 29x

d(x29)1x29ln(9x2)C.2 21 1 1 1 1

d(x2)

d(x1)（22）(x1)(x2)dx3(x

)dx

2 x1 3

x2

x11|(x2)|13 3

|(x|C

1 x2| |C.3 x1ex ex

1 ex

ex （24）4e2xdx(2ex)(2ex)dx4(2ex)(2ex)dx 2ex2ex1d(ex2) d(22ex2ex4

(2ex)

(2ex)

4ln

C. 1（26）sin2xcos3xdx2(sin5xsinx)dx111sin5xd(5x)sinxdx15x1xC.25 10 2（28）cos2xsin3xdxcos2x(1cos2x)sinxdxcos3x cos5x(cos2xcos4x)dcosx C.3 5）x21（2）令t ，則t2x2x21xx21x2xxx21x2x21

tC (t21t2x21x21x29（4）令x3sect，則 3tant,3sectx29x29 dx 3tant3secttantdtx29 x 3sect

tdtc2t)ttntt)C

3arccos3C.x2x29習題5.31.（偶數題解答）2 2 cos2x

x2cos2x

cos2x（2）x

sin2xdxxd 2

2

2xdx2x2cos2xxsin2xsin2xdxx2cos2xxsin2xcos2xC.2 2 2 2 2 42（4）xln(xdxln(xdx222

2x2ln(xx

x2 1dx22x2ln(x1)1(x11)dx

2 x12 2 x1x2

ln(x1)

1x2(

xlnx1)C2 2 2x21

x2 xln(x1) C.2 4 2x（）n2xxxn2xx2nx1xxn2x2nxxxln2x2(xlnxx1dx)xln2x2xlnx2xC.x（）c3xxcdtnxtnxcxtn2xcxtnxcxcxc2x)xtnxscxsc3xscxtnxscxnscxtnxsc3x.所以 sec31xxxtanx)C.11x21x21x2 1x2（10） 1x2

x1x2 xx1x2x 2 x12x

1x 1 x（12）e

sin

xdxe

dx e2 2

2e

cos2xdx微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答 由于 ex2xdx1sin2xex1sin2xe 2 21sin2xex1cos2xex1excos2xdx，2 4 4于是 ex2xdx2sin2xex12xexC.5 5所以 exsin2xdx1ex1sin2xex12xexC.2 5 102.（偶數題解答）1（2）令tlnx,

dxdtxxx

dxlntdttlnt1dttlnttClnxlnlnxlnxC.（4）令tex,xlnt,dx1dt.tarctanex

arctant

1 1 1 1 ex

dx t

tdttarctantt

1t

2dt1t

1 t

dtC1arctantlnt1ln(1t2)Ct t 1t2 t 2 xexarctanex1ln(1e2x)C.2習題5.4（偶數號題解答）2x3 A B（2）設 x23x10 x5

x2

2x3B(x，比較兩端同次項系數，得

AB2

，解得A1,B1.所以15B2A312x3x23x10

dx

(x5

1x2

)dx微積分（微積分（4版）（上冊：補充習題解答x5x2x5x2Cx5x2x21

1 12 2 1（4）(x1)2(x1)dx(x1x1(x1)2)dx1x11x12 2

1x1

C1lnx2121 1x1

1x1

C.（6）

1 dx

(1 2 2 2)dx(x21)(x2x)

x x1

x21 1dx1 1

dx1 2x

dx1 1 dxx 2x1 4x21 2x21lnx1lnx11ln(x21)1arctanxC.2 4 2x 2（8）令ttan121

(x)，則sinx1t2,dx1t2dtdx2sinx

121t2

21t2

dt

1tt2dtd2(t1)32 3 2 3

2arctan2

(t1)C1[

2(t1)]2 33 2

3

22arctan1(2tanx1)C.3 3 2 第六章 定積分習題6.22.（偶數號題解答）

(nxet2t)'

sin2xx01 sinx0

t2 0

e x 1（2）lim2x0

e dtlimx0

(2x)'

lim x0 2 2（4）

23t2dtx0x

x23( t2dt)'0

x32xx 0 0x0xt(tx 0 0

(t(tsint)dt)'

x0x(xsinx)lim

2x3

lim

6x2

lim

12x

12.x0xsinx

x01cosx

x0sinx4.（偶數號題解答）3 222 1