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微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答PAGEPAGE10微積分(第4版)學習指導與習題解答(上冊)補充習題解答目 錄TOC\o"1-2"\h\z\u第一章 函 數 3習題1.1 3習題1.2 4習題1.3 5第二章 限連續(xù) 6習題2.1 6習題2.2 6習題2.3 7習題2.4 7習題2.5 8習題2.6 9習題2.7 10第三章 數微分 13習題3.2 13習題3.3 14習題3.4 15習題3.5 15第四章 元數分應用 17習題4.2 17習題4.3 18習題4.4 19習題4.6 20習題4.7 20第五章 定分 22習題5.1 22習題5.2 22習題5.3 24習題5.4 26第六章 積分 28習題6.2 28習題6.3 29習題6.4 30第一章 函 數習題1.11.(偶數號題解答)(2)x211x211x3,不等式的區(qū)間表示為1,3;(4)x3x3或x3,不等式的區(qū)間表示為(,3)(3,);3.(偶數號題解答)(2)要使函數有定義,只須x22x0,解得x0,x2,所以函數的定義域為(,0)(0,2)(2,).(4)要使函數有定義,只須x10,解得x1,所以函數的定義域為(1,).3x0 x3(6)要使函數有定義,只須
x0
,解得x0,所以函數的定義域為(,0)(0,3]6.(偶數號題解答)(2)yf(x2x1xxRxx,則1 2 1 22 1f(x)/f(x)221/22122112 12 1所以f(x)f(x),即y2x1為(,)內單調增加函數.2 1(4)yf(x)12xx
R,則x 1 2當xx0時,f(x)f(x)1
2122(x1x2)01 2 2 1
x xxx 2 1 12微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答所以f(x)f(x),即y12
為(,0)內單調減少函數.2 1 x當0x
x時,f(x)f(x)1
2122(x1x2)01 2 2 1
x xxx 2 1 122即y1 為)內單減函數x7.(偶數號題解答)(2)yf(x)xsin2x,因為f(x)xsin2(x)(xsin2x)f(x),所以yxsin2x是奇函數.(4)yf(x)
xsinx
f(x(xsin(x)
xsinx
f(x),y
xsinx2cosx
2x是偶函數.
2cos(x) 2cosx習題1.21.(偶數號題解答)(2)由y1ln(x2)解得xey12,即反函數為yex12.x x1
y y1(4)yx2
1x4解得x y
1y16,ex
x4x x1
lny xe4即反數為yx 1x16.lnx xe44.(偶數號題解答)(2)yu2,u1lnx;(4)yarcsinu,uv,v2x1微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答習題1.31.(偶數號題解答)(2)函數y12cosx圖形如下;x(4)函數yln(x2)1圖形如下yyOx3.(偶數號題解答))ynx1()y1x)2()yOyOxyx(1)(2)第二章 極限與連續(xù)習題2.1,,1,n(2)1:
111
,lim(1)n10 , , , n 2 34
n n(4)ln1:當n時,11ln1 n n n (2()n
1 12()n2()n,2 2
,當n時,un2
(1)n
不趨于一個常數,該數列極限不存在.習題2.23.(偶數號題解答)12x(2)對于任意給定的正數12x
012x
x
12,10Xlog21
0xX
012x所以lim10.12xx2x(4)對于任意給定的正數,取0,使得當0x2時,總有x24x24(x2)4x2x24x2所以limx2
x2x2
4.習題2.33.(偶數號題解答)x1arctanxxx由有界量與無窮小量的乘積還是無窮小量,得
limx
2arctanx=0.x(4)x11xx x與無窮小量的乘積還是無窮小量,得limsinxsin1=0.x x x習題2.41.(偶數號題解答)n1n1 nn2 nn121
limnn2 n2(n1 n)lim n
11
n2(111)n
1211n(n1)(4)11n(n1)n1.2 2.3 3.4微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答(11n n11)(11)(11n n1
)]
1]1.n
2 2 3 3 4
n
n12.(偶數號題解答)2
11(2)
xx
x
x2 00.xx33x21
x131 1x x3(2x3)20(3x2)30 2x3203x230(4)
50 x
(2x1)320
x2x12x12302 x
3 x
220330
330
.x21
21
2
2
2 x x1 3 5x2x3(6)lim(5 )lim
5.x
x x2
x x2(8)lim x
2 lim
x(x1)2x1
x21
x1(x1)(x1) lim(x1)(x2)limx23.x1(x1)(x1) x1 24.(偶數號題解答)(2)2x2x(2x2x21ln10.arctan1
limarctan1
arctanlim1(4)ex
x1ex
x1e
xx1earctan0e01.習題2.52.(偶數號題解答)微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答(2)x0
x
x)x0
x)xxx
1.
2 221cos1cosx2
2x x2sin
2sin2
2(4)
2
2.x0
1cosx
x0
2sin2x2
x0
sin2x2
x22sinxsina(6)lim lim
2cosxasinxa2 2xa
xa
xasinxa
xalimcosxa
2 cosa.xa
2 xa23.(偶數號題解答)
22x
22xx22x
1 x
1 x(2)
xx2
x12
x
22x x
1 x1
x(4)1 2x
x/2x4
e48e4 e8112 x/21 1(4)x)1cosx[1(1x)]1cosxe1x0 x0習題2.63.(偶數號題解答)()當x0時,(1x2)~x2,ex21~x2.x0
x2)ex21
x0
x2x2
1.(4)x0時,1x~
x,sinx~x.所以222
tanxx
xxcosx
(1cosx)x0
3x
x0
3x
x0cosxsin2x=
x2/
1 1x0x2x x02cosx 2
xsinx1x1xx
1~
,tanx~x.所以2limx0
xx
lim1x1xx1
xx2xx
1.2習題2.73.(偶數號題解答)x(xx(x2
x2
得函數在x0,x1,x1無定義,所以x0,x1,x1為函數的間斷點,又在x0處,
f(x)
x(x1)
1
1;x0
x0x(x1)(x1)
x0
x1lim
f(x)
x(x1)
1 1.x0
x0x(x1)(x1)
x0x1limx0
f(x)limx0
f(x),所以x0為函數的第一間斷點,且為跳躍間斷點.x1
f(x)
x(x1)
1 1.x1
x1x(x1)(x1)
x1 2x1 x2x1 x(x2,x12補充義f ,即y2
1, x12
,則函數在x1處連續(xù).x1
f(x)
x(x1)
1
.x1
x1x(x1)(x1)
x1
x1所以x1為函數的第二類間斷點,且為無窮間斷點.1(4)函數在x0處無定義,因為limx0
f(x)limsinxcosx0 x
0,所以x0為函數的第一間斷點,且為可去間斷點.補充定義f(x)0.即f(x)
nxcos1x
,x0,則函數在x0連續(xù)., x0
x0(6)考函數f(x) 1
在x0的連續(xù)性.1ex0 x001 1因為limx0
f(x)limx01e1/x
x0
f(x)limx01e1/x
0,即limx0
f(x)limx0
f(x),所以x0為函數的第一間斷點,且為跳躍間斷點.4.(偶數號題解答) 1
1 (2)arctan
arctan
1.x2xx0x2x
x x0
x2(4)limx
arcsin(
x2x)(x2x2x
x2x)(x2(x2x x2x)(x2x x2x) x2x x2xxarcsinlimxx
2xxx2x x2x2 1111xx1111xx2第三章 導數與微分習題3.21.(偶數號題解答)(2)y3x23xln3.(4)y3x2cosxx3sinx.(6)y(x2exsinx)ex(2xsinxx2sinxx2cosx).(8)y2x2(xsinxx)2x(sinxxxsinx)(10)y
2x[xsinxln2(xln2)cosx].sec2x(xsinx)tanx(1cosx)(xsinx)2xsec2xsinxsec2xtanxsinx.(xsinx)23.(偶數號題解答)(2)ysin(13x)(3).(4)y
2x.1x22
1 3(arctanx)2(6)y
x)(8)y ex((8)y ex(2cos)(sin )(cos21 1 1 1 1sin2cos21e xxxx2x2x
1x2
1x2
.)).(10)ynsinn1xcosxcosnxnsinnxsinnxnsinn1xcos(n1)x.(12)ycos(cos2x)2cosx(sinx)cos(sin2x)sin(cos2x)[sin(sin2x)]2sinxcosxsin2xcos(cos2x).(14)y
1 sec2x1sinxlntanxcosx
1sec2xsinxlntanx.tanx2
22 tanx4.(偶數號題解答)(2)y
1 (f(2x))
2f(2x).1f2(2x) 1f2(2x)(4)y
1 (1f2(x))2f(x)f(x).1f2(x) 1f2(x)(6)ysinf2(x1)xcosf2(x1)2f(x1)f(x1)1sinf2(x2xf2(xf(xf(x.習題3.31.(偶數號題解答)(2)y
2x1x2
,y
2(1x2)4x2(1x2)2
2(1x2)(1x2)2.(4)y
2cosx(sinx)lnxcos2
xsin2xlnx
cos2xx xy
2cos2xlnxsin2x
xsin2xcos2xx x22 2sin2x cosx2cos2xlnx .x x2(6)y(1x)(1x)(1x)2
2(1x)2
,y
4(1x)3.6.(偶數號題解答) 1 1
(n)
(1)n(n2)!(2)y
lnx1
,y
,y
,,y .x x2
xn1(4)yexxex,y2exxex,y3exxex, ,y(n)nexxex.習題3.41.(偶數號題解答)(2)方程兩邊分別對x求導,得yxyexy
(yxy)y0所以
y
yyexy
xy.1xxe(4)方程兩邊分別對x求導,得yeycos(xy)(1y)
y
cos(xy)eycos(xy).習題3.52.(偶數號題解答)(2)2x2xsin2x)dx.(4)(2xe2xx2e2x2)dx2x(x1)e2xdx.(6)dy
1tanx
dtanx2
1tanx
sec2xdxcscxdx.2 22 2(8)dy2ln(1
x)dln(1
x)2ln(1 x)
1 1dx
ln(1 ln(1 x)xx1 x x3.1 x xx(2)x2;(4)1e5x; (6)2 .x56.(偶數號題解答)(2)由近似公式ln(1x)x,得ln1.002ln(10.002)0.002;(4)由近似公式f(x0x)f(x0)f(x0)x,得arctan1
1112
0.020.7954.第四章 一元函數微分學應用習題4.21.(偶數號題解答)lnsinx
cotx
csc2x 1(2)x(2x)2
lim2x4(2x)22
limx82
.8(4)
x
x3x
3x
3sin3x
3.x3x xx3x xx x
sinx2 2 2 2(6)lim
1cosx2
lim
1cosx2
lim
2xsinx2
1 sinx2lim
1.x0
x2sinx2
x0 x4
x0
4x3
2x0 x2 22.(偶數號題解答)1 11(2)limx2ex2x0
limx0
ex21x2
limx0
ex2(2x3)2x3
1limex2x01
11 x)
xx)
x1
1 .x0x
x2
x0 x2
x0 2x
1x0x) 21ln11x 1 1
lim
x21
2x 1
xln12 limxln12
x
lim2(6)lim1x
x2
ex
xex
xe
x exx1e012 2(8)lim(sinx)1lnxlime1lnx
lnsinx
lim2lnsinxex0nx
lim2cosxx01sinxe x
lim2cosxex0
e2.x0 x0習題4.31.(偶數號題解答)函數的定義域為y3x26x3x(x2y010x22()),.在y0,故函數在在y0,故函數在在(2,)內,y0,故函數在(2,)上單調增加.(4)y
x1x21x2x1x21x21x2111
0 (xR定義域(,)內都是單調增加的.1xy0xex2劃分成兩個區(qū)間:(0,e),(e,)在ey0,故函數在在y0,故函數在3.(偶數號題解答)yy
x2)4x2
x2) 函定域為( , ),
x2)2
x2)2
0令y 0得駐點x1
x10
1x10
x10,x11x1是函數的極大值點,極大值為y(1)1.函數定義域為y2xexx2exxex(2xy0,0,x22x0時,y00x2時,y0x2時,y0x00;x2極大值為y(2)4e2.習題4.41.(偶數號題解答)(2)函數的定義域為y
2x,x2)23x2)28x2x2) 2(3x213y
(1x2)4
(1x2)3
y
0,得x .133當x 時,0;當133
x
10x
1,0,3所以曲線的凸區(qū)間為(3
1,1
3),凹區(qū)間為(,3
1),(1
3,);拐點為33333 1,3.33334 (4)yln(1x2)2xarctanx的定義域為(,),y
2x1x2
x
x1x2
)x,y
21x2
0,所以該函數在(,)內都是凸的,無拐點.習題4.61.(偶數號題解答)(2)因為f(x)xex,f(x)exxex,f(x)2exxex,,f3exxex, f(n)(x)(nexxex).,f0f1ff3f(n(0n,代入馬克勞林公式,得f(x)xex
(1)n1(n(1)n1(n1)!
xno(xn
).(4)f(xsin2x12xf(x2xf2cos2x,f,
將f0,
f0,
f2,
f(0)0,f(4)(0)
,代入馬克勞林公式,得f(x)
x22!
23 4x4!x
(1)n122n1(2n)!
x2n
o(x2n
).習題4.71.(偶數號題解答)(2)y
2x1x2
,令y0,得駐點x0,函數在駐點與區(qū)間端點處的函數205,比較大小可知,該函數在上的最大值為ln5,最小值為0.1221 1 21(4)y x3 x3(xx3(5x 2)y0x
,x03 3 53333 45 ,0,y(
2)5
,y(
1) 1 131 132 4比較大小可知,該函數在[1,12]上的最大值為0,最小值為-2.第五章 不定積分習題5.13.(偶數號題解答) (2)(x1)3dx(x33x23x1)dx1x4x33x2x 4 2(4)
3x43x21x21
dx(3x2
1x2
x31
arctanxC.(6)e
x1
exxdx(exx
1)dxex2xxx
C.1 1(8)
112x
dx
2cos2x
dx
2sec2xdx1tanxC.2cos2x
cos2xsin2x 1 1(10)sin2xcos2xdx
cos2xsin2xdx(sin2xcos2
)dxx(csc2xsec2x)dxcotxtanxC.1cos2x
1cos2x
1 2 1 1 1(12)12xdx
2cos2xdx2secx2dx2tanx2xC. sin2x sin2x 1 2(14)1cos2xsin2xdx2cos2xdx2tan 1(sec2x1x1xC.2 2 2
xdx習題5.2)1 1 1 1(2)12xdx212xd2x)2|12x|C.1 1 1 11 1 3(4)x
2x21dx
2x21d(2x21) (2x21)2C.4 6 x21 ex x2(6)exexdxe2x
dx e1 (e)1
C.(8)
sinx
dx
dx1
cos2xC
1 C.cos3xearctanx
cos3xarctanx
2cos2xarctanx(10)1x2dxe
darctanxe
C.(12)
tanxsecxdx 2(secx 2
d(secx1) 2(secx 2
1secx1
C.xx(1xx(1x)xx(14)xx
21(
dx)2
2arctan
xdarctan(arctan x)2C.(16)
xcosxsinxdx(xsinx)2
d(xsinx) 2(xsinx 2
1xsinx
C.(18)
1lnx(xlnx)2
dx
d(xlnx) 2(xlnx 2
1xlnx
C.x3 1 x2dx2 1 9 2(20)9x2dx29x22(19x2)dx 21x29 1 22 29x
d(x29)1x29ln(9x2)C.2 21 1 1 1 1
d(x2)
d(x1)(22)(x1)(x2)dx3(x
)dx
2 x1 3
x2
x11|(x2)|13 3
|(x|C
1 x2| |C.3 x1ex ex
1 ex
ex (24)4e2xdx(2ex)(2ex)dx4(2ex)(2ex)dx 2ex2ex1d(ex2) d(22ex2ex4
(2ex)
(2ex)
4ln
C. 1(26)sin2xcos3xdx2(sin5xsinx)dx111sin5xd(5x)sinxdx15x1xC.25 10 2(28)cos2xsin3xdxcos2x(1cos2x)sinxdxcos3x cos5x(cos2xcos4x)dcosx C.3 5)x21(2)令t ,則t2x2x21xx21x2xxx21x2x21
tC (t21t2x21x21x29(4)令x3sect,則 3tant,3sectx29x29 dx 3tant3secttantdtx29 x 3sect
tdtc2t)ttntt)C
3arccos3C.x2x29習題5.31.(偶數題解答)2 2 cos2x
x2cos2x
cos2x(2)x
sin2xdxxd 2
2
2xdx2x2cos2xxsin2xsin2xdxx2cos2xxsin2xcos2xC.2 2 2 2 2 42(4)xln(xdxln(xdx222
2x2ln(xx
x2 1dx22x2ln(x1)1(x11)dx
2 x12 2 x1x2
ln(x1)
1x2(
xlnx1)C2 2 2x21
x2 xln(x1) C.2 4 2x()n2xxxn2xx2nx1xxn2x2nxxxln2x2(xlnxx1dx)xln2x2xlnx2xC.x()c3xxcdtnxtnxcxtn2xcxtnxcxcxc2x)xtnxscxsc3xscxtnxscxnscxtnxsc3x.所以 sec31xxxtanx)C.11x21x21x2 1x2(10) 1x2
x1x2 xx1x2x 2 x12x
1x 1 x(12)e
sin
xdxe
dx e2 2
2e
cos2xdx微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答 由于 ex2xdx1sin2xex1sin2xe 2 21sin2xex1cos2xex1excos2xdx,2 4 4于是 ex2xdx2sin2xex12xexC.5 5所以 exsin2xdx1ex1sin2xex12xexC.2 5 102.(偶數題解答)1(2)令tlnx,
dxdtxxx
dxlntdttlnt1dttlnttClnxlnlnxlnxC.(4)令tex,xlnt,dx1dt.tarctanex
arctant
1 1 1 1 ex
dx t
tdttarctantt
1t
2dt1t
1 t
dtC1arctantlnt1ln(1t2)Ct t 1t2 t 2 xexarctanex1ln(1e2x)C.2習題5.4(偶數號題解答)2x3 A B(2)設 x23x10 x5
x2
2x3B(x,比較兩端同次項系數,得
AB2
,解得A1,B1.所以15B2A312x3x23x10
dx
(x5
1x2
)dx微積分(微積分(4版)(上冊:補充習題解答x5x2x5x2Cx5x2x21
1 12 2 1(4)(x1)2(x1)dx(x1x1(x1)2)dx1x11x12 2
1x1
C1lnx2121 1x1
1x1
C.(6)
1 dx
(1 2 2 2)dx(x21)(x2x)
x x1
x21 1dx1 1
dx1 2x
dx1 1 dxx 2x1 4x21 2x21lnx1lnx11ln(x21)1arctanxC.2 4 2x 2(8)令ttan121
(x),則sinx1t2,dx1t2dtdx2sinx
121t2
21t2
dt
1tt2dtd2(t1)32 3 2 3
2arctan2
(t1)C1[
2(t1)]2 33 2
3
22arctan1(2tanx1)C.3 3 2 第六章 定積分習題6.22.(偶數號題解答)
(nxet2t)'
sin2xx01 sinx0
t2 0
e x 1(2)lim2x0
e dtlimx0
(2x)'
lim x0 2 2(4)
23t2dtx0x
x23( t2dt)'0
x32xx 0 0x0xt(tx 0 0
(t(tsint)dt)'
x0x(xsinx)lim
2x3
lim
6x2
lim
12x
12.x0xsinx
x01cosx
x0sinx4.(偶數號題解答)3 222 1
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