27-2-1相似三角形的判定-課件-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)

27.2相似三角形第27章相似27.2.1相似三角形的判定逐點(diǎn)導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升學(xué)習(xí)目標(biāo)課時(shí)講解1課時(shí)流程2相似三角形平行線分線段成比例平行線截三角形相似的定理三邊關(guān)系判定三角形相似定理邊角關(guān)系判定三角形相似定理角的關(guān)系判定三角形相似定理直角三角形相似的判定知識(shí)點(diǎn)相似三角形知1－講感悟新知11.定義：如果在兩個(gè)三角形中，三個(gè)角分別相等，三條邊成比例，那么這兩個(gè)三角形相似.知1－講感悟新知如圖27.2-1，在△ABC

和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，△ABC∽△A′B′C′.?知1－講感悟新知特別提醒1.相似三角形具有傳遞性，即若△

ABC∽△A′B′C′，△A′B′C′∽△A″B″C″，則△ABC∽△A″B″C″.2.相似三角形屬于特殊的相似多邊形，同樣具有“對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”這個(gè)性質(zhì).知1－講感悟新知2.相似三角形的表示方法：相似用符號(hào)“∽”表示，讀作“相似于”.如圖27.2-1，△ABC

與△A′B′C′相似，記作“△ABC∽△A′B′C′”，讀作“△ABC

相似于△A′B′C′”.特別警示：用符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.△ABC∽△A′B′C′表示頂點(diǎn)A

與A′，B

與B′，C

與C′分別對(duì)應(yīng).知1－講感悟新知3.相似比：兩個(gè)三角形相似，對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.特別警示：相似三角形的相似比具有順序性，即如果△

ABC與△A′B′C′的相似比為k，那么△A′B′C′與△ABC

的相似比為.感悟新知知1－練如圖27.2-2，已知△

ABC∽△ADE，∠

A=70°，∠B=40°，AB=6，BC=6，AD=3.(1)求△ABC

與△ADE

的相似比；(2)求∠AED

的度數(shù)和DE

的長(zhǎng).例1解題秘方：緊扣“相似三角形定義中對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例”求解.感悟新知知1－練解：(1)△ABC

與△ADE

的相似比為(2)因?yàn)椤螦=70°，∠B=40°，所以∠C=70°.因?yàn)椤鰽BC∽△ADE，所以∠AED=∠C=70°.因?yàn)椤?/p>

ABC∽△ADE，所以又因?yàn)锳B=6，BC=6，AD=3，所以，解得DE=3.感悟新知知1－練1-1.[中考·武威]若△ABC∽△DEF，BC=6，EF=4，則=()B知識(shí)點(diǎn)平行線分線段成比例知2－講感悟新知21.平行線分線段成比例的基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-3，∵l3∥l4∥l5，知2－講感悟新知要點(diǎn)解讀1.所有的成比例線段是指被截直線上的線段,與這組平行線上的線段無關(guān)；2.利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)寫比例式時(shí)，一定要注意對(duì)應(yīng)線段寫在對(duì)應(yīng)的位置上.知2－講感悟新知2.平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.特別提醒1.本推論的實(shí)質(zhì)是平行線分線段成比例的基本事實(shí)中一組平行線中的一條過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，一條在三角形一邊上的特殊情況.2.當(dāng)被截的兩條直線相交時(shí)，其交點(diǎn)處可看作含一條隱形的平行線(如圖27.2-4).知2－講感悟新知數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-5，若DE∥BC，則有感悟新知知2－練如圖27.2-6，已知AB∥CD∥EF，AF交BE

于點(diǎn)H.下列結(jié)論中,錯(cuò)誤的是()例2解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)解題.C知2－講感悟新知解：∵AB∥CD∥EF，∴故選項(xiàng)A，B，D正確.∵CD∥EF，∴，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤.感悟新知知2－練2-1.[中考·麗水]如圖，五線譜是由等距離、等長(zhǎng)度的五條平行橫線組成的，同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)A，B，C

都在橫線上．若線段AB=3，則線段BC

的長(zhǎng)是()A.B.1C.D.2D感悟新知知2－練[中考·臨沂]如圖27.2-7，已知AB∥CD，AD

與BC相交于點(diǎn)O.若

，AD=10，則AO=________.解題秘方：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)的推論解題.4例3知2－講感悟新知解：∵

AB∥CD，解得AO=4.知2－講感悟新知技巧點(diǎn)撥：利用平行線分線段成比例的基本事實(shí)或推論求線段長(zhǎng)的方法：先確定圖中的平行線，再根據(jù)平行線截得的線段間的比例關(guān)系，寫出一個(gè)含有待求線段和已知線段的比例式，構(gòu)造出方程，解方程求出待求線段的長(zhǎng).感悟新知知2－練3-1.如圖，l1∥l2∥l3，AB=3，AD=2，DE=4，EF=9，求BC，BF的長(zhǎng).感悟新知知2－練知識(shí)點(diǎn)平行線截三角形相似的定理知3－講感悟新知31.定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.“和其他兩邊相交”是指和其他兩邊所在直線相交.知3－講感悟新知數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-8，∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE.知3－講感悟新知特別提醒●書寫兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大寫字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.●根據(jù)定理得到的相似三角形的三個(gè)基本圖形中都有BC∥DE，圖27.2-8①②很像大寫字母A,故我們稱之為“A”型相似；圖27.2-8③很像大寫字母X，故我們稱之為“X”型相似(也像阿拉伯?dāng)?shù)字“8”).感悟新知知3－練如圖27.2-9所示，已知在ABCD

中，E

為AB

延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AB=3BE，DE

與BC

相交于點(diǎn)F，請(qǐng)找出圖中各對(duì)相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.例4解題秘方：緊扣平行線截三角形相似的兩種基本圖形：“A”型和“X”型進(jìn)行查找.感悟新知知3－練解：∵四邊形ABCD

是平行四邊形，∴

AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.∴△CDF∽△AED.∵AB=CD，AB=3BE，∴CD=3BE.感悟新知知3－練求相似比不僅要找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，還需注意兩個(gè)三角形的先后順序，若順序顛倒，則相似比成為原來相似比的倒數(shù).感悟新知知3－練4-1.[中考·玉林]如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF

與AC

交于點(diǎn)G，則圖中的相似三角形共有()A.3對(duì)B.5對(duì)C.6對(duì)D.8對(duì)C感悟新知知3－練如圖27.2-10，在ABCD

中，AE=EB，AF=2，則FC=_____.解題秘方：判斷是用平行線截線段成比例，還是用平行線截三角形相似的對(duì)應(yīng)邊成比例是解題關(guān)鍵.例54感悟新知知3－練解：在ABCD

中，AB∥CD，AB=CD，∴△

AEF∽△CDF.∴∵AE

＝EB，AB=CD，∴又∵AF=2，∴CF=4.感悟新知知3－練5-1.[中考·宜賓]如圖，△ABC

中，點(diǎn)E，F(xiàn)

分別在邊AB，AC

上，∠1=∠2．若BC=4，AF=2，CF=3，則EF=_________.知識(shí)點(diǎn)三邊關(guān)系判定三角形相似定理知4－講感悟新知41.相似三角形的判定定理：三邊成比例的兩個(gè)三角形相似.特別提醒由三邊成比例判定兩三角形相似與由三邊對(duì)應(yīng)相等判定兩三角形全等的方法類似，只需把三邊對(duì)應(yīng)相等改為三邊成比例即可.知4－講感悟新知2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-11所示，在△ABC

和△DEF中，∴△ABC∽△DEF.感悟新知知4－練圖27.2-12、圖27.2-13中小正方形的邊長(zhǎng)均為1，則圖27.2-13中的哪一個(gè)三角形(陰影部分)與圖27.2-12中的△ABC相似？例6感悟新知知4－練解題秘方：利用網(wǎng)格的特征用勾股定理求三角形各邊的長(zhǎng)，緊扣“三邊成比例的兩個(gè)三角形相似”，用計(jì)算比較法判斷.感悟新知知4－練解：易知AC=，BC=2，AB=.圖27.2-13①中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，

，2；圖27.2-13②中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為1，

，

；圖27.2-13③中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為

，

，3；圖27.2-13④中，三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，

，.∵，∴圖27.2-13②中的三角形與△ABC相似.感悟新知知4－練6-1.如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，△ABC

和△DEF

的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上.(1)填空：∠ABC=_____°，AC=_____；135感悟新知知4－練(2)判斷：△ABC與△DEF是否相似，并證明你的結(jié)論.知識(shí)點(diǎn)邊角關(guān)系判定三角形相似定理知5－講感悟新知51.相似三角形的判定定理：兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.特別提醒運(yùn)用該定理證明兩三角形相似時(shí)，一定要注意邊角的關(guān)系，相等的角一定是成比例的兩組對(duì)應(yīng)邊的夾角.類似于判定三角形全等的SAS的方法.知5－講感悟新知2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-14所示，在△ABC

和△DEF中，∵，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.感悟新知知5－練如圖27.2-15，在正方形ABCD中，P

是BC

上的一點(diǎn)，且BP=3PC，Q

是CD

的中點(diǎn).求證：△ADQ∽△QCP.例7解題秘方：緊扣“邊角關(guān)系判定三角形相似定理”證明即可.感悟新知知5－練證明：設(shè)正方形ABCD

的邊長(zhǎng)為4a，則AD=CD=BC=4a.∵Q

是CD

的中點(diǎn)，BP=3PC，∴DQ=CQ=2a，PC=a.∴又∵∠D=∠C=90°，∴△ADQ∽△QCP.感悟新知知5－練技巧點(diǎn)撥：利用兩邊成比例且夾角相等證兩三角形相似的方法先找出兩個(gè)三角形中相等的那個(gè)角；再分別找出兩個(gè)三角形中夾這個(gè)角的兩條邊，并按大小排列找出對(duì)應(yīng)邊；最后證明這兩組對(duì)應(yīng)邊成比例.感悟新知知5－練7-1.如圖，在△ABC

中，D，E

分別在AB與AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4.求證：△ADE∽△ACB.感悟新知知5－練知識(shí)點(diǎn)角的關(guān)系判定三角形相似定理知6－講感悟新知61.相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似.特別提醒由兩組角分別相等判定兩個(gè)三角形相似，其關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)角.一般地，相等的角是對(duì)應(yīng)角．如：公共角、對(duì)頂角、同角(等角)的余角(補(bǔ)角)、同弧所對(duì)的圓周角等都是相等的角，解題時(shí)要注意挖掘題目中的隱含條件.知6－講感悟新知2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-16所示，在△ABC

和△

DEF中，∵∠A=∠D，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.知6－講感悟新知3.常見的相似三角形的類型：(1)平行線型：如圖27.2-17①，若DE∥BC，則△

ADE∽△ABC.(2)相交線型：如圖27.2-17②，若∠

AED=∠B，則△AED∽△ABC.知6－講感悟新知(3)“子母”型：如圖27.2-17③，若∠ACD=∠B，則△ACD∽△ABC.(4)“K”型：如圖27.2-17④，若∠A=∠D=∠BCE=90°，則△

ACB∽△DEC，整體像一個(gè)橫放的字母K，所以稱為“K”型相似.感悟新知知6－練如圖27.2-18，在△ABC

中，AD

是∠

BAC的平分線，AD

的垂直平分線交AD

于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.求證：△ABF∽△CAF.解題秘方：緊扣“兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似”，由于∠BFA

是公共角，因此只需利用圖形的相關(guān)性質(zhì)說明∠B=∠4即可證明.例8感悟新知知6－練證明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF.∴∠FAD=∠3.∵AD

是∠BAC

的平分線，∴∠1=∠2.又∵∠B=∠3－∠1，∠4=∠FAD－∠2，∴∠B=∠4.又∵∠BFA=∠AFC，∴△

ABF∽△CAF.感悟新知知6－練8-1.如圖，已知在四邊形ABCD

中，∠

ADB=∠ACB，延長(zhǎng)AD，

BC相交于點(diǎn)E.感悟新知知6－練求證：(1)△

ACE∽△BDE；感悟新知知6－練(2)BE·CD=AB·DE.感悟新知知6－練8-2.[中考·懷化]如圖，點(diǎn)A，B，C，D

在⊙

O

上，AB=CD

．求證：(1)AC=BD；︵︵證明：∵AB=CD,∴AC=BD，∴AC=BD.︵︵︵︵感悟新知知6－練(2)△

ABE∽△DCE.證明：∵∠A=∠D,∠B=∠C，∴

△ABE=△DCE.知識(shí)點(diǎn)直角三角形相似的判定知7－講感悟新知71.直角三角形相似的判定定理：(1)一組銳角相等的兩直角三角形相似；(2)兩組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似；(3)斜邊與一組直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似.知7－講感悟新知2.數(shù)學(xué)表達(dá)式：如圖27.2-19，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，知7－講感悟新知(1)∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.(2)∵∠C=∠C′=90°，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.(3)∵∠C=∠C′=90°，∴Rt△ABC∽R(shí)t△A′B′C′.知7－講感悟新知思路點(diǎn)撥判定兩三角形相似的思路：1.存在平行于三角形一邊的直線，找兩個(gè)三角形；2.已知一組角對(duì)應(yīng)相等，找另一組角對(duì)應(yīng)相等，或夾這組角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例；3.已知兩組邊對(duì)應(yīng)成比例，找夾角相等，或第三組邊對(duì)應(yīng)成比例.感悟新知知7－練在Rt△ABC和Rt△DEF

中，∠C=∠F=90°，下列條件中,不能判定這兩個(gè)三角形相似的是()A.∠A=55°，∠D=35°B.AC=9，BC=12，DF=6，EF=8C.AC=3，BC=4，DF=6，DE=8D.AB=10，AC=8，DE=15，EF=9例9C感悟新知知7－練解題秘方：緊扣“判定直角三角形相似的思路”一一進(jìn)行驗(yàn)證.感悟新知知7－練解：A.∵∠A=55°，∴∠