線性代數(shù)B期末試卷及答案

PAGE(共6頁第1頁)2008–2009學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)B》試卷2009年6月22日一二三四五六總分得分得分一、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）1.設(shè)，則＝。2.為階方陣,且。3．設(shè)方陣B為三階非零矩陣，且AB=O，則.4.設(shè)向量組線性無關(guān),向量不能由它們線性表示，則向量組的秩為。5．設(shè)A為實(shí)對稱陣，且|A｜≠0,則二次型f=xTAx化為f=yTA-1y的線性變換是x=．６．設(shè)的兩組基為，，;T，,則由基到基的過渡矩陣為。得分得分二、單項(xiàng)選擇題(共6小題，每小題3分，滿分18分)1.設(shè)Dn為n階行列式,則Dn＝0的必要條件是［]。（A）Dn中有兩行元素對應(yīng)成比例；(B）Dn中各行元素之和為零；(C）Dn中有一行元素全為零；（D）以Dn為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解．2．若向量組，，線性無關(guān),,，線性相關(guān)，則[］.(A)必可由，，線性表示；(B)必可由,，線性表示；（C）必可由，，線性表示;（D）必可由,，線性表示.３．設(shè)3階方陣A有特征值0，－1,1,其對應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，則P－1AP＝[］.(A）；（B）;(C);(D)．４．設(shè)α1,α2,α3線性無關(guān)，則下列向量組線性相關(guān)的是［］.（A)α1,α2，α3-α1;（B)α1，α1+α2,α1+α3；(C)α1+α2，α2+α3，α3+α1;（D)α1—α2,α2-α3，α3-α1。５．若矩陣A3×4有一個(gè)3階子式不為0，則A的秩Ｒ(）=［］。(A）1;(B）2；(C)3；(D)4．６．實(shí)二次型f＝xTAx為正定的充分必要條件是[].(A）A的特征值全大于零;(B)A的負(fù)慣性指數(shù)為零;（C）｜A|〉0；(D)R（A)=n。得分得分三、解答題（共5小題,每道題8分，滿分40分）1。求的值。２。求向量組,,，的一個(gè)極大無關(guān)組，并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出.３.設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=（α1,α2，α3）,Q=（α1+α2，α2,α3），求QTAQ．4．設(shè)是階實(shí)對稱矩陣，，若,求.5.設(shè)矩陣相似于對角矩陣，求a。得分四、（本題滿分10分）得分(1）若兩兩不等，問方程組是否有解，為什么?(2）若，（b0）,且已知方程的兩個(gè)解,,試給出方程組的通解．得分得分五、（本題滿分8分）設(shè)二次曲面方程（）經(jīng)正交變換，化成，求、的值及正交矩陣Q。得分得分六、（本題滿分6分）設(shè)A為n階實(shí)矩陣，α為A的對應(yīng)于實(shí)特征值λ的特征向量，β為AT的對應(yīng)于實(shí)特征值μ的特征向量，且λ≠μ，證明α與β正交．2008–2009學(xué)年第二學(xué)期《線性代數(shù)B》試卷參考答案2009年6月22日一二三四五六總分得分得分一、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）1。設(shè)，則＝2。2.為階方陣，且0.3．設(shè)方陣B為三階非零矩陣，且AB=O，則—3.4。設(shè)向量組線性無關(guān)，向量不能由它們線性表示，則向量組的秩為m+1。5．設(shè)A為實(shí)對稱陣，且｜A|≠0，則二次型f=xTAx化為f=yTA—1y的線性變換是x=______．６．設(shè)的兩組基為，，;，，則由基到基的過渡矩陣P=．得分二、單項(xiàng)選擇題（共6小題，每小題3分，得分1。設(shè)為n階行列式,則＝0的必要條件是[D］。(A）中有兩行元素對應(yīng)成比例;(B）中各行元素之和為零;（C）中有一行元素全為零；（D)以為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解．2．若向量組，,線性無關(guān)，，,線性相關(guān)，則［C].(A)必可由，，線性表示。（B）必可由，，線性表示。(C)必可由，，線性表示。（D）必可由，，線性表示。３．設(shè)3階方陣A有特征值0，－1，1，其對應(yīng)的特征向量為P1，P2，P3，令P＝(P1，P2，P3)，則P－1AP＝[B］。(A）；(B）;（C)；(D）．４．設(shè)α1,α2,α3線性無關(guān),則下列向量組線性相關(guān)的是[D]．（A)α1,α2，α3-α1；（B）α1，α1+α2，α1+α3；（C）α1+α2，α2+α3，α3+α1;（D）α1-α2,α2-α3，α3—α1.５．若矩陣有一個(gè)3階子式不為0，則［C］.(A)Ｒ（)=1；（B)Ｒ(）=2；(C)Ｒ(）=3；（D)Ｒ（)=4．６．實(shí)二次型f＝xAx為正定的充分必要條件是［A]．(A)A的特征值全大于零；(B）A的負(fù)慣性指數(shù)為零；（C）|A｜〉0；（D)R（A）=n.得分得分三、解答題（共5小題，每道題8分,滿分40分)1.求的值解:２。求向量組，,，的一個(gè)極大無關(guān)組,并把其余的向量用該極大無關(guān)組線性表出.解：極大無關(guān)組，,. ３.設(shè)A、P均為3階矩陣，且若P=(α1,α2,α3)，Q=（α1+α2,α2，α3)，求QTAQ．解:由于Q=(α1+α2,α2,α3）=（α1,α2,α3）于是QTAQ=4．設(shè)是階實(shí)對稱矩陣，，若，求.解：由知，的特征值-2或0,又，且是階實(shí)對稱矩陣，則(k個(gè)—2)，故．5。設(shè)矩陣相似于對角矩陣，求a.解：由｜A—λE|=0，得A的三個(gè)特征值λ1=λ2=6，λ3=—2.由于A相似于對角矩陣，R（A—6E）=1,即，顯然，當(dāng)a=0時(shí)，R（A-6E)=1，A的二重特征值6對應(yīng)兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量．得分四、（本題滿分10分）對線性方程組（1)若兩兩不等，問方程組是否有解，為什么？(2)若,(b0），且已知方程的兩個(gè)解，，試給出方程組的通解．解：（1）因?yàn)?故，無解．（2），，故通解．得分得分五、(本題滿分8分）設(shè)二次曲面的方程)經(jīng)正交變換，化成，求、的值及正交矩陣Q。解:設(shè)，由知．當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，得分故正交陣。六、（本題滿分6分)設(shè)A為n階