廣東省云浮市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

廣東省云浮市2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列中，滿足，，設(shè)，則（）A. B.C. D.2．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》是明代數(shù)學(xué)家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數(shù)是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.13．如圖，在正方體中，異面直線與所成的角為（）A. B.C. D.4．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的圖象可能是（）A. B.C. D.5．已知雙曲線，其漸近線方程為，則a的值為（）A. B.C. D.26．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ〢. B.C. D.7．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列命題中是真命題的為（）A.越大，雙曲線開口越小 B.越小，雙曲線開口越大C.越大，雙曲線開口越大 D.越小，雙曲線開口越大8．已知斜率為1的直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB的中點(diǎn)為P，若直線OP的斜率為，則橢圓C的離心率為（）A. B.C. D.9．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個(gè)有趣的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……，這就是著名的斐波那契數(shù)列，該數(shù)列的前2022項(xiàng)中有（）個(gè)奇數(shù)A.1012 B.1346C.1348 D.135010．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.11．已知圓C1：(x＋3)2＋y2＝1和圓C2：(x－3)2＋y2＝9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程（）A.x2－＝1(x≤－1) B.x2－＝1C.x2－＝1(x1) D.－x2＝112．如圖所示，向量在一條直線上，且則()A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正方體,點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面,設(shè)直線與底面所成的角為,則的最大值為______.14．關(guān)于曲線C：1，有如下結(jié)論：①曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；②曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱；③曲線C是封閉圖形，且封閉圖形的面積大于2π；④曲線C不是封閉圖形，且它與圓x2+y2＝2無公共點(diǎn)；⑤曲線C與曲線D：|x|+|y|＝2有4個(gè)公共點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是_____15．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)_________________.16．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若，，，則的面積為_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知圓心為的圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，且圓心在直線上，求此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.18．（12分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，、是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.19．（12分）書籍是精神世界的入口，閱讀讓精神世界閃光，閱讀逐漸成為許多人的一種生活習(xí)慣，每年4月23日為世界讀書日.某研究機(jī)構(gòu)為了解當(dāng)?shù)啬贻p人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對(duì)這些人每天的閱讀時(shí)間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求的值；（2）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時(shí)間位于，和的年輕人中抽取5人，再?gòu)闹腥芜x2人進(jìn)行調(diào)查，求其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的概率.20．（12分）設(shè)函數(shù)，其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1)討論單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，.21．（12分）如圖是一個(gè)正三棱柱（以為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC.已知，，M為AB中點(diǎn).（1）證明：平面；（2）求此幾何體的體積.22．（10分）“雙十一”已經(jīng)成為網(wǎng)民們的網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某電子商務(wù)平臺(tái)對(duì)某市的網(wǎng)民在今年“雙十一”的網(wǎng)購(gòu)情況進(jìn)行摸底調(diào)查，用隨機(jī)抽樣的方法抽取了100人，其消費(fèi)金額（百元）的頻率分布直方圖如圖1所示：（1）利用圖1，求網(wǎng)民消費(fèi)金額的平均值和中位數(shù)；（2）把下表中空格里的數(shù)填上，能否有的把握認(rèn)為網(wǎng)購(gòu)消費(fèi)與性別有關(guān).男女合計(jì)30合計(jì)45附表：P(χ2≥k0)0.100.050.012.7063.8416.635參考公式：χ2＝.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因?yàn)?，，所以，，，因此故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生合情推理的意識(shí)和數(shù)學(xué)建模能力2、A【解析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，利用通項(xiàng)公式和求和公式進(jìn)行求解.【詳解】設(shè)這個(gè)塔頂層有盞燈，則問題等價(jià)于一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列的前7項(xiàng)和為381，所以，解得，所以這個(gè)塔的最底層有盞燈.故選：A.3、C【解析】作出輔助線，找到異面直線所成的角，利用幾何性質(zhì)進(jìn)行求解.【詳解】連接與，因?yàn)椋瑒t為所求，又是正三角形，.故選：C.4、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)概念和幾何意義判斷【詳解】由題意得，圖象上某點(diǎn)處的切線斜率隨增大而減小，滿足要求的只有A故選：A5、A【解析】由雙曲線方程，根據(jù)其漸近線方程有，求參數(shù)值即可.【詳解】由漸近線，結(jié)合雙曲線方程，∴，可得.故選：A.6、C【解析】根據(jù)基本不等式即可求出【詳解】因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以函數(shù)的值域?yàn)楣蔬x：C7、C【解析】根據(jù)雙曲線的性質(zhì)結(jié)合離心率對(duì)雙曲線開口大小的影響即可得解.【詳解】解：對(duì)于A，越大，雙曲線開口越大，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，越小，雙曲線開口越小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，越大，則越大，雙曲線開口越大，故C正確；對(duì)于D，越小，則越小，雙曲線開口越小，故D錯(cuò)誤.故選：C.8、B【解析】這是中點(diǎn)弦問題，注意斜率與橢圓a,b之間的關(guān)系.【詳解】如圖：依題意，假設(shè)斜率為1的直線方程為：，聯(lián)立方程：，解得：，代入得，故P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意，OP的斜率為，即，化簡(jiǎn)得：，，，；故選：B.9、C【解析】由斐波那契數(shù)列的前幾項(xiàng)分析該數(shù)列的項(xiàng)的奇偶規(guī)律，由此確定該數(shù)列的前2022項(xiàng)中的奇數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】由已知可得為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，因?yàn)?，所以為奇?shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，…………所以為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，又故該數(shù)列的前2022項(xiàng)中共有1348個(gè)奇數(shù)，故選：C.10、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn).【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)計(jì)算即可，較簡(jiǎn)單.11、A【解析】根據(jù)雙曲線定義求解【詳解】,則根據(jù)雙曲線定義知的軌跡為的左半支故選：A第II卷（非選擇題12、D【解析】根據(jù)向量加法的三角形法則得到化簡(jiǎn)得到故答案為D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】畫出立體圖形,因?yàn)槊婷?在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面,可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),因?yàn)槊婷?直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等,即可求得答案.【詳解】連接和,面面在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng),且始終保持平面可得點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng),面面,直線與底面所成的角和直線與底面所成的角相等面直線與底面所成的角為:有圖像可知:長(zhǎng)是定值,當(dāng)最短時(shí),,即最大,即角最大設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為,故故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了求線面角的最大值,解題是掌握線面角的定義和處理動(dòng)點(diǎn)問題時(shí),應(yīng)畫出圖形,尋找?guī)缀侮P(guān)系,考查了分析能力和計(jì)算能力,屬于難題.14、4【解析】直接利用曲線的性質(zhì)，對(duì)稱性的應(yīng)用可判斷①②；求出可判斷③；聯(lián)立方程，解方程組可判斷④⑤的結(jié)論【詳解】對(duì)于①，將方程中的x換為﹣x，y換為﹣y，方程不變，曲線C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故①正確；對(duì)于②，將方程中的x換為﹣y，把y換成﹣x，方程不變，曲線C關(guān)于直線x±y＝0對(duì)稱，故②正確；對(duì)于③，由方程得，故曲線C不是封閉圖形，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，曲線C：，不是封閉圖形，聯(lián)立整理可得：，方程無解，故④正確；對(duì)于⑤，曲線C與曲線D：由于，解得，根據(jù)對(duì)稱性，可得公共點(diǎn)為，故曲線C與曲線D有四個(gè)交點(diǎn)，這4點(diǎn)構(gòu)成正方形，故⑤正確故答案為：415、.【解析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則，準(zhǔn)確運(yùn)算，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)，可得.故答案為：.16、【解析】根據(jù)求出，由向量數(shù)量積得到，使用余弦定理得到方程組，求出，利用面積公式求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，即，而因?yàn)槭卿J角三角形，所以，所以，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，整理得：①，其中，即，因?yàn)?，所以，即，解得：②，把②代入①得：，解得：，則的面積為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)兩點(diǎn)在圓上利用兩點(diǎn)的距離公式建立關(guān)于的方程，解出值．從而求出圓的圓心和半徑，可得圓的方程【詳解】解：∵圓心在直線，∴設(shè)圓心坐標(biāo)為，根據(jù)點(diǎn)和在圓上，可得解之得.∴圓心坐標(biāo)為，半徑.因此，此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點(diǎn)的關(guān)系，可以求出橢圓方程；（2）根據(jù)題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要利用韋達(dá)定理算出.【小問1詳解】由題意，即；拋物線，焦點(diǎn)為，故，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】由題意作圖如下：設(shè)AB直線的方程為：，并設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程：得：，∴……①，……②，；由于A，B兩點(diǎn)在直線PQ的兩邊（如上圖），所以，即，將①②帶入得：，解得；即由題意直線PQ的方程為，聯(lián)立方程解得，，∴；將線段PQ看做鉛錘底，A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差看做水平高，得四邊形APBQ的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取最大值，而，所以的最大值為.19、（1）（2）【解析】（1）由頻率之和為1求參數(shù).（2）由分層抽樣的比例可得抽取的5人中，和分別為：1人，2人，2人，再應(yīng)用列舉法寫出所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計(jì)算即可.小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖得：，解得；【小問2詳解】由于，和的頻率之比為：，故抽取的5人中，，和別為：1人，2人，2人，記的1人為，的2人為，，的2人為，，故隨機(jī)抽取2人共有，，，，，，，，，10種，其中至少有1人每天閱讀時(shí)間位于的包含，，，，，，共7種，故概率.20、（1）答案見解析（2）答案見解析【解析】（1）求導(dǎo)數(shù)，分和，兩種情況討論，即可求得的單調(diào)性；（2）令，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)遞增，結(jié)合，得到，進(jìn)而證得.【詳解】（1）由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，由有，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.(2)證明：令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，即，?dāng)時(shí)，可得，即【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)證明不等式常見類型及解題策略(1)構(gòu)造差函數(shù).根據(jù)差函數(shù)導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，確定差函數(shù)單調(diào)性，利用單調(diào)性得不等量關(guān)系，進(jìn)而證明不等式.（2）根據(jù)條件，尋找目標(biāo)函數(shù).一般思路為利用條件將求和問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)項(xiàng)之間大小關(guān)系，或利用放縮、等量代換將多元函數(shù)轉(zhuǎn)化為一元函數(shù).21、（1）證明見解析（2）【解析】(1)取的中點(diǎn)，連接，,可得四邊形為平行四邊形，從而可得，然后證明平面，從而可證明.(2)過作截面平面，分別交，于，，連接，作于,由所求幾何體體積為從而可得答案.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn).所以且又因?yàn)?，，所以且，故四邊形為平行四邊形，所?因?yàn)檎切危堑闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫妫?，又，所以平面又，所以平?【小問2詳解】如圖，過作截面平面，分別交，于，，連接，作于，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，則平面因?yàn)?/p>