6.2 線性子空間的和與直和[上課材料]

1、2 線性子空間的和與直和線性子空間的和與直和線性子空間的和線性子空間的和線性子空間的和的維數公式線性子空間的和的維數公式線性子空間的和的基的求法線性子空間的和的基的求法線性子空間的直和線性子空間的直和1公開課線性子空間的和線性子空間的和兩個線性子空間的交是線性子空間，但兩個線性子空間兩個線性子空間的交是線性子空間，但兩個線性子空間的并集一般不是線性子空間。的并集一般不是線性子空間。則集合則集合也是一個線性子空間，也是一個線性子空間，proof2公開課線性子空間的和線性子空間的和(2)從線性子空間的和的定義很容易看出：從線性子空間的和的定義很容易看出：(3) 多個子空間的和：多個子空間的和：3公

2、開課線性子空間的和的維數線性子空間的和的維數以上以上 4 個線性子空間都是個線性子空間都是 2 維的維的4公開課線性子空間的和的維數線性子空間的和的維數(理論結果理論結果)引理引理 2.3:線性子空間中的線性無關的向線性子空間中的線性無關的向量組可以被擴充成該子空間的一組基。量組可以被擴充成該子空間的一組基。proofproofproof5公開課線性子空間的和的求法：例子線性子空間的和的求法：例子主元所在的列對應的向量組就是一個極大線性無關組主元所在的列對應的向量組就是一個極大線性無關組6公開課線性子空間的和的求法：例子線性子空間的和的求法：例子基礎解系基礎解系:7公開課線性子空間的直和線性子

3、空間的直和: 定義定義下面介紹子空間的和的一種重要的特殊情形下面介紹子空間的和的一種重要的特殊情形-直和直和.必要性是顯然的必要性是顯然的, 下證充分性下證充分性. 8公開課線性子空間的直和，補子空間線性子空間的直和，補子空間proofproof9公開課多個線性子空間的直和多個線性子空間的直和proof10公開課命題命題2.1的證明的證明所以所以 W 是線性子空間。是線性子空間。back證明：證明：11公開課命題命題 2.2 的證明的證明證明證明:由定義由定義, 有有back12公開課引理引理.的證明的證明如果這個向量組不是如果這個向量組不是W的基的基, 則用同樣的方法擴充則用同樣的方法擴充線

4、性無關的向量組線性無關的向量組, 直到不能擴充為止直到不能擴充為止 最后得到最后得到W的一組基的一組基.back引理引理 2.3:線性子空間中的線性無關的向量組可以線性子空間中的線性無關的向量組可以被擴充成該子空間的一組基。被擴充成該子空間的一組基。證明證明:13公開課定理定理2.4的證明的證明證明證明:注意到注意到只要證明只要證明線性無關線性無關14公開課定理定理 2.4 的證明的證明(2)設設有有所以所以即即有有back15公開課定理定理 2.6 的證明的證明證明：由維數公式可以得到證明：由維數公式可以得到(2)與與(3)的等價性。的等價性。下面證明下面證明(1)與與(2)的等價性。的等價性。back16公開課定理定理 2.7 的證明的證明由于基的擴充是不唯一的，所以當由于基的擴充是不唯一的，所以當W是不平凡子空間時，是不平凡子空間時，它的補子空間是不唯一的。它的補子空間是不唯一的。back17公開課命題命題 2.8 的證明的證明證明證明: 18公開課命題命題