廣西示范初中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題含解析

廣西示范初中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末綜合測試試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．直線的傾斜角為（）A.1 B.－1C. D.2．命題“，使”的否定是（）A.，有 B.，有C.，使 D.，使3．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.4．離心率為，長軸長為6的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是A. B.或C. D.或5．某工廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后，在生產(chǎn)某產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y（噸）的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表，現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有個數(shù)據(jù)看不清，已知回歸直線方程為=6.3x+6.8，下列說法正確的是（）x23456y1925★4044A.看不清的數(shù)據(jù)★的值為33B.回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗實際增加6.3噸C.據(jù)此模型預(yù)測產(chǎn)量為8噸時，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗為50.9噸D.回歸直線=6.3x+6.8恰好經(jīng)過樣本點（4，★）6．已知數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則的前6項的和為A.15 B.C.6 D.37．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，8．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（）A. B.C. D.9．已知點是橢圓上的一點，點，則的最小值為A. B.C. D.10．若存在過點（0，－2）的直線與曲線和曲線都相切，則實數(shù)a的值是（）A.2 B.1C.0 D.－211．阿波羅尼斯是古希臘著名數(shù)學(xué)家，與歐幾里得、阿基米德并稱為亞歷山大時期數(shù)學(xué)三巨匠，他對圓錐曲線有深刻而系統(tǒng)的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圓錐曲線》一書，阿波羅尼斯圓就是他的研究成果之一.指的是：已知動點與兩定點的距離之比，那么點的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知動點的軌跡是阿波羅尼斯圓，其方程為，其中，定點為軸上一點，定點的坐標(biāo)為，若點，則的最小值為（）A. B.C. D.12．過雙曲線Ω：(a＞0，b＞0)右焦點F作x軸的垂線，與Ω在第一象限的交點為M，且直線AM的斜率大于2，其中A為Ω的左頂點，則Ω的離心率的取值范圍為()A.(1,3) B.(3，＋∞)C.(1,) D.(，＋∞)二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一個球表面積為，則該球的半徑為____________14．設(shè)集合，把集合中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的前項和___15．已知，則曲線在點處的切線方程是______.16．定義在上的函數(shù)滿足，且對任意都有，則不等式的解集為__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正項等比數(shù)列的前項和為，滿足，.記.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列前項和，求使得不等式成立的的最小值.18．（12分）已知是橢圓的兩個焦點，P為C上一點，O為坐標(biāo)原點（1）若為等邊三角形，求C的離心率；（2)如果存在點P，使得，且的面積等于16，求b的值和a的取值范圍.19．（12分）已知：在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)棱平面，點為中點，.（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成角大小；（3）求點到平面的距離.20．（12分）已知橢圓經(jīng)過點，（1）求橢圓的方程；（2）已知直線的傾斜角為銳角，與圓相切，與橢圓交于、兩點，且的面積為，求直線的方程21．（12分）如圖，四棱錐中，，，，平面，點F在線段上運(yùn)動.（1）若平面，請確定點F的位置并說明理由；（2）若點F滿足，求平面與平面的夾角的余弦值.22．（10分）已知圓的方程為（1）求圓的圓心及半徑；（2）是否存在直線滿足：經(jīng)過點，且_________________？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由從下列三個條件中任選一個補(bǔ)充在上面問題中并作答：條件①：被圓所截得的弦長最長；條件②：被圓所截得的弦長最短；條件③：被圓所截得的弦長為注：如果選擇多個條件分別作答，按第一個解答計分

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)直線斜率的定義即可求解.【詳解】，斜率為1，則傾斜角為.故選：C.2、B【解析】根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可得正確答案【詳解】存在量詞命題的否定，只需把存在量詞改成全稱量詞，并把后面的結(jié)論否定，所以“，使”的否定為“，有”，故選：B.3、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因為cosA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C4、B【解析】試題解析：當(dāng)焦點在x軸上：當(dāng)焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程點評：解決本題的關(guān)鍵是焦點位置不同方程不同5、D【解析】根據(jù)回歸直線方程的性質(zhì)和應(yīng)用，對每個選項進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對A：因為，將代入，故，∴，故A錯誤；對，回歸系數(shù)6.3的含義是產(chǎn)量每增加1噸，相應(yīng)的生產(chǎn)能耗大約增加6.3噸，故錯誤；對，當(dāng)時，，故錯誤；對，因為，故必經(jīng)過，故正確.故選：.6、C【解析】利用成等比數(shù)列,得到方程2a1+5d＝2，將其整體代入{an}前6項的和公式中即可求出結(jié)果【詳解】∵數(shù)列為等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，∴，1，成等差數(shù)列，∴2，∴2＝a1+a1+5d，解得2a1+5d＝2，∴{an}前6項的和為2a1+5d）=故選C【點睛】本題考查等差數(shù)列前n項和求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運(yùn)用7、A【解析】設(shè)平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標(biāo)向量建立空間直角坐標(biāo)系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設(shè)平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.8、C【解析】求出導(dǎo)數(shù)后，把x=e代入，即可求解.【詳解】因為，所以，解得故選：C9、D【解析】設(shè)，則，.所以當(dāng)時，的最小值為.故選D.10、A【解析】在兩曲線上設(shè)切點，得到切線，又因為（0，－2）在兩條切線上,列方程即可.【詳解】的導(dǎo)函數(shù)為，的導(dǎo)函數(shù)為，若直線與和的切點分別為（，），，∴過（0，－2）的直線為、，則有，可得故選：A.11、D【解析】設(shè)，，根據(jù)和求出a的值，由，兩點之間直線最短，可得的最小值為，根據(jù)坐標(biāo)求出即可.【詳解】設(shè)，，所以，由，所以，因為且，所以，整理可得，又動點M的軌跡是，所以，解得，所以，又，所以，因為，所以的最小值，當(dāng)M在位置或時等號成立.故選：D12、B【解析】求點A和M的坐標(biāo)，進(jìn)而表示斜率，可得，整理得b2＞2ac＋2a2，從而可解得離心率的范圍.【詳解】F(c,0)，設(shè)M(c，yM)，(yM＞0)代入可解得yM＝，A(－a,0)，由于kAM＞2，即，整理得b2＞2ac＋2a2，又b2＝c2－a2，∴c2－a2＞2ac＋2a2，即c2－2ac－3a2＞0，∴e2－2e－3＞0，e＜－1(舍)或e＞3.答案：B【點睛】解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關(guān)鍵就是確立一個關(guān)于的方程或不等式，再根據(jù)的關(guān)系消掉得到的關(guān)系式，而建立關(guān)于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點的坐標(biāo)的范圍等.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)球的半徑為，代入球的表面積公式得答案【詳解】解：設(shè)球的半徑為，則，得，即或（舍去）故答案為：14、【解析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項中包括的前48項和數(shù)列中的3和27，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，可得，又由不在集合中，在集合中，也在集合中，因為，解得，此時，所以不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項的和為.故答案為：.15、【解析】求導(dǎo)，得到，寫出切線方程.【詳解】因為，所以，則，所以曲線在點處的切線方程是，即，故答案為：16、【解析】利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)來求得不等式的解集.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，，所以在上遞減，由，得，即，所以，即等式的解集為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），.（2）5.【解析】(1)根據(jù)數(shù)列的遞推公式探求出其項間關(guān)系，由此求出的公比，進(jìn)而求得，的通項公式.(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合錯位相減法求出，再將不等式變形，經(jīng)推理計算得解.【小問1詳解】解：設(shè)正項等比數(shù)列的公比為，當(dāng)時，，即，則有，即，而，解得，又，則，所以，所以數(shù)列，的通項公式分別為：，.【小問2詳解】解：由(1)知，，則，則，兩式相減得：于是得，由得：，即，令，，顯然，，，，，，由，解得，即數(shù)列在時是遞增的，于是得當(dāng)時，即，，則，所以不等式成立的n的最小值是5.18、(1)；（2），a的取值范圍為.【解析】（1）先連結(jié)，由為等邊三角形，得到，，；再由橢圓定義，即可求出結(jié)果；（2）先由題意得到，滿足條件的點存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，根據(jù)三個式子聯(lián)立，結(jié)合題中條件，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）連結(jié)，由等邊三角形可知：在中，，，，于是，故橢圓C的離心率為；（2）由題意可知，滿足條件的點存在，當(dāng)且僅當(dāng)，，，即①②③由②③以及得，又由①知，故；由②③得，所以，從而，故；當(dāng)，時，存在滿足條件的點.故，a的取值范圍為.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，以及橢圓中存在定點滿足題中條件的問題，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可求解，考查計算能力，屬于中檔試題.19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求出平面PCD的法向量為，平面的法向量為，即得證；（2）設(shè)直線與平面所成角為，利用向量法求解；（3）利用向量法求點到平面的距離.【小問1詳解】證明：PA平面ABCD，ABCD為正方形，以AB所在的直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，以AP所在的直線為z軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.由已知可得A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1）M為PD的中點，，所以，，，所以，又PDAM，，平面PCDAM平面PCD.平面PCD的法向量為.設(shè)平面的法向量為,，令，則，..平面MAC平面PCD.【小問2詳解】解：設(shè)直線與平面所成角為，由(1)可得：平面PCD的法向量為，，，即直線與平面所成角大小.【小問3詳解】解：，設(shè)點到平面的距離為，.點到平面的距離為.20、（1）（2）【解析】(1)將點M、N的坐標(biāo)代入橢圓方程計算，求出a、b的值即可；(2)設(shè)l的方程為：，，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系可得，直線方程聯(lián)立橢圓方程并消去y，利用韋達(dá)定理表示出，根據(jù)弦長公式求出，進(jìn)而列出關(guān)于k的方程，解之即可.【小問1詳解】橢圓經(jīng)過點，則，解得，【小問2詳解】設(shè)l的方程為：與圓相切設(shè)點，∴（則Δ>0，，，，，，，，，故，21、（1）F為BD的中點，證明見解析；（2）.【解析】（1）由為的中點，取的中點，連接易證四邊形為平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）根據(jù)題意可得平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求得平面的一個法向量，平面的一個法向量，設(shè)二面角為，由求解.【小問1詳解】為的中點.如圖：取的中點，連接∵，分別為，的中點，∴且∵且∴平行且等于∴四邊形為平行四邊形，則∵平面ABC，平面ABC∴平面ABC【小問2詳解】由題意知，平面ABC與平面AFC的夾角為二面角，取的中點H為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為三角形為等腰三角形，易求，則，，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)平面的一個法向量為，則，即，解得設(shè)二面角為，則，因為二面角為銳角，所以余弦值為.22、（1）圓心為，半