2025屆吉林省長春市德惠實驗中學數學高二上期末質量檢測試題含解析

2025屆吉林省長春市德惠實驗中學數學高二上期末質量檢測試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，若的整數有且僅有兩個，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．如圖，在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，則平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，3．數列的通項公式是（）A. B.C. D.4．2020年北京時間11月24日我國嫦娥五號探月飛行器成功發(fā)射.嫦娥五號是我國探月工程“繞、落、回”三步走的收官之戰(zhàn)，經歷發(fā)射入軌、地月轉移、近月制動、環(huán)月飛行、著陸下降、月面工作、月面上升、交會對接與樣品轉移、環(huán)月等待、月地轉移、再入回收等11個關鍵階段.在經過交會對接與樣品轉移階段后，若嫦娥五號返回器在近月點（離月面最近的點）約為200公里，遠月點（離月面最遠的點）約為8600公里，以月球中心為一個焦點的橢圓形軌道上等待時間窗口和指令進行下一步動作，月球半徑約為1740公里，則此橢圓軌道的離心率約為（）A.0.32 B.0.48C.0.68 D.0.825．《九章算數》“竹九節(jié)”問題：現有一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數列，上面4節(jié)的容積為3升，下面3節(jié)的容積共4升，則第五節(jié)的容積為（）A.1升 B.升C.升 D.升6．已知直線l，m，平面α，β，，，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件7．正方體中，E、F分別是與的中點，則直線ED與所成角的余弦值是（）A. B.C. D.8．是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.69．已知空間向量，，則（）A. B.19C.17 D.10．如圖，將邊長為4的正方形折成一個正四棱柱的側面，則異面直線AK和LM所成角的大小為（）A.30° B.45°C.60° D.90°11．已知，，且，則（）A. B.C. D.12．在平面直角坐標系中，已知橢圓的上、下頂點分別為、，左頂點為，左焦點為，若直線與直線互相垂直，則橢圓的離心率為A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一條光線經過點射到直線上，被反射后經過點，則入射光線所在直線的方程為___________.14．已知拋物線的焦點為F，過F的直線l交拋物線C于AB兩點，且，則p的值為______15．若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數k的取值范圍是______16．若點為圓上的一個動點，則點到直線距離的最大值為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點和直線.（1）求以為圓心，且與直線相切的圓的方程；（2）過直線上一點作圓的切線，其中為切點，求四邊形PAMB的面積的最小值.18．（12分）已知拋物線的頂點在坐標原點，對稱軸為軸，焦點為，拋物線上一點的橫坐標為2，且（1）求拋物線的方程；（2）過點作直線交拋物線于兩點，設，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由.19．（12分）已知命題p：函數有零點；命題，（1）若命題p，q均為真命題，求實數a的取值范圍；（2）若為真命題，為假命題，求實數a的取值范圍20．（12分）設是首項為的等差數列的前項和，是首項為1的等比數列的前項和，為數列的前項和，為數列的前項和，已知.（1）若，求；（2）若，求.21．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現1次故障，出現故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現故障是相互獨立的，每臺機器出現故障的概率為（1）若出現故障的機器臺數為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現故障或出現故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？22．（10分）已知函數.（I）當時，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）若當時，，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】等價于，令，，利用導數研究函數的單調性，作出的簡圖，數形結合只需滿足即可.【詳解】，即，又，則.令，，，當時，，時，，時，，在單調遞減，在單調遞增，且，且，，作出函數圖象如圖所示，若的整數有且僅有兩個，即只需滿足，即，解得：故選：D2、A【解析】設平面的法向量是，，，由可求得法向量.【詳解】在單位正方體中，以為原點，，，為坐標向量建立空間直角坐標系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，設平面的法向量是，，，則，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故選：.3、C【解析】根據數列前幾項，歸納猜想出數列的通項公式.【詳解】依題意，數列的前幾項為：；；；……則其通項公式.故選C.【點睛】本小題主要考查歸納推理，考查數列通項公式的猜想，屬于基礎題.4、C【解析】由題意可知，求出的值，從而可求出橢圓的離心率【詳解】解：由題意得，解得，所以離心率，故選：C5、B【解析】設出竹子自上而下各節(jié)的容積且為等差數列，根據上面4節(jié)的容積共3升，下面3節(jié)的容積共4升列出關于首項和公差的方程，聯立即可求出首項和公差，根據求出的首項和公差，利用等差數列的通項公式即可求出第5節(jié)的容積【詳解】解：設竹子自上而下各節(jié)的容積分別為：，，，，且為等差數列，根據題意得：，，即①，②，②①得：，解得，把代入①得：，則故選：B【點睛】本題考查學生掌握等差數列的性質，靈活運用等差數列的通項公式化簡求值，屬于中檔題6、A【解析】由題意可知，已知，，則可以推出，反之不成立.【詳解】已知，，則可以推出，已知，，則不可以推出.故是的充分不必要條件.故選：A.7、A【解析】以A為原點建立空間直角坐標系，求出E,F,D,D1點的坐標，利用向量求法求解【詳解】如圖，以A為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2，則，,，,,直線與所成角的余弦值為：.故選:A【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，屬于基礎題.8、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C9、D【解析】先求出的坐標，再求出其?！驹斀狻恳驗?，，所以，故，故選：D.10、D【解析】作出折疊后的正四棱錐，確定線面關系，從而把異面直線的夾角通過平移放到一個平面內求得.【詳解】由題知，折疊后的正四棱錐如圖所示，易知K為的四等分點，L為的中點，M為的四等分點，，取的中點N，易證，則異面直線AK和LM所成角即直線AK和KN所成角，在中，，，故故選：D11、D【解析】利用空間向量共線的坐標表示可求得、的值，即可得解.【詳解】因為，則，所以，，，因此，.故選：D12、C【解析】依題意，直線與直線互相垂直，，，故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求點關于直線的對稱點，連接,則直線即為所求.【詳解】設點關于直線的對稱點為，則，解得，所以，又點，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.14、3【解析】根據拋物線焦點弦性質求解，或聯立l與拋物線方程，表示出，求其最值即可.【詳解】已知，設，，，則，∵，所以，，∴，當且僅當m=0時，取..故答案為：3.15、【解析】由題可得，即求.【詳解】因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，則，解得.故答案為：.16、7【解析】根據給定條件求出圓C的圓心C到直線l的距離即可計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，點C到直線的距離，所以圓C上點P到直線l距離的最大值為.故答案為：7三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）利用到直線的距離求得半徑，由此求得圓的方程.（2）結合到直線的距離來求得四邊形面積的最小值.【小問1詳解】圓的半徑，圓的方程為.【小問2詳解】由四邊形的面積知，當時，面積最小.此時...18、（1）（2）是，0【解析】（1）根據題意，設拋物線的方程為：，則，，進而根據得，進而得答案；（2）直線的方程為，進而聯立方程，結合韋達定理與向量數量積運算化簡整理即可得答案.【小問1詳解】解：由題意，設拋物線的方程為：，所以點的坐標為，點的坐標為，因為，所以，即，解得.所以拋物線的方程為：【小問2詳解】解：設直線的方程為，則聯立方程得，所以，，因為，所以.所以為定值.19、（1）；（2）.【解析】（1）根據二次函數的性質求p為真時a的取值范圍，根據的性質判斷與有交點求q為真時a的取值范圍，進而求p，q均為真時a的取值范圍.（2）根據復合命題的真假可得p，q一真一假，討論p、q的真假分別求a的取值范圍，最后取并集即可.【小問1詳解】若p為真，，解得或，所以若q為真，因為在上為增函數，所以，故，所以若p，q均為真命題，a的取值范圍為【小問2詳解】由題設，易知：p，q兩命題一真一假當p真q假時，p為真，則或，q為假，則或，此時a的取值范圍為；當p假q真時，p為假，則，q為真，則，此時a的取值范圍為綜上，實數a的取值范圍為.20、（1）或（2）【解析】（1）列方程組解得等差數列的公差，即可求得其前項和；（2）列方程組解得等差數列的公差和等比數列的公比，以錯位相減法即可求得數列的前項和.【小問1詳解】設的公差為，的公比為，則，，因為即，解之得或，又因為，得所以或，故，或【小問2詳解】因為，所以，所以由解得（舍去）或，于是得，所以，因為，（1）所以，（2）所以由（1）（2）得：故21、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現故障的機器臺數為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現故障的機器臺數為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設“在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大22、（1）（2）【解析】（Ⅰ）先求的定義域，再求，，，由直線方程的點斜式可求曲線在處的切線方程為（Ⅱ）構造新函數，對實數