甘肅省民樂一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

甘肅省民樂一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)黑球的口袋內(nèi)任取兩個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的事件是（）A.至少有一個(gè)黑球與都是黑球B.至少有一個(gè)黑球與至少有一個(gè)紅球C.恰好有一個(gè)黑球與恰好有兩個(gè)黑球D.至少有一個(gè)黑球與都是紅球2．德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者之一，他從幾何問題出發(fā)，引進(jìn)微積分概念．在研究切線時(shí)認(rèn)識(shí)到，求曲線的切線的斜率依賴于縱坐標(biāo)的差值和橫坐標(biāo)的差值，以及當(dāng)此差值變成無限小時(shí)它們的比值，這也正是導(dǎo)數(shù)的幾何意義．設(shè)是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，若，對(duì)，且．總有，則下列選項(xiàng)正確的是（）A. B.C. D.3．拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.（0,2） B.（0,1）C.（2,0） D.（1,0）4．已知雙曲線的離心率為5，則其標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.5．若點(diǎn)P在曲線上運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為（）A. B.2C. D.46．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.7．一組樣本數(shù)據(jù)：，，，，，由最小二乘法求得線性回歸方程為，若，則實(shí)數(shù)m的值為（）A.5 B.6C.7 D.88．橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.， B.，C.， D.，9．我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.10．已知直線，兩個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則11．設(shè)、是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，為直線上一點(diǎn)，是底角為的等腰三角形，則的離心率為A. B.C. D.12．已知數(shù)列滿足，，在（）A.25 B.30C.32 D.64二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M是雙曲線E上的任意一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），過作角平分線的垂線，垂足為N，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．若，則雙曲線E的漸近線方程為__________14．設(shè)函數(shù)，，對(duì)任意的，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______15．已知橢圓C：，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合，若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則_________.16．若方程表示的曲線是圓，則實(shí)數(shù)的k取值范圍是___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍18．（12分）在數(shù)列中，，且.（1）證明；數(shù)列是等比數(shù)列.（2）若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.19．（12分）已知圓的圓心在直線上，且經(jīng)過點(diǎn)和.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)且斜率存在的直線與圓交于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.20．（12分）已知與定點(diǎn)，的距離比為的點(diǎn)P的軌跡為曲線C，過點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn).（1）求曲線C的軌跡方程；（2）若，求.21．（12分）如圖，在四棱錐中，底面ABCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，平面ABCD，且，（1）求證：∥平面PCD；（2）求平面MBC與平面ABCD夾角的余弦值22．（10分）某市對(duì)排污水進(jìn)行綜合治理，征收污水處理費(fèi)，系統(tǒng)對(duì)各廠一個(gè)月內(nèi)排出污水量x噸收取的污水處理費(fèi)y元，運(yùn)行程序如圖所示：INPUTxIFTHENELSEIFTHENELSEENDIFENDIFPRINTyEND（1）請(qǐng)寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）求排放污水150噸的污水處理費(fèi)用.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】列舉每個(gè)事件所包含的基本事件，結(jié)合互斥事件和對(duì)立事件的定義，逐項(xiàng)判斷.【詳解】A：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“都是黑球”可以同時(shí)發(fā)生，如：兩個(gè)都是黑球，這兩個(gè)事件不是互斥事件，故錯(cuò)誤；B：事件：“至少有一個(gè)黑球”與事件：“至少有一個(gè)紅球”可以同時(shí)發(fā)生，如：一個(gè)紅球一個(gè)黑球，故錯(cuò)誤；C：事件：“恰好有一個(gè)黑球”與事件：“恰有兩個(gè)黑球”不能同時(shí)發(fā)生，但從口袋中任取兩個(gè)球時(shí)還有可能是兩個(gè)都是紅球，兩個(gè)事件是互斥事件但不是對(duì)立事件，故正確D：事件：“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不能同時(shí)發(fā)生，但一定會(huì)有一個(gè)發(fā)生，這兩個(gè)事件是對(duì)立事件，故錯(cuò)誤；故選：C2、C【解析】由，得在上單調(diào)遞增，并且由的圖象是向上凸，進(jìn)而判斷選項(xiàng).【詳解】由，得在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，故A不正確；對(duì)，，且，總有，可得函數(shù)的圖象是向上凸，可用如圖的圖象來表示，由表示函數(shù)圖象上各點(diǎn)處的切線的斜率，由函數(shù)圖象可知，隨著的增大，的圖象越來越平緩，即切線的斜率越來越小，所以，故B不正確；，表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，由圖可知，所以C正確，同理，由圖可知，故D不正確.故選：C3、D【解析】的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【考點(diǎn)】拋物線的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握4、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關(guān)系即可求得m，從而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.5、A【解析】由方程確定曲線的形狀，然后轉(zhuǎn)化為求圓上的點(diǎn)到直線距離的最大值【詳解】由曲線方程為知曲線關(guān)于軸成軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，在第一象限內(nèi)，方程化為，即，在第一象限內(nèi)，曲線是為圓心，為半徑的圓在第一象限的圓弧（含坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），實(shí)際上整個(gè)曲線就是這段圓弧及其關(guān)于坐標(biāo)軸．原點(diǎn)對(duì)稱的圖形加上原點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，所以所求最大值為故選：A6、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題7、B【解析】求出樣本的中心點(diǎn)，再利用回歸直線必過樣本的中心點(diǎn)計(jì)算作答.【詳解】依題意，，則這個(gè)樣本的中心點(diǎn)為，因此，，解得，所以實(shí)數(shù)m的值為6.故選：B8、A【解析】由題方程化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出c，則橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點(diǎn)為故選：A.9、D【解析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個(gè)月已還多少本金，由此可計(jì)算出個(gè)月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D10、A【解析】根據(jù)線面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)面面垂直的判定定理可知，A選項(xiàng)正確，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，和可能相交，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)，時(shí)，可能含于，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：A11、C【解析】如下圖所示，是底角為的等腰三角形，則有所以，所以又因?yàn)?，所以，，所以所以答案選C.考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì).12、A【解析】根據(jù)題中條件，得出數(shù)列公差，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，又，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的基本量運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題型.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用角平分線結(jié)合中位線和雙曲線定義求得的關(guān)系，然后利用，及漸近線方程即可求得結(jié)果.【詳解】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵是的平分線，，，又是中點(diǎn)，所以，且，又，，，又，雙曲線E的漸近線方程為故答案為：.14、【解析】首先求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求最值即可確定實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】∵在上恒成立，∴當(dāng)時(shí)，取最大值1，∵對(duì)任意的，都有成立，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，則，，∵在上恒成立，∴在上為減函數(shù)，∵當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，取最大值1，故，故答案為【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，難度中檔15、【解析】設(shè)M,N的中點(diǎn)坐標(biāo)為P，,則；由于，化簡(jiǎn)可得，根據(jù)橢圓的定義==6，所以12.考點(diǎn)：1.橢圓的定義；2.兩點(diǎn)距離公式.16、【解析】根據(jù)二元二次方程表示圓的條件求解【詳解】由題意，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）先求導(dǎo)，由到數(shù)值求出斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式求出方程即可；（2）采用分離常數(shù)法，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的值域即可.【小問1詳解】時(shí)，，，則，，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即【小問2詳解】對(duì)任意的，恒成立，即，對(duì)任意的，令，即，則，因?yàn)?，，所以?dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，所以18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可；（2）運(yùn)用裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】∵，∴，又∵，∴，∴數(shù)列是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，∴，∴，從而，∴數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列；【小問2詳解】由（1）知，則，∴，∴.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)圓心，由題意得，，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式求解的值，則圓心與半徑可求，圓的方程可求；（2）若直線的斜率不存在，設(shè)直線的方程為，符合題意，若直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，即，由圓心到直線的距離與半徑關(guān)系求得，則直線方程可求【小問1詳解】解：（1）設(shè)圓心，由題意得，，，解得.圓心坐標(biāo)為，半徑.則圓的方程為；【小問2詳解】解：（2）直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，，圓心到直線的距離，即，解得，得直線的方程為.20、（1）（2）或【解析】（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得，化簡(jiǎn)即可得出（2）分直線的斜率不存在與存在兩種情況討論，當(dāng)斜率不存在時(shí)，即可求出、的坐標(biāo)，從而求出，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立直線與圓的方程，消元列出韋達(dá)定理，則，即可求出，從而求出直線方程，由圓心在直線上，即可求出弦長(zhǎng)；【小問1詳解】解：（1）設(shè)曲線上的任意一點(diǎn)，由題意可得：，即，整理得【小問2詳解】解：依題意當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，則，則或，即、，所以、，所以滿足條件，此時(shí)，當(dāng)直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，，，則，消去整理得，由，解得或，所以、，因?yàn)?，，所以，解得，所以直線方程為，又直線過圓心，所以，綜上可得或；21、（1）詳見解析；（2）【解析】（1）取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，易證四邊形是平行四邊形，得到，再利用線面平行的判定定理證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面MBC的一個(gè)法向量，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為：，由求解.【小問1詳解】證明：如圖所示：取PD的中點(diǎn)E，連接ME，CE，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，M是PA的中點(diǎn)，N是BC的中點(diǎn)，所以，所以四邊