山東省臨沭縣2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題含解析

山東省臨沭縣2025屆數(shù)學高二上期末學業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿足，，則（）A. B.C.1 D.22．雙曲線的漸近線方程是（）A. B.C. D.3．已知橢圓和雙曲線有共同焦點，是它們一個交點，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.4．已知橢圓的長軸長為，短軸長為，則橢圓上任意一點到橢圓中心的距離的取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A.2 B.4C.6 D.86．若，則“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件7．如圖，某綠色蔬菜種植基地在A處，要把此處生產(chǎn)的蔬菜沿道路或運送到形狀為四邊形區(qū)域的農(nóng)貿(mào)市場中去，現(xiàn)要求在農(nóng)貿(mào)市場中確定一條界線，使位于界線一側的點沿道路運送蔬菜較近，而另一側的點沿道路運送蔬菜較近，則該界線所在曲線為（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線8．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小正周期為 B.的圖象關于直線C.的一個零點為 D.在區(qū)間的最小值為19．如圖是一水平放置的青花瓷．它的外形為單葉雙曲面，可看成是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉所形成的曲面，且其外形上下對稱．花瓶的最小直徑為，瓶口直徑為，瓶高為，則該雙曲線的虛軸長為（）A. B.C. D.4510．若橢圓上一點到C的兩個焦點的距離之和為，則（）A.1 B.3C.6 D.1或311．若將一個橢圓繞其中心旋轉90°，所得橢圓短軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，這樣的橢圓稱為“對偶橢圓”，下列橢圓中是“對偶橢圓”的是（）A. B.C. D.12．已知橢圓的離心率為，直線與橢圓交于兩點，為坐標原點，且，則橢圓的方程為A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．寫出一個同時滿足下列條件①②③的圓C的標準方程：__________①圓C的圓心在第一象限；②圓C與x軸相切；③圓C與圓外切14．如圖，正方體的棱長為1，C、D分別是兩條棱的中點，A、B、M是頂點，那么點M到截面ABCD的距離是____________.15．美好人生路車站早上有6：40，6：50兩班開往A校的公交車，若李華同學在早上6：35至6：50之間隨機到達該車站，乘開往A校的公交車，公交車準時發(fā)車，則他等車時間不超過5分鐘的概率為______16．設點是雙曲線上的一點，、分別是雙曲線的左、右焦點，已知，且，則雙曲線的離心率為________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知正三棱柱底面邊長為，是上一點，是以為直角頂點的等腰直角三角形，（1）證明：是的中點；（2）求二面角的大小18．（12分）已知點和圓.（1）求圓的圓心坐標和半徑；（2）設為圓上的點，求的取值范圍.19．（12分）某電腦公司為調查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機抽取200名用戶，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點值為代表，結果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內的用戶中進行分層抽樣，抽取6人，再從中隨機選取2人贈送小禮品，求恰有1人在內的概率20．（12分）設點，動圓P經(jīng)過點F且和直線相切，記動圓的圓心P的軌跡為曲線W（1）求曲線W的方程；（2）直線與曲線W交于A、B兩點，其中O為坐標原點，已知點T的坐標為，記直線TA，TB的斜率分別為，，則是否為定值，若是求出，不是說明理由21．（12分）已知圓C的圓心在直線上，且過點，（1）求圓C的方程；（2）過點作圓C的切線，求切線的方程22．（10分）茶樹根據(jù)其茶葉產(chǎn)量可分為優(yōu)質茶樹和非優(yōu)質茶樹，某茶葉種植研究小組選取了甲，乙兩塊試驗田來檢驗某種茶樹在不同的環(huán)境條件下的生長情況．研究人員將100株該種茶樹幼苗在甲，乙兩塊試驗田中進行種植，成熟后統(tǒng)計每株茶樹的茶葉產(chǎn)量，將所得數(shù)據(jù)整理如下表所示：優(yōu)質茶樹非優(yōu)質茶樹甲試驗田a25乙試驗田10b已知甲試驗田優(yōu)質茶樹的比例為50%（1）求表中a，b的值；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)判斷，是否有99%的把握認為甲，乙兩塊試驗田的環(huán)境差異對茶樹的生長有影響？附：，其中．0.100.050.01k2.7063.8416.635

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結合遞推關系式依次求得的值.【詳解】因為，，所以，得由，得.故選：C2、A【解析】先將雙曲線的方程化為標準方程得，再根據(jù)雙曲線漸近線方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線的方程化為標準方程得，所以，所以其漸近線方程為：，即.故選：A.3、D【解析】設橢圓長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結論【詳解】如圖，設橢圓的長半軸長為a1，雙曲線的半實軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過橢圓與雙曲線的定義求焦點三角形三邊長，考查利用基本不等式求最值問題，屬于中檔題4、A【解析】不妨設橢圓的焦點在軸上，設點，則，且有，利用二次函數(shù)的基本性質可求得的取值范圍.【詳解】不妨設橢圓的焦點在軸上，則該橢圓的標準方程為，設點，則，且有，所以，.故選：A.5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式，結合等差數(shù)列下標的性質、等差數(shù)列通項公式進行求解即可.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，，，故選：B6、C【解析】利用函數(shù)在上單調遞減即可求解.【詳解】解：因為函數(shù)在上單調遞減，所以若，，則；反之若，，則.所以若，則“”是“”的充要條件，故選：C.7、C【解析】設是界限上的一點，則，即，再根據(jù)雙曲線的定義即可得出答案.【詳解】解：設是界限上的一點，則，所以，即，在中，，所以點的軌跡為雙曲線，即該界線所在曲線為雙曲線.故選：C.8、D【解析】根據(jù)余弦函數(shù)的圖象與性質判斷其周期、對稱軸、零點、最值即可.【詳解】函數(shù)，周期為，故A錯誤；函數(shù)圖像的對稱軸為，，，不是對稱軸，故B錯誤；函數(shù)的零點為，，，所以不是零點，故C錯誤；時，，所以，即，所以，故D正確.故選：D9、C【解析】設雙曲線方程為，，由已知可得，并求得雙曲線上一點的坐標，把點的坐標代入雙曲線方程，求解，即可得到雙曲線的虛軸長【詳解】設點是雙曲線與截面的一個交點，設雙曲線的方程為：，花瓶的最小直徑，則，由瓶口直徑為，瓶高為，可得，故，解得，該雙曲線的虛軸長為故選：10、B【解析】討論焦點的位置利用橢圓定義可得答案.【詳解】若，則由得（舍去）；若，則由得故選：B.11、A【解析】由題意可得，所給的橢圓中的，的值求出的值，進而判斷所給命題的真假【詳解】解：因為橢圓短的軸兩頂點恰好是旋轉前橢圓的兩焦點，即，即，中，，，所以，故，所以正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；中，，，所以，所以不正確；故選：12、D【解析】根據(jù)等腰直角三角形的性質可得，將代入橢圓方程，結合離心率為以及性質列方程組求得與的值，從而可得結果.【詳解】設直線與橢圓在第一象限的交點為，因為，所以，即，由可得，，故所求橢圓的方程為.故選D.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程與性質，以及橢圓離心率的應用，意在考查對基礎知識掌握的熟練程度，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)【解析】首先設圓的圓心和半徑，根據(jù)條件得到關于的方程組，即可求解.【詳解】設圓心坐標為，由①可知，半徑為，由②③可知，整理可得，當時，，，所以其中一個同時滿足條件①②③的圓的標準方程是.故答案為：(答案不唯一，但圓心坐標需滿足，)14、【解析】由題意建立空間直角坐標系，然后結合點面距離公式即可求得點M到截面ABCD的距離.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，可得A（0，0，0），B（1，1，0），D（0，，1），M（0，1，0），∴（0，1，0），（1，1，0），（0，，1），設（x，y，z）為平面ABCD的法向量，則，取y＝﹣2，可得x＝2，z＝1，∴（2，﹣2，1），∴M到截面ABCD的距離d故答案為.【點睛】本題主要考查空間直角坐標系及其應用，點面距離的計算等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.15、【解析】根據(jù)題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達，進而根據(jù)幾何概型求概率的方法求得答案.【詳解】由題意，李華等車不超過5分鐘，則他必須在6:35-6:40或者6:45-6:50到達，則所求概率.故答案為：.16、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，進而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)正棱柱的性質，結合線面垂直的判定定理、直角三角形的性質、正三角形的性質進行證明即可；（2）根據(jù)線面垂直的判定定理和性質，結合二面角的定義進行求解即可.【小問1詳解】證明：在正三棱柱中，平面，平面，則,又是以為直角頂點的等腰直角三角形，則，且，平面，故平面，而平面，所以，又為正三角形，所以為的中點；【小問2詳解】在正中，取的中點為，則，又平面，則，且，平面，故平面，取的中點為，且的中點為，則，故平面，而平面，所以，在等腰直角中，取的中點為，則，，平面，所以平面，而平面，所以，故為二面角平面角，又，則，，所以在中，，即：，故二面角的大小為.：18、（1）圓心的坐標為，半徑；（2）【解析】（1）利用配方法化圓的一般方程為標準方程，可得圓心坐標與半徑；（2）由兩點間的距離公式求得，得到與，則的取值范圍可求【小問1詳解】解：由，得，圓心的坐標為，半徑；【小問2詳解】解：，，，，的取值范圍是19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分數(shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內的概率為.【點睛】關鍵點點睛：由中位數(shù)的性質以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點值、頻率的關系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）；（2）是定值，.【解析】(1)根據(jù)給定條件結合拋物線定義直接求解作答.(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，借助韋達定理、斜率坐標公式計算作答.【小問1詳解】過點P作直線的垂線，垂足為點N，依題意，，則動點P的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線W的方程是.【小問2詳解】設，，由消去x并整理得：，則，，因，，則，，因此，所以.【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；(2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值21、（1）（2）或【解析】(1)由圓心在直線上，設，由點在圓上，列方程求，由此求出圓心坐標及半徑，確定圓的方程；(2)當切線的斜率存在時，設其方程為，由切線的性質列方程求，再檢驗直線是否為切線，由此確定答案.小問1詳解】因為圓C的圓心在直線上，設圓心的坐標為，圓C