第五章第三節(jié)第2課時簡單的三角恒等變換

第2課時簡單的三角恒等變換【課程標(biāo)準(zhǔn)】能運用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式,并進行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式,這三組公式不要求記憶).【考情分析】考點考法:高考命題常以角為載體,考查二倍角公式、升冪降冪公式、半角公式;三角函數(shù)求值是高考熱點,常以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算【必備知識·逐點夯實】【知識梳理·歸納】1.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α:sin2α=2sinαcosα.

(2)公式C2α:cos2α=cos2αsin2α=2cos2α1=12sin2α.(3)公式T2α:tan2α=2tanα2.常用的部分三角公式(1)1cosα=2sin2α2,1+cosα=2cos2α2.((2)1±sinα=(sinα2±cosα2)2.((3)sin2α=1-cos2α2,cos2tan2α=1-cos2α1+cos23.半角公式sinα2=±1cosα2=±1+costanα2=±1-cosα1+cos【基礎(chǔ)小題·自測】類型辨析改編易錯高考題號12431.(多維辨析)(多選題)下列說法正確的是 ()A.半角的正弦、余弦公式實質(zhì)就是將倍角的余弦公式逆求而得來的B.存在實數(shù)α,使tan2α=2tanαC.cos2θ2=D.tanα2=sinα【解析】選ABD.由半角公式、二倍角公式可知,選項A正確;因為當(dāng)α=0時,tan2α=2tanα=0,所以選項B正確;因為由二倍角公式可知:cosθ=2cos2θ21,所以cos2θ2=1+cosθ2,因為tanα2=sinα2cosα2=2sinα2cosα22co2.(必修第一冊P223練習(xí)5改條件)cos2π12cos25π12= (A.12 B.33 C.22 【解析】選D.因為cos5π12=sin(π25π12)所以cos2π12cos25π12=cos2π12sin2π12=cos(2×π12)=3.(2023·新高考Ⅱ卷)已知α為銳角,cosα=1+54,則sinα2=A.3-58 B.-1+58 C.3【解析】選D.cosα=1+54,則cosα=12sin2α2,故2sin2α2=1cos即sin2α2=3-58=(5)2+12-所以sinα2=-4.(忽視隱含條件)已知2sinα=1+cosα,則tanα2= (A.2 B.1C.2或不存在 D.12【解析】選D.當(dāng)α=2kπ+π(k∈Z)時,滿足2sinα=1+cosα,此時tanα2不存在;當(dāng)α≠2kπ+π(k∈Z)時,tanα2=sinα1+cosα【核心考點·分類突破】考點一三角函數(shù)式的化簡[例1](1)函數(shù)f(x)=sin2x+3sinxcosx12可以化簡為 (A.f(x)=sin(2xπ3B.f(x)=sin(2xπ6C.f(x)=sin(2x+π3D.f(x)=sin(2x+π6【解析】選B.f(x)=sin2x+3sinxcosx12=1-cos2x2=32sin2x12cos2x=sin(2xπ(2)已知0<θ<π,則(1+sinθ+cos【解析】由θ∈(0,π)得0<θ2<π2,所以cosθ2>0,所以2+2cosθ=4co又(1+sinθ+cosθ)(sinθ2cosθ2)=(2sinθ2cosθ2+2cos2θ2)(=2cosθ2(sin2θ2cos2θ2)=2cosθ2cosθ.故原式=答案:cosθ【解題技法】三角函數(shù)式化簡的解題策略(1)從三角函數(shù)名、角以及冪的差異三方面入手進行適當(dāng)變形,結(jié)合所給的“形”的特征求解;(2)注意弦切互化、異名化同名、異角化同角、降冪升冪.【對點訓(xùn)練】1.化簡:2cos4x【解析】原式=12(4cos4x-4cos2答案:12cos22.化簡:sin2αsin2β+cos2αcos2β12cos2αcos2β=________【解析】原式=1-cos2α2·1-cos2β2+1+cos2α=1-cos2β-cos2α+cos2αcos2β=12+12cos2αcos2β12cos2αcos2β答案:1【加練備選】化簡:2sin(π-【解析】2sin(π-α)+sin2答案:4sinα考點二三角函數(shù)式的求值角度1給值求值[例2](2023·新高考Ⅰ卷)已知sin(αβ)=13,cosαsinβ=16,則cos(2α+2β)= (A.79 B.19 C.19 【解析】選B.因為sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ=13,cosαsinβ=16,所以sinαcosβ=所以sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=23所以cos(2α+2β)=cos2(α+β)=12sin2(α+β)=12×(23)2=1【解題技法】給值求值解題的兩點注意(1)注意“變角”,使其角相同或具有某種關(guān)系.(2)注意公式的選擇及其公式的逆應(yīng)用.角度2給角求值[例3](2023·淄博模擬)sin12°(2cos【解析】因為sin12°(2cos212°-1答案:1【解題技法】給角求值的解題策略(1)該問題一般所給出的角都是非特殊角,解題時一定要注意非特殊角與特殊角的關(guān)系;(2)要利用觀察得到的關(guān)系,結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).角度3給值求角[例4]若sin2α=55,sin(βα)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,A.7π4 B.9π4 C.5π4或7π4 D【解析】選A.因為α∈π4,π,所以2α∈π2,2π,因為sin2α=55所以α∈π4,π2且cos2α=255,又因為sin(βα)=所以βα∈π2,5π4,cos(βα)=31010,所以cos(α+β)=cos=cos(βα)cos2αsin(βα)sin2α=-31010×-255又α+β∈5π4,2π,所以α+β【解題技法】給值求角的方法依條件求出所求角的范圍,選擇一個在角的范圍內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)的三角函數(shù)求值.【對點訓(xùn)練】1.(2023·保定模擬)已知sin(θπ4)=223,則sin2θ的值為A.79 B.79 C.29 【解析】選B.由sin(θπ4)=223,得sin(θπ4)=sinθcosπ4cosθsinπ4=22(sinθcosθ)=223,即sinθcosθ=43,等式兩邊同時平方,得1sin22.(2023·棗莊模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知角α的頂點為坐標(biāo)原點,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(3,4),則tanα2= (A.12或2 C.13或3 【解析】選B.因為角α的頂點為坐標(biāo)原點,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊經(jīng)過點(3,4),所以sinα=45,cosα=35,所以tanα2=sinα3.已知sin(αβ2)=55,sin(βα2)=1010,且αβ2∈(0,π2),βα2∈(0,π【解析】因為αβ2∈(0,π2),βα2∈(0,π2),所以0<α+β2<π,coscos(βα2)=31010.因為cosα+β2=cos[(αβ2)+=cos(αβ2)cos(βα2)sin(αβ2)sin(βα2)=255×3101055×答案:π4.化簡求值:3-【解析】原式=3-4sin20°(1=2sin(40°-20°)2sin20°【加練備選】若tan2α=34,則sin2α+cosA.14或14 B.3C.34 D.【解析】選D.由tan2α=2tanα1-tan2α=34,可得tan故sin2α+cos2α當(dāng)tanα=3時,2×3+13×32+1=當(dāng)tanα=13時,2×(-13)+1考點三三角恒等變換的應(yīng)用教考銜接教材情境·研習(xí)·典題類[例5](必修第一冊P227·例10)如圖,在扇形OPQ中,半徑OP=1,圓心角∠POQ=π3,C是扇形弧上的動點,矩形ABCD內(nèi)接于扇形.記∠POC=α,求當(dāng)角α取何值時,矩形ABCD的面積最大?并求出這個最大面積【解題導(dǎo)思】看問題三角恒等變換中的最值問題提信息半徑OP=1,圓心角∠POQ=π3,矩形ABCD內(nèi)接于扇形,∠POC=定思路借助角α并利用三角函數(shù),把矩形ABCD的長和寬表示出來,確定矩形ABCD面積的表達式,最后利用三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì)確定最大面積【解析】在Rt△OBC中,OB=cosα,BC=sinα.在Rt△OAD中,DAOA=tanπ3=3.OA=33DA=33BC=33sinα,AB=OBOA=cos設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB·BC=(cosα33sinα)sin=sinαcosα33sin2α=12sin2α36(1cos2α)=12sin2α+=13(32sin2α+12cos2α)36=13sin(2α由0<α<π3,得π6<2α+π6<5π6,所以當(dāng)2α+π6=π2,S最大=1336=36.因此,當(dāng)α=π6時,矩形ABCD的面積最大【高考鏈接】(2024·保定模擬)已知扇形POQ的半徑為2,∠POQ=π3,如圖所示,在此扇形中截出一個內(nèi)接矩形ABCD(點B,C在弧PQ上),則矩形ABCD面積的最大值為__________【解析】作∠POQ的平分線OE,交AD于F,BC于E,連接OC,根據(jù)題意可知△AOD為等邊三角形,則E為BC的中點,F為AD的中點,設(shè)∠COE=α,α∈(0,π6),CE=OCsinα=2sinα,則AD=BC=2CE=4sinα則OF=32AD=23sinα,OE=OCcosα=2cosα,則AB=2cosα23sinα所以矩形ABCD的面積S