2023年《雙曲線的幾何性質(zhì)(2)》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精編資源3/3《雙曲線的幾何性質(zhì)(2)》教學(xué)設(shè)計(jì)必備知識(shí)學(xué)科能力學(xué)科素養(yǎng)高考考向1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)習(xí)理解能力觀察記憶概括理解說明論證應(yīng)用實(shí)踐能力分析計(jì)算推測(cè)解釋簡(jiǎn)單問題解決遷移創(chuàng)新能力綜合問題解決猜想探究發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新數(shù)學(xué)抽象直觀想象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算【考查內(nèi)容】1.根據(jù)幾何條件求出雙曲線的方程2.進(jìn)一步掌握雙曲線的方程及其性質(zhì)的應(yīng)用3.運(yùn)用雙曲線的方程與性質(zhì)解決綜合問題【考查題型】填空題、選擇題、解答題為主2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模3.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)數(shù)學(xué)抽象直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算邏輯推理數(shù)學(xué)建模一、本節(jié)內(nèi)容分析本節(jié)對(duì)雙曲線的教學(xué),是在學(xué)生對(duì)于橢圓基本知識(shí)和研究方法已經(jīng)熟悉基礎(chǔ)上進(jìn)行的,所以講解時(shí)應(yīng)采用類比的方法讓學(xué)生以自主研究、合作交流等方式得出雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,最后反思應(yīng)用.雙曲線的定義與橢圓的定義很相似,但不容易掌握而又非常重要,學(xué)習(xí)時(shí)要注意和橢圓的聯(lián)系與區(qū)別,為深刻體會(huì)圓錐曲線的統(tǒng)一定義作好充分準(zhǔn)備,又可對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、變化、聯(lián)系、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育.本節(jié)包含的核心知識(shí)和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:核心知識(shí)1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)3.雙曲線的幾何性質(zhì)(2)直觀想象數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)二、學(xué)情整體分析學(xué)生已掌握了一些雙曲線圖形的實(shí)物與實(shí)例,對(duì)曲線和方程的概念有了一些了解,對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問題有了初步的認(rèn)識(shí)通過橢圓的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)對(duì)圓錐曲線有所了解,對(duì)探索圓錐曲線的方法基本掌握.通過類比的方法探究雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程,學(xué)生比較熟悉通過探究、操作,歸納得出雙曲線的定義,以及根據(jù)條件列出等式并化簡(jiǎn)整理得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,同時(shí)對(duì)雙曲線幾何性質(zhì)的探究學(xué)生皆可以類比橢圓的學(xué)習(xí)過程來完成.學(xué)情補(bǔ)充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教學(xué)活動(dòng)準(zhǔn)備【任務(wù)專題設(shè)計(jì)】1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程2.雙曲線的幾何性質(zhì)(1)3.雙曲線的幾何性質(zhì)(2)【教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)】1.理解雙曲線的定義,掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)2.運(yùn)用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題.【教學(xué)策略設(shè)計(jì)】本節(jié)課內(nèi)容為推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程、研究雙曲線的性質(zhì),這部分內(nèi)容類似于橢圓的學(xué)習(xí),教學(xué)中可以與其類比講解,讓學(xué)生自己進(jìn)行探究,得到類似的結(jié)論.在教學(xué)中,學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到,凡是難度不大,經(jīng)過學(xué)習(xí),學(xué)生自己能解決的問題,應(yīng)該讓學(xué)生自己解決,這樣有利于調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性,同時(shí)也有利于學(xué)生建立信心,使他們的主動(dòng)性得到充分發(fā)揮,從中提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解決問題的能力.【教學(xué)方法建議】情境教學(xué)法、問題教學(xué)法,還有__________________________________________【教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)】重點(diǎn)1.理解和掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及其求法.2.掌握雙曲線的幾何性質(zhì).難點(diǎn)1.推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.雙曲線方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【教學(xué)材料準(zhǔn)備】1.常規(guī)材料:直尺、多媒體課件、_________________________________________2.其他材料_____________________________________________________________四、教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)(課時(shí)建議:1課時(shí))教學(xué)導(dǎo)入師:本節(jié)課我們將繼續(xù)學(xué)習(xí)利用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線有關(guān)的問題.首先我們對(duì)已經(jīng)學(xué)習(xí)過的橢圓和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形和性質(zhì)進(jìn)行對(duì)比總結(jié),請(qǐng)?zhí)畋?類型橢圓雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(a>b>0)(a>b>0)(a>0,b>0)(a>0,b>0)圖形頂點(diǎn)坐標(biāo)(±a,0),(0,±b)(0,±a),(±b,0)(±a,0)(0,±a)對(duì)稱軸x軸、y軸焦點(diǎn)坐標(biāo)(±c,0)(0,±c)(±c,0)(0,±c)對(duì)稱中心(0,0)a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2(a>b>0,a>c>0)c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)離心率且0<e<1且e>1漸近線方程不存在【設(shè)計(jì)意圖】通過填表,對(duì)兩種圓錐曲線進(jìn)行對(duì)比總結(jié),不僅使學(xué)生加深了對(duì)雙曲線定義和標(biāo)準(zhǔn)方程的理解,而且有助于本節(jié)教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).師:前面學(xué)習(xí)雙曲線定義時(shí),我們進(jìn)行過求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的練習(xí).在學(xué)習(xí)完雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)之后,我們?cè)賮砜匆唤M求標(biāo)準(zhǔn)方程的問題.【典型例題】由雙曲線的幾何性質(zhì)確定標(biāo)準(zhǔn)方程例1根據(jù)下列條件,分別求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)過點(diǎn)P(3,?),離心率e=;(2)與雙曲線有共同的漸近線,且過點(diǎn)(?3,2);(3)經(jīng)過P(?2,)和(,4)兩點(diǎn).【簡(jiǎn)單問題解決能力】在例1中,三個(gè)問題的焦點(diǎn)位置不明確,應(yīng)先討論焦點(diǎn)位置,再根據(jù)已知條件求解.對(duì)于(2)也可以根據(jù)漸近線方程設(shè)雙曲線的方程求解,對(duì)于(3)也可以設(shè)雙曲線的一般式方程,省去分類討論.通過例1提升簡(jiǎn)單問題解決能力.【師生互動(dòng),學(xué)生積極思考,獨(dú)立完成】生解:(1)依題意,雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,分別討論如下:①若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0).由e=,得.①由點(diǎn)P(3,)在雙曲線上,得.②又a2+b2=c2,結(jié)合①②,得a2=1,b2=.∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0).同理有,由點(diǎn)P(3,-)在雙曲線上,得,解得b2=?(不合題意,舍去).故雙曲線的焦點(diǎn)只能在x軸上,∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【推測(cè)解釋能力】通過例1,掌握根據(jù)雙曲線的基本幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路,提升學(xué)生數(shù)形結(jié)合及方程思想和推測(cè)解釋能力.師:求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),一定要先區(qū)別焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,如果不確定要進(jìn)行分類討論.【少教精教】解決問題的過程中,教師提示解題思路,學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐,在解決問題的過程中通過少教精教增長(zhǎng)對(duì)知識(shí)的掌握運(yùn)用能力.生解:(2)(方法一)由題意可知,雙曲線的漸近線方程為y=±x.①當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),由題意,得解得a2=,b2=4.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.②當(dāng)所求雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0),由題意可得此方程組無解,∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【分析計(jì)算能力】同一個(gè)題目有不同的解法,從中選擇簡(jiǎn)捷、自然的解題思路.培養(yǎng)學(xué)生分析計(jì)算能力及良好的解題習(xí)慣.師:因?yàn)椴淮_定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,所以進(jìn)行了分類討論,接下來我們換一個(gè)角度解決問題,看看是否可以避免分類討論解決問題,不難發(fā)現(xiàn)(λ≠0)是一類雙曲線,其漸近線方程是相同的,都是,那就可以設(shè)雙曲線方程為(λ≠0),再加一個(gè)條件就能求出雙曲線方程了.師解:(2)(方法二)∵所求雙曲線與雙曲線有共同的漸近線,∴設(shè)所求雙曲線的方程為(λ≠0).將點(diǎn)(?3,2)代入,得(λ≠0),即λ=,∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,即為.【深度學(xué)習(xí)】通過典型例題,掌握雙曲線的基本幾何性質(zhì)及其簡(jiǎn)單運(yùn)用,掌握利用雙曲線的幾何性質(zhì)求標(biāo)準(zhǔn)方程的思路.生解:(3)①當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0).∵點(diǎn)P1(?2,),(,4)在雙曲線上,∴解得(不合題意,舍去).②當(dāng)雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a>0,b>0).將點(diǎn)P1,P2的坐標(biāo)代入上式得解得即a2=9,b2=16.∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.師:第(3)題也是因?yàn)椴淮_定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上,所以進(jìn)行了分類討論,如果我們換一個(gè)角度思考,如何設(shè)方程可以避免分類討論.師解:(3)(方法二)∵雙曲線的焦點(diǎn)位置不確定,∴設(shè)雙曲線方程為mx2+ny2=1(mn<0),將點(diǎn)P1和P2的坐標(biāo)分別代入該方程,則解得∴所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.師:通過例1題,你能總結(jié)出求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法和步驟嗎？【學(xué)生總結(jié),教師補(bǔ)充后進(jìn)行多媒體展示】【以學(xué)定教】利用兩種方法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,讓學(xué)生比較兩種方法的不同之處,從而引出雙曲線的一般式方程,讓學(xué)生體會(huì)一般式簡(jiǎn)化解題步驟和省去討論的優(yōu)越性.【方法策略】求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法與步驟1.求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)2.用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的四個(gè)步驟(1)定位置:根據(jù)條件確定雙曲線的焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上,還是有兩種可能.(2)設(shè)方程:根據(jù)焦點(diǎn)位里,設(shè)其方程為或(a>0,b>0),焦點(diǎn)位置不定時(shí),亦可設(shè)為mx2+y2=1(mn<0).(3)尋關(guān)系:根據(jù)已知條件列出關(guān)于a,b,c(m,n)的方程組.(4)得方程:解方程組,將a,b(m,n)代入所設(shè)方程即可得(求)標(biāo)準(zhǔn)方程.3.利用漸近線與雙曲線的位置關(guān)系,設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為(λ≠0),這樣可避免分類討論,從而減少運(yùn)算量,提高解題速度與準(zhǔn)確性.【概括理解能力】通過典例解析,歸納基本題型,幫助學(xué)生形成基本解題思路,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法和求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的不同方法,提升概括理解能力.探究2求雙曲線的離心率師:接下來,我們來求雙曲線的離心率.【典型例題】求雙曲線的離心率例2已知雙曲線C的頂點(diǎn)為A1,A2,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B,且△BA1A2是一個(gè)等邊三角形,求雙曲線C的離心率.【分析計(jì)算能力】通過例2,掌握求雙曲線離心率的方法,進(jìn)一步體會(huì)方程和數(shù)形結(jié)合的思想方法在解析幾何中的應(yīng)用,在解決例2的過程中提升分析計(jì)算能力.【教師提示思路,同學(xué)們積極思考,獨(dú)立完成】師:求離心率的突破點(diǎn)就是通過已知條件結(jié)合雙曲線的幾何性質(zhì),建立a,b,c的等式關(guān)系來求解比值.生解:設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),則|AO|=|A2O|=a,|BO|=b,因?yàn)椤鰾A1A2是等邊三角形,所以b=a,所以c2=a2+b2=a2+(3a)2=4a2,所以c=2a,從而e==2.師:下面進(jìn)行鞏固練習(xí).【鞏固練習(xí)】求雙曲線的離心率已知A,B為雙曲線C的左、右頂點(diǎn),點(diǎn)M在C上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120°,求C的離心率.【深度學(xué)習(xí)】在焦點(diǎn)三角形中求解雙曲線的離心率.考查了學(xué)生對(duì)雙曲線的定義和離心率公式的深度理解和運(yùn)用情況.【同學(xué)們積極思考,獨(dú)立完成,教師進(jìn)地個(gè)別指導(dǎo)】生解:設(shè)雙曲線C的方程為(a>0,b>0).如圖所示,過點(diǎn)M作MN⊥x軸,垂足為N,在Rt△BMN中,因?yàn)閨AB|=|BM|,∠ABM=120°,所以|BN|=a,|MN|=a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a,a),代入雙曲線方程得a2=b2,所以e=.師:下面我們總結(jié)一下求雙曲線離心率(取值范圍)的方法與技巧.【以學(xué)定教】通過例題總結(jié)求雙曲線離心率的常規(guī)方法和技巧,升華雙曲線幾何性質(zhì)的靈活應(yīng)用,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果.【方法策略】求雙曲線離心率(取值范圍)的方法與技巧1.求雙曲線離心率的常見方法(1)依據(jù)條件求出求出a,c,再計(jì)算e=;(2)依據(jù)條件建立參數(shù)a,b,c的關(guān)系式,一種方法是消去b轉(zhuǎn)化成離心率e的方程求解;另一種方法是消去c轉(zhuǎn)化成含的方程,求出后,利用求離心率.2.求離心率的取值范圍一般是根據(jù)條件建立a,b,c的不等式,通過解不等式得或的范圍,再求得離心率的取值范圍.探究3求雙曲線的漸近線師:下面是一道關(guān)于雙曲線漸近線的例題.【典型例題】求雙曲線的漸近線例3如圖,已知F1,F2,為雙曲線(a>0,b>0)的焦點(diǎn),過F2作垂直于x軸的直線交雙曲線于點(diǎn)P,且∠PF1F2=30°,求雙曲線的漸近線方程.【發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力】學(xué)生經(jīng)歷觀察,類比解決雙曲線離心率問題的方法,尋找求漸近線的方法,培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋求方法,總結(jié)結(jié)論的思維路線,經(jīng)歷知識(shí)形成的全過程,使學(xué)生真正理解自己總結(jié)出來的知識(shí),從而達(dá)到形成技能的目的.提升發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新能力.【教師點(diǎn)撥思路,學(xué)生獨(dú)立完成,教師予以肯定】師:可根據(jù)Rt△PF2F1中的邊角關(guān)系及雙曲線的定義得a,b的關(guān)系,進(jìn)而求得漸近線方程.生解:設(shè)F2(c,0)(c>0),P(c,y0),則,解得.∴.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°,則|PF1|=2|PF2|.①由雙曲線的定義,得|PF1|?|PF2|=2a.②由①②,得|PF2|=2a.∵|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2.∴.∴雙曲線的漸近線方程為y=±x.師:下面鞏固練習(xí)一下.【意義學(xué)習(xí)】通過解決例3,得到尋求a和b之間的關(guān)系是求解漸近線方程的思路.學(xué)生在解題過程中要善于發(fā)現(xiàn)規(guī)律,尋找解決問題的方法.【鞏固練習(xí)】求雙曲線的漸近線已知雙曲線C的對(duì)稱軸與坐標(biāo)軸重合,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1,F2,虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為A,若△AF1F2是頂角為120°的等腰三角形.求雙曲線C的漸近線方程.【分析計(jì)算能力】通過鞏固練習(xí),掌握求漸近線的方法,發(fā)現(xiàn)與求離心率是同一個(gè)思路,進(jìn)一步體會(huì)方程和數(shù)形結(jié)合的思想方法.提升分析計(jì)算能力.【學(xué)生獨(dú)立完成,教師進(jìn)行個(gè)別指導(dǎo),并進(jìn)行點(diǎn)評(píng)總結(jié)】生解:由題意可知,分雙曲線焦點(diǎn)在x軸、y軸上兩種情況求解,如圖(1)(2)所示.若△AF1F2是頂點(diǎn)為120°的等腰三角形,可得,所以,即a2+b2=3b2,a2=2b2,解得或.所以雙曲線的漸近線方程為y=±x或y=±x.師:下面我們總結(jié)一下與雙曲線漸近線有關(guān)的問題及解決方法.【概括理解能力】總結(jié)歸納,把方法系統(tǒng)化,形成數(shù)學(xué)能力.啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行歸納整理,培養(yǎng)學(xué)生概括理解能力.【方法策略】與雙曲線漸近線有關(guān)的問題及解決方法1.雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,雙曲線(a>0,b>0)的漸近線方程為y=±x,兩者容易記混,可將雙曲線方程中的“1”換成“0”,然后因式分解即得漸近線方程.2.若已知漸近線方程為mx±ny=0,求雙曲線方程,雙曲線的焦點(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,可用下面的方法來解決.(1)分兩種情況設(shè)出方程進(jìn)行討論.(2)依據(jù)漸近線方程,設(shè)出雙曲線方程m2x2?n2y2=λ(λ≠0),求出λ即可.這樣可以避免討論.3.有共同漸近線的雙曲線的方程.與雙曲線有共同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為(λ≠0).若λ>0,則實(shí)軸在x軸上;若λ<0,則實(shí)軸在y軸上,再依據(jù)題設(shè)條件可確定λ.探究4雙曲線中的最值問題師:在雙曲線的幾何性質(zhì)中,涉及了一些不等關(guān)系,如雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍、離心率的取值范圍等,經(jīng)常被用來處理與雙曲線相關(guān)的范圍和最值問題.如求雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離,可以考慮結(jié)合雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍來處理.【綜合問題解決能力】解決與雙曲線有關(guān)的不等關(guān)系,就是雙曲線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,讓學(xué)生體會(huì)解題的本質(zhì),降低思維難度.提高自我獲取知識(shí)和解決綜合問題的能力.【典型例題】雙曲線中的最值問題例4已知雙曲線(a>0,b>0)的左焦點(diǎn)為F,且P是雙曲線上的一點(diǎn),求|PF|的最小值.生解:記雙曲線的焦距為2c,則F(?c,0),而且c=.設(shè)P(x,y),則|PF|2=(x+c)2+y2,又因?yàn)镻是雙曲線上一點(diǎn),所以,則y2=?b2+,因此|PF|2==.注意到x≤?a或x≥a,而且0>=>?a,所以,當(dāng)x=?a時(shí),|PF|2最小,且最小值為.【自主學(xué)習(xí)】學(xué)生自主解決雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離問題,鍛煉了學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性.師:從這個(gè)例題說明,雙曲線上的所有點(diǎn)中,到給定焦點(diǎn)距離最小的點(diǎn),是離該焦點(diǎn)距離最近的實(shí)軸的端點(diǎn).師:好的,同學(xué)們回憶一下,本節(jié)課的重點(diǎn)概念.生:本節(jié)課對(duì)雙曲線的幾何性質(zhì)進(jìn)行了進(jìn)一步的應(yīng)用,對(duì)求標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、漸近線以及最值問題進(jìn)行了練習(xí),對(duì)雙曲線性質(zhì)進(jìn)行了很好的鞏固.師:非常好！也請(qǐng)同學(xué)們?cè)谔幚黼p曲線問題時(shí),注意以下幾點(diǎn).【設(shè)計(jì)意圖】教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行課后小結(jié),使得學(xué)生再認(rèn)識(shí)了本節(jié)課所學(xué)知識(shí)點(diǎn),加深學(xué)生記憶,促進(jìn)對(duì)雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)的理解與應(yīng)用,培養(yǎng)了學(xué)生的歸納總結(jié)能力.【課堂小結(jié)】雙曲線的幾何性質(zhì)(2)1.如果涉及雙曲線兩焦點(diǎn)距離時(shí),可以考慮雙曲線的定義.2.要注意焦點(diǎn)的位置帶來的影響.3.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),要注意待定系數(shù)法的使用.4.離心率是比值,在求解時(shí)注意關(guān)于a,b,c的關(guān)系式.5.已知雙曲線的漸近線方程,可以使用(λ≠0)來求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.教學(xué)評(píng)價(jià)雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種,我們是先學(xué)習(xí)橢圓,再學(xué)習(xí)雙曲線,這充分考慮了緊密聯(lián)系知識(shí)體系和由易到難的教學(xué)要求,符合學(xué)生的學(xué)習(xí)規(guī)律,前面有橢圓知識(shí)及學(xué)習(xí)方法的鋪墊,后面有拋物線學(xué)習(xí)的綜合加強(qiáng),有利于學(xué)生掌握和鞏固.應(yīng)用所學(xué)知識(shí),完成下面各題:1.求適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(1)以橢圓長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為焦點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)(3,);(2)a=b,經(jīng)過點(diǎn)(3,?1);(3)過點(diǎn)P(3,?),離心率為;(4)與橢圓有公共焦點(diǎn),且離心率.【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)生在掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后,反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì).靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)、體會(huì)解析幾何這門學(xué)科的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).解析:本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,首先根據(jù)條件判斷雙曲線的焦點(diǎn)的位置然后設(shè)定方程,最后尋找a,b的關(guān)系并求解其中,與雙曲線具有相同漸近線的雙曲線方程可設(shè)為.(1)由題意得,雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,且c=2.設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.則有,將點(diǎn)(3,)代入方程得,解得.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),可設(shè)雙曲線的方程為x2?y2=a2,將點(diǎn)(3,?1)代入,得32?(?1)2=a2,所以a2=62=8.故所求的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),可設(shè)雙曲線的方程為,將點(diǎn)(3,?1)代入,得(?1)2?32=a2,a2=?8(舍去),所以焦點(diǎn)不可能在y軸上.綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【分析計(jì)算能力】從基礎(chǔ)入手,通過評(píng)價(jià)練習(xí),使學(xué)生更好地理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式,以及各個(gè)量之間的關(guān)系,掌握求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法.培養(yǎng)分析計(jì)算能力.(3)若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)其方程為,∵e=,∴,即a2=b2.①又雙曲線過P(3,?),∴,②由①②得a2=b2=4,故雙曲線方程為.若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)其方程為,同理有a2=b2,③,④由③④得a2=b2=?4(舍去).綜上,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過設(shè)計(jì)不同層次的習(xí)題,讓學(xué)生能夠理解并運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì),解決簡(jiǎn)單的雙曲線問題;也讓學(xué)有余力的學(xué)生有所提高,從而達(dá)到激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的.培養(yǎng)簡(jiǎn)單問題解決能力.(4)由橢圓方程知,,所以橢圓的焦點(diǎn)是F1(?,0),F2(,0).因此雙曲線的焦點(diǎn)為(?,0),(,0).設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由已知條件,有,解得所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.2.一塊面積為12公頃的三角形形狀的農(nóng)場(chǎng),如圖所示,在△PEF中,已知tan∠PEF=,tan∠PFE=?2,試建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系,求出分別以E,F為左、右焦點(diǎn)且過點(diǎn)P的雙曲線方程.【簡(jiǎn)單問題解決能力】通過雙曲線實(shí)際應(yīng)用的練習(xí),幫助學(xué)生形成基本解題思路,進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想方法和利用雙曲線的定義解決實(shí)際問題的基本步驟.發(fā)展學(xué)生簡(jiǎn)單問題的解決能力,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).解析:本題主要利用特定系數(shù)法求解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.以EF所在直線為x軸,EF的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖.設(shè)以E,P為焦點(diǎn)目過點(diǎn)P的雙曲線方程為,焦點(diǎn)為E(?c,0),F(c,0).由tan∠PEF=,tan∠EFP=?2,設(shè)∠PFx=α