【整合學(xué)案】11.4.2　平面與平面垂直

高中數(shù)學(xué)精選資源2/211.4.2學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.了解二面角、面面垂直的定義．(重點)2.掌握面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．(重點)3.靈活運用線面、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理解決空間中的位置關(guān)系問題．(難點)1.通過二面角概念、平面與平面垂直的定義學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象的核心素養(yǎng).2.借助線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).1．二面角概念平面內(nèi)的一條直線把平面分成兩部分，其中的每一部分通稱為半平面．從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角．這條直線叫做二面角的棱，這兩個半平面叫做二面角的面.圖示平面角定義在二面角的棱上任取一點，以該點為垂足，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線，則這兩條射線構(gòu)成的角稱為二面角的平面角圖示符號OAα，OBβ，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l?∠AOB是二面角的平面角范圍[0，π]規(guī)定二面角的大小用它的平面角的大小來度量，二面角的平面角是多少度，就說這個二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角記法棱為l，面分別為α，β的二面角記為α-l-β.如圖所示，也可在α，β內(nèi)(棱以外的半平面部分)分別取點P，Q，將這個二面角記作二面角P-l-Q.2.平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果它們所成的二面角的大小為90°，則稱這兩個平面互相垂直．平面α與平面β垂直，記作α⊥β.(2)畫法：兩個互相垂直的平面通常把直立平面的豎邊畫成與水平平面的橫邊垂直，如圖所示．(3)面面垂直的判定定理文字語言圖形語言符號語言如果一個平面經(jīng)過另外一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥β,l?α))?α⊥β(4)面面垂直的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝m,a?α,a⊥m))?a⊥β圖形語言思考：若定理中的“交線”改為“一條直線”，結(jié)論會是什么？[提示]相交或平行．1．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有()A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBCD[因為AD⊥BC，AD⊥BD，BC∩BD＝B，所以AD⊥平面BCD.又因為AD平面ADC，所以平面ADC⊥平面DBC.]2．如圖所示，在三棱錐P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABCB[由圖可知PD平面ABC，PD與平面ABC也不平行，故A、D錯誤；△ABP中，PA＝PB，AD＝DB，則PD⊥AB，又平面PAB⊥平面ABC，且平面PAB∩平面ABC＝AB，PD平面PAB，所以PD⊥平面ABC，故B正確．C錯誤．]3．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AA1C1C與平面垂直[因為BD⊥AC，BD⊥C1C且AC∩C1C＝C所以BD⊥平面AA1C因為BD平面C1BD，所以平面AA1C1C⊥平面C4．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2eq\r(3)，CC1＝eq\r(2)，二面角C1-BD-C的大小為________．30°[如圖，連接AC交BD于點O，連接C1O.因為C1D＝C1B，O為BD中點，所以C1O⊥BD.因為AC⊥BD，所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角，在Rt△C1CO中，C1C＝eq\r(2)，可以計算出C1O＝2eq\r(2)，所以sin∠C1OC＝eq\f(C1C,C1O)＝eq\f(1,2).所以∠C1OC＝30°.]二面角的求解【例1】如圖所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分別交AC，SC于點D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E-BD-C的大?。甗思路探究]求二面角E-BD-C的大小?先作出二面角的平面角，再計算．[解]因為E為SC的中點，且SB＝BC，所以BE⊥SC.又DE⊥SC，BE∩DE＝E，所以SC⊥平面BDE，所以BD⊥SC.又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，所以BD⊥平面SAC，從而BD⊥AC，BD⊥DE，所以∠EDC為二面角E-BD-C的平面角．設(shè)SA＝AB＝1，在△ABC中，因為AB⊥BC，所以SB＝BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(3)，所以SC＝2.在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，所以∠EDC＝60°，即二面角E-BD-C為60°.1．求二面角大小的步驟簡稱為“一作二證三求”．2．作二面角的平面角的方法方法一：(定義法)在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．如圖所示，∠AOB為二面角α-a-β的平面角．方法二：(垂線法)過二面角的一個面內(nèi)一點作另一個平面的垂線，過垂足作棱的垂線，連接該點與垂足，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補角．如圖所示，∠ACB為二面角α-m-β的平面角．1．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B[解]取A1C1的中點O，連接B1O，BO.由題意知B1O⊥A1C1，又BA1＝BC1，O為A1C所以BO⊥A1C所以∠BOB1即是二面角B-A1C1-B1因為BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1所以BB1⊥OB1.設(shè)正方體的棱長為a，則OB1＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2).所以二面角B-A1C1-B1的正切值為eq\r(2).平面與平面垂直的判定【例2】如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分別為AB，BC的中點，點F在側(cè)棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1求證：(1)直線DE∥平面A1C(2)平面B1DE⊥平面A1C[證明](1)因為D，E分別是AB，BC的中點，所以DE∥AC，又AC∥A1C1，所以DE∥A1C1，又因為A1C1面A1C1F，且DE平面A1C1F(2)因為ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥平面A1B1C1，所以AA1⊥A1C1.又因為A1C1⊥A1B1，且AA1∩A1B1＝A1，AA1，A1B1平面AA1B1B，所以A1C1⊥平面AA1B1B，所以A1C1⊥B1D，又A1F⊥B1D，A1F∩A1C1＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F，又因為B1D平面B1證明面面垂直的兩個方法及實質(zhì)(1)定義法：證明二面角的平面角為直角．步驟：①找出兩個相交平面的平面角；②證明這個平面角是直角；③根據(jù)定義，說明這兩個平面互相垂直．(2)判定定理法：證明一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，一般是在現(xiàn)有的直線中找平面的垂線，若這樣的直線在現(xiàn)有的圖形中不存在，則可通過作輔助線來解決．實質(zhì)：證明面面垂直，實質(zhì)上是轉(zhuǎn)化為線面垂直來證明，進而轉(zhuǎn)化為線線垂直，其中體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．2．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝DC，E是PC的中點．(1)證明：PA∥平面BDE.(2)證明：平面BDE⊥平面PBC.[證明](1)連接AC，交BD于點O，連接OE，因為四邊形ABCD為正方形，所以O(shè)為AC的中點，又因為E為PC中點，所以O(shè)E為△PAC的中位線，所以PA∥OE，又因為OE平面BDE，PA平面BDE，所以PA∥平面BDE.(2)因為四邊形ABCD為正方形，所以BC⊥CD，PD⊥BC，又CD∩PD＝D，所以BC⊥平面PCD，所以DE⊥BC，又因為PD＝DC，E為PC中點，所以DE⊥PC，又PC∩BC＝C，所以DE⊥平面PBC，又因為DE平面BDE，所以平面BDE⊥平面PBC.面面垂直性質(zhì)定理的應(yīng)用【例3】如圖所示，P是四邊形ABCD所在平面外的一點，四邊形ABCD是邊長為a的菱形且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.[思路探究](1)eq\x(菱形ABCD，∠DAB＝60°)→eq\x(△ABD為正三角形)→eq\x(BG⊥AD)eq\o(→,\s\up8(面PAD⊥底面ABCD))eq\x(BG⊥平面PAD)(2)要證AD⊥PB，只需證AD⊥平面PBG即可．[證明](1)如圖，在菱形ABCD中，連接BD，由已知∠DAB＝60°，∴△ABD為正三角形，∵G是AD的中點，∴BG⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)如圖，連接PG.∵△PAD是正三角形，G是AD的中點，∴PG⊥AD，由(1)知BG⊥AD.又∵PG∩BG＝G.∴AD⊥平面PBG.而PB平面PBG，∴AD⊥PB.1．平面與平面垂直的性質(zhì)定理的三個作用(1)證明直線與平面垂直．(2)證明直線與直線平行．(3)作平面的垂線．2．應(yīng)用性質(zhì)定理證線面垂直的關(guān)鍵一找，二證，即在其中一個平面內(nèi)找到一條直線，然后證明所找直線與交線垂直．3.如圖所示，四棱錐V-ABCD的底面是矩形，側(cè)面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.求證：平面VBC⊥平面VAC.[證明]因為平面VAB⊥底面ABCD，且BC⊥AB，平面VAB∩平面ABCD＝AB.所以BC⊥平面VAB，所以BC⊥VA，又VB⊥平面VAD，所以VB⊥VA，又VB∩BC＝B，所以VA⊥平面VBC，因為VA平面VAC.所以平面VBC⊥平面VAC.垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用[探究問題]1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝eq\r(2)a，你能證明PD⊥平面ABCD嗎？[提示]因為PD＝a，DC＝a，PC＝eq\r(2)a，所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.同理可證PD⊥AD，因為AD平面ABCD，DC平面ABCD，且AD∩DC＝D，所以PD⊥平面ABCD.2．如圖所示，已知圓錐的頂點為S，AB為底面圓O的直徑，點D為線段AB上一點，且AD＝eq\f(1,3)DB，點C為圓O上一點，且BC＝eq\r(3)AC，P為母線SA上的點，其在底面圓O上的正投影為點D，求證：PA⊥CD.[提示]連接CO(圖略)，由3AD＝DB知，D為AO的中點，又AB為圓O的直徑，所以AC⊥CB，由eq\r(3)AC＝BC知，∠CAB＝60°，所以△ACO為等邊三角形，從而CD⊥AO.因為點P在圓O所在平面上的正投影為點D，所以PD⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D得，CD⊥平面PAB，又PA平面PAB，所以PA⊥CD.【例4】如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點，過A，D，N三點的平面交PC于M，E為AD的中點．求證：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.[思路探究](1)證明EN∥DM；(2)由AD∥BC可證AD⊥平面PEB；(3)利用(2)可證PB⊥平面ADMN.[證明](1)因為AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC.又因為平面ADMN∩平面PBC＝MN，所以AD∥MN.又因為BC∥AD，所以MN∥BC.又因為N是PB的中點，所以點M為PC的中點．所以MN∥BC且MN＝eq\f(1,2)BC，又因為E為AD的中點，所以MN∥DE，且MN＝DE.所以四邊形DENM為平行四邊形．所以EN∥DM，且EN平面PDC，DM平面PDC.所以EN∥平面PDC.(2)因為四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，所以BE⊥AD.又因為側(cè)面PAD是正三角形，且E為AD中點，所以PE⊥AD，BE∩PE＝E，所以AD⊥平面PBE.又因為AD∥BC，所以BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE，又PB平面PBE，所以AD⊥PB.又因為PA＝AB，N為PB的中點，所以AN⊥PB.且AN∩AD＝A，所以PB⊥平面ADMN.又因為PB平面PBC.所以平面PBC⊥平面ADMN.線面、面面垂直的綜合問題的解題策略(1)重視轉(zhuǎn)化涉及線面垂直、面面垂直的綜合問題的解題關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化，即證面面垂直，轉(zhuǎn)化為證線面垂直；證線面垂直轉(zhuǎn)化為證線線垂直．(2)充分挖掘線面垂直關(guān)系解答線面垂直、面面垂直的綜合問題時，通常要先證出一個關(guān)鍵的線面垂直關(guān)系，由此出發(fā)才能證出其他線線垂直、線面垂直關(guān)系，因此要注意線面垂直在解題過程中的樞紐作用．4．如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，AB＝BC，D為線段AC的中點，E為線段PC上一點．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC.[證明](1)因為PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，所以PA⊥平面ABC.又因為BD平面ABC，所以PA⊥BD.(2)因為AB＝BC，D為AC的中點，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又AC∩PA＝A，所以BD⊥平面PAC.因為BD平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.1．二面角(1)要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．(2)要注意二面角的平面角與頂點在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．2．平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用思路(1)本質(zhì)：通過直線與平面垂直來證明平面與平面垂直，即線面垂直?面面垂直．(2)證題思路：處理面面垂直問題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問題，進一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問題來解決．3．垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在關(guān)于垂直問題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：提醒：應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點：①兩個平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)如果兩個平面互相垂直，那么一個平面內(nèi)的一條直線不一定垂直于另一個平面． ()(2)如果兩個平面互相垂直，那么過交線上的一點垂直于交線的直線，垂直于另一個平面