人教版九年級(jí)數(shù)學(xué) 第二十四章 圓綜合題拓展訓(xùn)練（14考點(diǎn)92題）

試卷第=page22頁，共=sectionpages206206頁第二十四章圓綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一、常規(guī)最值問題………………2考點(diǎn)二、隱圓問題…………………10考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的網(wǎng)格作圖……………………23考點(diǎn)四、與園有關(guān)的尺規(guī)作圖……………………32考點(diǎn)五、三角形的外接圓問題……………………40考點(diǎn)六、三角形的內(nèi)切圓問題……………………56考點(diǎn)七、圓的平移…………………73考點(diǎn)八、圓的折疊問題……………84考點(diǎn)九、圓的旋轉(zhuǎn)問題……………97考點(diǎn)十、正多邊形和圓……………111考點(diǎn)十一、圓與函數(shù)的綜合問題…………………126考點(diǎn)十二、圓的應(yīng)用………………146考點(diǎn)十三、與圓有關(guān)的計(jì)算………………………162考點(diǎn)十四、圓的綜合問題…………177考點(diǎn)一、常規(guī)最值問題1．（22-23九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，矩形的頂點(diǎn)，在半徑為5的上，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，則矩形的對(duì)角線的最小值為（

）．A． B． C． D．2．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，則的最小值．3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)F、點(diǎn)N分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，將沿折疊，使得點(diǎn)D落在處，連接，點(diǎn)M為中點(diǎn)，則的最小值是．4．（2021·河南洛陽·三模）如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，G重合），CD⊥OG于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為cm25．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，的半徑為，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．

6．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是以點(diǎn)為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連接，D是的中點(diǎn)，連接，求的最大值．

考點(diǎn)二、隱圓問題7．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在正方形中，，M，N分別為邊，的中點(diǎn)，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，P為的中點(diǎn)，Q為線段上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（

）

A． B． C． D．8．（23-24九年級(jí)上·北京東城·期末）如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，于，當(dāng)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．9．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在、上，且，與相交于點(diǎn)，連接，則的最小值為．10．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，已知在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．得到．點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差是．11．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）直線分別與軸、軸相交于點(diǎn)、，邊長(zhǎng)為2的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，若正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)到點(diǎn)0,2長(zhǎng)度的最小值是．12．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，P為上一動(dòng)點(diǎn)，Q為弦上一點(diǎn)，．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,?5)，則的最小值為．13．（23-24九年級(jí)上·天津·期末）已知，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，這兩個(gè)等邊三角形的高為；（Ⅱ）如圖②，直線相交于點(diǎn)M，當(dāng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值是．14．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，是的半徑，．點(diǎn)P在上，將點(diǎn)P沿的方向平移到點(diǎn)Q，使．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用平行四邊形的知識(shí)解決該問題：如圖②，在線段上截取，連結(jié)、，由平行四邊形的性質(zhì)可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：在線段上截取，連接、．1°當(dāng)點(diǎn)P在直線外時(shí)，證明過程缺失2°當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，易知．綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過程．【結(jié)論應(yīng)用】在上述問題的條件下，記點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，如圖②．若點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【拓展提升】如圖③，在矩形中，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，，將點(diǎn)P沿的方向平移到點(diǎn)Q，使．點(diǎn)M是線段上的任意一點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)線段長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，則．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的網(wǎng)格作圖15．（2024·天津和平·三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．（Ⅰ）線段的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）以AB為直徑作半圓，在的角平分線上有一點(diǎn)P，上有一點(diǎn)Q，使的值最?。?qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．16．（2024·天津武清·三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中，圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，點(diǎn)是圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)，均在格點(diǎn)上．（1）線段的長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的，使得，并簡(jiǎn)要說明作圖過程（不要求證明）．17．（23-24九年級(jí)上·天津·期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，是的兩條弦，且點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．（1）線段的長(zhǎng)等于；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，在直線的右側(cè)找一點(diǎn)M，使得且，再在線段上找一點(diǎn)F，使，簡(jiǎn)要說明點(diǎn)M和F的位置是如何找到的（不要求證明）．18．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．為的外接圓，請(qǐng)?jiān)谥付ǖ木W(wǎng)格中用無刻度的直尺作圖：(1)在圖中標(biāo)出這個(gè)外接圓的圓心，并寫出________；(2)在圖中畫出的角平分線交于；(3)在圖中畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；(4)在圖中，若交于點(diǎn)，畫出平行四邊形．19．（22-23九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）按要求作圖：(1)如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)A，B，利用無刻度直尺畫出這個(gè)圓的一條直徑；(2)如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點(diǎn)，BAC50，利用無刻度直尺在圖中畫一個(gè)含有50角的直角三角形；(3)如圖3，利用無刻度直尺和圓規(guī)，以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；(4)如圖4，AB與圓相切，且切點(diǎn)為點(diǎn)B，利用無刻度直尺在網(wǎng)格中找出點(diǎn)B的位置．考點(diǎn)四、與園有關(guān)的尺規(guī)作圖20．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)．用直尺和圓規(guī)作圖．(1)過點(diǎn)P作一條直線l，使l與⊙O相切；(2)在⊙O上作一點(diǎn)Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）21．（2023·廣東湛江·一模）如圖，已知四邊形是矩形，把沿對(duì)角線翻折得到，交于點(diǎn)，是的外接圓．

(1)利用尺規(guī)作出的外接圓（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：；(3)若，試判斷與直線的位置關(guān)系，并說明理由．22．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）據(jù)《爾雅·釋器》記載：“好倍肉，謂之瑗（yuàn）．”如圖1，“好”指中間的孔，“肉”指中孔以外的邊（陰影部分），“好倍肉”指中孔和環(huán)邊比例為．(1)觀察：“瑗”的主視圖可以作兩個(gè)同心圓，根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，可得小圓與大圓的半徑之比是_______；(2)聯(lián)想：如圖2，在中，，，平分交于點(diǎn)，則_______；(3)遷移：圖3表示一個(gè)圓形的玉坯，若將其加工成玉瑗，請(qǐng)利用圓規(guī)和無刻度的直尺先確定圓心，再以題（2）的知識(shí)為作圖原理作出內(nèi)孔．（不寫作法，保留作圖痕跡）23．（22-23九年級(jí)下·河南商丘·階段練習(xí)）年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在年月日正式投入使用，在這個(gè)課程標(biāo)準(zhǔn)中要求學(xué)生能利用尺規(guī)過圓外一點(diǎn)作圓的切線．下面是某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)過圓的相關(guān)知識(shí)后進(jìn)行的一系列探究．已知：如圖，為的切線，切點(diǎn)為．求作：的另一條切線，切點(diǎn)為．該數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們展開了探究，經(jīng)梳理，有以下幾種作法：作法一：以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，作直線，則直線即為所求，如圖所示．作法二：連接，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑作圓，交于點(diǎn)，作直線，則直線即為所求，如圖所示．作法三：作直線，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，作直線，則直線即為所求．

根據(jù)以上信息，完成下列問題：(1)該數(shù)學(xué)興趣小組的某同學(xué)對(duì)根據(jù)作法二作出的圖形進(jìn)行了證明，過程如下：證明：連接，由作圖，可知是的直徑．∴（依據(jù)：①），即．又∵是的半徑，∴直線為的切線（依據(jù)：②）．在上述證明過程中，“①”處應(yīng)填寫__________________；“②”處應(yīng)填寫________________．(2)根據(jù)作法三，請(qǐng)用尺規(guī)補(bǔ)全圖．（保留作圖痕跡）(3)若的半徑為，，請(qǐng)你根據(jù)作法三作出的圖形，求線段的長(zhǎng)．考點(diǎn)五、三角形的外接圓問題24．（2022·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）如圖是由三個(gè)大小相同的正方形組成的“品”字型軸對(duì)稱圖案，測(cè)得頂點(diǎn)A，B之間的距離為5．現(xiàn)用一個(gè)等邊三角形紙片將其完全覆蓋，當(dāng)此等邊三角形面積最小時(shí)，則它的外接圓半徑是（）

A． B． C． D．25．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期末）已知，在中，，，以為直徑的圓經(jīng)過的外心，則的長(zhǎng)為．26．（2021·河北保定·一模）如圖1，在中，，點(diǎn)D和點(diǎn)E分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，在線段上以做等速運(yùn)動(dòng)，分別到達(dá)點(diǎn)B、點(diǎn)A后停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)；(3)當(dāng)△ADC的外心在其外部時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的取值范圍．27．（2020九年級(jí)·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，.（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)度（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)?shù)耐庑脑谌切蔚耐獠繒r(shí)，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．28．（23-24九年級(jí)上·江蘇連云港·階段練習(xí)）在中，，，點(diǎn)是外一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)，點(diǎn)位于兩側(cè)），連接CD，AD．

(1)如圖1，點(diǎn)是AB的中點(diǎn)，連接，，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，的度數(shù)是______．(2)當(dāng)時(shí)，①如圖2，連接BD，探究線段BD，CD，之間的數(shù)最關(guān)系，并說明理由；②如圖3，是的外接圓，點(diǎn)在上，點(diǎn)為AB上一點(diǎn)，連接CE，DE，當(dāng)，時(shí)，直接寫出面積的最大值．29．（23-24九年級(jí)下·浙江·階段練習(xí)）我們將能完全覆蓋某平面圖形的最小圓稱為該平面圖形的最小覆蓋圓．例如：線段的最小覆蓋圓是以線段為直徑的圓；不共線三點(diǎn)A、B、C的最小覆蓋圓就是的外接圓．【操作探究】現(xiàn)有三個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形．①小芳按圖1方式擺放，則最小覆蓋圓的直徑為________；②小玲按圖2方式擺放，則最小覆蓋圓的直徑為________；③小慧發(fā)現(xiàn)另一種擺放方式，其最小覆蓋圓的直徑比他倆都小，請(qǐng)你也設(shè)計(jì)一種比小芳和小玲都小的擺放方式，并求出最小覆蓋圓的直徑．【延伸運(yùn)用】某地有四個(gè)村莊E，F(xiàn)，G，H（其位置如圖3所示），現(xiàn)擬建一個(gè)廣播信號(hào)中轉(zhuǎn)站，為了使這四個(gè)村莊的居民都能接收到廣播信號(hào)，且使中轉(zhuǎn)站所需發(fā)射廣播功率最?。ň嚯x越小，所需功率越?。?qǐng)?jiān)趫D中畫出中轉(zhuǎn)站所建位置．30．（22-23九年級(jí)上·浙江嘉興·期中）如圖1，已知拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，它的對(duì)稱軸是直線，動(dòng)點(diǎn)從拋物線的頂點(diǎn)出發(fā)，在對(duì)稱軸上以每秒1個(gè)單位的速度向上運(yùn)動(dòng)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，連接并延長(zhǎng)交拋物線于點(diǎn)，連接，．(1)求拋物線的函數(shù)解析式；(2)當(dāng)為直角三角形時(shí)，求的值；(3)如圖2，為的外接圓，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)變化，請(qǐng)你探究：在時(shí)，求點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)度．考點(diǎn)六、三角形的內(nèi)切圓問題31．（22-23九年級(jí)下·廣東梅州·開學(xué)考試）若四邊形的對(duì)角線，BD相交于，，，，的周長(zhǎng)相等，且，，的內(nèi)切圓半徑分別為，，，則的內(nèi)切圓半徑是（）A． B． C． D．以上答案均不正確

32．（2024·江蘇無錫·二模）如圖，在矩形中，，將邊翻折到，使點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在邊上；再將邊翻折到，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F，連接．（1）若，則的長(zhǎng)為；（2）若點(diǎn)F為的內(nèi)心，則的長(zhǎng)為．33．（22-23九年級(jí)上·安徽·階段練習(xí)）如圖，為的外接圓，是的中點(diǎn)，接交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得平分．(1)求證：直線是的切線．(2)若的半徑為，，求的長(zhǎng)．(3)在（）的前提下，點(diǎn)在上，的內(nèi)心在邊上，求的長(zhǎng)．34．（23-24九年級(jí)上·廣東江門·階段練習(xí)）如圖，為的直徑，C、D為圓上兩點(diǎn)，平分，，．

(1)求證：為切線；(2)用直尺和圓規(guī)：作的內(nèi)心點(diǎn)I．并求長(zhǎng)；(3)求長(zhǎng)．35．（2022九年級(jí)下·浙江·專題練習(xí)）如圖，為的外接圓，D為與的交點(diǎn)，E為線段延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且．(1)求證：直線是的切線．(2)若D為的中點(diǎn)，，，①求的半徑；②求的內(nèi)心到點(diǎn)O的距離．36．（21-22九年級(jí)上·廣東茂名·期末）如圖，在中，，與的角平分線相交于點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)證明：點(diǎn)、、在以點(diǎn)為圓心的同一個(gè)圓上；(3)若，，求內(nèi)心與外心之間的距離．37．（23-24九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期中）【模型提出】如圖，已知線段的長(zhǎng)度為，在線段所在直線外有一點(diǎn)，且，想確定滿足條件的點(diǎn)的位置，可以以為底邊構(gòu)造一個(gè)等腰直角三角形，再以點(diǎn)為圓心，長(zhǎng)為半徑畫圓，則點(diǎn)在的優(yōu)弧上.即：若線段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱之為“定弦定角”模型.【模型應(yīng)用】如圖，在正方形中，，點(diǎn)分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，，連接、，與交于點(diǎn).

(1)求證：；(2)點(diǎn)從點(diǎn)到點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)經(jīng)過的路徑長(zhǎng)為______；(3)若點(diǎn)是的內(nèi)心，連接，則線段的最小值為______.考點(diǎn)七、圓的平移38．（22-23九年級(jí)下·廣東深圳·期中）如圖，在位于軸右側(cè)且半徑為6的，從的位置沿直線向上平移，交直線于點(diǎn)，且是與軸的一個(gè)公共點(diǎn)，若，則四邊形的面積是（

）A．42 B．64 C．68 D．4839．（21-22九年級(jí)上·安徽六安·期末）如圖所示，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)M，N，的半徑為1，將以每秒1個(gè)單位的速度向右作平移運(yùn)動(dòng)，當(dāng)移動(dòng)秒時(shí)，直線恰好與相切．40．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·階段練習(xí)）如圖1，在中，，，，點(diǎn)O在邊AB上，且，以點(diǎn)O為圓心，2為半徑在AB的上方作半圓O，交AB于點(diǎn)D，E，交AC于點(diǎn)P．將半圓O沿AB向右平移，設(shè)點(diǎn)D平移的距離為．(1)在圖1中，劣弧的長(zhǎng)為________；(2)當(dāng)半圓O平移到與邊AC相切時(shí)，如圖2所示．①求x的值；②已知M，N分別是邊BC與上的動(dòng)點(diǎn)，連接MN，求MN的最小值和最大值之和；(3)在半圓O沿邊AB向右平移的過程中，當(dāng)半圓O與的重疊部分是半圓O時(shí)，直接寫出x的取值范圍．41．（22-23九年級(jí)上·江蘇淮安·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，的半徑為1，A、B為外的兩點(diǎn)，．給出如下定義：平移線段得到的弦，（，分別是A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)），線段的最小值稱為線段到的“平移距離”(1)平移線段得到的長(zhǎng)度為的弦和，則這兩條弦的位置關(guān)系是______；在點(diǎn)，，，中，連接點(diǎn)A與點(diǎn)______的線段的長(zhǎng)度等于線段到的“平移距離”；(2)若A、B兩點(diǎn)在直線上，記線段到的“平移距離”為，求的最小值；(3)若點(diǎn)A的坐標(biāo)是，記線段到的“平移距離”為d3，①求d3②當(dāng)d3取得最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為______．42．（20-21九年級(jí)上·江蘇宿遷·階段練習(xí)）如圖1，已知線段，的長(zhǎng)是方程的兩根，且，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸相切于點(diǎn)．（1）求點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)及的度數(shù)；（2）以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿軸負(fù)方向平移，同時(shí)，直線繞點(diǎn)順時(shí)針勻速旋轉(zhuǎn)．當(dāng)?shù)谝淮闻c軸相切時(shí)，直線也恰好與第一次相切．問：直線繞點(diǎn)每秒旋轉(zhuǎn)多少度？（3）如圖2，過，，三點(diǎn)作，點(diǎn)是劣弧上一點(diǎn)，連接，，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)（不與，兩點(diǎn)重合），的值是否發(fā)生變化？如果不變，求其值；如果變化，說明理由．考點(diǎn)八、圓的折疊問題43．（21-22九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，是的直徑，是弦，沿對(duì)折劣弧，交于點(diǎn)D，E、F分別是和的中點(diǎn)，令為所在圓的圓心，若，，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．44．（21-22九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期中）一張圓形紙片，小芳進(jìn)行了如下連續(xù)操作：將圓形紙片左右對(duì)折、折痕為AB，將圓形紙片上下折疊使A、B兩點(diǎn)重合，折痕CD與AB相交于M，將圓形紙片沿EF折疊使B、M兩點(diǎn)重合，折痕EF與AB相交于N．連結(jié)AE、AF，經(jīng)過以上操作小芳得到了以下結(jié)論：①CDEF；②四邊形MEBF是菱形；③△AEF為等邊三角形④．以上結(jié)論正確的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)45．（23-24九年級(jí)上·浙江寧波·階段練習(xí)）如圖，在半圓O中，C是半圓上一點(diǎn)，將沿弦折疊交直徑于點(diǎn)D，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，連結(jié)，若的最小值為，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．46．（2024·江西·中考真題）如圖，是的直徑，，點(diǎn)C在線段上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)C的弦，將沿翻折交直線于點(diǎn)F，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為正整數(shù)時(shí)，線段的長(zhǎng)為．47．（2022·上海·一模）如圖，已知扇形AOB的半徑為6，圓心角為90°，E是半徑OA上一點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)．將扇形AOB沿EF對(duì)折，使得折疊后的圓弧恰好與半徑OB相切于點(diǎn)G，若OE＝5，則O到折痕EF的距離為．48．（2019·浙江溫州·一模）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，∠CDB＝90°，BD交⊙O于點(diǎn)E．（1）求證：．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的長(zhǎng)；②如圖2，將沿弦BC折疊，交AB于點(diǎn)F，則AF的長(zhǎng)為49．（2024·云南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在等邊三角形中，，點(diǎn)E是射線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D隨著點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)而在射線上運(yùn)動(dòng)，連接，始終有，是的外接圓．(1)為如圖1，若點(diǎn)D在邊上，求證：是的切線；(2)如圖2，若圓心O在邊上時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上時(shí)，將的優(yōu)弧沿直線翻折，交的垂線于點(diǎn)F，若，求弧的長(zhǎng)．考點(diǎn)九、圓的旋轉(zhuǎn)問題50．（2024·山東臨沂·二模）如圖，將半徑為4，圓心角為的扇形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得扇形，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)C，D．當(dāng)點(diǎn)C落在上時(shí)旋轉(zhuǎn)停止，則陰影部分的面積為．51．（22-23九年級(jí)上·浙江寧波·開學(xué)考試）如圖，為半圓的直徑，且，半圓繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)的位置，則圖中的陰影部分的面積為．52．（22-23九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期末）在等邊三角形中，于點(diǎn)D，半圓O的直徑開始在邊上，且點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，．將半圓O繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，半圓O與相切于點(diǎn)P．如圖1所示．(1)求的長(zhǎng)度；(2)如圖2．當(dāng)，分別與半圓O交于點(diǎn)M，N時(shí)，連接，，．①求的度數(shù)；②求的長(zhǎng)度；(3)當(dāng)時(shí)，將半圓O沿邊向左平移，設(shè)平移距離為x．當(dāng)與的邊一共有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出x的取值范圍．53．（23-24九年級(jí)下·浙江杭州·階段練習(xí)）圖形的旋轉(zhuǎn)蘊(yùn)含于自然界的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律中，即“變”中蘊(yùn)含著“不變”，這是我們解決圖形旋轉(zhuǎn)的關(guān)鍵．三角形的旋轉(zhuǎn)如此，扇形的旋轉(zhuǎn)也如此．【問題情境】如圖1，，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)成扇形，點(diǎn)C是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，，過點(diǎn)C作射線，求弧的長(zhǎng)．【問題解決】如圖2，將上題中的扇形繞點(diǎn)B按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，若旋轉(zhuǎn)后的扇形和射線相切與點(diǎn)D，求的長(zhǎng)．【問題拓展】如圖3，將題（1）中的扇形繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)落在射線上，弧與射線交于另一點(diǎn)E，求的長(zhǎng)．54．（23-24九年級(jí)上·河北張家口·期中）在矩形中，，，連接，．將半圓形量角器放在如圖1所示的位置，其直徑在邊上，點(diǎn)E是量角器上的零刻度，交于點(diǎn)F，點(diǎn)O是半圓形量角器所在圓的圓心．

圖1

圖2

備用圖(1)求點(diǎn)F在半圓形量角器上的讀數(shù)；(2)將半圓形量角器繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)到上時(shí)，交于點(diǎn)M，如圖13－2所示．求證：與半圓形量角器相切，并求圖2中陰影部分的面積；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與直線只有一個(gè)交點(diǎn)（不包括端點(diǎn)A，E）時(shí)，設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)C的距離為d，請(qǐng)直接寫出d的取值范圍．55．（23-24九年級(jí)上·河北邢臺(tái)·期中）如圖1，在正方形中，，點(diǎn)與點(diǎn)重合，以點(diǎn)為圓心，作半徑長(zhǎng)為5的半圓，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，點(diǎn)是的三等分點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．將半圓繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)角為，旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)．(1)如圖2，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時(shí)．①求的度數(shù)；②求圖中陰影部分的面積；(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，若半圓與正方形的邊相切，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)到切點(diǎn)的距離．考點(diǎn)十、正多邊形和圓56．（21-22九年級(jí)上·山東淄博·期末）已知四個(gè)正六邊形如圖擺放在圖中，頂點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)在圓上．若兩個(gè)大正六邊形的邊長(zhǎng)均為2，則小正六邊形的邊長(zhǎng)是（

）

A． B． C． D．57．（2023·浙江溫州·三模）圖1是由兩個(gè)正六邊形組成的壁掛置物架，軸對(duì)稱仙人堂盆栽放置在木板上，圖2是其示意圖．兩個(gè)正六邊形的邊與，與均在同一直線上．木板（木板厚度忽略不計(jì)），，則的長(zhǎng)為．盆栽由矩形和圓弧組成，且，，恰好在同一直線上，已知，圓弧最高點(diǎn)到的距離與線段的長(zhǎng)度之比為，則圓弧的半徑為．58．（22-23九年級(jí)上·湖北恩施·期末）已知的半徑為a，按照下列步驟作圖：（1）作的內(nèi)接正方形ABCD（如圖1）；（2）作正方形的內(nèi)接圓，再作較小圓的內(nèi)接正方形（如圖2）；（3）作正方形的內(nèi)接圓，再作其內(nèi)接正方形（如圖3）；…；依次作下去，則正方形的邊長(zhǎng)是．59．（2023·浙江溫州·三模）杭州奧體網(wǎng)球中心以極度對(duì)稱的“蓮花”造型驚艷眾人．該建筑底部是由24片全等“花瓣”組成的“固定花環(huán)”，上方穹頂由8片全等“旋轉(zhuǎn)花瓣”均勻連接，可根據(jù)天氣變化合攏或旋轉(zhuǎn)展開．小明借助圓的內(nèi)接正多邊形的知識(shí)，模擬“小蓮花”變化狀態(tài)．穹頂合攏時(shí)，如圖①，正二十四邊形頂點(diǎn)，正八邊形頂點(diǎn)與圓心O共線，正二十四邊形頂點(diǎn)，與正八邊形頂點(diǎn)，共線，則的值為；穹頂開啟時(shí)，如圖②，所有“旋轉(zhuǎn)花瓣”同時(shí)繞著固定點(diǎn)，，…，逆時(shí)針同速旋轉(zhuǎn)．圓心O繞旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，以此類推，當(dāng)落在上時(shí)，若米，則的值為米．

60．（2021·浙江溫州·一模）某廠家要設(shè)計(jì)一個(gè)裝彩鉛的紙盒，已知每支筆形狀、大小相同，底面均為正六邊形，六邊形邊長(zhǎng)為1cm.目前廠家提供了圓形和等邊三角形兩種作為底面的設(shè)計(jì)方案，我們以6支彩鉛為例，可以設(shè)計(jì)如圖的兩種收納方案：（1）如果要裝6支彩鉛，在以上兩種方案里，你認(rèn)為更小的底面積是cm.（2）如果你要裝12只彩鉛，要求相鄰彩鉛拼接無空隙，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一種最佳的布局，并使用圓形來設(shè)計(jì)底面，則底面半徑的最小值為cm.61．（23-24九年級(jí)上·廣東東莞·期中）如圖①，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為a，P是BC上一動(dòng)點(diǎn)，過P作PMAB交AF于M，作PNCD交DE于N.(1)求出的度數(shù)，并證明；(2)如圖②，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接、，求證：；(3)如圖③，點(diǎn)O是AD的中點(diǎn)，OG平分，求證：四邊形OMGN是菱形.62．（23-24九年級(jí)上·廣東汕頭·期中）【給出問題】：已知：是正方形的外接圓，點(diǎn)P在上（除A、B外），試求的度數(shù)．【分析問題】：善于思考的小明在分析上述題目后，有了以圓為工具來解決問題的思路．用圓來畫出準(zhǔn)確的示意圖就能順利解題了，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步探索就有了新發(fā)現(xiàn)．請(qǐng)善于思考的你幫助解答以下問題：（1）①尺規(guī)作圖，在中作出內(nèi)接正方形（保留痕跡，不寫作法）．②原題中．【深入思考】：（2）【問題】如圖1，若四邊形是的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P為弧上一動(dòng)點(diǎn)，連接，請(qǐng)?zhí)骄咳咧g或者三者之間有何數(shù)量關(guān)系，并給予證明．（3）【拓展】如圖2，若六邊形是的內(nèi)接正六邊形，點(diǎn)P為弧上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)骄咳咧g有何數(shù)量關(guān)系：（不寫證明過程）．（4）【應(yīng)用】如圖3，若四邊形是矩形，點(diǎn)P為邊上一點(diǎn)，，，，試求矩形的面積．

考點(diǎn)十一、圓與函數(shù)的綜合問題63．（2022·四川瀘州·模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)是反比例函數(shù)圖像上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與直線相交，交點(diǎn)為、，當(dāng)弦的長(zhǎng)等于時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．64．（23-24九年級(jí)上·浙江紹興·期末）根據(jù)以下情境信息，探索完成任務(wù)．公路涵洞改造方案的設(shè)計(jì)與解決情境1圖1是某公路涵洞，圖2是其截面示意圖，它由圓心在點(diǎn)的劣弧和矩形構(gòu)成．測(cè)得公路寬，涵洞直壁高，涵洞頂端高出道路（）（即）．情境2現(xiàn)需對(duì)公路進(jìn)行拓寬，改造成雙向隔離車道，并同步拓寬涵洞，中間設(shè)置寬為的隔離帶，兩邊為機(jī)動(dòng)車道．如圖3，改造后的公路寬，涵洞直壁高和涵洞頂端到的距離保持不變．

改造方案方案一如圖4，將涵洞上半部分劣弧改造成頂點(diǎn)為的拋物線一部分的形式．

方案二如圖5，將涵洞上半部分劣弧改造成仍為劣弧的形式

問題解決任務(wù)1按方案一改造以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式．任務(wù)2按方案二改造求涵洞上半部分劣弧所在圓的半徑．任務(wù)3隔離帶最大寬度的確定要使高，寬的貨運(yùn)車能通過此公路涵洞，分別求出兩種改造方案下的最大值（，，結(jié)果精確到）．任務(wù)三：65．（2024·廣東珠?！つM預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且．(1)求拋物線的解析式；(2)在第一象限內(nèi)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使，如果存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由；(3)若D是拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)A、B、D的圓與交于E點(diǎn)，求的面積．66．（2024·湖南長(zhǎng)沙·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與x軸交于兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且．

(1)求該拋物線的解析式；(2)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使，如果存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)，如果不存在，說明理由；(3)若點(diǎn)D是拋物線第二象限上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作軸于點(diǎn)F，過點(diǎn)的圓與交于點(diǎn)E，連接，求的面積．

67．（23-24九年級(jí)下·福建福州·期中）如圖，已知拋物線的圖象與x軸交于點(diǎn)A?2,0和點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．連接．

(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)M在直線下方的拋物線上，過點(diǎn)M作，交于點(diǎn)N，求的最大值，并寫出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；(3)點(diǎn)P是的外心，點(diǎn)Q在拋物線上，且位于y軸左側(cè)，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．68．（2023·廣東佛山·一模）二次函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)圖象與軸交于點(diǎn)、，與軸交于點(diǎn)．①寫出函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)；②如圖1，點(diǎn)是第四象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，求出點(diǎn)坐標(biāo)，使得的面積最大；③如圖2，點(diǎn)為第一象限內(nèi)函數(shù)圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作.軸，垂足為，的外接圓與交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)度；(2)點(diǎn)、為函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)，且.若對(duì)于時(shí)，都有，求的取值范圍．69．（2023·浙江湖州·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，其對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸左側(cè)一動(dòng)點(diǎn)，以AB和AD為邊作，連結(jié)DE．已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)．(1)求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式．(2)若、、三點(diǎn)在同一直線上，記的面積為，求證：．(3)連結(jié)BD，若，(如圖2)，將沿DE邊翻折，得到，試探究：在軸上是否存在點(diǎn)，使？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由考點(diǎn)十二、圓的應(yīng)用70．（2023·河北衡水·二模）如圖1，某校學(xué)生禮堂的平面示意圖為矩形，其寬米，長(zhǎng)米，為了能夠監(jiān)控到禮堂內(nèi)部情況，現(xiàn)需要在禮堂最尾端墻面上安裝一臺(tái)攝像頭進(jìn)行觀測(cè)，并且要求能觀測(cè)到禮堂前端墻面區(qū)域，同時(shí)為了觀測(cè)效果達(dá)到最佳，還需要從點(diǎn)出發(fā)的觀測(cè)角．甲、乙二人給出了找點(diǎn)的思路，以及的值，下面判斷正確的是(

)甲：如圖2，在矩形中取一點(diǎn)，使得，即為所求，此時(shí)米；乙：如圖3，在矩形中取一點(diǎn)，使得，且，以為圓心，長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)，，則，均滿足題意，此時(shí)或．A．甲的思路不對(duì)，但是的值對(duì) B．乙的思路對(duì)，的值都對(duì)且完整C．甲、乙求出的的值合在一起才完整 D．甲的思路對(duì)，但是的值不對(duì)71．（2024·浙江溫州·二模）圖1是圓形置物架，示意圖如圖2所示，已知置物板，且點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，測(cè)得，，，，則該圓形置物架的半徑為cm．72．（23-24九年級(jí)上·浙江溫州·階段練習(xí)）圖1是車載手機(jī)支架實(shí)物圖，圖2是其正面示意圖，其中，，為伸縮桿，其中，支架最大寬度，支架的高為，則外接圓的半徑為，當(dāng)一部寬為的手機(jī)置于支架中，如圖3，此時(shí)手機(jī)夾臂收縮，手機(jī)托下移，手機(jī)伸縮桿的移動(dòng)距離相同，形成的外接圓的圓心為點(diǎn)，若，則為cm．

73．（2024·陜西西安·一模）【問題提出】（）如圖，為的弦，在上找一點(diǎn)并畫出，使點(diǎn)到的距離最大；（不需要說明理由）【問題探究】（）如圖，在扇形中，點(diǎn)為扇形所在圓的圓心，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，連接，與交于點(diǎn)，若，，求的最大值；【問題解決】（）某公園有一圓形水池（如圖），是水池上的兩座長(zhǎng)度相等的小橋，且，現(xiàn)規(guī)劃人員計(jì)劃再修建兩座小橋和，橋的入口在水池邊上（即點(diǎn)在上），為使游客觀賞效果最佳，要求四座橋圍成的四邊形面積最大，已知，修建小橋的成本為元，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求修建和兩座小橋的總成本．74．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖①，點(diǎn)P為上一點(diǎn)，，垂足分別為點(diǎn)A與點(diǎn)H，若，則的最大值為；(2)如圖②，在中，，D是邊上一點(diǎn)，且，點(diǎn)E是邊上一點(diǎn)，將沿折疊，則點(diǎn)C落在F處，連接，求周長(zhǎng)的最小值；（3）如圖③，是某花園的設(shè)計(jì)示意圖，已知，，，，弧為上的一段優(yōu)弧，點(diǎn)E為弧上的一點(diǎn)，過點(diǎn)E與點(diǎn)O鋪設(shè)一條觀賞小路，過點(diǎn)A鋪設(shè)一條與之垂直的觀賞小路，垂足為F，現(xiàn)計(jì)劃在內(nèi)種植牡丹花，已知牡丹花每平米的成本費(fèi)為500元，則種植牡丹花所需費(fèi)用至少為多少元？75．（23-24九年級(jí)上·陜西西安·期末）【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1，在畫展廳，為保護(hù)展品，會(huì)放置圍欄分隔觀賞者和展品，現(xiàn)在數(shù)學(xué)小組想知道圍欄位置是否合適，做出以下研究．【資料查閱】1471年德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒也提出過類似問題，如圖2，觀賞最佳的位置就是展品的最高點(diǎn)A與最低點(diǎn)B與觀賞者的眼睛C所形成的視角最大．【米勒定理】如圖3，當(dāng)經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的與過點(diǎn)C的水平線相切于點(diǎn)C時(shí)，視角最大，站在此處觀賞最理想．這是為什么呢？請(qǐng)思考后完成填空：設(shè)點(diǎn)是上任意一個(gè)異于C的點(diǎn)，是的外角，______（填“、或”），又______，．眼睛位于點(diǎn)C處時(shí)，最大．【問題解決】如圖4，在上述定理基礎(chǔ)上，假如豎直墻壁上的展品的最高點(diǎn)A距離地面的高度為3.4米，最低點(diǎn)B距離地面的高度為2.4米，觀賞者的眼睛C距離地面的高度為1.6米，那么圍欄放在什么位置最合適呢？76．（23-24九年級(jí)上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）【觀察思考】：某種在同一平面進(jìn)行傳動(dòng)的機(jī)械裝置如圖1，圖2是它的示意圖．其工作原理是：滑塊在平直滑道上可以左右滑動(dòng)，在滑動(dòng)的過程中，連桿也隨之運(yùn)動(dòng)，并且?guī)?dòng)連桿繞固定點(diǎn)擺動(dòng)．在擺動(dòng)過程中，兩連桿的接點(diǎn)在以為半徑的上運(yùn)動(dòng)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組為進(jìn)一步研究其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，并測(cè)得分米，分米，分米．

(1)點(diǎn)在上滑到最左端的位置與滑到最右端位置間的距離是______分米；(2)如圖3，小明同學(xué)說：“當(dāng)點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)的位置時(shí)，與是相切的．”你認(rèn)為他的判斷對(duì)嗎？為什么？(3)小麗同學(xué)發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，點(diǎn)到的距離最小．”事實(shí)上，還存在著點(diǎn)到距離最大的位置，此時(shí)，點(diǎn)到的距離是______分米；考點(diǎn)十三、與圓有關(guān)的計(jì)算77．（23-24九年級(jí)下·河南駐馬店·階段練習(xí)）在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)、、均為格點(diǎn)，點(diǎn)為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)、分別是線段、上的動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、．在滑動(dòng)的過程中，當(dāng)值最小時(shí)，陰影部分的面積是．78．（2024·河南南陽·二模）如圖，在扇形中，，半徑，點(diǎn)C是上一點(diǎn)，連接，沿將扇形折疊，使得點(diǎn)A落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)D處，連接，則圖中陰影部分面積為(結(jié)果保留π)．79．（2023·廣西貴港·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將半徑為4，圓心角為的扇形繞弧的中點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，點(diǎn)落在上，點(diǎn)落在上，則圖中陰影部分的面積為．80．（2020·山東煙臺(tái)·一模）如圖，在一圓柱鐵桶內(nèi)底面的點(diǎn)處有一飛蟲，在其上邊沿的點(diǎn)處有一面包殘?jiān)?，已知是點(diǎn)正下方的桶內(nèi)底面上一點(diǎn)，已知劣弧的長(zhǎng)為，鐵桶的底面直徑為，桶高為60cm，則該飛蟲從點(diǎn)到達(dá)的最短路徑是cm．

81．（22-23九年級(jí)上·四川綿陽·期末）如圖，為直徑，為的弦，，延長(zhǎng)至，且，的半徑為6．(1)求證：直線與相切；(2)如圖1，若，求陰影部分面積；(3)如圖2，若，求的值．82．（2023·江蘇宿遷·模擬預(yù)測(cè)）在矩形中，，點(diǎn)、分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，且，連接，將矩形沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，點(diǎn)落在點(diǎn)處．(1)如圖1，當(dāng)與線段交于點(diǎn)時(shí)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，連結(jié)交于點(diǎn)連結(jié)．求證：；(3)當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)由點(diǎn)移動(dòng)到中點(diǎn)的過程中，直接寫出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路線長(zhǎng)．83．（2023·江蘇南京·二模）在平面內(nèi)，將小棒經(jīng)過適當(dāng)?shù)倪\(yùn)動(dòng)，使它調(diào)轉(zhuǎn)方向(調(diào)轉(zhuǎn)前后的小棒不一定在同一條直線上)，那么小棒掃過區(qū)域的面積如何盡可能地小呢？已知小棒長(zhǎng)度為4，寬度不計(jì)．方案1：將小棒繞中點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180°到，設(shè)小棒掃過區(qū)域的面積為(即圖中灰色區(qū)域的面積，下同)；方案2：將小棒先繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，再繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，最后繞B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到，設(shè)小棒掃過區(qū)域的面積為．

(1)①______，______；(結(jié)果保留)②比較與的大小．(參考數(shù)據(jù)：，．)(2)方案2可優(yōu)化為方案3：首次旋轉(zhuǎn)后，將小棒先沿著小棒所在的直線平移再分別進(jìn)行第2、3次旋轉(zhuǎn)，三次旋轉(zhuǎn)掃過的面積會(huì)重疊更多，最終小棒掃過的區(qū)域是一個(gè)等邊三角形．①補(bǔ)全方案3的示意圖；②設(shè)方案3中小棒掃過區(qū)域的面積為，求．(3)設(shè)計(jì)方案4，使小棒掃過區(qū)域的面積小于，畫出示意圖并說明理由．84．（22-23九年級(jí)上·山西臨汾·階段練習(xí)）綜合與實(shí)踐問題情境：如圖，將一個(gè)圓錐的側(cè)面展開后可得到一個(gè)圓心角為，半徑為l的扇形，圓錐底面是一個(gè)半徑為r的圓．母線在展開圖上對(duì)應(yīng)的半徑經(jīng)過的中點(diǎn)．(1)特例研究：當(dāng)，時(shí)，，展開圖上，與OB的夾角為．(2)問題提出：求證：．(3)問題解決：如圖2，一種紙質(zhì)圓錐形生日帽，底面直徑為，母線長(zhǎng)也為，為了美觀，想在底面圓上一點(diǎn)A和與之相對(duì)的母線PB中點(diǎn)C之間拉一條細(xì)彩帶進(jìn)行裝飾，求彩帶長(zhǎng)度的最小值．（提示：嘗試畫出圓錐側(cè)面展開圖）考點(diǎn)十四、圓的綜合問題85．（23-24九年級(jí)上·福建廈門·期中）如圖1，在中，D在邊上，圓O為銳角的外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)E，設(shè)．

(1)若，求的度數(shù)；(2)如圖2，作，垂足為F，與交于點(diǎn)G，已知．①求證：；②若，求的值．86．（2024·山東濟(jì)寧·二模）【初步感知】（1）如圖1，點(diǎn)A，B，P均在上，若，則銳角的大小為______度；【深入探究】（2）如圖2，小明遇到這樣一個(gè)問題：是等邊三角形的外接圓，點(diǎn)P在上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，C重合），連接，，．求證：；小明發(fā)現(xiàn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)E，使，連接，通過證明．可推得是等邊三角形，進(jìn)而得證.請(qǐng)根據(jù)小明的分析思路完成證明過程．【啟發(fā)應(yīng)用】（3）如圖3，是的外接圓，，，點(diǎn)P在上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在的兩側(cè)，連接，，，若，則的值為_____．87．（23-24九年級(jí)上·浙江臺(tái)州·期末）如圖，內(nèi)接于，，點(diǎn)是上的動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，，重合），連接，，．

(1)當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)（不與點(diǎn)，重合），求的度數(shù)；（用含的式子表示）(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，過點(diǎn)作AD⊥BP于點(diǎn)．①請(qǐng)?zhí)骄烤€段，和之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；②若，則________；(3)若，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，，過點(diǎn)作AD⊥BP于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．88．（23-24九年級(jí)上·江蘇無錫·期末）如圖1，在中，，，．點(diǎn)是射線上一動(dòng)點(diǎn)，作的外接圓．(1)若圓心在邊上，如圖2，則此時(shí)的長(zhǎng)為______；(2)當(dāng)與的某一邊所在的直線相切時(shí)，求此時(shí)的長(zhǎng)；(3)隨著點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，與的邊的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)有哪些變化？直接寫出對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)的值或取值范圍．89．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）正方形和等腰共頂點(diǎn)，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，為中點(diǎn)，連接，探究的關(guān)系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）條件下，連接，若，在旋轉(zhuǎn)過程中，的最小值為___________．90．（23-24九年級(jí)上·河北廊坊·期中）在矩形中，，，連接，，將半圓形量角器放在如圖1所示的位置，其直徑在邊上，點(diǎn)是量角器上的零刻度，交于點(diǎn)，點(diǎn)是半圓形量角器所在圓的圓心．(1)求點(diǎn)在半圓形量角器上的度數(shù)；(2)將半圓形量角器繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到上時(shí)，交AB于點(diǎn)，如圖所示．求證：與半圓形量角器相切；②在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)與直線只有一個(gè)交點(diǎn)（不包括端點(diǎn)，）時(shí)，設(shè)此交點(diǎn)與點(diǎn)的距離為，請(qǐng)直接寫出的取值范圍．91．（22-23九年級(jí)上·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖1，在中，，于，為AB邊上的點(diǎn)，過、、三點(diǎn)的交于，連接DE，．

(1)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)為弧DE上一動(dòng)點(diǎn)，連接，，．在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，試探索，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)如圖3，在扇形中，為弧上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)為的內(nèi)心，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，請(qǐng)直接寫出內(nèi)心所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．92．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐【問題解決】（1）如圖1，射線、的夾角為，平面內(nèi)有一點(diǎn)C，連接、，．若，，求線段與線段的長(zhǎng)；【延伸思考】（2）如圖2，當(dāng)，，時(shí)，在射線上取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E向BC的延長(zhǎng)線作垂線，垂足為點(diǎn)F，連接，．以為直徑作．C點(diǎn)為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并且．當(dāng)與相切時(shí)，連接，求的長(zhǎng)；【思維拓展】（3）在圖2的構(gòu)圖基礎(chǔ)上深入探究：如圖3，已知點(diǎn)A、B成為平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)O、C為定點(diǎn)，且．若，，其他條件與（2）相同，求的最大值．

第二十四章圓綜合題拓展訓(xùn)練目錄與鏈接考點(diǎn)一、常規(guī)最值問題………………2考點(diǎn)二、隱圓問題…………………10考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的網(wǎng)格作圖……………………23考點(diǎn)四、與園有關(guān)的尺規(guī)作圖……………………32考點(diǎn)五、三角形的外接圓問題……………………40考點(diǎn)六、三角形的內(nèi)切圓問題……………………56考點(diǎn)七、圓的平移…………………73考點(diǎn)八、圓的折疊問題……………84考點(diǎn)九、圓的旋轉(zhuǎn)問題……………97考點(diǎn)十、正多邊形和圓……………111考點(diǎn)十一、圓與函數(shù)的綜合問題…………………126考點(diǎn)十二、圓的應(yīng)用………………146考點(diǎn)十三、與圓有關(guān)的計(jì)算………………………162考點(diǎn)十四、圓的綜合問題…………177考點(diǎn)一、常規(guī)最值問題1．（22-23九年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，矩形的頂點(diǎn)，在半徑為5的上，，當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)也隨之運(yùn)動(dòng)，則矩形的對(duì)角線的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在Rt中，為中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)矩形的對(duì)角線最小.、、三點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)在Rt△OAM中，設(shè)，知道，長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理建立方程，即可求解的長(zhǎng)度，進(jìn)而求得的長(zhǎng)度.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，，在Rt中，為中點(diǎn)，，當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)矩形的對(duì)角線最小，∵，為弦，為中點(diǎn)，∴在過的直徑上，而為圓心，則、、三點(diǎn)都在一條直線上；故、、三點(diǎn)共線時(shí)，最??；此時(shí)在Rt△OAM中，設(shè)，知道，，有，有，解得，(舍去)，，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)問題、垂徑定理等知識(shí)，根據(jù)垂徑定理作出圖形是解題的關(guān)鍵．2．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A為圓心，2為半徑的圓上，則的最小值．【答案】【分析】此題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)，利用軸對(duì)稱求最短路線，圓的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的求出二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)是確定當(dāng)為最小式，點(diǎn)，的位置．先求出，點(diǎn)坐標(biāo)，做輔助線如圖求點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖像即可分析出答案．【詳解】解：對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，解得：，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，作點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)，則點(diǎn)，連接交于軸與，交與，過點(diǎn)作軸與，連接，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小，最小值為線段的長(zhǎng)．理由如下：當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)不重合，點(diǎn)與點(diǎn)不重合時(shí)，根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)可知：，∴，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：，即：，∵，∴，即：，∴當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合，點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，為最小．∵點(diǎn)，A?4,0，∴，，，∴，在中，，，由勾股定理得：，∴，即的最小為，故答案為：．3．（2024·陜西渭南·二模）如圖，在平行四邊形中，，，，點(diǎn)F、點(diǎn)N分別為、的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊上運(yùn)動(dòng)，將沿折疊，使得點(diǎn)D落在處，連接，點(diǎn)M為中點(diǎn)，則的最小值是．【答案】/【分析】根據(jù)三角形中位線定理可得，知當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，由折疊知，點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心，的長(zhǎng)為半徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，取得最小值，為，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，，根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)可得的長(zhǎng)與的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，進(jìn)一步可得的最小值，即可求出的最小值．【詳解】連接，，∵點(diǎn)N為的中點(diǎn)，點(diǎn)M為中點(diǎn)，∴，∴當(dāng)取得最小值時(shí)，取得最小值，∵平行四邊形中，，點(diǎn)F為的中點(diǎn)，∴，由折疊知，，∴點(diǎn)在以點(diǎn)F為圓心，的長(zhǎng)為半徑的半圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到線段上時(shí)，取得最小值，最小值為，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，如圖所示，則，∵，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴的最小值為，∴的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形折疊．熟練掌握平行四邊形性質(zhì)，折疊性質(zhì)，三角形中位線定理，含30°的直角三角形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵．4．（2021·河南洛陽·三模）如圖，半圓O的直徑AB＝4cm，，點(diǎn)C是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，G重合），CD⊥OG于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱，連接DE、DF，則△DEF面積的最大值為cm2【答案】2【分析】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．根據(jù)S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，當(dāng)xy的值最大時(shí)，△DEF的面積最大；根據(jù)矩形的性質(zhì)，通過判定四邊形ODCE是矩形，得；根據(jù)勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)分析，可得結(jié)論．【詳解】連接OC，設(shè)OD＝x，OE＝OF＝y(tǒng)．∵∴OG⊥AB，∵S△DEF＝×EF×OD＝×2y×x＝xy，∴xy的值最大時(shí)，△DEF的面積最大，∵CD⊥OG于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E，∴∠CEO＝∠CDO＝∠DOE＝90°，∴四邊形ODCE是矩形，∴∴x2+y2＝22，即x2+y2＝4，∵（x﹣y）2≥0，∴x2+y2≥2xy，∴2xy≤4，∴xy≤2，∴xy的最大值為2，∴△DEF的面積的最大值為2cm2故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓、勾股定理、中心對(duì)稱、矩形、完全平方公式的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A的對(duì)稱性、勾股定理、完全平方公式的性質(zhì)，從而完成求解．5．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）如圖，的半徑為，點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），點(diǎn)是直徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值．

【答案】【分析】如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知點(diǎn)在圓上，連接，交直徑于點(diǎn)，此時(shí)的最小值是的長(zhǎng)，根據(jù)弧的度數(shù)等于它所對(duì)圓心角的度數(shù)可知，，根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì)可得，，由垂徑定理及推論可知，，根據(jù)角的直角三角形和勾股定理可得，即可得出答案．【詳解】解：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)在圓上，連接，交直徑于點(diǎn)，∴，則的最小值是的長(zhǎng)，∵點(diǎn)是半圓的中點(diǎn)，的半徑為，∴等于半圓的一半，∴，∵點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)），∴等于的，∴，∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直徑的對(duì)稱，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的最小值是．故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查對(duì)稱的性質(zhì)，弧的度數(shù)和圓心角的關(guān)系，垂徑定理及推論，等腰三角形的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，角的直角三角形和勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，掌握弧的度數(shù)和圓心角的關(guān)系，垂徑定理以及直角三角形的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．（24-25九年級(jí)上·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)C是以點(diǎn)為圓心，1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑的圓上一點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連接，D是的中點(diǎn)，連接，求的最大值．

【答案】3【分析】本題考查了利用軸對(duì)稱求最短距離問題，三角形的中位線定理，勾股定理，圓的基本性質(zhì)，掌握?qǐng)A外一點(diǎn)到圓上任意一點(diǎn)距離的最長(zhǎng)線段經(jīng)過圓心是解本題的關(guān)鍵．作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形中位線定理得，當(dāng)最大時(shí)，有最大值，確定當(dāng)，，共線時(shí)，有最大值，從而解答即可．【詳解】解：作點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，連接，如圖①．

∵D是的中點(diǎn)，∴如圖②，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線上時(shí)，最大，此時(shí)也最大．∵∴∵，∴，∴的最大值為，∴的最大值為3．考點(diǎn)二、隱圓問題7．（2024·安徽蚌埠·二模）如圖，在正方形中，，M，N分別為邊，的中點(diǎn)，E為邊上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)E為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫弧，交于點(diǎn)F，P為的中點(diǎn)，Q為線段上任意一點(diǎn)，則長(zhǎng)度的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】如圖，連接，為的中點(diǎn)，可得，則在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：如圖，連接，

∵正方形，，∴，，∵分別，的中點(diǎn)，∴，，∵為的中點(diǎn)，∴，∴在以為圓心，為半徑的圓弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)四點(diǎn)共線時(shí)，最小，此時(shí)，，∴，∴，即的最小值為：，故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，圓的確定，熟練的確定P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解本題的關(guān)鍵．8．（23-24九年級(jí)上·北京東城·期末）如圖，以為圓心，半徑為的圓與軸交于兩點(diǎn)，與軸交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為上一動(dòng)點(diǎn)，于，當(dāng)點(diǎn)在的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查垂徑定理、直角三角形30度角的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)連接，作，連接，可知點(diǎn)在以為直徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)最小，根據(jù)含的直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出，即可求解，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．【詳解】連接，作，連接，，∴，∵為圓心，半徑為，∴，，在中，，∴，∴，，∵，∴，∴∴，∴，，∴，∵，∴點(diǎn)在以為直徑的圓上移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，的長(zhǎng)最小，最小值為，故選：．9．（2024九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為，點(diǎn)分別在、上，且，與相交于點(diǎn)，連接，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握的圓周角所對(duì)的弦是直徑是解答本題的關(guān)鍵．通過證明，可證，則點(diǎn)在以為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)在與弧的交點(diǎn)處時(shí)，最短，然后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可求解．【詳解】解∶四邊形是正方形，，在和中，，，，∴，點(diǎn)在以為直徑的一段弧上運(yùn)動(dòng)，設(shè)的中點(diǎn)為，則當(dāng)點(diǎn)在與弧的交點(diǎn)處時(shí)，最短，，，∴，，故答案為：．10．（23-24九年級(jí)上·湖北武漢·期中）如圖，已知在中，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)．得到．點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，在繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差是．【答案】【分析】如圖，連接，作于H，于．求出的最小值以及最大值即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接，作于H，于．以A為圓心，以為半徑作圓，與直線的右側(cè)交點(diǎn)為，以A為圓心，以為半徑作圓，與直線的左側(cè)交點(diǎn)為，∵，，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最小，且最小值為：，當(dāng)點(diǎn)與重合時(shí)，的值最大，且最大值，∴線段長(zhǎng)度的最大值與最小值的差為：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，垂線段最短，圓的基本性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，等腰三角形的三線合一性質(zhì)，垂線段最短，圓的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇南通·模擬預(yù)測(cè)）直線分別與軸、軸相交于點(diǎn)、，邊長(zhǎng)為2的正方形的一個(gè)頂點(diǎn)在坐標(biāo)系的原點(diǎn)，直線與相交于點(diǎn)，若正方形繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，則點(diǎn)到點(diǎn)0,2長(zhǎng)度的最小值是．【答案】/【分析】由題意可得，則有，由，，進(jìn)而可得，旋轉(zhuǎn)同理可證，則P在以為直徑的圓上，可得圓心G為，半徑為，由，可知當(dāng)圓心G，點(diǎn)P，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，由，進(jìn)而可得最小值．【詳解】解：如圖：∵直線與軸、軸交于點(diǎn)、，∴、，∴，在和中，．∴，∴，∵，，∴，∴∴，在正方形旋轉(zhuǎn)的過程中，同理可證，，可得，，∴在以為直徑的圓上，∴圓心為，半徑為，連接，∵，∴當(dāng)圓心，點(diǎn)，三點(diǎn)共線時(shí)，最小，∵，∴，∴點(diǎn)到點(diǎn)0,2長(zhǎng)度的最小值為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與幾何變換、正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，圓的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P在以為直徑的圓上，確定點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．12．（2024·山東濟(jì)寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，D，P為上一動(dòng)點(diǎn)，Q為弦上一點(diǎn)，．若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,?5)，則的最小值為．【答案】【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，關(guān)鍵是作出輔助圓，當(dāng)Q與重合時(shí)，最小．連接，過Q作，交于M，以M為圓心，為半徑作圓，連接交于，得到，求出的長(zhǎng)，推出，由勾股定理求出的長(zhǎng)即可．【詳解】解：連接，過Q作，交于M，以M為圓心，為半徑作圓，連接交于，∴，∵，∴，∵D的坐標(biāo)是，∴，∴，∵，∴，∵，∴P，∴，∴，∴Q在M上，∴當(dāng)Q與重合時(shí)，最小，∵，，∴，∴，∴的最小值是．故答案為：．13．（23-24九年級(jí)上·天津·期末）已知，均是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)．（Ⅰ）如圖①，這兩個(gè)等邊三角形的高為；（Ⅱ）如圖②，直線相交于點(diǎn)M，當(dāng)繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)時(shí)，線段長(zhǎng)的最小值是．【答案】/【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、勾股定理，圓周角定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得到點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路線是解答的關(guān)鍵．（Ⅰ）可根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理求解即可；（Ⅱ）如圖①中，連接、、，根據(jù)題意可得，，，分別證明和，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)推導(dǎo)出，則點(diǎn)M在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，進(jìn)而得到當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最短，利用圓的基本知識(shí)求解即可．【詳解】解：（Ⅰ）如圖①中，連接，∵是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，∴，，，在中，∴故答案為：；（Ⅱ）如圖①中，連接、、，由題意，，，，∴，，∴，∴，則，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)M在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖②中，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到時(shí)，最短，∵，，∴的最小值為，故答案為：．14．（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）【問題呈現(xiàn)】數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)問題：如圖①，是的半徑，．點(diǎn)P在上，將點(diǎn)P沿的方向平移到點(diǎn)Q，使．當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，試探究點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑．【問題解決】經(jīng)過討論，小組同學(xué)想利用平行四邊形的知識(shí)解決該問題：如圖②，在線段上截取，連結(jié)、，由平行四邊形的性質(zhì)可推出點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．下面是部分證明過程：證明：在線段上截取，連接、．1°當(dāng)點(diǎn)P在直線外時(shí)，證明過程缺失2°當(dāng)點(diǎn)P在直線上時(shí)，易知．綜上，點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．請(qǐng)你補(bǔ)全證明中缺失的過程．【結(jié)論應(yīng)用】在上述問題的條件下，記點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，如圖②．若點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【拓展提升】如圖③，在矩形中，，．點(diǎn)P是平面內(nèi)一點(diǎn)，，將點(diǎn)P沿的方向平移到點(diǎn)Q，使．點(diǎn)M是線段上的任意一點(diǎn)，連結(jié)．設(shè)線段長(zhǎng)度的最大值為a，最小值為b，則．【答案】問題解決：見解析；結(jié)論應(yīng)用：；拓展提升：【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)距離的最值問題，勾股定理，矩形的性質(zhì)等等：（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得到，則可證明四邊形是平行四邊形，得到，則點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．（2）在上截取，同理可證明點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)N為圓心、3為半徑的圓，再根據(jù)圓周長(zhǎng)公式求解即可；（3）如圖所示，在上截取，連接，同理可證明，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)N為圓心，1為半徑的圓，則在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中當(dāng)最小時(shí)，且當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，有最小值，同理在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中當(dāng)最大時(shí)，且當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，在中利用勾股定理求出的最大值和最小值即可得到答案．【詳解】問題解決：證明：在線段上截取，連接、．當(dāng)點(diǎn)P在直線外時(shí)，由平移的性質(zhì)可得，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)B為圓心、3為半徑的圓．結(jié)論應(yīng)用：如圖所示，在上截取，同理可證明點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑是以點(diǎn)N為圓心、3為半徑的圓，∴點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)一周，則點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為；拓展提升：如圖所示，在上截取，連接，同理可證明，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)N為圓心，1為半徑的圓，∵，∴當(dāng)點(diǎn)N固定時(shí)，當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，有最小值，最小值為，∴在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中當(dāng)最小時(shí)，且當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到上時(shí)，有最小值，同理在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中當(dāng)最大時(shí)，且當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到延長(zhǎng)線上時(shí)，有最大值，∵，∴，∵四邊形是矩形，∴，，，在中，，∴，∴，∴．考點(diǎn)三、與圓有關(guān)的網(wǎng)格作圖15．（2024·天津和平·三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，的頂點(diǎn)A，C均落在格點(diǎn)上，點(diǎn)B在網(wǎng)格線上．（Ⅰ）線段的長(zhǎng)等于；（Ⅱ）以AB為直徑作半圓，在的角平分線上有一點(diǎn)P，上有一點(diǎn)Q，使的值最?。?qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出點(diǎn)P，并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)P的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析【分析】本題主要考查復(fù)雜作圖能力，勾股定理，中位線定理，垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握以上知識(shí)點(diǎn)并與已知圖形結(jié)合是解決本題關(guān)鍵．（Ⅰ）根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（Ⅱ）先將補(bǔ)成等腰三角形，然后利用等腰三角形構(gòu)建三角形的角平分線，然后根據(jù)垂線段最短構(gòu)造三角形的高線交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所作．【詳解】解：（Ⅰ），（Ⅱ）如圖，點(diǎn)即為所作；取與格線的交點(diǎn)D，AB與格線交點(diǎn)O，連接并延長(zhǎng)交半圓于點(diǎn)E，連接，取與半圓的交點(diǎn)F，與半圓的交點(diǎn)G，連接和相交于點(diǎn)H，連接并延長(zhǎng)與相交于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．∵是的中位線，∴，∴，又∵，∴，∴，即平分，又∵AB是直徑，∴，∴，根據(jù)垂線段最短可得當(dāng)時(shí)，最小，即點(diǎn)P為與的交點(diǎn)．16．（2024·天津武清·三模）如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為的網(wǎng)格中，圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，點(diǎn)是圓與網(wǎng)格線的交點(diǎn)，點(diǎn)，均在格點(diǎn)上．（1）線段的長(zhǎng)為；（2）請(qǐng)用無刻度的直尺，在如圖所示的網(wǎng)格中，畫出以點(diǎn)為頂點(diǎn)的，使得，并簡(jiǎn)要說明作圖過程（不要求證明）．【答案】見解析【分析】（）根據(jù)網(wǎng)格特征，利用勾股定理即可求解；（）根據(jù)三角形中線，垂徑定理及推論，圓周角定理即可；本題考查了尺規(guī)作圖，勾股定理，垂徑定理及推論，三角形中線，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）由網(wǎng)格可知：，故答案為：；（）如圖，取格點(diǎn)，，設(shè)圓與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，則點(diǎn)為圓心，交于點(diǎn)，與網(wǎng)格線的交點(diǎn)為，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，分別連接，，∴即為所求，作圖過程理由：如圖，取格點(diǎn)，由網(wǎng)格可知，點(diǎn)在線段上，且四邊形為菱形，∴，故直線經(jīng)過圓心，連接，，則，故直線經(jīng)過圓心，故與的交點(diǎn)為圓心，∵交于點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，過點(diǎn)作網(wǎng)格線的垂線，與網(wǎng)格線交于點(diǎn)，取格點(diǎn)，∴，∴，∴為的中點(diǎn)，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，則，，∴．17．（23-24九年級(jí)上·天津·期末）如圖，由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，是的兩條弦，且點(diǎn)A，B，C都是格點(diǎn)．僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示．（1）線段的長(zhǎng)等于；（2）在如圖所示的網(wǎng)格中，在直線的右側(cè)找一點(diǎn)M，使得且，再在線段上找一點(diǎn)F，使，簡(jiǎn)要說明點(diǎn)M和F的位置是如何找到的（不要求證明）．【答案】見解析【分析】本題考查了網(wǎng)格與勾股定理，同弧或等弧對(duì)的圓周角相等，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵．（1）利用勾股定理即可求解；（2）在上取格點(diǎn)G，則，找到格點(diǎn)N，連接，相交于點(diǎn)M，取格點(diǎn)D，連接，則交于點(diǎn)F，根據(jù)圓周角定理等知識(shí)即可得到點(diǎn)M，F(xiàn)即為所求．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2），，，，，為圓的直徑，在上取格點(diǎn)G，則，找到格點(diǎn)N，連接，相交于點(diǎn)M，為正方形，；取格點(diǎn)D，連接，則交于點(diǎn)F，連接CF，可得，如圖，點(diǎn)M，F(xiàn)即為所求．18．（23-24九年級(jí)下·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中，的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上．為的外接圓，請(qǐng)?jiān)谥付ǖ木W(wǎng)格中用無刻度的直尺作圖：(1)在圖中標(biāo)出這個(gè)外接圓的圓心，并寫出________；(2)在圖中畫出的角平分線交于；(3)在圖中畫出關(guān)于直線對(duì)稱的；(4)在圖中，若交于點(diǎn)，畫出平行四邊形．【答案】(1)作圖見解析，(2)作圖見解析(3)作圖見解析(4)作圖見解析【分析】（）利用圓周角定理及矩形的性質(zhì)可找到點(diǎn)的位置，再根據(jù)圓周角定義及正弦的定義可求出的值；（）利用正方形的性質(zhì)作出的垂直平分線，交于點(diǎn)，連接，則即為所求；（）利用網(wǎng)格特點(diǎn)作出的垂線，交于點(diǎn)，連接，則即為所求；（）利用作平行線的方法找到點(diǎn)的位置，連接，則四邊形即為所求；本題考查了圓周角定理，三角函數(shù)，正方形、矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，掌握正方形、矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：如圖，點(diǎn)即為所求，由圓周角定理可得，∴；（2）解：如圖，射線即為所求；（3）解：如圖，即為所求；（4）解：如圖，四邊形即為所求．19．（22-23九年級(jí)上·江蘇南京·階段練習(xí)）按要求作圖：(1)如圖1，在正方形網(wǎng)格中，有一圓經(jīng)過了兩個(gè)小正方形的頂點(diǎn)A，B，利用無刻度直尺畫出這個(gè)圓的一條直徑；(2)如圖2，BA，BD是⊙O中的兩條弦，C是BD上一點(diǎn)，BAC50，利用無刻度直尺在圖中畫一個(gè)含有50角的直角三角形；(3)如圖3，利用無刻度直尺和圓規(guī)，以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，過A、D兩點(diǎn)作⊙O（不寫作法，保留作圖痕跡）；(4)如圖4，AB與圓相切，且切點(diǎn)為點(diǎn)B，利用無刻度直尺在網(wǎng)格中找出點(diǎn)B的位置．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)見解析；(4)見解析．【分析】（1）根據(jù)垂徑定理可知，AB的垂直平分線過圓心，連接AB，利用網(wǎng)格找出線段AB的垂直平分線即可；（2）延長(zhǎng)AC交⊙O與點(diǎn)E，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，在連接EF，則即為所求；（3）作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓即可；（4）過點(diǎn)A作圓的兩條割線：ACD和AEF；連接CF，DE交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EC和FD交于點(diǎn)H，連接HG交圓于點(diǎn)B，連接AB即可．【詳解】（1）解：根據(jù)垂徑定理可知，AB的垂直平分線過圓心，連接AB，利用網(wǎng)格找出線段AB的垂直平分線即可，如圖：EF即為直徑；（2）解：延長(zhǎng)AC交⊙O與點(diǎn)E，連接BO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，在連接EF，則即為所求；（3）解：作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，再以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓即可，如圖；（4）解：過點(diǎn)A作圓的兩條割線：ACD和AEF；連接CF，DE交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)EC和FD交于點(diǎn)H，連接HG交圓于點(diǎn)B，連接AB即可，如圖：【點(diǎn)睛】本題考查作圖，圓周角定理，切線性質(zhì)，垂直平分線，解題的關(guān)鍵是理解題意，綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，是中考中常見題型．考點(diǎn)四、與園有關(guān)的尺規(guī)作圖20．（21-22九年級(jí)上·江蘇南京·期末）如圖，已知P是⊙O外一點(diǎn)．用直尺和圓規(guī)作圖．(1)過點(diǎn)P作一條直線l，使l與⊙O相切；(2)在⊙O上作一點(diǎn)Q，使∠OQP＝60°．（要求：保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）連接，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，則即為所求；（2）構(gòu)造四點(diǎn)共圓，作，步驟如下，連接,作垂直平分線與交于點(diǎn)，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn),連接，交于點(diǎn)，則,連接，則,作的外心，即作的垂直平分線與交于點(diǎn),以為半徑作，交于點(diǎn)，連接,則，點(diǎn)即為所求．【詳解】（1）連接，作線段的垂直平分線，交于點(diǎn)，以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，則即為所求；理由：三點(diǎn)共圓，是直徑，則是直角，即，則為所求作的切線（2）如圖，連接,作垂直平分線與交于點(diǎn)，分別以為圓心，的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn),連接，交于點(diǎn)，則,連接，則,作的外心，即作的垂直平分線與交于點(diǎn),以為半徑作，交于點(diǎn)，連接,則，點(diǎn)即為所求，理由是：是的內(nèi)接四邊形，，則【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作圓的切線，作圓周角，四點(diǎn)共圓，作特殊角，掌握基本作圖是解題的關(guān)鍵．21．（2023·廣東湛江·一模）如圖，已知四邊形是矩形，把沿對(duì)角線翻折得到，交于點(diǎn)，是的外接圓．

(1)利用尺規(guī)作出的外接圓（要求保留作圖痕跡，不寫作法）；(2)求證：；(3)若，試判斷與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)直線是的切線，理由見解析【分析】此題是圓的綜合題，主要考查了尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定，銳角三角函數(shù)，求出是解本題的關(guān)鍵．（1）先作出，的垂直平分線，找出圓心，即可得出結(jié)論；（2）先判斷出，即可得出結(jié)論；（3）先求出，進(jìn)而依次求出，，，再判斷出，進(jìn)而求出，判斷出是等邊三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖，為所求作的圖形．

（2）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴，由折疊知，，∴，∴．（3）解：直線是的切線，如圖，連接，，

∵四邊形是矩形，∴，，∵，∴，在中，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由折疊知，，∴，∴，由（2）知，，∴，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∵點(diǎn)在上，∴直線是的切線．22．（23-24九年級(jí)上·江蘇徐州·期中）據(jù)《爾雅·釋器》記載：“好倍肉，謂之瑗（yuàn）．”如圖1，“好”指中間的孔，“肉”指中孔以外的邊（陰影部分），“好倍肉”指中孔和環(huán)邊比例為．(1)觀察：“瑗”的主視圖可以作兩個(gè)同心圓，根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)，可得小圓與大圓的半徑之比是_______；(2)聯(lián)想：如圖2，在中，，，平分交于點(diǎn)，則_______；(3)遷移：圖3表示一個(gè)圓形的玉坯，若將其加工成玉瑗，請(qǐng)利用圓規(guī)和無刻度的直尺先確定圓心，再以題（2）的知識(shí)為作圖原理作出內(nèi)孔．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)(3)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)圖1中的數(shù)據(jù)可確定小圓和大圓的半徑，即可得出答案；（2）根據(jù)直角三角形兩銳角互余可得，根據(jù)角平分線的定義可得，再根據(jù)等角對(duì)等邊和角的直角三角形可得，，可得出答案；（3）作直線交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線交圓于點(diǎn)，，作的垂直平分線交圓于點(diǎn)，，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作，以點(diǎn)為圓心，為半徑畫弧