北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè) 第五章 二元一次方程組 知識(shí)歸納與題型突破（十類(lèi)題型清單）

第五章二元一次方程組知識(shí)歸納與題型突破（十類(lèi)題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.要點(diǎn)：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點(diǎn)：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點(diǎn)：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點(diǎn)：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點(diǎn)：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式．

②在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)．③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．要點(diǎn)：二元一次方程組無(wú)解<=>一次函數(shù)的圖像平行（無(wú)交點(diǎn)）二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)）二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解<=>一次函數(shù)的圖像重合（有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解.三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組要點(diǎn)：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系（1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù).（2）我們知道每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過(guò)來(lái)，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程.要點(diǎn)：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數(shù)每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟：1.確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)解析式.

2.根據(jù)所給條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決.五、三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.要點(diǎn)：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起．要點(diǎn)：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫(xiě)出答案(包括單位名稱(chēng))．要點(diǎn)：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．0303題型歸納題型一二元一次方程組的有關(guān)概念及應(yīng)用例題1．下列方程組是二元一次方程組的有(

)個(gè)(1)(2)(3)(4)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練2．已知方程是二元一次方程，則（

）A．4 B． C．2 D．3．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（

）A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥4．方程組（1），（2），（3），（4）中，屬于二元一次方程組有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)5．若方程是二元一次方程，則，．題型二解二元一次方程組例題6．用代入法解方程組時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練7．在方程中用含的式子表示，則．8．解二元一次方程組，下列能消元的是（

）A．①+②×2 B．①-②×2 C．①×2+② D．①×2-②9．若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為（）A． B． C． D．10．解下列方程組．(1)(2)11．解下列方程組：(1)；(2)．12．小明解二元一次方程組的過(guò)程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請(qǐng)?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出他解題過(guò)程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．題型三二元一次方程組的代數(shù)應(yīng)用例題13．若是關(guān)于、的方程組的解，則、的值是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練14．已知方程組和方程組的解相同，求m的值．15．已知方程組的解滿足x與y互為相反數(shù)，則k的值為（）A．1 B． C．2 D．16．已知，則的值為．題型四抄錯(cuò)、遮住問(wèn)題例題17．兩位同學(xué)在解方程組時(shí)，甲同學(xué)正確地解出，乙同學(xué)因把c抄錯(cuò)了解得，則a、b、c正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．鞏固訓(xùn)練18．解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了■和★兩個(gè)數(shù)和，則這兩個(gè)數(shù)分別為（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和題型五二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用例題19．“寒夜客來(lái)茶當(dāng)酒，竹爐湯沸火初紅”茶，作為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，承載著深厚的歷史與文化底蘊(yùn)．在品茶的過(guò)程中，茶具的選擇對(duì)茶湯的口感、香氣、色澤以及品飲的體驗(yàn)有顯著影響．某茶具廠共有120個(gè)工人，每個(gè)工人一天能做200個(gè)茶杯或50個(gè)茶壺，如果8個(gè)茶杯和1個(gè)茶壺為一套，問(wèn)如何安排生產(chǎn)可使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品配套？設(shè)生產(chǎn)茶杯的工人有x人，生產(chǎn)茶壺的工人有y人，則下列方程組正確的是（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練20．某部隊(duì)進(jìn)行軍訓(xùn)從甲地到乙地，要翻越一座山，沒(méi)有平路可走，去用了小時(shí)，返回時(shí)用了小時(shí)．已知走上坡每小時(shí)千米，走下坡時(shí)每小時(shí)千米．甲、乙兩地的公路長(zhǎng)千米．21．我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托，問(wèn)索、竿各長(zhǎng)幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問(wèn)繩和竿各有多長(zhǎng)？”設(shè)繩長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意得（

）（注：“托”和“尺”為古代的長(zhǎng)度單位，1托尺）A． B． C． D．22．小華和爸爸一起玩“擲飛鏢”游戲．游戲規(guī)則：站在5米開(kāi)外朝飛鏢盤(pán)扔飛鏢，若小華投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．結(jié)果兩人一共投中了20次，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)爸爸的得分比小華的得分多4分．設(shè)小華投中的次數(shù)為，爸爸投中的次數(shù)為，根據(jù)題意列出的方程組是．題型六二元一次方程組的幾何應(yīng)用例題23．如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)寬是60厘米的大長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是．鞏固訓(xùn)練24．用大小形狀完全相同的長(zhǎng)方形紙片在直角坐標(biāo)系中擺成如圖所示的圖案，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．25．如圖，在三角形中，D，E分別為邊上的點(diǎn)，且，連接，使得交于點(diǎn)F，已知三角形的面積為，那么三角形的面積為．

題型七二元一次方程組與一次函數(shù)例題26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于x、y的方程組的解為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練27．已知直線：與直線：交于點(diǎn)，則方程組的解是（

）A． B． C． D．28．已知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,?1，．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)在直線上，求的值．29．已知直線和直線，(1)當(dāng)時(shí)，與相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組的解的情況是；(3)當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)方程組的解的情況是．30．已知：如圖一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)A．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)若一次函數(shù)與的圖象與x軸分別交于點(diǎn)B、C，求的面積．(3)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍．題型八三元一次方程組例題31．解方程組.鞏固訓(xùn)練32．解方程組：．33．已知滿足，求的值34．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，如果正方體相對(duì)的兩個(gè)面上的式子的值相等，求，，的值．題型九含參數(shù)問(wèn)題難點(diǎn)分享例題35．已知關(guān)于的方程組下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，該方程組的解也是方程的解 B．存在實(shí)數(shù)，使得x+y=0C．當(dāng)時(shí)， D．不論取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變鞏固訓(xùn)練36．已知關(guān)于，的方程組，給出下列結(jié)論：①不論取何值，方程組總有一組解；②當(dāng)時(shí)，，的值互為相反數(shù)；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④37．設(shè)直線和直線（是正整數(shù)）及軸圍成的三角形面積為，則的值為．題型十解答綜合題例題38．解方程組(1)；(2)．鞏固訓(xùn)練39．若是的算術(shù)平方根，為的立方根，求的立方根；40．已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求此函數(shù)與軸、軸圍成的三角形的面積．41．王海和郭偉抄題“原方程組”，王海把方程①中的a抄錯(cuò)了，郭偉把方程②中的b抄錯(cuò)了，王海求得方程組的解為，郭偉求得方程組的解為，你能不能不去看老師抄的原題，把正確的a，b求出來(lái)？42．為了慶祝國(guó)慶節(jié)的到來(lái)，某校舉行“青春筑夢(mèng)，強(qiáng)國(guó)有我”演講比賽，準(zhǔn)備購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種紀(jì)念品獎(jiǎng)勵(lì)在活動(dòng)中表現(xiàn)優(yōu)秀的學(xué)生．己知購(gòu)買(mǎi)1個(gè)甲種紀(jì)念品和2個(gè)乙種紀(jì)念品共需20元，購(gòu)買(mǎi)2個(gè)甲種紀(jì)念品和5個(gè)乙種紀(jì)念品共需45元．求購(gòu)買(mǎi)一個(gè)甲種紀(jì)念品和一個(gè)乙種紀(jì)念品各需多少元．43．如圖，在長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形展廳劃出三個(gè)形狀、大小完全相同的小長(zhǎng)方形擺放水仙花，其示意圖如圖所示．求一個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)．44．已知關(guān)于x，y的方程組(1)當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有唯一一組解；(2)當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組有無(wú)數(shù)組解；(3)當(dāng)k，b為何值時(shí)，方程組無(wú)解．45．定義：我們把一次函數(shù)與正比例函數(shù)的交點(diǎn)稱(chēng)為一次函數(shù)（）的“亮點(diǎn)”．例如求的“亮點(diǎn)”，聯(lián)立方程：，解得，則的“亮點(diǎn)”為．(1)由定義可知，一次函數(shù)的“亮點(diǎn)”為_(kāi)__________．(2)一次函數(shù)的“亮點(diǎn)”為，求p，q的值．(3)若直線與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，且直線上沒(méi)有“亮點(diǎn)”，點(diǎn)P在x軸上，使，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．46．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線的解析式為，直線的解析式為，與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，直線與交于點(diǎn)C．

(1)求點(diǎn)A、點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)，并求出的面積；(2)在y軸右側(cè)有一動(dòng)直線平行于y軸，分別與l1，交于點(diǎn)M、N，①若線段，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)；②當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方時(shí)，問(wèn)y軸上是否存在點(diǎn)Q，使為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第五章二元一次方程組知識(shí)歸納與題型突破（十類(lèi)題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識(shí)速記一、二元一次方程組的相關(guān)概念1.二元一次方程的定義定義：方程中含有兩個(gè)未知數(shù)（和），并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程.要點(diǎn)：（1）在方程中“元”是指未知數(shù)，“二元”就是指方程中有且只有兩個(gè)未知數(shù).（2）“未知數(shù)的次數(shù)為1”是指含有未知數(shù)的項(xiàng)（單項(xiàng)式）的次數(shù)是1.（3）二元一次方程的左邊和右邊都必須是整式.2.二元一次方程的解定義：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解.要點(diǎn)：二元一次方程的每一個(gè)解，都是一對(duì)數(shù)值，而不是一個(gè)數(shù)值，一般要用大括號(hào)聯(lián)立起來(lái)，即二元一次方程的解通常表示為的形式.3.二元一次方程組的定義定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組.此外，組成方程組的各個(gè)方程也不必同時(shí)含有兩個(gè)未知數(shù).例如，二元一次方程組.要點(diǎn)：（1）它的一般形式為（其中，，，不同時(shí)為零）．（2）更一般地，如果兩個(gè)一次方程合起來(lái)共有兩個(gè)未知數(shù)，那么它們組成一個(gè)二元一次方程組．（3）符號(hào)“”表示同時(shí)滿足，相當(dāng)于“且”的意思．4.二元一次方程組的解定義：一般地，二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解.要點(diǎn)：（1）方程組中每個(gè)未知數(shù)的值應(yīng)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以檢驗(yàn)是否是方程組的解，應(yīng)把數(shù)值代入兩個(gè)方程，若兩個(gè)方程同時(shí)成立，才是方程組的解，而方程組中某一個(gè)方程的某一組解不一定是方程組的解.（2）方程組的解要用大括號(hào)聯(lián)立；（3）一般地，二元一次方程組的解只有一個(gè)，但也有特殊情況，如方程組無(wú)解，而方程組的解有無(wú)數(shù)個(gè).二、二元一次方程組的解法1.解二元一次方程組的思想2.解二元一次方程組的基本方法：代入消元法、加減消元法和圖像法（1）用代入消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①?gòu)姆匠探M中選定一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程進(jìn)行變形，用含有（或）的代數(shù)式表示（或），即變成（或）的形式；②將（或）代入另一個(gè)方程（不能代入原變形方程）中，消去（或），得到一個(gè)關(guān)于（或）的一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出（或）的值；④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；⑤用“”聯(lián)立兩個(gè)未知數(shù)的值，就是方程組的解.要點(diǎn)：(1)用代入法解二元一次方程組時(shí)，應(yīng)先觀察各項(xiàng)系數(shù)的特點(diǎn)，盡可能選擇變形后比較簡(jiǎn)單或代入后化簡(jiǎn)比較容易的方程變形；(2)變形后的方程不能再代入原方程，只能代入原方程組中的另一個(gè)方程；(3)要善于分析方程的特點(diǎn)，尋找簡(jiǎn)便的解法.如將某個(gè)未知數(shù)連同它的系數(shù)作為一個(gè)整體用含另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式來(lái)表示，代入另一個(gè)方程，或直接將某一方程代入另一個(gè)方程，這種方法叫做整體代入法.整體代入法是解二元一次方程組常用的方法之一，它的運(yùn)用可使運(yùn)算簡(jiǎn)便，提高運(yùn)算速度及準(zhǔn)確率.（2）用加減消元法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①根據(jù)“等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)不等于0的數(shù)，等式仍然成立”的性質(zhì)，將原方程組化成有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)絕對(duì)值相等的形式；②根據(jù)“等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)整式，所得的方程與原方程是同解方程”的性質(zhì)，將變形后的兩個(gè)方程相加（或相減），消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程；③解這個(gè)一元一次方程，求出一個(gè)未知數(shù)的值；④把求得的未知數(shù)的值代入原方程組中比較簡(jiǎn)單的一個(gè)方程中，求出另一個(gè)未知數(shù)的值；⑤將兩個(gè)未知數(shù)的值用“”聯(lián)立在一起即可.要點(diǎn)：當(dāng)方程組中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)的絕對(duì)值相等或同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)成整數(shù)倍時(shí)，用加減消元法較簡(jiǎn)單.（3）圖像法解二元一次方程組的一般過(guò)程：①把二元一次方程化成一次函數(shù)的形式．

②在直角坐標(biāo)系中畫(huà)出兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，并標(biāo)出交點(diǎn)．③交點(diǎn)坐標(biāo)就是方程組的解．要點(diǎn)：二元一次方程組無(wú)解<=>一次函數(shù)的圖像平行（無(wú)交點(diǎn)）二元一次方程組有一解<=>一次函數(shù)的圖像相交（有一個(gè)交點(diǎn)）二元一次方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解<=>一次函數(shù)的圖像重合（有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)）利用圖像法求二元一次方程組的解是近似解，要得到準(zhǔn)確解，一般還是用代入消元法和加減消元法解方程組.相反，求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為求這兩條直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立的二元一次方程組的解.三、實(shí)際問(wèn)題與二元一次方程組要點(diǎn)：（1）解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的解應(yīng)該舍去；（2）“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)；（3）一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)就應(yīng)該列出幾個(gè)方程并組成方程組.四、二元一次方程（組）與一次函數(shù)1.二元一次方程與一次函數(shù)的關(guān)系（1）任何一個(gè)二元一次方程都可以變形為即為一個(gè)一次函數(shù)，所以每個(gè)二元一次方程都對(duì)應(yīng)一個(gè)一次函數(shù).（2）我們知道每個(gè)二元一次方程都有無(wú)數(shù)組解，例如：方程我們列舉出它的幾組整數(shù)解有，我們發(fā)現(xiàn)以這些整數(shù)解為坐標(biāo)的點(diǎn)（0，5），（5，0），（2，3）恰好在一次函數(shù)y＝的圖像上，反過(guò)來(lái)，在一次函數(shù)的圖像上任取一點(diǎn)，它的坐標(biāo)也適合方程.要點(diǎn)：1.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在相應(yīng)的函數(shù)圖像上；2.一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)的坐標(biāo)都適合相應(yīng)的二元一次方程；3.以二元一次方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖像與相應(yīng)一次函數(shù)的圖像相同.2.二元一次方程組與一次函數(shù)每個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù)，于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解方程組相當(dāng)于考慮自變量為何值時(shí)兩個(gè)函數(shù)的值相等，以及這時(shí)的函數(shù)為何值；從“形”的角度看，解方程組相當(dāng)于確定兩條直線交點(diǎn)的坐標(biāo).3.用二元一次方程組確定一次函數(shù)表達(dá)式待定系數(shù)法：先設(shè)出函數(shù)表達(dá)式，再根據(jù)所給的條件確定表達(dá)式中未知數(shù)的系數(shù)，從而得到函數(shù)表達(dá)式的方法，叫做待定系數(shù)法.利用待定系數(shù)法解決問(wèn)題的步驟：1.確定所求問(wèn)題含有待定系數(shù)解析式.

2.根據(jù)所給條件,列出一組含有待定系數(shù)的方程.

3.解方程組或者消去待定系數(shù)，從而使問(wèn)題得到解決.五、三元一次方程組1．定義：含有三個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做三元一次方程；含有三個(gè)相同的未知數(shù)，每個(gè)方程中含未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1，并且一共有三個(gè)方程，像這樣的方程組叫做三元一次方程組.等都是三元一次方程組.要點(diǎn)：理解三元一次方程組的定義時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)：（1）方程組中的每一個(gè)方程都是一次方程；（2）如果三個(gè)一元一次方程合起來(lái)共有三個(gè)未知數(shù)，它們就能組成一個(gè)三元一次方程組.2．三元一次方程組的解法解三元一次方程組的基本思想仍是消元，一般的，應(yīng)利用代入法或加減法消去一個(gè)未知數(shù)，從而化三元為二元，然后解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)，最后再求出另一個(gè)未知數(shù)．解三元一次方程組的一般步驟是：（1）利用代入法或加減法，把方程組中一個(gè)方程與另兩個(gè)方程分別組成兩組，消去兩組中的同一個(gè)未知數(shù)，得到關(guān)于另外兩個(gè)未知數(shù)的二元一次方程組；（2）解這個(gè)二元一次方程組，求出兩個(gè)未知數(shù)的值；（3）將求得的兩個(gè)未知數(shù)的值代入原方程組中的一個(gè)系數(shù)比較簡(jiǎn)單的方程，得到一個(gè)一元一次方程；（4）解這個(gè)一元一次方程，求出最后一個(gè)未知數(shù)的值；（5）將求得的三個(gè)未知數(shù)的值用“{”合寫(xiě)在一起．要點(diǎn)：（1）有些特殊的方程組可用特殊的消元法，解題時(shí)要根據(jù)各方程特點(diǎn)尋求比較簡(jiǎn)單的解法．（2）要檢驗(yàn)求得的未知數(shù)的值是不是原方程組的解，將所求得的一組未知數(shù)的值分別代入原方程組里的每一個(gè)方程中，看每個(gè)方程的左右兩邊是否相等，若相等，則是原方程組的解，只要有一個(gè)方程的左、右兩邊不相等就不是原方程組的解．3.三元一次方程組的應(yīng)用列三元一次方程組解應(yīng)用題的一般步驟：（1）弄清題意和題目中的數(shù)量關(guān)系，用字母(如x，y，z)表示題目中的兩個(gè)(或三個(gè))未知數(shù)；（2）找出能夠表達(dá)應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；（3）根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式，從而列出方程并組成方程組；（4）解這個(gè)方程組，求出未知數(shù)的值；（5）寫(xiě)出答案(包括單位名稱(chēng))．要點(diǎn)：(1)解實(shí)際應(yīng)用題必須寫(xiě)“答”，而且在寫(xiě)答案前要根據(jù)應(yīng)用題的實(shí)際意義，檢查求得的結(jié)果是否合理，不符合題意的應(yīng)該舍去．(2)“設(shè)”、“答”兩步，都要寫(xiě)清單位名稱(chēng)，應(yīng)注意單位是否統(tǒng)一．(3)一般來(lái)說(shuō)，設(shè)幾個(gè)未知數(shù)，就應(yīng)列出幾個(gè)方程并組成方程組．0303題型歸納題型一二元一次方程組的有關(guān)概念及應(yīng)用例題1．下列方程組是二元一次方程組的有(

)個(gè)(1)(2)(3)(4)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組的概念求解即可．【解析】（1）、（3）是二元一次方程組；（2）是三元一次方程組；（4）是二元二次方程組．故選∶B．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的概念，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程組的概念．鞏固訓(xùn)練2．已知方程是二元一次方程，則（

）A．4 B． C．2 D．【答案】C【分析】先根據(jù)二元一次方程的定義得出，繼而求出m、n的值，即可求解．【解析】∵方程是二元一次方程，∴，∴，∴，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程的概念，解一元一次方程和求代數(shù)式的值，熟練掌握含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程是二元一次方程是解題的關(guān)鍵．3．下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二元一次方程的是（

）A．①⑥ B．①②⑥ C．①②④ D．①②④⑥【答案】A【分析】根據(jù)二元一次方程的定義，即含有兩個(gè)未知數(shù)，且兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都為1的整式方程叫二元一次方程逐一判斷即可．【解析】解：①；⑥是二元一次方程，故符合題意；②，不是整式方程，不合題意；③，④，⑤；次數(shù)不為1，不是二元一次方程，不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的定義，熟練掌握含有兩個(gè)未知數(shù)，且兩個(gè)未知數(shù)的次數(shù)都為1的整式方程是二元一次方程是解題的關(guān)鍵．4．方程組（1），（2），（3），（4）中，屬于二元一次方程組有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義：把具有相同未知數(shù)的兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組進(jìn)行判定即可．【解析】解：符合二元一次方程組的定義；中含有、、三個(gè)未知數(shù)，不是二元一次方程組；符合二元一次方程組的定義；中含有未知項(xiàng)的最高次數(shù)為2，不是二元一次方程組；綜上，是二元一次方程組的有2個(gè)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的定義：由兩個(gè)一元一次方程所組成的方程組稱(chēng)為二元一次方程組．5．若方程是二元一次方程，則，．【答案】【分析】根據(jù)二元一次方程的定義求解即可．【解析】解：∵方程是二元一次方程，∴，，解得，．故答案為：；．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程的定義，熟知含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的方程叫做二元一次方程是解答此題的關(guān)鍵．題型二解二元一次方程組例題6．用代入法解方程組時(shí)，將方程①代入②中，所得的方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】按照題干思路直接作答即可．【解析】，方程①代入②中，得：，去括號(hào)為：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代入消元的知識(shí)，細(xì)心計(jì)算是關(guān)鍵．去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前是負(fù)號(hào)，去括號(hào)后，括號(hào)內(nèi)的各項(xiàng)均要變號(hào)．鞏固訓(xùn)練7．在方程中用含的式子表示，則．【答案】【分析】本題考查了代數(shù)式，熟悉掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)運(yùn)算法則進(jìn)行變形即可．【解析】解：，方程兩邊同時(shí)加上，得：，即，方程兩邊再同時(shí)減去2，得：，即．故答案為：．8．解二元一次方程組，下列能消元的是（

）A．①+②×2 B．①-②×2 C．①×2+② D．①×2-②【答案】A【分析】分別將方程組代入各選項(xiàng)的式子中，計(jì)算即可求解．【解析】解：A.由①+②×2可得：，消去了y，故符合題意；B.由①-②×2可得：，沒(méi)有消去未知數(shù)，不合題意；C.由①×2+②可得：，沒(méi)有消去未知數(shù)，不合題意；D.由①×2-②可得：，沒(méi)有消去未知數(shù)，不合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查加減消元法解二元一次方程組，掌握加減消元法的解題步驟是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．9．若是關(guān)于，的二元一次方程的解，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】把與的值代入已知方程計(jì)算即可求出的值．【解析】解：∵是關(guān)于，的二元一次方程的解，∴，解得：，故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程的解，解題的關(guān)鍵是熟記方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．10．解下列方程組．(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入消元法求解；（2）利用加減消元法求解．【解析】（1）解：把代入得，解得x=1，把x=1代入得，∴原方程組的解為；（2）解：得x=?1，把x=?1代入得，，∴原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查利用代入消元法與加減消元法解二元一次方程組，能夠根據(jù)所給方程組的特點(diǎn)選擇合適的方法是快速解題的關(guān)鍵．11．解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）將方程化簡(jiǎn)為，再利用加減消元法解二元一次方程組即可；（2）將方程化簡(jiǎn)為，再利用加減消元法解二元一次方程組即可．【解析】（1）解：整理得：，得：，解得：，將代入①得：，解得：，原方程的解為；（2）解：整理得：，由得：，解得：，將代入①得：，解得：，原方程的解為．【點(diǎn)睛】本題考查了解二元一次方程組—加減消元法，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組的方法是解題的關(guān)鍵．12．小明解二元一次方程組的過(guò)程如下：解：第1步：①兩邊同乘以2，得，③（______）第2步：③－②，得，（______）第3步：．第4步：把代入①，得，．第5步：所以原方程組的解是(1)請(qǐng)?jiān)谛∶鹘夥ǖ那皟刹胶竺娴睦ㄌ?hào)內(nèi)填上方程變形的依據(jù)．(2)小明解方程組的結(jié)果正確嗎？如果你認(rèn)為正確，請(qǐng)代入原方程組檢驗(yàn)；如果你認(rèn)為不正確，請(qǐng)指出他解題過(guò)程中最早在哪一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，并求出該方程組的正確解．【答案】(1)等式性質(zhì)2，等式性質(zhì)1(2)不正確，第②步錯(cuò)誤，見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等式性質(zhì)即可得出答案；（2）根據(jù)加減消元法解方程組的步驟進(jìn)行判斷即可．【解析】（1）解：①兩邊同乘以2，得，③，該步驟利用的是等式性質(zhì)2；，得，該步驟利用的是等式性質(zhì)1；故答案為：等式性質(zhì)2；等式性質(zhì)1；（2）錯(cuò)誤，他解題過(guò)程中最早在第2步出現(xiàn)錯(cuò)誤，正確步驟如下：兩邊同乘以2，得：③，得：，解得：，將代入①得：，解得：，故原方程組的解為．【點(diǎn)睛】本題考查加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握解方程組的方法是解題的關(guān)鍵．題型三二元一次方程組的代數(shù)應(yīng)用例題13．若是關(guān)于、的方程組的解，則、的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將代入方程組，得到關(guān)于的方程組，然后求解即可．【解析】解：將代入方程組，可得：解得故選：B【點(diǎn)睛】此題考查了二元一次方程組的求解，二元一次方程組的解，解題的關(guān)鍵是理解方程解的含義，正確得到關(guān)于的方程組．鞏固訓(xùn)練14．已知方程組和方程組的解相同，求m的值．【答案】．【分析】根據(jù)方程組的解相同，得到新的二元一次方程組，進(jìn)而求得，再代入含的方程，即可求出m的值．【解析】解：兩個(gè)方程組的解相同，可得方程組，解得：，將代入，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)二元一次方程組的解的情況求參數(shù)，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件得到新的方程組并求解．15．已知方程組的解滿足x與y互為相反數(shù)，則k的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了相反數(shù)性質(zhì)，即互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加等于0；二元一次方程組的解，方程組的解即能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．將k看作已知數(shù)，表示出，利用列出方程，即可求出k的值．【解析】解：∵∴得：，即，∵x，y互為相反數(shù)，∴，∴，解得：．故選：D．16．已知，則的值為．【答案】【分析】本題考查的是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，解二元一次方程組，由題意得，求解即可，掌握當(dāng)幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，∴解得：，∴，故答案為：．題型四抄錯(cuò)、遮住問(wèn)題例題17．兩位同學(xué)在解方程組時(shí)，甲同學(xué)正確地解出，乙同學(xué)因把c抄錯(cuò)了解得，則a、b、c正確的值應(yīng)為（）A． B．C． D．【答案】C【分析】把代入方程中求出c的值，再把和分別代入方程中得到關(guān)于a、b的方程組，解方程組即可得到答案．【解析】解：把代入方程中得，解得，把和分別代入方程得，解得，故選:C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的錯(cuò)解問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解題意得出正確的方程組．鞏固訓(xùn)練18．解方程組的解為，由于不小心滴上了兩滴墨水，剛好遮住了■和★兩個(gè)數(shù)和，則這兩個(gè)數(shù)分別為（）A．4和6 B．6和4 C．2和8 D．8和【答案】D【分析】根據(jù)解的定義，代入確定y，得到方程組的解，再代入覆蓋的方程計(jì)算即可．【解析】把代入中得：，故方程組的解為，故★表示的數(shù)為；把代入中得：，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了方程組的解即滿足方程組中每一個(gè)方程的一組未知數(shù)的值，正確理解定義應(yīng)用定義是解題的關(guān)鍵．題型五二元一次方程組的實(shí)際應(yīng)用例題19．“寒夜客來(lái)茶當(dāng)酒，竹爐湯沸火初紅”茶，作為中國(guó)傳統(tǒng)文化的重要組成部分，承載著深厚的歷史與文化底蘊(yùn)．在品茶的過(guò)程中，茶具的選擇對(duì)茶湯的口感、香氣、色澤以及品飲的體驗(yàn)有顯著影響．某茶具廠共有120個(gè)工人，每個(gè)工人一天能做200個(gè)茶杯或50個(gè)茶壺，如果8個(gè)茶杯和1個(gè)茶壺為一套，問(wèn)如何安排生產(chǎn)可使每天生產(chǎn)的產(chǎn)品配套？設(shè)生產(chǎn)茶杯的工人有x人，生產(chǎn)茶壺的工人有y人，則下列方程組正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出二元一次方程組．本題的等量關(guān)系為：生產(chǎn)茶杯人數(shù)+生產(chǎn)茶壺人數(shù)；茶壺量茶杯量，據(jù)此求解即可．【解析】解：設(shè)生產(chǎn)茶杯的工人有x人，生產(chǎn)茶壺的工人有y人．，故選：C．鞏固訓(xùn)練20．某部隊(duì)進(jìn)行軍訓(xùn)從甲地到乙地，要翻越一座山，沒(méi)有平路可走，去用了小時(shí)，返回時(shí)用了小時(shí)．已知走上坡每小時(shí)千米，走下坡時(shí)每小時(shí)千米．甲、乙兩地的公路長(zhǎng)千米．【答案】【分析】本題考查路程，時(shí)間與速度的關(guān)系，二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立二元一次方程組；根據(jù)速度時(shí)間路程，設(shè)上山路為，下山路為，列方程求解即可；【解析】解：設(shè)上山路為，下山路為得；解得：故故答案為：21．我國(guó)明代數(shù)學(xué)家程大位編撰的《算法統(tǒng)宗》記載了“繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子來(lái)量竿，卻比竿子短一托，問(wèn)索、竿各長(zhǎng)幾何？”譯文為：“有一根竿和一條繩，若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺，問(wèn)繩和竿各有多長(zhǎng)？”設(shè)繩長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，根據(jù)題意得（

）（注：“托”和“尺”為古代的長(zhǎng)度單位，1托尺）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，根據(jù)若用繩去量竿，則繩比竿長(zhǎng)5尺；若將繩對(duì)折后再去量竿，則繩比竿短5尺列方程組即可．【解析】解：由題意得故選A．22．小華和爸爸一起玩“擲飛鏢”游戲．游戲規(guī)則：站在5米開(kāi)外朝飛鏢盤(pán)扔飛鏢，若小華投中1次得5分，爸爸投中1次得3分．結(jié)果兩人一共投中了20次，經(jīng)過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)爸爸的得分比小華的得分多4分．設(shè)小華投中的次數(shù)為，爸爸投中的次數(shù)為，根據(jù)題意列出的方程組是．【答案】【分析】本題考查了列二元一次方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意找出等量關(guān)系，列出正確的二元一次方程．設(shè)小華投中的次數(shù)為，爸爸投中的次數(shù)為，根據(jù)“兩人一共投中了20次，爸爸的得分比小華的得分多4分”列方程組即可．【解析】解：根據(jù)題意，得，故答案為：．題型六二元一次方程組的幾何應(yīng)用例題23．如圖，用12塊形狀和大小均相同的小長(zhǎng)方形紙片拼成一個(gè)寬是60厘米的大長(zhǎng)方形，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是．【答案】120厘米【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，由大長(zhǎng)方形的寬為60厘米，即可得出關(guān)于、的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解析】解：設(shè)小長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為厘米，寬為厘米，根據(jù)題意得：，解得：，則每個(gè)小長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)（厘米），故答案為：120厘米．鞏固訓(xùn)練24．用大小形狀完全相同的長(zhǎng)方形紙片在直角坐標(biāo)系中擺成如圖所示的圖案，已知，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】【分析】本題主要考查二元一次方程組的應(yīng)用和平面直角坐標(biāo)系，能用含有未知數(shù)的代數(shù)式表示出等量關(guān)系得到二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為，點(diǎn)到軸的距離為5，到軸的距離為1，可得關(guān)于和的二元一次方程組，求得和的數(shù)值，結(jié)合點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的位置，即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【解析】解：設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為，寬為．依題意，得，解得，，又點(diǎn)在第二象限，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為．故答案為：．25．如圖，在三角形中，D，E分別為邊上的點(diǎn)，且，連接，使得交于點(diǎn)F，已知三角形的面積為，那么三角形的面積為．

【答案】60【分析】本題主要考查了三角形中線的性質(zhì)，二元一次方程組的應(yīng)用，連接，先根據(jù)題意得到，，，設(shè)，根據(jù)圖形面積之間的關(guān)系得到，解方程組即可得到答案．【解析】解；如圖所示，連接，∵，∴，，∵，∴，設(shè)，∴，解得，∴，故答案為：60．

題型七二元一次方程組與一次函數(shù)例題26．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線交于點(diǎn)，則關(guān)于x、y的方程組的解為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一次函數(shù)與二元一次方程組的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解方程組的解與函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．首先將點(diǎn)A的橫坐標(biāo)代入求得其縱坐標(biāo)，然后即可確定方程組的解．【解析】解：∵直線與直線交于點(diǎn)，∴將代入，得：，∴，∴關(guān)于x、y的方程組的解為，故選：C．鞏固訓(xùn)練27．已知直線：與直線：交于點(diǎn)，則方程組的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)直線解析式求出點(diǎn)C坐標(biāo)，根據(jù)兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解得關(guān)系即可求解．【解析】將代入得：，解得：，∴方程組的解是，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解的關(guān)系，掌握兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組的解是解題關(guān)鍵．28．已知直線：經(jīng)過(guò)點(diǎn)A0,?1，．(1)求直線的解析式；(2)若點(diǎn)在直線上，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入直線的解析式求解即可．【解析】（1）把，代入，得，解得，∴直線的解析式是；（2）把點(diǎn)代入直線，得，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式和圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，熟練掌握函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)符合函數(shù)解析式是關(guān)鍵．29．已知直線和直線，(1)當(dāng)時(shí)，與相交于一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是；(2)當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程組的解的情況是；(3)當(dāng)時(shí)，與重合，此時(shí)方程組的解的情況是．【答案】(1)；，(2)，；無(wú)解(3)，；方程有無(wú)數(shù)個(gè)解【分析】（1）若兩條直線有交點(diǎn)，那么它們的傾斜程度是不相等的，故可得，令值相等即可求出的值，從而也可以求出的值；（2）若兩條直線平行，那么它們的傾斜程度必然是相等的，且，此時(shí)這兩條直線是沒(méi)有交點(diǎn)的，相信你能得出方程組解的個(gè)數(shù)；（3）若兩條直線是重合的，則它們的傾斜程度相等，且，此時(shí)這兩條直線有無(wú)數(shù)個(gè)交點(diǎn)，方程組解的個(gè)數(shù)也就明確了．【解析】（1）解：當(dāng)時(shí)，兩直線相交得：．移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)得：，兩邊同時(shí)除以得：，將代入直線中，解得：，故與的交點(diǎn)坐標(biāo)是，；故答案為：、，；（2）解：當(dāng)且時(shí)，，此時(shí)這兩條直線沒(méi)有交點(diǎn)，即方程組無(wú)解；故答案為：，；無(wú)解；（3）解：當(dāng)且時(shí)，這兩條直線是重合的，故方程組有無(wú)數(shù)個(gè)解．故答案為：，；方程有無(wú)數(shù)個(gè)解．【點(diǎn)睛】本題考查了兩直線相交或平行問(wèn)題：兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是由這兩條直線相對(duì)應(yīng)的一次函數(shù)表達(dá)式所組成的二元一次方程組的解；若兩條直線是平行的關(guān)系，那么他們的自變量系數(shù)相同，即k值相同．30．已知：如圖一次函數(shù)與的圖象相交于點(diǎn)A．

(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)．(2)若一次函數(shù)與的圖象與x軸分別交于點(diǎn)B、C，求的面積．(3)結(jié)合圖象，直接寫(xiě)出時(shí)的取值范圍．【答案】(1)(2)9(3)【分析】（1）將兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式聯(lián)立得到方程組，解此方程組即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)；（2）先根據(jù)兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，從而得到的長(zhǎng)，再利用三角形的面積公式可得結(jié)果；（3）根據(jù)函數(shù)圖象和點(diǎn)A的坐標(biāo)即可得到結(jié)果．【解析】（1）解：由題意可得：，解得，所以點(diǎn)A坐標(biāo)為．（2）解：當(dāng)時(shí)，，即，則B點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，即，則C點(diǎn)坐標(biāo)為；，的面積為：．（3）解：根據(jù)圖象可知，時(shí)，x的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)與一元一次不等式之間的關(guān)系，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法和三角形面積的求法，求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．題型八三元一次方程組例題31．解方程組.【答案】【分析】首先將方程組中的①-②消去得,然后可以通過(guò)②和③消去，最后轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，解這個(gè)二元一次方程組即可得到x和y的值，把和的值代入①中即可算出的值.【解析】得,④,得,⑤，得,,即:，得,,,得,,,把代入①得,,,∴原方程組的解為【點(diǎn)睛】本題主要考查了三元一次方程組的解法，掌握消元法解三元一次方程組是解題的關(guān)鍵.鞏固訓(xùn)練32．解方程組：．【答案】【分析】①②得出④，①③得出⑤，由④和⑤組成一個(gè)二元一次方程組，求出方程組的解，再求出即可．【解析】解：，①②，得④，①③，得⑤，由④和⑤組成一個(gè)二元一次方程組：，解得：，把代入①，得，解得：，所以方程組的解是．【點(diǎn)睛】本題考查了解三元一次方程組，能把三元一次方程組轉(zhuǎn)化成二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．33．已知滿足，求的值【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，列出方程組即可解答．【解析】解：由題意得：解得：【點(diǎn)睛】本題主要考查了絕對(duì)值和平方的非負(fù)性，解三元一次方程組，解題的關(guān)鍵是掌握幾個(gè)非負(fù)數(shù)相加和為0，則這幾個(gè)非負(fù)性分別為0；以及解三元一次方程組的方法和步驟．34．如圖是一個(gè)正方體的平面展開(kāi)圖，如果正方體相對(duì)的兩個(gè)面上的式子的值相等，求，，的值．【答案】【分析】根據(jù)題意得出與相等，與相等，與相等，進(jìn)而組成方程組求出答案．【解析】解：由題意可得：，解得：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方體的展開(kāi)圖，三元一次方程組，根據(jù)題意列出方程組是解題的關(guān)鍵．題型九含參數(shù)問(wèn)題難點(diǎn)分享例題35．已知關(guān)于的方程組下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．當(dāng)時(shí)，該方程組的解也是方程的解 B．存在實(shí)數(shù)，使得x+y=0C．當(dāng)時(shí)， D．不論取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的解與參數(shù)，加減消元法，代入消元法求解的運(yùn)用，根據(jù)題意，分別代入計(jì)算驗(yàn)證即可求解．【解析】解：A、當(dāng)時(shí)，代入二元一次方程組得，，得，，解得，，把代入①得，，解得，，∴，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；B、，得，，整理得，，把代入①得，，整理得，，若x+y=0，則有，解得，，是實(shí)數(shù)，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；C、，得，，當(dāng)時(shí)，則有，解得，k=1，故原選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D、由B選項(xiàng)可得，，∴，∴不論取什么實(shí)數(shù)，的值始終不變，故原選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練36．已知關(guān)于，的方程組，給出下列結(jié)論：①不論取何值，方程組總有一組解；②當(dāng)時(shí)，，的值互為相反數(shù)；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是（）A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①③④【答案】A【分析】本題考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的基本思路是消元，②中可以不用求解方程組的解，而是直接求出的值，這樣比較簡(jiǎn)便．利用加減消元法消去，得：，故①③正確；當(dāng)時(shí)，代入方程組計(jì)算得：，故②正確；解出方程組的解，根據(jù)條件得，把方程組的解代入得，故④正確．【解析】解：，①②得：，，不論取何值，方程組總有一組解，故①③正確；當(dāng)時(shí)，方程組為：，①②得：，，，的值互為相反數(shù)，故②正確；，解得：，，，，，故④正確；故選：A37．設(shè)直線和直線（是正整數(shù)）及軸圍成的三角形面積為，則的值為．【答案】【分析】本題主要考查了一次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，兩直線的交點(diǎn)問(wèn)題．先求出第k個(gè)三角形與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為與，可得第k個(gè)三角形在x軸上這條邊的長(zhǎng)為，然后聯(lián)立，求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而得到，即可求解．【解析】解：分別令兩直線中，，，解得：，，即第k個(gè)三角形與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為與，∴第k個(gè)三角形在x軸上這條邊的長(zhǎng)為，聯(lián)立得：，解得：，∴兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∴．故答案為：．題型十解答綜合題例題38．解方程組(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解二元一次方程組，掌握加減消元的思想方法是解題關(guān)鍵．（1）利用加減消元法即可解決；（2）先將原式化為整式后利用加減消元即可．【解析】（1）解：，，得，解得，把代入，得，故原方程組的解為；（2）解：原方程組整理，得，，得，解得，把代入，得，故原方程組的解為．鞏固訓(xùn)練39．若是的算術(shù)平方根，為的立方根，求的立方根；【答案】的立方根是1．【分析】本題考查了算術(shù)平方根以及立方根的定義．根據(jù)算術(shù)平方根以及立方根的定義，A和B的根指數(shù)分別是2和3，即可得到一個(gè)關(guān)于a，b的方程組求得a，b的值，進(jìn)而得到A、B的值，從而求解．【解析】解：根據(jù)題意得：，解得：，則，，則，∴的立方根是1．40．已知一次函數(shù)的圖像經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)．(1)求這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式；(2)求此函數(shù)與軸、軸圍成的三角形的面積．【答案】(1)一次函數(shù)的表達(dá)式為(2)【分析】此題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以及圖像與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積求法，掌握一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)函數(shù)解析式為，將，兩點(diǎn)代入可得出和的值，進(jìn)而可得出函數(shù)解析式；（2）求出一次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出所圍成的三角形面積．【解析】（1）解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的表達(dá)式為，將，代入得：，解得：，一次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：當(dāng)時(shí)，，解得：，該一次函數(shù)圖像與軸交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，該一次函數(shù)圖像與軸交于點(diǎn)，此函數(shù)圖像與軸、軸圍成的三角形的面積為．41．王海和郭偉抄題“原方程組”，王海把方程①中的a抄錯(cuò)了，郭偉把方程②中的b抄錯(cuò)了，王海求得方程組的解為，郭偉求得方程組的解為，你能不能不去看老師抄的原題，把正確的a，b求出來(lái)？【答案】，【分析】抄錯(cuò)的將其解代入方程②，可以求出，得；抄錯(cuò)的將其解代入方程①，可以求出即可．此題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程成立的未知數(shù)的值．【解析】解：依題意，將，代入方程②，得到