北師版九年級數(shù)學(xué) 第一章 特殊平行四邊形 知識歸納與題型突破（九類題型清單）

第一章特殊平行四邊形知識歸納與題型突破（九類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.二、矩形1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．三、正方形1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.0303題型歸納題型一特殊平行四邊形的性質(zhì)例題1．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．對角線相等且互相垂直鞏固訓(xùn)練2．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．四邊相等 B．對角線相等 C．對角相等 D．鄰角互補(bǔ)3．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對角線互相垂直且平分C．對角線相等 D．對角線平分一組對角4．菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對邊分別平行且相等 B．對角線相等C．四條邊相等，四個角相等 D．對角線互相垂直題型二根據(jù)矩形的性質(zhì)求長度、角度例題5．矩形中，，，則的長為（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練6．已知矩形的對角線，則（

）A． B． C． D．7．如圖，矩形中，是對角線的中點(diǎn)，連接．若，，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．108．如圖，在矩形中，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．9．如圖，矩形中，點(diǎn)在上，且平分，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．10．如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．題型三根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積例題11．如圖，矩形中，、相交于點(diǎn)O，若的面積是3，則矩形的面積是（

）A．6 B．12 C．15 D．18鞏固訓(xùn)練12．如圖，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若矩形面積為12，則陰影部分的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．813．如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，得到，，，，設(shè)它們的面積分別是．給出以下結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則點(diǎn)在矩形的對角線上其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①④ B．②④C．②③④ D．以上選項(xiàng)均不對題型四根據(jù)菱形的性質(zhì)求長度、角度例題14．若菱形的周長為，則等于（

）A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練15．如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)O，若，，則菱形的邊長為（

）A． B． C．8 D．1016．如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)F，E是的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長是（

）A．2 B．4 C．6 D．817．如圖，在菱形中，，，則（

）A． B． C． D．18．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點(diǎn)F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．19．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是菱形邊的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)G．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．題型五根據(jù)菱形的性質(zhì)求周長、面積例題20．如圖，在菱形中，，連接，若，則菱形的周長為（）

A．24 B．30 C． D．鞏固訓(xùn)練21．如圖，在菱形中，對角線和相交于點(diǎn)，若，則菱形的周長為（

）

A．24 B．8 C． D．22．如圖，四邊形是周長為的菱形，其中對角線長為，則菱形的面積為（

）．A． B． C． D．23．如圖，在菱形中，，對角線、相交于點(diǎn)，平分，若，則菱形的面積為（

）

A．6 B．8 C． D．題型六根據(jù)正方形的性質(zhì)求長度、角度、面積例題24．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．鞏固訓(xùn)練25．如圖，正方形的對角線，交于點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，若，則的長是（）A． B． C． D．26．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若正方形ABCD的面積是3，，那么EB的長為（

）A．1 B． C． D．327．如圖，在正方形外側(cè)，作等邊，則為（）A．75° B．55° C．15° D．25°28．如圖將邊長為的大正方形與邊長為的小正方形放在一起，則三角形的面積（

）A．與、大小都有關(guān) B．與、的大小都無關(guān)C．只與的大小有關(guān) D．只與的大小有關(guān)題型七特殊平行四邊形的判定例題29．下列四個命題中，真命題是（

）A．對角線垂直且相等的四邊形是菱形B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形C．一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形鞏固訓(xùn)練30．下列四個命題中，假命題是（

）A．有三個角是直角的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形C．四條邊都相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形31．已知在四邊形中，與相交于點(diǎn)O，那么下列條件中能判定這個四邊形是正方形的是（）A．，， B．C． D．32．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．要使四邊形AFDE為菱形，應(yīng)添加的條件是（添加一個條件即可）．33．在四邊形中，對角線且與互相平分，若使四邊形是正方形，則需再添加的一個條件為（

）．（不添加輔助線，寫出一個條件即可）A． B． C． D．34．已知四邊形是平行四邊形，對角線與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)時，四邊形是菱形 B．當(dāng)時，四邊形是菱形C．當(dāng)時，四邊形是矩形 D．當(dāng)時，四邊形是矩形題型八特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定例題35．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，連接EF，若EF=3，則BD的長為()A．6 B．9 C．12 D．15鞏固訓(xùn)練36．如圖中，是角平分線，交于E，交于F，若，那么四邊形的周長為．

37．如圖，兩張寬均為的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形．若測得，則四邊形的周長為cm．38．如圖，已知四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為．

39．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O，，，與交于點(diǎn)F．若，，則菱形的面積為．40．如圖，在中，，以斜邊為邊向外作正方形，且對角線交于點(diǎn)O，連接．若，則另一條直角邊的長為．41．如圖，在正方形中，點(diǎn)在對角線上，分別為垂足，連結(jié)，若，則（）A． B． C． D．題型九特殊平行四邊形綜合解答題例題42．如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．求證：．鞏固訓(xùn)練43．如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、，求證：．44．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，求證：．45．如圖，在矩形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，矩形的對角線交線段于點(diǎn)，連接，，，且，平分．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．46．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE，AF，EF．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的長．47．如圖，在矩形ABCD中，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到A停止，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P，Q的速度都是1cm/s．連接PQ，AQ，CP．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為ts．(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形；(3)分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．48．如圖，已知四邊形是正方形，，點(diǎn)E為對角線上一動點(diǎn)，連接．過點(diǎn)E作，交射線點(diǎn)F，以為鄰邊作矩形．連接．(1)連接，求證：．(2)求證：矩形是正方形．(3)探究：的值是否為定值？若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．49．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，直線軸，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)在直線l上，將矩形繞點(diǎn)O按順時針方向旋轉(zhuǎn)度，得到矩形，此時直線、分別與直線l相交于點(diǎn)P、Q．(1)當(dāng)時，點(diǎn)的坐標(biāo)為______；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)落在l上時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為______；(3)如圖3，當(dāng)矩形的頂點(diǎn)落在l上時，①求的長度；②求．50．用四根一樣長的木棍搭成菱形，P是線段上的動點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)D和點(diǎn)C重合），在射線上取一點(diǎn)M，連接，使．（1）如圖1，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)M在菱形外時，在射線上取一點(diǎn)N，使，連接，則______，______；操作探究二（2）如圖2，調(diào)整菱形，使，當(dāng)點(diǎn)M在菱形外時，在射線上取一點(diǎn)N，使，連接，求證：；拓展遷移（3）在菱形中，，．若點(diǎn)P在射線上，點(diǎn)M在射線上，且當(dāng)時，請直接寫出的長．

第一章特殊平行四邊形知識歸納與題型突破（九類題型清單）01思維導(dǎo)圖01思維導(dǎo)圖0202知識速記一、菱形1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的一切性質(zhì)；（2）四條邊相等；（3）兩條對角線互相平分且垂直，并且每一條對角線平分一組對角；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：4．判定：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；（3）四邊相等的四邊形是菱形.二、矩形1．定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.2．性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；（2）四個角都是直角；（3）對角線互相平分且相等；（4）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：４．判定：（1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形.（2）對角線相等的平行四邊形是矩形.（3）有三個角是直角的四邊形是矩形.要點(diǎn)：由矩形得直角三角形的性質(zhì)：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2）直角三角形中，30度角所對應(yīng)的直角邊等于斜邊的一半．三、正方形1.定義：四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形叫做正方形.2．性質(zhì)：（1）對邊平行；（2）四個角都是直角；（3）四條邊都相等；（4）對角線互相垂直平分且相等，對角線平分對角；（5)兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形；（6）中心對稱圖形，軸對稱圖形.3．面積：邊長×邊長＝×對角線×對角線4．判定：（1）有一個角是直角的菱形是正方形；（2）一組鄰邊相等的矩形是正方形；（3）對角線相等的菱形是正方形；（4）對角線互相垂直的矩形是正方形；（5）對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；（6）四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形是正方形.0303題型歸納題型一特殊平行四邊形的性質(zhì)例題1．矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．對角線互相平分 B．對角線互相垂直C．對角線相等 D．對角線相等且互相垂直【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)，熟知矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)逐一判斷即可．【解析】解：A、矩形和菱形的對角線都互相平分，故此選項(xiàng)不符合題意；B、矩形的對角線不一定垂直，菱形的對角線垂直，故此選項(xiàng)不符合題意；C、矩形的對角線相等，菱形的對角線不一定相等，故此選項(xiàng)符合題意；D、菱形和矩形的對角線都不一定相等且互相垂直，故此選項(xiàng)不符合題意；故選：C．鞏固訓(xùn)練2．菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．四邊相等 B．對角線相等 C．對角相等 D．鄰角互補(bǔ)【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)．根據(jù)菱形的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)，結(jié)合各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可得出答案．【解析】解：A、四邊相等，菱形具有而矩形不具有，故本選項(xiàng)符合題意；B、對角線相等，矩形具有而菱形不具有，故本選項(xiàng)不符合題意；C、對角相等，菱形具有，矩形具有，故本選項(xiàng)不符合題意；D、鄰角互補(bǔ)，菱形具有而矩形也具有，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：A．3．正方形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（

）A．四條邊都相等 B．對角線互相垂直且平分C．對角線相等 D．對角線平分一組對角【答案】C【分析】本題考查的是正方形與菱形的性質(zhì)，根據(jù)正方形和菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得答案，熟記性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【解析】解：A、正方形和菱形的四條邊都相等，則此項(xiàng)不符題意；B、正方形和菱形的對角線都互相垂直且平分，則此項(xiàng)不符題意；C、正方形的對角線相等，而菱形的對角線不一定相等，則此項(xiàng)符合題意；D、正方形和菱形的對角線都平分一組對角，則此項(xiàng)不符題意；故選：C．4．菱形、矩形、正方形都具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對邊分別平行且相等 B．對角線相等C．四條邊相等，四個角相等 D．對角線互相垂直【答案】A【分析】本題考查了菱形、矩形、正方形的性質(zhì)．根據(jù)菱形、矩形、正方形的性質(zhì)，逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、菱形、矩形、正方形的兩組對邊分別平行且相等，故本選項(xiàng)符合題意．B、矩形的對角線不一定相等，故本選項(xiàng)不符合題意．C、矩形的四條邊不一定相等，菱形的四個角不應(yīng)當(dāng)相等，故本選項(xiàng)不符合題意．D、矩形的對角線不一定互相垂直，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：A．題型二根據(jù)矩形的性質(zhì)求長度、角度例題5．矩形中，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的對角線相等即可求解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的性質(zhì)及其應(yīng)用．【解析】∵四邊形是矩形，∴，故選：．鞏固訓(xùn)練6．已知矩形的對角線，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)即可求解．【解析】解：四邊形是矩形，且對角線，，故選D．7．如圖，矩形中，是對角線的中點(diǎn)，連接．若，，則的長為（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理，根據(jù)矩形的性質(zhì)可知，，再根據(jù)勾股定理可求出的長，進(jìn)而即可求出的長．【解析】四邊形為矩形，，，，，，，，故選：D．8．如圖，在矩形中，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，證明是等邊三角形，即可得出結(jié)果．【解析】∵矩形，，∴，∴，∴為等邊三角形，∴，∴；故選C．9．如圖，矩形中，點(diǎn)在上，且平分，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查的是等腰三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，先證明，再進(jìn)一步的利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；【解析】解：∵矩形中，；∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∴；故選B10．如圖，矩形的對角線，相交于點(diǎn)O，于點(diǎn)E，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂直的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，由等邊對等角可得，利用三角形外角性質(zhì)可得，結(jié)合，即可求出.【解析】解：四邊形是矩形，，，，，，．故選：A．題型三根據(jù)矩形的性質(zhì)求面積例題11．如圖，矩形中，、相交于點(diǎn)O，若的面積是3，則矩形的面積是（

）A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】此題考查矩形的性質(zhì)以及三角形面積；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證出是解題的關(guān)鍵．由矩形的性質(zhì)得，推出，即可求出矩形的面積．【解析】解：四邊形是矩形，、相交于點(diǎn)，，，，，，矩形的面積為，故選：B．鞏固訓(xùn)練12．如圖，在矩形中，對角線，相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交，于點(diǎn)E，F(xiàn)，若矩形面積為12，則陰影部分的面積為（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】A【分析】本題主要考查矩形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)．首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明，得到，從而，進(jìn)而即可解答．【解析】解：∵四邊形是矩形，∴，，，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵矩形面積為12，∴．故選：A．13．如圖，是矩形內(nèi)的任意一點(diǎn)，連接，得到，，，，設(shè)它們的面積分別是．給出以下結(jié)論：①；②；③若，則；④若，則點(diǎn)在矩形的對角線上其中正確結(jié)論的序號是（

）A．①④ B．②④C．②③④ D．以上選項(xiàng)均不對【答案】B【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的對邊相等可得，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為、、、，然后利用三角形的面積公式列式整理即可判斷出①②；根據(jù)三角形的面積公式即可判斷③；根據(jù)已知進(jìn)行變形，求出，即可判斷④．【解析】解：四邊形是矩形，，，設(shè)點(diǎn)到、、、的距離分別為、、、，∴，不能得出，故①錯誤，②正確；根據(jù)，能得出，不能推出，即不能推出，故③錯誤；∵，，∴，∴∴點(diǎn)一定在對角線上，故④正確．故選：B．題型四根據(jù)菱形的性質(zhì)求長度、角度例題14．若菱形的周長為，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)菱形的四條邊相等結(jié)合菱形周長公式進(jìn)行求解即可．【解析】解：∵菱形的周長為，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，熟知菱形的四條邊相等是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練15．如圖，菱形的對角線、相交于點(diǎn)O，若，，則菱形的邊長為（

）A． B． C．8 D．10【答案】A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出邊長．【解析】解：∵四邊形是菱形，∴，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理在直角三角形中的運(yùn)用，考查了菱形各邊長相等的性質(zhì)，本題中根據(jù)勾股定理計(jì)算邊長是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在菱形中，對角線、交于點(diǎn)F，E是的中點(diǎn)，若，則菱形的邊長是（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查菱形的性質(zhì)，斜邊上的中線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到，再根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到，即可．【解析】解：∵菱形中，對角線、交于點(diǎn)F，∴，∴，∵E是的中點(diǎn)，∴．即：菱形的邊長是4；故選B．17．如圖，在菱形中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，由菱形的性質(zhì)得到，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及等腰三角形的性質(zhì)得到，即可求出，掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵四邊形是菱形，∴平分，∴，∵，∴，∴，故選：．18．如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點(diǎn)F，E為垂足，連接，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先連接，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，再證明，進(jìn)而得出，，可知，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得，進(jìn)而得出答案．【解析】連接．∵是的垂直平分線，∴．∵四邊形是菱形，∴．，，，∴，∵，∴，∴，，∴，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，證明是解題的關(guān)鍵．19．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是菱形邊的中點(diǎn)，交的延長線于點(diǎn)G．若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．如圖，延長交的延長線于．證明，利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，可得，再求出，證明，即可求出，即可解決問題．【解析】解：如圖，延長交的延長線于．∵四邊形是菱形，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，在和中，是的中點(diǎn)，故選：C．題型五根據(jù)菱形的性質(zhì)求周長、面積例題20．如圖，在菱形中，，連接，若，則菱形的周長為（）

A．24 B．30 C． D．【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再證是等邊三角形，由此可得，進(jìn)而得菱形的邊長為6，由此可求出菱形的周長．本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)以及菱形的性質(zhì)，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【解析】∵四邊形是菱形，，，是等邊三角形，，，∴菱形的周長為：，故選：A．鞏固訓(xùn)練21．如圖，在菱形中，對角線和相交于點(diǎn)，若，則菱形的周長為（

）

A．24 B．8 C． D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的性質(zhì)，由勾股定理求出的長是解題的關(guān)鍵．由菱形的性質(zhì)得，再由勾股定理求出的長，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵四邊形為菱形，，在中，由勾股定理得：，∴菱形的周長，故選：D．22．如圖，四邊形是周長為的菱形，其中對角線長為，則菱形的面積為（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了菱形的面積公式，勾股定理，利用勾股定理先求出對角線的長度，再根據(jù)菱形的面積等于兩條對角線的積的一半，即可求解，掌握菱形的面積公式是解題的關(guān)鍵．【解析】解：設(shè)對角線相交于點(diǎn)，則，，∵菱形的周長為，∴，∴∴，∴菱形的面積，故選：．23．如圖，在菱形中，，對角線、相交于點(diǎn)，平分，若，則菱形的面積為（

）

A．6 B．8 C． D．【答案】C【分析】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理、菱形的面積等知識，求得及是解題的關(guān)鍵.【解析】∵四邊形是菱形,是等邊三角形，，∵平分，，，（直角三角形中角所對的直角邊等于斜邊的一半、勾股定理也可解OB），,故選:C.題型六根據(jù)正方形的性質(zhì)求長度、角度、面積例題24．如圖，正方形的對角線相交于點(diǎn)O，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用正方形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：∵四邊形是正方形，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練25．如圖，正方形的對角線，交于點(diǎn)，、分別為、的中點(diǎn)，若，則的長是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意可得，是的中位線，然后根據(jù)中位線的性質(zhì)定理解答即可．【解析】解：、分別為、的中點(diǎn)，是的中位線．，即．，．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中位線的定義與性質(zhì)，掌握三角形的中位線性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．26．如圖，點(diǎn)E在正方形ABCD的邊AB上，若正方形ABCD的面積是3，，那么EB的長為（

）A．1 B． C． D．3【答案】A【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B=90°，BC2=3，然后在Rt△BCE中，利用勾股定理即可求出EB的長．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=90°，∴EB2=EC2-BC2，又∵正方形ABCD的面積=BC2=3，，∴故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．即如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．27．如圖，在正方形外側(cè)，作等邊，則為（）A．75° B．55° C．15° D．25°【答案】A【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等，四個角都是直角，等邊三角形的三條邊都相等，三個角都是求出，的度數(shù)，然后根據(jù)等腰三角形兩個底角相等求出即可．【解析】解：四邊形是正方形，，，是等邊三角形，，，在中，，，∴，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等邊對等角的性質(zhì)，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．28．如圖將邊長為的大正方形與邊長為的小正方形放在一起，則三角形的面積（

）A．與、大小都有關(guān) B．與、的大小都無關(guān)C．只與的大小有關(guān) D．只與的大小有關(guān)【答案】D【分析】連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線之間的距離相等可得，的面積與的面積相等，求出的面積即可．【解析】解：連接，如圖所示：在正方形中，，，，的面積=的面積，正方形的邊長為，的面積，的面積為，的面積只與的大小有關(guān)，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，熟練掌握平行線之間的距離相等是解題的關(guān)鍵．題型七特殊平行四邊形的判定例題29．下列四個命題中，真命題是（

）A．對角線垂直且相等的四邊形是菱形B．對角線互相垂直平分的四邊形是正方形C．一組鄰邊相等的平行四邊形是正方形D．對角線相等且互相平分的四邊形是矩形【答案】D【分析】根據(jù)菱形、矩形、正方形的判定定理等知識逐項(xiàng)判定即可．【解析】解：選項(xiàng)，對角線相等且互相垂直的四邊形是菱形，若對角線不互相平分，則不是菱形，故原命題為假命題；選項(xiàng)，對角線互相平分說明是平行四邊形，菱形的判定定理：對角線垂直的平行四邊形是菱形，故原命題為假命題；選項(xiàng)，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故原命題為假命題；選項(xiàng)，對角線相等且互相平分的四邊形是矩形，為真命題；故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題與定理知識，熟練掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解題的關(guān)鍵．鞏固訓(xùn)練30．下列四個命題中，假命題是（

）A．有三個角是直角的四邊形是矩形 B．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形C．四條邊都相等的四邊形是菱形 D．對角線互相垂直的四邊形是平行四邊形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐項(xiàng)分析即可．【解析】A．有三個角是直角的四邊形是矩形，是真命題，故不符合題意；B．對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，是真命題，故不符合題意；C．四條邊都相等的四邊形是菱形，是真命題，故不符合題意；D．對角線互相垂直的四邊形不一定是平行四邊形，原命題是假命題，故符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關(guān)鍵是要熟悉課本中的定義、性質(zhì)定理及判定定理．31．已知在四邊形中，與相交于點(diǎn)O，那么下列條件中能判定這個四邊形是正方形的是（）A．，， B．C． D．【答案】B【分析】本題主要考查正方形的判定，根據(jù)判別一個四邊形為正方形的方法逐一進(jìn)行判定即可．【解析】解：A、不能，對角線互相平分且一組鄰邊相等的四邊形可判定為菱形，故本選項(xiàng)不符合題意．B、能，對角線互相平分且相等且一組鄰邊相等的四邊形是正方形，可判定該四邊形是正方形．故本選項(xiàng)符合題意．C、不能，根據(jù)平行線的性質(zhì)和一組對角相等的四邊形是平行四邊形，可判定該四邊形是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意．D、不能，一組對邊平行且相等，對角線相等可判定為矩形，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．32．如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊BC，AC，AB的中點(diǎn)．要使四邊形AFDE為菱形，應(yīng)添加的條件是（添加一個條件即可）．【答案】AF＝AE（答案不唯一）【解析】略33．在四邊形中，對角線且與互相平分，若使四邊形是正方形，則需再添加的一個條件為（

）．（不添加輔助線，寫出一個條件即可）A． B． C． D．【答案】D【分析】由四邊形ABCD的對角線互相垂直平分，可得四邊形ABCD是菱形，再添加AC=BD，即可得出四邊形ABCD是正方形．【解析】解：可添加AC=BD，理由如下：∵四邊形ABCD的對角線互相平分，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，∵AC=BD，∴四邊形ABCD是正方形．故D符合題意；添加，，只能判斷原四邊形是菱形，故A，B，C不符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題是考查正方形的判別方法，判別一個四邊形為正方形主要根據(jù)正方形的概念，途經(jīng)有兩種：①先說明它是矩形，再說明有一組鄰邊相等；②先說明它是菱形，再說明它有一個角為直角．34．已知四邊形是平行四邊形，對角線與相交于點(diǎn)，下列結(jié)論中不正確的是（

）A．當(dāng)時，四邊形是菱形 B．當(dāng)時，四邊形是菱形C．當(dāng)時，四邊形是矩形 D．當(dāng)時，四邊形是矩形【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定，矩形的判定；熟練掌握菱形和矩形的判定是解題的關(guān)鍵．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形、據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，逐項(xiàng)分析即可得出答案．【解析】解：如圖：A、∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形；A選項(xiàng)正確；B、∵四邊形是平行四邊形，，∴四邊形是菱形；B選項(xiàng)正確；C、∵四邊形是平行四邊形，∴，，又∵，∴，∴四邊形是矩形；C選項(xiàng)正確；D、∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴四邊形是菱形；不能證明四邊形是矩形，D選項(xiàng)錯誤，故選：D．題型八特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定例題35．如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AO的中點(diǎn)，連接EF，若EF=3，則BD的長為()A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【分析】由題意可得EF是△OAB的中位線,由此推出OB,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可得出BD的長．【解析】∵點(diǎn)E,F分別是AB,AO的中點(diǎn),連接EF,EF=3,∴EF是△OAB的中位線,則OB=2EF=6．∵在?ABCD中,∴BD=2OB=12．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查中位線的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì),關(guān)鍵在于熟練掌握基礎(chǔ)知識并靈活使用．鞏固訓(xùn)練36．如圖中，是角平分線，交于E，交于F，若，那么四邊形的周長為．

【答案】16【分析】由角平分線的定義，可得，進(jìn)而可得，由平行四邊形的性質(zhì)可得答案．【解析】解：，，四邊形是平行四邊形，，，，，平行四邊形是菱形．四邊形周長為．故答案為：16．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定和平行四邊形的性質(zhì)．運(yùn)用了菱形的判定方法“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”．37．如圖，兩張寬均為的矩形紙條交叉重疊在一起，重疊的部分為四邊形．若測得，則四邊形的周長為cm．【答案】20【分析】作于R，于S，連接、交于點(diǎn)O，首先根據(jù)題意證明出四邊形是菱形，然后根據(jù)菱形的性質(zhì)求解即可．【解析】解：作于R，于S，連接、交于點(diǎn)O．由題意知：，，∴四邊形是平行四邊形，∵兩個矩形等寬，∴，∵，∴，∴平行四邊形是菱形，∴，∴四邊形D的周長為，故答案為：20．【點(diǎn)睛】此題考查了菱形的性質(zhì)和判定，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)和判定．38．如圖，已知四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點(diǎn)，連接，若，則的長為．

【答案】【分析】四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點(diǎn)，，如圖所示，過點(diǎn)作于，交于，與交于點(diǎn)，可證，，根據(jù)勾股定理即可求解．【解析】解：∵四邊形和四邊形均為正方形，且是的中點(diǎn)，，∴，∴在中，，如圖所示，過點(diǎn)作于，交于，與交于點(diǎn)，

∵四邊形為正方形，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，，即為中點(diǎn)，同理，可證，∴，∴在中，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形與直角三角形勾股定理的綜合，掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．39．如圖，菱形的對角線，相交于點(diǎn)O，，，與交于點(diǎn)F．若，，則菱形的面積為．【答案】24【分析】由菱形性質(zhì)結(jié)合平行條件可證是矩形，得，由勾股定理求出，進(jìn)而根據(jù)對角線求菱形面積．【解析】解：菱形中，，∵，∴四邊形是矩形∴中，∴∴菱形的面積為故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．如圖，在中，，以斜邊為邊向外作正方形，且對角線交于點(diǎn)O，連接．若，則另一條直角邊的長為．【答案】5【分析】過O作，過A作，可得四邊形為矩形，推出，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，求出，根據(jù)證，推出，得出等腰三角形三角形，根據(jù)勾股定理求出，求出，即可求出答案．【解析】解：過O作于F，過A作于M，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，∵四邊形為正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形，勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理的能力，有一定的難度．41．如圖，在正方形中，點(diǎn)在對角線上，分別為垂足，連結(jié)，若，則（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)即可得到四邊形是矩形，四邊形是正方形，再利用矩形和正方形的性質(zhì)得到和，進(jìn)而得到，從而得到的長度．【解析】解：延長于交于點(diǎn)，∵在正方形中，∴，，，∴，∴，∵為垂足，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，，四邊形是正方形，∴，∴，∴在和中，，∴，∴，∵，∴．故選．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型九特殊平行四邊形綜合解答題例題42．如圖，在菱形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊上，且．求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)和三角形全等的判定，熟練掌握三角形全等的判定是關(guān)鍵．根據(jù)菱形性質(zhì)和三角形全等的判定，證明即可．【解析】證明：∵為菱形，∴，在和中，，∴，∴．鞏固訓(xùn)練43．如圖，在正方形中，點(diǎn)、分別在、上，且，連接、，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得，，再結(jié)合，即可證明．【解析】證明：∵四邊形是正方形，∴，，∵，∴∴.44．如圖，在矩形中，是的中點(diǎn)，連接，．(1)求證：；(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定；（1）結(jié)合矩形的性質(zhì)，證明，即可得證；（2）根據(jù)題意得出，是等腰直角三角形，根據(jù)，，得出，即可求解．【解析】（1）證明：∵四邊形為矩形，，．，．．（2），，又，是等腰直角三角形，．在矩形中，，是等腰直角三角形．．同理，．在矩形中，，．45．如圖，在矩形中，，分別是邊，上的點(diǎn)，矩形的對角線交線段于點(diǎn)，連接，，，且，平分．

(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求菱形的面積．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查矩形，菱形，勾股定理的知識，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理的運(yùn)用，即可．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，則，得到；根據(jù)，平行四邊形的判定，則四邊形是平行四邊形，再根據(jù)平分，等量代換，則，最后根據(jù)等角對等邊，菱形的判定，即可；（2）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，求出，根據(jù)勾股定理求出，設(shè)，根據(jù)勾股定理求出的值，再根據(jù)菱形的面積公式，即可．【解析】（1）∵四邊形是矩形，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵平分，∴，∴，∴，∴平行四邊形是菱形．（2）∵四邊形是矩形，點(diǎn)是對角線的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，設(shè)，∴，在直角三角形中，，∴，解得：，∴，∴菱形的面積為：．46．如圖，四邊形ABCD是正方形，E、F分別是DC和CB的延長線上的點(diǎn)，且DE＝BF，連接AE，AF，EF．(1)求證：△ADE≌△ABF；(2)若BC＝8，DE＝6，求EF的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定與性質(zhì)得出答案；（2）首先利用去等三角形的性質(zhì)得出CE，CF的長，再利用勾股定理得出答案．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADE＝∠ABC＝90°＝∠ABF，AD=AB在△ADE和△ABF中，，∴△ADE≌△ABF（SAS）；（2）解：∵△ADE≌△ABF，DE＝6，∴BF＝DE＝6，∵BC＝DC＝8，∴CE＝8﹣6＝2，CF＝8+6＝14，在Rt△FCE中，EF＝＝＝10．【點(diǎn)睛】此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理，正確應(yīng)用正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．47．如圖，在矩形ABCD中，cm，cm，點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)A運(yùn)動，運(yùn)動到A停止，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動到點(diǎn)C即停止，點(diǎn)P，Q的速度都是1cm/s．連接PQ，AQ，CP．設(shè)點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為ts．(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形；(2)當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形；(3)分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【答案】(1)當(dāng)時，四邊形ABQP是矩形(2)當(dāng)時，四邊形AQCP是菱形(3)菱形AQCP周長為cm；菱形AQCP面積為cm2【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和判定定理列出一元一次方程并求解即可．（2）根據(jù)勾股定理求出AQ的長度，根據(jù)菱形的判定定理列出方程并求解即可．（3）根據(jù)（2）中結(jié)果求出CQ的長度，再根據(jù)菱形的周長公式和面積公式求解即可．【解析】（1）解：根據(jù)矩形的判定定理確定當(dāng)AP=BQ時，四邊形ABQP是矩形．∵點(diǎn)P，Q的速度都是，點(diǎn)P，Q運(yùn)動的時間為．∴，．∵矩形ABCD中，，∴．∴．∴t