2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第一章集合與常用邏輯用語第三節(jié)簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞全稱量詞與存在量詞教師文檔教案文北師大版

PAGE第三節(jié)簡潔的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第7頁[基礎(chǔ)梳理]1．命題p且q，p或q，非p的真假推斷pqp且qp或q非p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全稱量詞與全稱命題(1)“全部”“每一個”“任何”“隨意”“一切”都是在指定范圍內(nèi)，表示整體或全部的含義，這樣的詞叫作全稱量詞．(2)含有全稱量詞的命題，叫作全稱命題．3．存在量詞與特稱命題(1)“有些”“有一個”“存在”都有表示個別或一部分的含義，這樣的詞叫作存在量詞．(2)含有存在量詞的命題叫作特稱命題．1．判定全稱命題為真，需證明對隨意x∈M，p(x)恒成立；判定全稱命題為假，我們只需找到一個x∈M，使p(x)不成馬上可．2．判定特稱命題為真，只需找到一個x∈M，使p(x)成馬上可；判定特稱命題為假，需證明對隨意x∈M，p(x)均不成立．4．全稱命題與特稱命題的否定(1)要說明一個全稱命題是錯誤的，只需找出一個反例就可以了，事實上是要說明這個全稱命題的否定是正確的．全稱命題的否定是特稱命題．(2)要說明一個特稱命題“存在一些對象滿意某一性質(zhì)”是錯誤的，就要說明全部的對象都不滿意這一性質(zhì)．事實上是要說明這個特稱命題的否定是正確的，特稱命題的否定是全稱命題．1．一種關(guān)系邏輯聯(lián)結(jié)詞與集合的關(guān)系：“或、且、非”三個邏輯聯(lián)結(jié)詞，對應(yīng)著集合運算中的“并、交、補”，因此，經(jīng)常借助集合的“并、交、補”的意義來解答由“或、且、非”三個聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題問題．2．兩類否定(1)非(p且q)?(非p)或(非q)．(2)非(p或q)?(非p)且(非q)．3．三句口決p且q全真為真，p或q有真即真，非p與p真假相反．[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：復(fù)合命題真假)已知p：2是偶數(shù)，q：2是質(zhì)數(shù)，則命題非p，非q，p或q，p且q中真命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．4答案：B2．(基礎(chǔ)點：特稱命題的否定)設(shè)命題p：存在n∈N，n2＞2n，則非p為()A．隨意n∈N，n2＞2nB．存在n∈N，n2≤2nC．隨意n∈N，n2≤2nD．存在n∈N，n2＝2n答案：C3．(基礎(chǔ)點：全稱命題的否定)若命題p：隨意x∈R，x2＋2x＋2≤0，其非p為()A．隨意x∈R，x2＋2x＋2＞0B．存在x∈R，x2＋2x＋2＞0C．隨意x∈R，x2＋2x＋2≥0D．存在x∈R，x2＋2x＋2≤0答案：B4．(易錯點：含有量詞命題的真假)給出下列命題：①隨意x∈N，x3＞x2；②全部可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；③存在x∈R，x2－x＋1≤0；④存在一個四邊形，它的對角線相互垂直．則以上命題的否定中，真命題的序號為________．答案：①②③授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第8頁考點一含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假挖掘1推斷復(fù)合命題的真假/自主練透[例1](1)設(shè)有下面四個命題p1：若復(fù)數(shù)z滿意eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復(fù)數(shù)z滿意z2∈R，則z∈R；p3：若復(fù)數(shù)z1，z2滿意z1z2∈R，則z1＝eq\o(z,\s\up6(－))2；p4：若復(fù)數(shù)z∈R，則eq\o(z,\s\up6(－))∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4[解析]設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對于p1，∵eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命題；對于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命題；對于p3，設(shè)z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠eq\o(z,\s\up6(－))2，∴p3不是真命題；對于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴eq\o(z,\s\up6(－))＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命題．故選B.[答案]B(2)(2024·太原模擬)已知命題p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命題q：若a＜b，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，則下列命題中為真命題的是()A．p且q B．p且(非q)C．(非p)且q D．(非p)且(非q)[解析]x2－x＋1＝(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)≥eq\f(3,4)＞0，所以存在x∈R，使x2－x＋1≥0成立，故p為真命題，非p為假命題，又易知命題q為假命題，所以非q為真命題，由復(fù)合命題真假推斷的真值表知p且(非q)為真命題，故選B.[答案]B[破題技法]復(fù)合命題的真假推斷方法解讀適合題型干脆法(1)確定這個命題的結(jié)構(gòu)及組成這個命題的每個簡潔命題；(2)推斷每個簡潔命題的真假；(3)依據(jù)真值表推斷原命題的真假能夠順當(dāng)分解為簡潔命題轉(zhuǎn)化法依據(jù)原命題與逆否命題的等價性，推斷原命題的逆否命題的真假性原命題的真假性不易推斷[拓展]含邏輯聯(lián)結(jié)詞命題真假的等價關(guān)系(1)p或q真?p，q至少一個真?(非p)且(非q)假．(2)p或q假?p，q均假?(非p)且(非q)真．(3)p且q真?p，q均真?(非p)或(非q)假．(4)p且q假?p，q至少一個假?(非p)或(非q)真．(5)非p真?p假；非p假?p真．挖掘2利用復(fù)合命題真假求參數(shù)/互動探究[例2](2024·湖北武漢模擬)已知命題p：關(guān)于x的方程x2－ax＋4＝0有實根；命題q：關(guān)于x的函數(shù)y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞)上是增函數(shù)．若p或q是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________．[解析]若命題p是真命題，則Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；若命題q是真命題，則－eq\f(a,4)≤3，即a≥－12.因為p或q是真命題，所以a∈R，即a的取值范圍是(－∞，＋∞)．[答案](－∞，＋∞)[破題技法]依據(jù)復(fù)合命題的真假求參數(shù)范圍的步驟(1)先求出每個簡潔命題是真命題時參數(shù)的取值范圍；(2)再依據(jù)復(fù)合命題的真假確定各個簡潔命題的真假狀況(有時不肯定只有一種狀況)；(3)最終由(2)的結(jié)論求出滿意條件的參數(shù)取值范圍．1．在例2條件下，若p且q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：∵p且q為真命題，∴p和q均為真命題，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a≤－4或a≥4，,a≥－12.))∴a的取值范圍為[－12，－4]∪[4，＋∞)．2．在例2條件下，若p或q為真命題，p且q為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解析：由p或q為真命題，p且q是假命題知，命題p和q一真一假．若p真q假，則a＜－12；若p假q真，則－4＜a＜4.故a的取值范圍是(－∞，－12)∪(－4，4)．考點二全稱命題、特稱命題挖掘1全稱命題、特稱命題的真假推斷/自主練透[例1](1)下列命題中的假命題是()A．隨意x∈R，x2≥0B．隨意x∈R，2x－1＞0C．存在x∈R，lgx＜1D．存在x∈R，sinx＋cosx＝2[解析]對于sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))≤eq\r(2)＜2，D為假命題．[答案]D(2)已知命題p：存在x∈R，x2－x＋1≥0；命題q：若a2<b2，則a<b.下列命題為真命題的是()A．p且q B．p且(非q)C．(非p)且q D．(非p)且(非q)[解析]∵方程x2－x＋1＝0的根的判別式Δ＝(－1)2－4＝－3<0，又對于二次函數(shù)y＝x2－x＋1，其圖像開口向上，∴x2－x＋1>0恒成立，∴p為真命題．對于命題q，取a＝2，b＝－3，22<(－3)2，而2>－3，∴q為假命題，非q為真命題．因此p且(非q)為真命題．選B.[答案]B[破題技法]全稱命題與特稱命題真假的推斷方法命題名稱真假推斷方法一推斷方法二全稱命題真全部對象使命題真否定為假假存在一個對象使命題假否定為真特稱命題真存在一個對象使命題真否定為假假全部對象使命題假否定為真挖掘2全稱命題、特稱命題的否定/互動探究[例2](1)命題“隨意x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”A．隨意x∈(－∞，0)，x3＋x＜0B．隨意x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x＜0D．存在x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0[答案]C(2)命題“存在x∈(0，＋∞)，lnx＝x－1”A．隨意x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1B．隨意x?(0，＋∞)，lnx＝x－1C．存在x∈(0，＋∞)，lnx≠x－1D．存在x?(0，＋∞)，lnx＝x－1[解析]該命題的否定是將存在量詞改為全稱量詞，等號改為不等號即可，故選A.[答案]A[破題技法]全稱命題與特稱命題的否定(1)改寫量詞：確定命題所含量詞的類型，省去量詞的要結(jié)合命題的含義加上量詞，再對量詞進行改寫．(2)否定結(jié)論：對原命題的結(jié)論進行否定．考點三依據(jù)量詞的意義求參數(shù)挖掘1“隨意”恒成立問題/互動探究[例1](1)對于隨意實數(shù)x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4＜0恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(－∞，2]C．(－2，2] D．(－2，2)[解析]當(dāng)a＝2時，有－4＜0，對隨意x∈R恒成立．當(dāng)a≠2時，有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2＜0，,Δ＝[－2（a－2）]2－4（a－2）×（－4）＜0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＜2，,－2＜a＜2，))∴－2＜a＜2.綜上可得－2＜a≤2.故選C.[答案]C(2)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ex,x)－mx(e為自然對數(shù)的底數(shù))，若f(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，2) B．(－∞，e)C．(－∞，eq\f(e2,4)) D．(eq\f(e2,4)，＋∞)[解析]∵f(x)＝eq\f(ex,x)－mx＞0在(0，＋∞)上恒成立，∴m＜eq\f(ex,x2)在(0，＋∞)上恒成立，令g(x)＝eq\f(ex,x2)，x＞0，∴g′(x)＝eq\f(（x2－2x）ex,x4)＝eq\f(（x－2）ex,x3)，當(dāng)0＜x＜2時，g′(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x＞2時，g′(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增．則當(dāng)x＝2時，g(x)取得最小值，且最小值為g(2)＝eq\f(e2,4)，∴m＜eq\f(e2,4).則實數(shù)m的取值范圍是(－∞，eq\f(e2,4))．故選C.[答案]C[破題技法]對于含量詞的命題中求參數(shù)的取值范圍的問題，可依據(jù)命題的含義，利用函數(shù)值域(或最值)解決．挖掘2“存在”有解問題/互動探究[例2]若命題“存在x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命題，則實數(shù)a[解析]由題意得Δ＝(a－1)2－4＞0，∴a＞3或a＜－1.[答案](－∞，－1)∪(3，＋∞)[破題技法]單變量對“隨意”恒成立，“存在”成立問題(1)隨意x∈[m，n]，a＞f(x)恒成立?a＞f(x)max，a＜f(x)恒成立?a＜f(x)min.(