浙江省2024年全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽初賽試題 含解析

2024年全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)初賽試題本卷共15道題目，12道填空題，3道解答題，所有答案填寫在答題紙上，滿分150分一、填空題（每小題8分，共計(jì)96分）1．設(shè)集合，集合。若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______．2．設(shè)函數(shù)滿足，則這樣的函數(shù)有______個(gè)．3．函數(shù)的最大值與最小值之積為______．4．已知數(shù)列滿足：，，，則通項(xiàng)______．5．已知四面體的外接球半徑為1，，，則球心到平面的距離為______．6．已知復(fù)數(shù)滿足，則______．7．已知平面上單位向量垂直，為任意單位向量，且存在，使得向量與向量垂直，則的最小值為______．8．若對所有大于2024的正整數(shù)，成立，則______．9．設(shè)實(shí)數(shù)，且或，則的最小值為______．10．在平面直角坐標(biāo)系上，橢圓的方程為，為的左焦點(diǎn)；圓的方程為，為的圓心。直線與橢圓和圓相切于同一點(diǎn)。則當(dāng)最大時(shí)，實(shí)數(shù)______．11．設(shè)為正整數(shù)，且，則______．12．設(shè)整數(shù)，從編號的卡片中有放回地等概率抽取，并記錄下每次的編號。若1，2均出現(xiàn)或3，4均出現(xiàn)就停止抽取，則抽取卡片數(shù)的數(shù)學(xué)期望為______．二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計(jì)54）13．正實(shí)數(shù)滿足；實(shí)數(shù)滿足，，定義函數(shù)，試問，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，存在使得定義在上的函數(shù)恰在兩點(diǎn)處達(dá)到最小值？14．設(shè)集合，集合的個(gè)499元子集滿足：對中任一二元子集，均存在，使得。求的最小值。15．設(shè)，均為整系數(shù)多項(xiàng)式，且。若對無窮多個(gè)素?cái)?shù)，存在有理根，證明：必存在有理根。

2024年全國中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競賽浙江賽區(qū)初賽試題參考答案和評分標(biāo)準(zhǔn)本卷共15道題目，12道填空題，3道解答題，所有答案填寫在答題紙上，滿分150分一、填空題（每小題8分，共計(jì)96分）1．答案解集合，要使，則，解得。2．答案：10解令，則。對以下三種情況都滿足條件；；，共3種。同理對，有3種情況；，也有3種情況。又，，顯然滿足條件。所以滿足已知條件的函數(shù)共有個(gè)。（可以看出這種映射的限制僅在值域上，因此也可對值域大小分類討論。）3．答案：解令，，原式變形，當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，。所以的最大、最小值分別為，其積為。4．答案：解將已知條件變形得，將上式從1到疊加得到，即。5．答案：解因?yàn)榍蛐脑谄矫嫔系耐队熬褪堑耐庑?，由已知求得的外接圓半徑為，所以球心到平面的距離為。6．答案：解由已知得，解得。顯然這兩個(gè)解滿足題設(shè)條件。7．答案：解令，，，，于是，。由向量與向量垂直，得到。，當(dāng)，時(shí)，取到最小值。注：本題由向量的幾何意義也直接得到答案。8．答案：解因?yàn)椋?，，設(shè)，為正整數(shù)，那么，以及得到為正整數(shù)。所以，。9．答案：解令，則，，。當(dāng)時(shí)，，即。當(dāng)時(shí)，，即。當(dāng)，，時(shí)。所以的最小值為。10．答案：解因?yàn)樵跈E圓上，所以直線的方程為，即。由圓的性質(zhì)可知，直線與直線垂直，所以圓心坐標(biāo)滿足，即圓心坐標(biāo)軌跡方程為，記此直線為。要使最大，則過定點(diǎn)和定點(diǎn)所作的圓與直線相切于。設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)。由切割線定理可知，，即有將代入上式解得（不合，舍去）或于是解得，11．答案：9解：，解得。（以上用到了，．）12．答案：解記為初始狀態(tài)，含之一；含之一；含之一；含之一。記為從開始到達(dá)或所需要得次數(shù)，其中為之一。由定義，并得到以下遞推關(guān)系，，，解得：，，．二、解答題（13題滿分14分，14、15題滿分各20分，合計(jì)54）13．解對的取值分類討論。（1）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，最小值點(diǎn)有無窮多個(gè)，不合，舍去。（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，最小值點(diǎn)有無窮多個(gè)，不合，舍去。（3）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，最小值點(diǎn)唯一或無窮多個(gè)，不合，舍去。（4）當(dāng)時(shí)，此時(shí)，最小值點(diǎn)唯一或無窮多個(gè)，不合，舍去。（以上四類7分）（5）當(dāng)時(shí)（指出該情況10分）此時(shí)，恰有兩個(gè)最大值點(diǎn)的充要條件為解得。14．證明：。首先易用抽屜原理證明，每個(gè)元素均在中至少出現(xiàn)3次，所以。下面進(jìn)行構(gòu)造：令，其余元素平均分成四個(gè)子集。取所以的最小值為6。15．證明記的有理根為，。由，得到，所以有界。若子列，則必有。下證可為有理數(shù)。設(shè)，；，，，由得到。記，為整數(shù)。（1）若