2025屆上海市靜安區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

2025屆上海市靜安區(qū)數(shù)學(xué)高二上期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若函數(shù)，則單調(diào)增區(qū)間為（）A. B.C. D.2．關(guān)于實(shí)數(shù)a，b，c，下列說法正確的是（）A.如果，則，，成等差數(shù)列B.如果，則，，成等比數(shù)列C.如果，則，，成等差數(shù)列D.如果，則，，成等差數(shù)列3．已知雙曲線（，）的左、右焦點(diǎn)分別為，，.若雙曲線M的右支上存在點(diǎn)P，使，則雙曲線M的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.4．已知雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為，則（）A.5 B.25C. D.5．若函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知平面，的法向量分別為，，且，則（）A. B.C. D.7．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，為右頂點(diǎn)，是雙曲線上的點(diǎn)，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．過點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A. B.C. D.9．設(shè)雙曲線與冪函數(shù)的圖象相交于，且過雙曲線的左焦點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象相切于，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.11．已知△的頂點(diǎn)B，C在橢圓上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△的周長是（）A. B.C.8 D.1612．已知拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，準(zhǔn)線為l，若l與雙曲線的兩條漸近線所圍成的三角形面積為，則雙曲線C的離心率為（）A.3 B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)x軸反射，其反射光線所在直線與圓相切，則反射光線所在的直線方程為____.14．直線與直線平行，則m的值是__________15．在數(shù)列中，，，，若數(shù)列是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列，則______16．設(shè)橢圓，點(diǎn)在橢圓上，求該橢圓在P處的切線方程______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)在處有極值.（1）求常數(shù)a，b的值；（2）求函數(shù)在上的最值.18．（12分）如圖所示，平面ABCD，四邊形AEFB為矩形，，，（1）求證：平面ADE；（2）求平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值19．（12分）已知命題p：方程的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線；命題q：方程無實(shí)根.若p或q為真，￢q為真，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，O為底面正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，E為PD的中點(diǎn)，且PA=AD.（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求直線BD與平面EAC所成角的正弦值.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，且橢圓C經(jīng)過點(diǎn).（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)M作兩條不同的直線與橢圓C分別交于點(diǎn)A，B（均異于點(diǎn)M）.若∠AMB的角平分線與y軸平行，試探究直線AB的斜率是否為定值？若是，請(qǐng)給予證明；若不是，請(qǐng)說明理由.22．（10分）已知橢圓的離心率為，直線與橢圓C相切于點(diǎn)（1）求橢圓C的方程；（2）已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M，N，與直線交于點(diǎn)Q（P，Q，M，N均不重合），記的斜率分別為，若．證明：為定值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，令解不等式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)，所以，令，得，所以的單調(diào)增區(qū)間為，故選：C.2、B【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合取特值、推理計(jì)算等方法逐一分析各個(gè)選項(xiàng)并判斷即可作答.【詳解】對(duì)于A，若，取，而，即，，不成等差數(shù)列，A不正確；對(duì)于B，若，則，即，，成等比數(shù)列，B正確；對(duì)于C，若，取，而，，，不成等差數(shù)列，C不正確；對(duì)于D，a，b，c是實(shí)數(shù)，若，顯然都可以為負(fù)數(shù)或者0，此時(shí)a，b，c無對(duì)數(shù)，D不正確.故選：B3、A【解析】利用三角形正弦定理結(jié)合，用a，c表示出，再由點(diǎn)P的位置列出不等式求解即得.【詳解】依題意，點(diǎn)P不與雙曲線頂點(diǎn)重合，在中，由正弦定理得：，因，于是得，而點(diǎn)P在雙曲線M的右支上，即，從而有，點(diǎn)P在雙曲線M的右支上運(yùn)動(dòng)，并且異于頂點(diǎn)，于是有，因此，，而，整理得，即，解得，又，故有，所以雙曲線M的離心率的取值范圍為.故選：A4、B【解析】由漸近線方程得到，焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：，利用點(diǎn)到直線距離公式即得解【詳解】由題意，雙曲線故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，漸近線方程為：焦點(diǎn)到它的一條漸近線的距離為：解得：故選：B5、D【解析】由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，令，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合即可求解【詳解】解：由題意，即在區(qū)間上有兩個(gè)異號(hào)零點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，則，令，得，令，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又時(shí)，，時(shí)，，且，所以，即，所以的范圍故選：D6、D【解析】由題得，解方程即得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以所以，所以，所?故選：D7、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點(diǎn)，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.8、C【解析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率乘積為，可以直接求出所求直線的斜率，再根據(jù)點(diǎn)斜式求出直線方程，最后化成一般式方程即可.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，故所求直線的斜率等于，所求直線的方程為，即，故選：C9、B【解析】設(shè)直線方程為，聯(lián)立，利用判別式可得，進(jìn)而可求，再結(jié)合雙曲線的定義可求，即得.【詳解】可設(shè)直線方程為，聯(lián)立，得，由題意得,∴，，∴，即，由雙曲線定義得，.故選：B.10、C【解析】依據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義去求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程即可解決.【詳解】則，又則函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即故選：C11、D【解析】根據(jù)橢圓定義求解【詳解】由橢圓定義得△的周長是，故選：D.12、C【解析】先由已知結(jié)合拋物線的定義求出，從而可得拋物線的準(zhǔn)線方程，則可求出準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，然后由題意可得，進(jìn)而可求出雙曲線的離心率詳解】依題意，拋物線準(zhǔn)線，由拋物線定義知，解得，則準(zhǔn)線，雙曲線C的兩條漸近線為，于是得準(zhǔn)線l與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，原點(diǎn)為O，則面積，雙曲線C的半焦距為c，離心率為e，則有，解得故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解析】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,即反射光線過點(diǎn),分別討論反射光線的斜率存在與不存在的情況,進(jìn)而求解即可【詳解】點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,（1）設(shè)反射光線的斜率為,則反射光線的方程為,即,因?yàn)榉瓷涔饩€與圓相切,所以圓心到反射光線的距離,即,解得,所以反射光線方程為:；（2）當(dāng)不存在時(shí),反射光線,此時(shí),也與圓相切,故答案為:或【點(diǎn)睛】本題考查直線在光學(xué)中的應(yīng)用,考查圓的切線方程14、【解析】利用直線的平行條件即得.詳解】∵直線與直線平行，∴，∴.故答案為：.15、【解析】根據(jù)所給條件可歸納出當(dāng)時(shí)，，利用迭代法即可求解.【詳解】因?yàn)?，，，所以，即，，且是遞減數(shù)列，數(shù)列是遞增數(shù)列或（舍去），，，故可得當(dāng)時(shí)，，故答案為：16、【解析】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，代入橢圓方程中整理化簡，令判別式等于零，可求出的值，從而可求得切線方程【詳解】由題意可知切線的斜率存在，所以設(shè)切線方程為，將代入中得，，化簡整理得，令，化簡整理得，即，解得，所以切線方程為，即，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為-1，最值為-5.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)建立方程，求解方程并驗(yàn)證作答.(2)利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)在上的單調(diào)性即可計(jì)算作答.【小問1詳解】依題意：，則，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在處有極值，所以.【小問2詳解】由(1)知：，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因此，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，于是得，而，，則，所以函數(shù)在上的最大值為-1，最值為-5.18、（1）見解析（2）【解析】（1）根據(jù)，，從而證明平面平面ADE，從而平面ADE。（2）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的空間坐標(biāo)，根據(jù)向量法求解即可。【詳解】（1）∵四邊形ABEF為矩形又平面ADE，AE平面ADE平面ADE又，同理可得：平面ADE又，BF，BC平面BCF∴平面平面ADE又CF平面BCF平面ADE（2）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，,,設(shè)是平面CDF的一個(gè)法向量，則即令，解得又是平面AEFB的一個(gè)法向量，∴平面CDF與平面AEFB所成銳二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何線面平行證明和二面角求法，線面平行可先證面面平行得到，屬于簡單題目。19、.【解析】計(jì)算命題p：；命題；根據(jù)p或q為真，￢q為真得到真假，計(jì)算得到答案.【詳解】若方程的曲線是焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，則滿足，即，即，即若方程無實(shí)根，則判別式，即，得，即，即若為真，則為假，同時(shí)若或?yàn)檎?，則為真命題，即，得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假計(jì)算參數(shù)范圍，根據(jù)條件判斷出真假是解題的關(guān)鍵.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）利用線面平行的判斷定理，證明線線平行，即可證明；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求平面的法向量，利用公式，即可求解.【小問1詳解】連結(jié)EO，由題意可得O為BD的中點(diǎn)，又E是PD的中點(diǎn)，∴PB∥EO，又∵EO平面EAC，PB平面EAC，∴PB∥平面EAC；【小問2詳解】如圖，以A為原點(diǎn)，AB、AD、AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AD=2，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，1，1)，∴=(-2，2，0)，=(0，1，1)，=(2，2，0)，設(shè)平面EAC的法向量為=(x，y，z)，則，即，即，令y=1得x=-1，z=-1，∴平面EAC的一個(gè)法向量為=(-1，1，-1)，∴設(shè)直線BD與平面EAC所成的角為θ，則sinθ=∴直線BD與平面EAC所成的角的正弦值.21、（1）（2）是，證明見解析【解析】（1）根據(jù)離心率及橢圓上的點(diǎn)可求解；（2）根據(jù)題意分別設(shè)出直線MA、MB，與橢圓聯(lián)立后得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，再通過斜率公式計(jì)算即可證明.【小問1詳解】由，得，所以a2=9b2①，又橢圓過點(diǎn)，則②，由①②解得a=6，b=2，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】設(shè)直線MA的斜率為k，點(diǎn)，因?yàn)椤螦MB的平分線與y軸平行，所以直線MA與MB的斜率互為相反數(shù)，則直線MB的斜率為-k.聯(lián)立直線MA與橢圓方程，得整理，得，所以，同理可得，所以，又所以為定值.22、（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)橢圓離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解方程組可得