2025屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一數學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆湖南省長沙市寧鄉(xiāng)市高一數學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．下列函數，其中既是偶函數又在區(qū)間上單調遞減的函數為A. B.C. D.2．定義在實數集上的奇函數恒滿足，且時，，則（）A. B.C.1 D.3．由直線上的點向圓引切線，則切線長的最小值為（）A. B.C. D.4．已知，則的值為A. B.C. D.5．函數f(x)＝若f(x)＝2，則x的值是()A. B.±C.0或1 D.6．在中，，，若點滿足，則（）A. B.C. D.7．函數，，則函數的圖象大致是（）A. B.C. D.8．為了得到函數的圖象，只需把函數的圖象上所有點（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向右平移個單位長度9．函數的零點在A. B.C. D.10．已知函數是定義域為奇函數，當時，，則不等式的解集為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，均為銳角，，，則的值為______12．已知函數，則函數f（x）的值域為______．13．函數f(x)為奇函數，且x>0時，f(x)＝＋1，則當x<0時，f(x)＝________.14．已知函數,若方程有四個不同的解,且,則的最小值是______,的最大值是______.15．=_______.16．如圖所示，正方體的棱長為1，B′C∩BC′＝O，則AO與A′C′所成角的度數為________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．設是函數定義域內的一個子集，若存在，使得成立，則稱是的一個“弱不動點”，也稱在區(qū)間上存在“弱不動點”．設函數，（1）若，求函數的“弱不動點”；（2）若函數在上不存在“弱不動點”，求實數的取值范圍18．已知（1）化簡；（2）若是第三象限角，且，求的值19．在四面體B-ACD中，是正三角形，是直角三角形，，.（1）證明:;（2）若E是BD的中點，求二面角的大小.20．已知直線（1）求與垂直，且與兩坐標軸圍成的三角形面積為4直線方程：（2）已知圓心為，且與直線相切求圓的方程；21．已知函數，且.（1）求實數及的值；（2）判斷函數的奇偶性并證明.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】分別考查函數的奇偶性和函數的單調性即可求得最終結果.【詳解】逐一考查所給的函數的性質：A.，函數為偶函數，在區(qū)間上單調遞減；B.，函數為非奇非偶函數，在區(qū)間上單調遞增；C.，函數為奇函數，在區(qū)間上單調遞減；D.，函數為偶函數，在區(qū)間上單調遞增；據此可得滿足題意的函數只有A選項.本題選擇A選項.【點睛】本題主要考查函數的單調性，函數的奇偶性等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.2、B【解析】根據函數奇偶性和等量關系，求出函數是周期為4的周期函數，利用函數的周期性進行轉化求解即可【詳解】解：奇函數恒滿足，，即，則，即，即是周期為4的周期函數，所以，故選：B3、B【解析】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，求出m，由勾股定理可求切線長的最小值【詳解】要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小，此最小值即為圓心（4，﹣2）到直線的距離m，由點到直線的距離公式得m==4，由勾股定理求得切線長的最小值為=故選B【點睛】本題考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式、勾股定理的應用．解題的關鍵是理解要使切線長最小，必須直線y=x+2上的點到圓心的距離最小4、C【解析】利用同角三角函數的基本關系把原式的分母“1”變?yōu)閟in2α+cos2α，然后給分子分母求除以cos2α，把原式化為關于tanα的關系式，把tanα的值代入即可求出值【詳解】因為tanα＝3，所以故選C【點睛】本題是一道基礎題，考查學生靈活運用同角三角函數間的基本關系化簡求值的能力，做題的突破點是“1”的靈活變形5、A【解析】根據函數值為2，分類討論即可.【詳解】若f(x)＝2，①x≤－1時，x＋2＝2，解得x＝0(不符合，舍去)；②－1＜x＜2時，，解得x＝(符合)或x＝(不符，舍去)；③x≥2時，2x＝2，解得x＝1(不符，舍去).綜上，x＝.故選：A.6、C【解析】由題可得，進一步化簡可得.【詳解】，，.故選：C.7、C【解析】先判斷出為偶函數，排除A;又，排除D;利用單調性判斷B、C.【詳解】因為函數，，所以函數.所以定義域為R.因為，所以為偶函數.排除A;又，排除D;因為在為增函數，在為增函數，所以在為增函數.因為為偶函數，圖像關于y軸對稱，所以在為減函數.故B錯誤，C正確.故選：C8、D【解析】利用三角函數圖象的平移變換及誘導公式即可求解.【詳解】將函數的圖象向右平移個單位長度得到.故選：D.9、B【解析】利用零點的判定定理檢驗所給的區(qū)間上兩個端點的函數值，當兩個函數值符號相反時，這個區(qū)間就是函數零點所在的區(qū)間．【詳解】函數定義域為，，，，，因為，根據零點定理可得，在有零點，故選B．【點睛】本題考查函數零點的判定定理，本題解題的關鍵是看出函數在所給的區(qū)間上對應的函數值的符號，此題是一道基礎題.10、A【解析】根據題意，由函數的解析式分析可得在為增函數且，結合函數的奇偶性分析可得在上為增函數，又由，則有，解可得的取值范圍，即可得答案.【詳解】根據題意，當時，，則在為增函數且，又由是定義在上的奇函數，則在上也為增函數，則在上為增函數，由，則有，解得：，即不等式的解集為；故選：A【點睛】本題考查函數奇偶性與單調性結合，解抽象函數不等式，有一定難度.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】直接利用兩角的和的正切關系式，即可求出結果【詳解】已知，均銳角，，，則，所以：，故故答案為【點睛】本題主要考查了三角函數關系式的恒等變換，以及兩角和的正切關系式的應用，其中解答中熟記兩角和的正切的公式，準確運算是解答的關鍵，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型12、【解析】求函數的導數利用函數的單調性求值域即可．【詳解】解：函數，，由，解得，此時函數單調遞增由，解得，此時函數單調遞減函數的最小值為（2），（1），（5）最大值為（5），，即函數的值域為：．故答案為．【點睛】本題主要考查函數的值域的求法，利用導數研究函數的單調性是解決本題的關鍵,屬于基礎題．13、【解析】當x<0時，－x>0，∴f(－x)＝＋1，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝,故填.14、①.1②.4【解析】畫出的圖像,再數形結合分析參數的的最小值,再根據對稱性與函數的解析式判斷中的定量關系化簡再求最值即可.【詳解】畫出的圖像有：因為方程有四個不同的解,故的圖像與有四個不同的交點,又由圖,,故的取值范圍是,故的最小值是1.又由圖可知,,,故,故.故.又當時,.當時,,故.又在時為減函數,故當時取最大值.故答案為：(1).1(2).4【點睛】本題主要考查了數形結合求解函數零點個數以及范圍的問題,需要根據題意分析交點間的關系,并結合函數的性質求解.屬于難題.15、##【解析】利用對數的運算法則進行求解.【詳解】.故答案為：.16、30°【解析】∵A′C′∥AC，∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC(或其補角).∵OC?平面BB′C′C，AB⊥平面BB′C′C，∴OC⊥AB.又OC⊥OB，AB∩BO＝B，∴OC⊥平面ABO.又AO?平面ABO，∴OC⊥OA.在Rt△AOC中，，∴∠OAC＝30°.即AO與A′C′所成角度數為30°.點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共面問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）0（2）【解析】（1）解方程可得；（2）由方程在上無解，轉化為求函數的取值范圍，利用換元法求解取值范圍，同時注意對數的真數大于0對參數范圍有限制，從而可得結論【小問1詳解】當時，，由題意得，即，即，得，即，所以函數的“弱不動點”為0【小問2詳解】由已知在上無解，即在上無解，令，得在上無解，即在上無解記，則在上單調遞減，故，所以，或又在上恒成立，故在上恒成立，即在上恒成立，記，則在上單調遞減，故，所以，綜上，實數的取值范圍是18、(1)；(2).【解析】(1)利用誘導公式化簡==；(2)由誘導公式可得，再利用同角三角函數關系求出即可試題解析：（1）（2）∵,∴，又第三象限角，∴，∴點睛：（1）三角函數式化簡的思路：①切化弦，統(tǒng)一名；②用誘導公式，統(tǒng)一角；③用因式分解將式子變形，化為最簡（2）解題時要熟練運用誘導公式和同角三角函數基本關系式，其中確定相應三角函數值的符號是解題的關鍵.19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取AC的中點F,連接DF,BF,由等腰三角形的性質,先證平面BFD,再證；（2）連接FE,由（1）可得,,則即為二面角的平面角,進而求解即可【詳解】（1）取AC的中點F,連接DF,BF,是正三角形,,又是直角三角形,且,,又,平面BFD,平面BFD,平面BFD,又平面BFD,.（2）連接FE,由（1）平面BFD,平面BFD,平面BFD,,,即為二面角的平面角,設,則,,,在中,,,即是直角三角形,∴,故為正三角形,∴,∴二面角的大小為.【點睛】本題考查線線垂直的證明,考查幾何法求二面角,考查運算能力20、（1）或；（2）【解析】分析：（1）由題意，設所求的直線方程為，分離令和，求得在坐標軸上的截距，利用三角形的面積公式，求得的值，即可求解；（2）設圓的半徑為，因為圓與直線相切，列出方程，求得半徑，即可得到圓的標準方程.詳解：（1）∵所求的直線與直線垂直，∴設所求的直線方程為，∵令，得；令，得.∵所求的直線與兩坐標軸圍成的三角形面積為4∴，∴