2025屆河南省舞鋼市第二高級高二數學第一學期期末考試模擬試題含解析

2025屆河南省舞鋼市第二高級高二數學第一學期期末考試模擬試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在數列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為，再在數列插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列.若，則數列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8202．在平面直角坐標系中，拋物線上點到焦點的距離為3，則焦點到準線的距離為（）A. B.C.1 D.3．一條光線從點射出，經軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或4．設為數列的前n項和，，且滿足，若，則（）A.2 B.3C.4 D.55．設橢圓C：的左、右焦點分別為、，P是C上的點，⊥，∠=，則C的離心率為A. B.C. D.6．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.7．是直線與直線互相平行的（）條件A.必要而不充分 B.充分而不必要C.充要 D.既不充分也不必要8．已知在平面直角坐標系中，圓的方程為，直線過點且與直線垂直.若直線與圓交于兩點，則的面積為A.1 B.C.2 D.9．已知函數，要使函數有三個零點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.10．某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現，紅燈持續(xù)時間為40秒．若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為（）A B.C. D.11．已知函數，則（）A. B.0C. D.112．直線關于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知一個樣本數據為3，3，5，5，5，7，7，現在新加入一個3，一個5，一個7得到一個新樣本，則與原樣本數據相比，新樣本數據平均數______，方差______.（“變大”、“變小”、“不變”）14．《周髀算經》是中國最古老的天文學和數學著作，書中提到：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是37.5尺，芒種的日影子長為4.5尺，則立夏的日影子長為___________尺.15．已知雙曲線：的左、右焦點分別為，，為的右支上一點，且，則的離心率為___________.16．若函數在區(qū)間內存在最大值，則實數的取值范圍是____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點為原點，焦點F在x軸的正半軸，F到直線的距離為.點為此拋物線上的一點，.直線l與拋物線交于異于N的兩點A，B，且.（1）求拋物線方程和N點坐標；（2）求證：直線AB過定點，并求該定點坐標.18．（12分）已知函數的圖像在處的切線斜率為，且時，有極值.（1）求的解析式；（2）求在上的最大值和最小值.19．（12分）已知數列滿足，，，.從①，②這兩個條件中任選一個填在橫線上，并完成下面問題.（1）寫出、，并求數列的通項公式；（2）求數列的前項和.20．（12分）如圖，在四棱錐S－ABCD中，SA⊥底面ABCD，底面ABCD是梯形，其中，且.（1）求四棱錐S－ABCD的側面積；（2）求平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.21．（12分）已知等差數列滿足（1）求的通項公式；（2）設，求數列的前n項和22．（10分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】先根據等比數列的通項公式得到，列出數列的前6項，將其中是數列的項的所有數去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數列，所以，則由，得，即數列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數列的項，3、27、243不是數列的項，且，所以數列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.2、D【解析】根據給定條件求出拋物線C的焦點、準線，再利用拋物線的定義求出a值計算作答.【詳解】拋物線的焦點，準線，依題意，由拋物線定義得，解得，所以拋物線焦點到準線的距離為.故選：D3、D【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點，設反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因為光線與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點：1、圓的標準方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關系.4、B【解析】由已知條件可得數列為首項為2，公差為2的等差數列，然后根據結合等差數列的求和公式可求得答案【詳解】在等式中，令，可得，所以數列為首項為2，公差為2的等差數列，因為，所以，化簡得，，解得或（舍去），故選：B5、D【解析】詳解】由題意可設|PF2|＝m，結合條件可知|PF1|＝2m，|F1F2|＝m，故離心率e＝選D.點睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問題其關鍵就是確立一個關于的方程或不等式，再根據的關系消掉得到的關系式，而建立關于的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標的范圍等.6、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.7、B【解析】求出直線與平行的等價條件，再利用充分條件、必要條件的定義判斷作答.【詳解】由解得或，當時，與平行，當時，與平行，則直線與直線平行等價于或，所以是直線與直線互相平行的充分而不必要條件.故選：B8、A【解析】∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點且與直線垂直∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長，又∵坐標原點到的距離為，∴的面積為.考點：1、直線與圓的位置關系；2、三角形的面積公式.9、A【解析】要使函數有三個解，則與圖象有三個交點，數形結合即可求解.【詳解】要使函數有三個解，則與圖象有三個交點，因為當時，，所以，可得在上遞減，在遞增，所以，有最小值，且時，，當趨向于負無窮時，趨向于0，但始終小于0，當時，單調遞減，由圖像可知：所以要使函數有三個零點，則.故選：A10、B【解析】由幾何概型公式求解即可.【詳解】紅燈持續(xù)時間為40秒，則至少需要等待18秒才出現綠燈的概率為，故選：B11、B【解析】先求導，再代入求值.詳解】，所以.故選：B12、C【解析】先聯立方程得，再求得直線的點關于直線對稱點的坐標為，進而根據題意得所求直線過點，，進而得直線方程.【詳解】解：聯立方程得，即直線與直線的交點為設直線的點關于直線對稱點的坐標為，所以，解得所以直線關于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①.不變②.變大【解析】通過計算平均數和方差來確定正確答案.【詳解】原樣本平均數為，原樣本方差為，新樣本平均數為，新樣本方差為.所以平均數不變，方差變大.故答案為：不變；變大14、【解析】利用等差數列的通項公式求出首項和公差，然后求出其中某一項.【詳解】解：由題意得從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數列，設其公差為，解得故立夏的日影子長為尺.故答案為：15、【解析】由雙曲線定義可得a，代入點P坐標可得b，然后可解.【詳解】由題知，故，又點在雙曲線上，所以，解得，所以.故答案為：16、【解析】首先利用導數判斷函數的單調性，再根據函數在開區(qū)間內存在最大值，可判斷極大值點就是最大值點，列式求解.【詳解】由題可知：所以函數在單調遞減，在單調遞增，故函數的極大值為.所以在開區(qū)間內的最大值一定是又，所以得實數的取值范圍是故答案為：【點睛】關鍵點點睛：由函數在開區(qū)間內若存在最大值，即極大值點在區(qū)間內，同時還得滿足極大值點是最大值，還需列不等式，不要忽略這個不等式.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）證明見解析，定點【解析】（1）設拋物線的標準方程為，利用點到直線距離公式可求出，再利用焦半徑公式可求出N點坐標；（2）設直線的方程為，與拋物線聯立，利用韋達定理計算，可得關系，然后代入直線方程可得定點.【小問1詳解】設拋物線的標準方程為，，其焦點為則，∴所以拋物線的方程為.，所以，所以.因為，所以，所以.【小問2詳解】由題意知，直線的斜率不為0，設直線的方程為（），聯立方程得設兩個交點，（，）.所以所以，即整理得，此時恒成立，此時直線l的方程為，可化為，從而直線過定點.18、（1）；（2）最大值為，最小值為.【解析】（1）由題得①，②，解方程組即得解；（2）令解得或，再列表得解.【小問1詳解】解：求導得，因為在出的切線斜率為，則，即①因為時，有極值，則.即②由①②聯立得，所以.【小問2詳解】解：由（1），令解得或，列表如下：極大值極小值所以，在［－3，2］上的最大值為，最小值為.19、（1）條件選擇見解析，，，（2）【解析】（1）選①，推導出數列為等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，并可求得、；選②，推導出數列是等比數列，確定該數列的首項和公比，可求得，可求得，由此可得出、；（2）求得，，分為偶數、奇數兩種情況討論，結合并項求和法以及等比數列求和公式可求得.【小問1詳解】解：若選①，，且，故數列是首項為，公比為的等比數列，，故；若選②，，所以，，且，故數列是以為首項，以為公比的等比數列，所以，，故，所以，，故，.【小問2詳解】解：由（1）可知，則，所以，.當為偶數時，；當為奇數時，.綜上所述，.20、（1）（2）【解析】（1）根據垂直關系依次求解每個側面三角形邊長和面積即可得解；（2）建立空間直角坐標系，利用向量法求解.小問1詳解】由題可得：，則，SA⊥底面ABCD，所以，SA平面SAB，平面SAB⊥底面ABCD，交線，所以BC⊥平面SAB，BC⊥BS，，所以四棱錐的側面積【小問2詳解】以A為原點，建立空間直角坐標系如圖所示：設平面SCD的法向量，，取所以取為平面SAB的的法向量所以平面SCD與平面SAB的夾角的余弦值.21、（1）（2）【解析】（1）設等差數列的公差為d，由題意得列出方程組，可求得的值，代入公式，即可得答案.（2）由（1）可得，利用等比數列的定義，可證數列為等比數列，結合前n項和公式，即可得答案.【小問1詳解】設等差數列的公差為d，由題意得，解得，所以通項公式【小問2詳解】由（1）可得，，又，所以數列是以4為首項，4為公比的等比數列，所以22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標以及平面的一個法向量，