甘肅省會寧縣第四中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

甘肅省會寧縣第四中學2025屆高二數(shù)學第一學期期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在正四面體中，點為所在平面上動點，若與所成角為定值，則動點的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線2．已知向量，，且，則值是（）A. B.C. D.3．已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為（）A. B.C. D.4．下列命題中正確的個數(shù)為（）①若向量，與空間任意向量都不能構(gòu)成基底，則；②若向量，，是空間一組基底，則，，也是空間的一組基底；③為空間一組基底，若，則；④對于任意非零空間向量，，若，則A.1 B.2C.3 D.45．已知集合A={1，a，b}，B={a2，a，ab}，若A=B，則a2021+b2020=（）A.-1 B.0C.1 D.26．已知雙曲線離心率為2，過點的直線與雙曲線C交于A，B兩點，且點P恰好是弦的中點，則直線的方程為（）A. B.C. D.7．在正方體中，，則（）A. B.C. D.8．已知等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且，，則（）A.4 B.2C.1 D.9．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角終邊上有一點（1，2），為銳角，且，則（）A.-18 B.-6C. D.10．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，，則b等于（）A. B.2C. D.411．直線與橢圓交于兩點，以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，則此橢圓的離心率為（）A B.C. D.12．若a>b，c>d，則下列不等式中一定正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標系Oxyz中，點在x，y，z軸上的射影分別為A，B，C，則四面體PABC的體積為______________.14．已知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f（1）＝3，且f(x)的導(dǎo)數(shù)在R上恒有<2(x∈R)，則不等式f(x)<2x＋1的解集為______.15．設(shè)集合，把集合中的元素按從小到大依次排列，構(gòu)成數(shù)列，求數(shù)列的前項和___16．已知函數(shù)在處有極值．則=________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知兩點（1）求以線段為直徑的圓C的方程；（2）在（1）中，求過M點的圓C的切線方程18．（12分）等差數(shù)列中，，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若滿足數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列前項和19．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數(shù))？(提示：(1＋4%)10≈1.48)20．（12分）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前n項和，①求；②若不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，求實數(shù)的取值范圍21．（12分）已知數(shù)列滿足，（）.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足：（），求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當a=1時，對于任意的，，都有恒成立，則m的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進一步計算與平面所成角為，即時，軌跡為拋物線，時，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.2、A【解析】求出向量，的坐標，利用向量數(shù)量積坐標表示即可求解.【詳解】因為向量，，所以，，因為，所以，解得：，故選：A.3、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.4、C【解析】根據(jù)題意、空間向量基底的概念和共線的運算即可判斷命題①②③，根據(jù)空間向量的平行關(guān)系即可判斷命題④.【詳解】①：向量與空間任意向量都不能構(gòu)成一個基底，則與共線或與其中有一個為零向量，所以，故①正確；②：由向量是空間一組基底，則空間中任意一個向量，存在唯一的實數(shù)組使得，所以也是空間一組基底，故②正確；③：由為空間一組基底，若，則，所以，故③正確；④：對于任意非零空間向量，，若，則存在一個實數(shù)使得，有，又中可以有為0的，分式?jīng)]有意義，故④錯誤.故選：C5、A【解析】根據(jù)A=B，可得兩集合元素全部相等，分別求得和ab=1兩種情況下，a，b的取值，分析討論，即可得答案.【詳解】因為A=B，若，解得，當時，不滿足互異性，舍去，當時，A={1，-1，b}，B={1，-1，-b}，因為A=B，所以，解得，所以；若ab=1，則，所以，若，解得或1，都不滿足題意，舍去，若，解得，不滿足互異性，舍去，故選：A【點睛】本題考查兩集合相等的概念，在集合相等問題中由一個條件求出參數(shù)后需進行代入檢驗，檢驗是否滿足互異性、題設(shè)條件等，屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】運用點差法即可求解【詳解】由已知得，又，，可得.則雙曲線C的方程為.設(shè)，，則兩式相減得，即.又因為點P恰好是弦的中點，所以，，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.經(jīng)檢驗滿足題意故選：C7、A【解析】根據(jù)空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的幾何意義進行求解即可.【詳解】因為，而，所以有，故選：A8、D【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），則由已知條件列方程組可求出【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為（），由題意得，且，即，，因為，所以，，故選：D9、A【解析】由終邊上的點可得，由同角三角函數(shù)的平方、商數(shù)關(guān)系有，再應(yīng)用差角、倍角正切公式即可求.【詳解】由題設(shè)，，，則，又，，所以.故選：A10、A【解析】由正弦定理求解即可.【詳解】因為，所以故選：A11、D【解析】根據(jù)題意作出示意圖，根據(jù)圓的性質(zhì)以及直線的傾斜角求解出的長度，再根據(jù)橢圓的定義求解出的關(guān)系，則橢圓離心率可求.【詳解】設(shè)橢圓的左右焦點分別為，如下圖：因為以線段為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的左焦點，所以且，所以，又因為的傾斜角為，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，因為，所以，所以，所以，所以，故選：D.12、B【解析】根據(jù)不等式的性質(zhì)及反例判斷各個選項.【詳解】因為c>d，所以，所以，所以B正確；時，不滿足選項A；時，，且，所以不滿足選項CD；故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】將物體放入長方體中，切割處理求得體積.【詳解】如圖所示：四面體PABC可以看成以1,2,3為棱長的長方體切去四個全等的三棱錐，所以四面體PABC的體積為.故答案為：214、【解析】構(gòu)造函數(shù)g(x)＝f(x)－2x－1，則原不等式可化為.利用導(dǎo)數(shù)判斷出g(x)在R上為減函數(shù)，直接利用單調(diào)性解不等式即可【詳解】令g(x)＝f(x)－2x－1，則g（1）＝f（1）－2－1＝0.所以原不等式可化為.因為，所以g(x)在R上為減函數(shù).由解得：x>1.故答案為：.15、【解析】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，可得，由不在集合中，在集合中，也在集合中，推得不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項中包括的前48項和數(shù)列中的3和27，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，即可求解.【詳解】由題意，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公差為4的等差數(shù)列，集合構(gòu)成數(shù)列是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，可得，又由不在集合中，在集合中，也在集合中，因為，解得，此時，所以不在數(shù)列的前50項內(nèi)，則數(shù)列的前50項的和為.故答案為：.16、4【解析】根據(jù)極值點概念求解【詳解】，由題意得，，經(jīng)檢驗滿足題意故答案為：4三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓心和半徑即可得到答案；（2）根據(jù)題意先求出切線的斜率，進而通過點斜式求出切線方程.【小問1詳解】由題意，圓心，半徑，則圓C的方程為：.【小問2詳解】由題意，，則切線斜率為-1，所以切線方程為：.18、（1）或（2）【解析】（1）利用等差數(shù)列通項公式，可構(gòu)造方程組求得，由此可得通項公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法，結(jié)合等差等比求和公式可得結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：或，當時，；當時，.綜上，或【小問2詳解】由（1）當數(shù)列為遞增數(shù)列，則，設(shè)，.19、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據(jù)貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬元10年產(chǎn)生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.20、（1）證明見解析，（2）①；②【解析】（1）由得到，即可得到，從而得證，即可求出的通項公式，從而得到的通項公式；（2）①由（1）可得，再利用錯位相減法求和即可；②利用作差法證明的單調(diào)性，即可得到，即可得到，再解一元二次不等式即可；【小問1詳解】證明：由，，當時，可得，解得，當時，，又，兩式相減得，所以，所以，即，則數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列；所以，所以【小問2詳解】解：①由（1）可得，所以，所以，所以，所以整理得②由①知，所以，即單調(diào)遞增，所以，因為不等式對任意的正整數(shù)n恒成立，所以，即，解得或，即21、(1)證明見解析，；(2).【解析】(1)將給定等式變形，計算即可判斷數(shù)列類型，再求出其通項而得解；(2)利用(1)的結(jié)論求出數(shù)列的通項，然后利用錯位相減法求解即得.【詳解】(1)因數(shù)列滿足，，則，而，于是數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，，；(2)由(1)知，則于是得，，所以數(shù)列的前項和.22、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）由題可得，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系分類討論即得；（2）由題可得，利用函數(shù)的單調(diào)