2025屆山西省運城市永濟中學高二數學第一學期期末達標檢測模擬試題含解析

2025屆山西省運城市永濟中學高二數學第一學期期末達標檢測模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．等比數列的前項和為，若，則（）A. B.8C.1或 D.或2．若，則圖像上的點的切線的傾斜角滿足（）A.一定為銳角 B.一定為鈍角C.可能為 D.可能為直角3．若，則n的值為（）A.7 B.8C.9 D.104．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A.4 B.9C.23 D.645．若方程表示雙曲線，則此雙曲線的虛軸長等于（）A. B.C. D.6．將一枚骰子連續(xù)拋兩次，得到正面朝上的點數分別為、，記事件A為“為偶數”，事件B為“”，則的值為（）A. B.C. D.7．已知點是雙曲線的左、右焦點，以線段為直徑的圓與雙曲線在第一象限的交點為，若，則（）A.與雙曲線的實軸長相等B.的面積為C.雙曲線的離心率為D.直線是雙曲線的一條漸近線8．若，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.9．已知拋物線y2＝4x的焦點為F，定點，M為拋物線上一點，則|MA|+|MF|的最小值為（）A.3 B.4C.5 D.610．的三個內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（）A. B.C. D.11．已知，則a，b，c的大小關系為（）A. B.C. D.12．已知p：，那么p的一個充分不必要條件是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，，若x，a，b，y成等比數列，x，c，d，y成等差數列，則的最小值為_____________.14．已知拋物線的焦點F恰好是橢圓的右焦點，且兩條曲線交點的連線過點F，則該橢圓的離心率為____________15．已知函數，，對一切，恒成立，則實數的取值范圍為________.16．數學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖），給出下列三個結論：①曲線C恰好經過6個整點（即橫、縱坐標均為整數的點）；②曲線C上任意一點到原點的距離都不超過；③曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3；其中，所有正確結論的序號是________三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設函數（1）求的值；（2）求的極大值18．（12分）設數列的首項，（1）證明：數列是等比數列；（2）設且前項和為，求19．（12分）已知橢圓的焦點為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標準方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點，已知點，求面積的最大值20．（12分）已知O為坐標原點，雙曲線C：（，）的離心率為，點P在雙曲線C上，點，分別為雙曲線C的左右焦點，.（1）求雙曲線C的標準方程；（2）已知點，，設直線PA，PB的斜率分別為，.證明：為定值.21．（12分）如圖，在多面體ABCEF中，和均為等邊三角形，D是AC的中點，（1）證明：（2）若平面平面ACE，求二面角的余弦值.22．（10分）已知公差不為零的等差數列的前項和為，，且，，成等比數列（1）求的通項公式；（2）記，求數列的前項和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據等比數列的前項和公式及等比數列通項公式即可求解.【詳解】設等比數列的公比為，則因為，所以，即，解得或，所以或.故選：C.2、C【解析】求出導函數，判斷導數的正負，從而得出結論【詳解】，時，，遞減，時，，遞增，而，所以切線斜率可能為正數，也可能為負數，還可以為0，則傾斜角可為銳角，也可為鈍角，還可以為，當時，斜率不存在，而存在，則不成立.故選：C3、D【解析】根據給定條件利用組合數的性質計算作答【詳解】因為，則由組合數性質有，即，所以n的值為10.故選：D4、C【解析】直接按程序框圖運行即可求出結果.【詳解】初始化數值，，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，1≥4不成立；第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，2≥4不成立；第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，3≥4不成立；第四次執(zhí)行循環(huán)體，，，4≥4成立；輸出故選：C5、B【解析】根據雙曲線標準方程直接判斷.【詳解】方程即為，由方程表示雙曲線，可得，所以，，所以虛軸長為，故選：B.6、B【解析】利用條件概率的公式求解即可.【詳解】根據題意可知，若事件為“為偶數”發(fā)生，則、兩個數均為奇數或均為偶數，其中基本事件數為，，，，，，，，，，，，，，，，，，一共個基本事件，∴,而A、同時發(fā)生，基本事件有當一共有9個基本事件，∴，則在事件A發(fā)生的情況下，發(fā)生的概率為,故選:7、B【解析】由題意及雙曲線的定義可得，的值，進而可得A不正確，計算可判斷B正確，再求出，的關系可得C不正確，求出，的關系，進而求出漸近線的方程，可得D不正確【詳解】因為，又由題意及雙曲線的定義可得：，則，，所以A不正確；因為在以為直徑的圓上，所以，所以，所以B正確；在△中，由勾股定理可得，即，所以離心率，所以C不正確；由C的分析可知：，故，所以漸近線的方程為，即，所以D不正確；故選：B8、B【解析】由題意可知且，構造函數，可得出，由函數的單調性可得出，利用導數求出函數的最小值，可得出關于的不等式，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】因為，則且，由已知可得，構造函數，其中，，所以，函數為上的增函數，由已知，所以，，可得，構造函數，其中，則.當時，，此時函數單調遞減，當時，，此時函數單調遞增，則，所以，，解得.故選：B.9、B【解析】作出圖象，過點M作準線的垂線，垂足為H，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，求解即可【詳解】過點M作準線的垂線，垂足為H，由拋物線的定義可知|MF|＝|MH|，則問題轉化為|MA|+|MH|的最小值，結合圖形可得當且僅當三點M，A，H共線時|MA|+|MH|最小，其最小值為.故選：B10、D【解析】利用正弦定理邊化角，角化邊計算即可.【詳解】由正弦定理邊化角得，，再由正弦定理角化邊得，即故選：D.11、A【解析】根據給定條件構造函數，再探討其單調性并借助單調性判斷作答.【詳解】令函數，求導得，當時，，于是得在上單調遞減，而，則，即，所以，故選：A12、C【解析】按照充分不必要條件依次判斷4個選項即可.【詳解】A選項：，錯誤；B選項：，錯誤；C選項：，，正確；D選項：，錯誤.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、4【解析】根據等差數列和等比數列性質把用表示，然后由基本不等式得最小值【詳解】由題意，，所以，當且僅當時等號成立故答案為：414、【解析】設兩條曲線交點為根據橢圓和拋物線對稱性知，不妨點A在第一象限，由A在拋物線上得，A在橢圓上得.則由條件得：.解得（舍去）15、【解析】通過分離參數，得到關于x的不等式；再構造函數，通過導數求得函數的最值，進而求得a的取值范圍【詳解】因為，代入解析式可得分離參數a可得令（）則，令解得所以當0＜x＜1，，所以h（x）在（0，1）上單調遞減當1＜x，，所以h（x）在（1，+∞）上單調遞增，所以h（x）在x=1時取得極小值，也即最小值所以h（x）≥h（1）=4因為對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，所以a≤h（x）min=4所以a的取值范圍為【點睛】本題綜合考查了函數與導數的應用，分離參數法，利用導數求函數的最值，屬于中檔題16、①②【解析】先根據圖像的對稱性找出整點，再判斷是否還有其他的整點在曲線上；找出曲線上離原點距離最大的點的區(qū)域，再由基本不等式得到最大值不超過；在心形區(qū)域內找到一個內接多邊形，該多邊形的面積等于3，從而判斷出“心形”區(qū)域的面積大于3.【詳解】①:由于曲線，當時，；當時，；當時，；由于圖形的對稱性可知，沒有其他的整點在曲線上，故曲線恰好經過6個整點：,,,,,,所以①正確；②:由圖知，到原點距離的最大值是在時，由基本不等式，當時，，所以即，所以②正確；③:由①知長方形CDFE的面積為2，三角形BCE的面積為1，所以曲線C所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故③錯誤；故答案為：①②.【點睛】找準圖形的關鍵信息，比如對稱性，整點，內接多邊形是解決本題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）-3（2）2【解析】（1）利用導數公式和法則求解；（2）令，利用極大值的定義求解.【小問1詳解】解：因為函數，所以，所以；【小問2詳解】令，得，當或時，，當時，，所以當時，取得極大值.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知變形得出，即可證得結論成立；（2）計算，利用并項求和法可求得.【小問1詳解】證明：對任意的，，則，且，故數列為等比數列，且該數列的首項為，公比也為，故.【小問2詳解】解：，所以，，因此，.19、（1）；（2）1.【解析】(1)根據給定條件求出橢圓半焦距c，長短半軸長a，b即可得解.(2)設出直線的方程，再與橢圓C的方程聯立，求出弦AB長及點P到直線的距離，然后求出面積的表達式并求其最大值即得.【小問1詳解】設橢圓的標準方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標準方程為.【小問2詳解】依題意，設直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點到直線的距離為，因此，的面積，當且僅當，即時取“=”，所以面積最大值為1.【點睛】結論點睛：直線l：y=kx+b上兩點間的距離；直線l：x=my+t上兩點間的距離.20、（1）（2）證明見解析【解析】(1)根據題意和雙曲線的定義求出，結合離心率求出b，即可得出雙曲線的標準方程；(2)設，根據兩點的坐標即可求出、，化簡計算即可.【小問1詳解】由題知：由雙曲線的定義知：，又因為，所以，所以所以，雙曲線C的標準方程為小問2詳解】設，則因為，，所以，所以21、（1）證明見解析（2）【解析】（1）根據等腰三角形三線合一的性質得到、，即可得到平面，再根據，即可得證；（2）由面面垂直的性質得到平面，建立如圖所示空間直角坐標系，設，即可得到點，，的坐標，最后利用空間向量法求出二面角的余弦值；小問1詳解】證明：連接DE因為，且D為AC的中點，所以因為，且D為AC的中點，所以因為平面BDE，平面BDE，且，所以平面因為，所以平面BDE，所以【小問2詳解】解：由（1）