山東省煙臺(tái)市芝罘區(qū)煙臺(tái)二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題含解析

山東省煙臺(tái)市芝罘區(qū)煙臺(tái)二中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若恒成立，則的取值范圍是（）A. B.C. D.2．在正四面體中，棱長(zhǎng)為2，且E是棱AB中點(diǎn)，則的值為A. B.1C. D.3．已知橢圓，則它的短軸長(zhǎng)為（）A.2 B.4C.6 D.84．如圖，一個(gè)圓錐形的空杯子上面放著一個(gè)半徑為4.5cm的半球形的冰淇淋，若冰淇淋融化后正好盛滿(mǎn)杯子，則杯子的高（）A.9cm B.6cmC.3cm D.4.5cm5．礦山爆破時(shí)，在爆破點(diǎn)處炸開(kāi)的礦石的運(yùn)動(dòng)軌跡可看作是不同的拋物線，根據(jù)地質(zhì)、炸藥等因素可以算出這些拋物線的范圍，這個(gè)范圍的邊界可以看作一條拋物線，叫“安全拋物線”，如圖所示．已知某次礦山爆破時(shí)的安全拋物線的焦點(diǎn)為，則這次爆破時(shí)，礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為（）A. B.2C. D.6．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.7．設(shè)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A. B.C. D.8．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書(shū)中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺9．七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，它由五塊等腰直角三角形、一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為（）A. B.C. D.10．在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（）A. B.C. D.611．若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，則的解析式可能是（）A. B.C. D.12．直線的傾斜角，則其斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若圓和圓的公共弦所在的直線方程為，則______14．2021年7月，某市發(fā)生德?tīng)査鹿诜窝滓咔椋行l(wèi)健委決定在全市設(shè)置多個(gè)核酸檢測(cè)點(diǎn)對(duì)全市人員進(jìn)行核酸檢測(cè).已知組建一個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生1名，女醫(yī)生3名，每小時(shí)可做200人次的核酸檢測(cè)，組建一個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)需要男醫(yī)生3名，女醫(yī)生3名.每小時(shí)可做300人次的核酸檢測(cè).某三甲醫(yī)院決定派出男醫(yī)生10名、女醫(yī)生18名去做核酸檢測(cè)工作，則這28名醫(yī)生需要組建________個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和________個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.15．已知函數(shù)在R上連續(xù)且可導(dǎo)，為偶函數(shù)且，其導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則不等式的解集為_(kāi)__.16．命題，恒成立是假命題，則實(shí)數(shù)a取值范圍是________________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)x的取值范圍.（2）若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；18．（12分）在所有棱長(zhǎng)均為2的三棱柱ABC-A1B1C1中，∠B1BC=60°，求證:（1）AB1⊥BC；（2）A1C⊥平面AB1C1.19．（12分）已知圓：，，為圓上的動(dòng)點(diǎn)，若線段的垂直平分線交于點(diǎn).（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）已知為上一點(diǎn)，過(guò)作斜率互為相反數(shù)且不為0的兩條直線，分別交曲線于，，求的取值范圍.20．（12分）△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為（1）求△ABC的外接圓M的方程；（2）設(shè)直線與圓M交于兩點(diǎn)，求|PQ|的值21．（12分）已知圓，直線（1）證明直線與圓C一定有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)，并求對(duì)應(yīng)弦長(zhǎng)最短時(shí)的直線方程22．（10分）奮發(fā)學(xué)習(xí)小組共有3名學(xué)生，在某次探究活動(dòng)中，他們每人上交了1份作業(yè)，現(xiàn)各自從這3份作業(yè)中隨機(jī)地取出了一份作業(yè).（1）每個(gè)學(xué)生恰好取到自己作業(yè)的概率是多少？（2）每個(gè)學(xué)生不都取到自己作業(yè)的概率是多少？（3）每個(gè)學(xué)生取到的都不是自己作業(yè)的概率是多少？

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由于，所以利用裂項(xiàng)相消求和法可求得，然后由可得恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可【詳解】，故，故恒成立等價(jià)于，即恒成立，化簡(jiǎn)得到，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以故選：D2、A【解析】根據(jù)題意，由正四面體的性質(zhì)可得：，可得，由E是棱中點(diǎn)，可得，代入，利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)即可得出.【詳解】如圖所示由正四面體的性質(zhì)可得：可得：是棱中點(diǎn)故選：【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的線性運(yùn)算，考查立體幾何中的垂直關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.3、B【解析】根據(jù)橢圓短軸長(zhǎng)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知：，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)為，故選：B4、A【解析】根據(jù)圓錐和球的體積公式以及半球的體積等于圓錐的體積，即可列式解出【詳解】由題意可得，，解得．故選：A5、D【解析】根據(jù)給定條件求出拋物線的頂點(diǎn)，結(jié)合拋物線的性質(zhì)求出p值即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，則拋物線的頂點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為，p>0，解得，于是得拋物線的方程為，由得，，即拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，因此，，所以礦石落點(diǎn)的最遠(yuǎn)處到點(diǎn)的距離為.故選：D6、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.7、A【解析】由周期函數(shù)得，再由奇函數(shù)的性質(zhì)通過(guò)得結(jié)論【詳解】∵函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，∴，而，又函數(shù)為奇函數(shù)，∴．故選A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．此類(lèi)題型，求函數(shù)值時(shí)，一般先用周期性化自變量到已知區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間，然后再由奇函數(shù)性質(zhì)求得函數(shù)值8、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D9、D【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，計(jì)算出陰影部分區(qū)域的面積和正方形區(qū)域的面積，然后利用幾何概型的概率公式計(jì)算出所求事件的概率.【詳解】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則面積為，陰影部分由一個(gè)大等腰直角三角形和一個(gè)梯形組成大等腰直角三角形的面積為，梯形的上底為，下底為，高為，面積為，故所求概率故選：D.10、C【解析】按照空間中點(diǎn)到直線的距離公式直接求解.【詳解】由題意，，，的方向向量，，則點(diǎn)到直線的距離為.故選：C.11、C【解析】根據(jù)題意，求出每個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而判斷答案.【詳解】對(duì)A，，為奇函數(shù)；對(duì)B，，為奇函數(shù)；對(duì)C，，為偶函數(shù)；對(duì)D，，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).故選：C.12、B【解析】根據(jù)傾斜角和斜率的關(guān)系，確定正確選項(xiàng).【詳解】直線的傾斜角為，則斜率為，在上為增函數(shù).由于直線的傾斜角，所以其斜率的取值范圍為，即.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查傾斜角和斜率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由兩圓公共弦方程，將兩圓方程相減得到，結(jié)合已知列方程組求、，即可得答案.【詳解】由題設(shè)，兩圓方程相減可得：，即為公共弦，∴，可得，∴.故答案為：.14、①.4②.2【解析】根據(jù)題意建立不等式組，進(jìn)而作出可行域，最后通過(guò)數(shù)形結(jié)合求得答案.【詳解】設(shè)需要組建個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，則每小時(shí)做核酸檢測(cè)的最高人次，作出可行域如圖中陰影部分所示，由圖可見(jiàn)當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由得恰為整數(shù)點(diǎn)，所以組建4個(gè)小型核酸檢測(cè)點(diǎn)和2個(gè)大型核酸檢測(cè)點(diǎn)，才能更高效的完成本次核酸檢測(cè)工作.故答案為：4；2.15、【解析】由已知條件可得圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，在上遞增，在上遞減，然后分四種情況討論求解即可【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，在上遞減，由，得，或，或，或，解得，或，或，或，綜上，，所以等式的解集為故答案為：16、【解析】由命題為假命題可得命題為真命題，由此可求a范圍.【詳解】∵命題，恒成立是假命題，∴，，∴，，又函數(shù)在為減函數(shù)，∴，∴，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】（1）由一元二次不等式的解法求得的范圍；（2）由p是q的充分條件，轉(zhuǎn)化為集合的包含關(guān)系，從而可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）由p：為真，解得.（2）q：，若p是q的充分條件，則是的子集所以.即.18、（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】（1）通過(guò)計(jì)算·=0來(lái)證得AB1⊥BC.（2）通過(guò)證明A1C⊥AC1、A1C⊥AC1來(lái)證得A1C⊥平面AB1C1.【詳解】證明：（1）易知<>=120°，=+，則·=(+)·=·+·=2×2×+2×2×=0.所以AB1⊥BC.（2）易知四邊形AA1C1C為菱形，所以A1C⊥AC1.因?yàn)椤?(-)·(-)=(-)·(--)=·-·-·-·+·+·=·-·-·+·=2×2×-4-2×2×+4=0，所以AB1⊥A1C，又AC1∩AB1=A，所以A1C⊥平面AB1C1.19、（1）動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為；（2）的取值范圍.【解析】(1)由條件線段的垂直平分線交于點(diǎn)可得，由此可得，根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)的軌跡為橢圓，結(jié)合橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；(2)由(1)可求點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)可得，，由直線，的斜率互為相反數(shù)可得的值，再由弦長(zhǎng)公式求的長(zhǎng)，再求其范圍.【小問(wèn)1詳解】由題知故.即即在以為焦點(diǎn)且長(zhǎng)軸為4的橢圓上則動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為：；【小問(wèn)2詳解】故即.設(shè)：，聯(lián)立（*），，∴，，又則：即若，則過(guò)，不符合題意故，∴，故20、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)出圓的一般方程，根據(jù)的坐標(biāo)滿(mǎn)足圓方程，待定系數(shù)，即可求得圓方程；（2）根據(jù)（1）中所求圓方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓M的方程為，因?yàn)槎荚趫A上，則，解得，故圓M的方程為，也即.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，圓M的圓心坐標(biāo)為，半徑為，點(diǎn)M到直線的距離故.21、（1）證明見(jiàn)解析（2）答案見(jiàn)解析【解析】（1）由，變形為求解直線過(guò)的定點(diǎn)，即可得解；（2）法一：由圓心和連線與直線垂直求解；法二：由圓心到直線距離最大時(shí)求解.【小問(wèn)1詳解】解：，所以，令，所以直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，圓可變形為，因?yàn)?，所以定點(diǎn)在圓內(nèi)，所以直線和圓C相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；【小問(wèn)2詳解】法一：圓心為，到距離為，圓心與連線的斜率為，最短弦與圓心和的連線垂直，所以，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為法二：圓心到直線距離：，，要求d的最大值，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，d的最大值為，所以最短弦長(zhǎng)為，直線的方程為.22、（1）（2）（3）【解析】(1)根據(jù)列舉法列出所有的可能基