大學(xué)物理下復(fù)習(xí)資料

大學(xué)物理》下學(xué)期復(fù)習(xí)資料

【四】簡(jiǎn)諧振動(dòng)

2

1.簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的定義：(1)F八=-kx；(2)^-=-COx.(3)x=Acos(?t+<b)

Uat

彈簧振子的角頻率co=￥=2兀丫=解

2.求振動(dòng)方程X=Acos(3t+(|))——由已知條件(如t=0時(shí)X。的大小，Vo的方向f正、負(fù))求A、巾。其中求。是關(guān)鍵和難

點(diǎn).(其中6的象限要結(jié)合正弦或余弦式確定)

可直接寫。的情況：振子從X軸正向最遠(yuǎn)端X?,處由靜止釋放時(shí)小=0,A=Xm，從X軸負(fù)向最遠(yuǎn)端由靜止釋放時(shí)。

［說明］同時(shí)應(yīng)用上面左邊的兩式即可求出A和(I)值(同時(shí)滿足sin。、cos。的正、負(fù)關(guān)系〉。如果用上面的tg。式求力將得

到兩個(gè)值，這時(shí)必須結(jié)合sin。或cos(j)的正、負(fù)關(guān)系判定其象限，也可應(yīng)用旋轉(zhuǎn)矢量確定(I)值或所在象限。

(2)旋轉(zhuǎn)矢量法：由t=0時(shí)X。的大小及V。的方向可作出旋轉(zhuǎn)矢量圖。反之，由圖可知A、e值及Vo方向。

(3)振動(dòng)曲線法：由x-t圖觀察A、T。由特征點(diǎn)的位移、速度方向(正、負(fù))，按方法(1)求小。t=Q,

其中振動(dòng)速度的方向是下一時(shí)刻的位置移動(dòng)方向，它不同于波動(dòng)中用平移波形圖來確定速度方向.XA|(ut-t4\

222-

3.簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量：Ek=^-mv,Ep=^kx,E=Ek+Ep=-jkA.A=---V

［注意］振子與彈簧的總機(jī)械能E守恒，E等于外界給系統(tǒng)的初始能量(如作功)。\J

4.振動(dòng)的合成：X=X1+X2=A|COS(Wt+<1)!)+A2COS(Wt+4)2)=Acos(wt+4))

其中A=⑺+A；+2AAcos電-如)，gtg-然*蒜

當(dāng)A6=(|)2-6i=2kn時(shí).：A=AI+A2(加強(qiáng))

當(dāng)A(|)=4)2-@i=(2k+l)n時(shí)：A=|AI-A2I(減弱)

［注意］上式求出的(|)對(duì)應(yīng)兩個(gè)值，必須根據(jù)V。的方向確定其中的正確值(具體方法同上面內(nèi)容2?中的說明)。如果同一方向

上兩個(gè)振動(dòng)同相位(或反相位)，則將兩分振動(dòng)的函數(shù)式相加(或相減)，就可得到合振動(dòng)。

【五】簡(jiǎn)諧波A=/V=W,0)=2HV,K=2H/Xo1/山振源的振動(dòng)決定，U、人因介質(zhì)的性質(zhì)而異。

1.求波動(dòng)方程(波函數(shù))的方法——古—%

(1)已知原點(diǎn)O處的振動(dòng)方程：直接由yo=Acos(3t+6)寫出波動(dòng)方程y=Acos|>)(t-：)+6］

［注意］當(dāng)波沿x軸負(fù)向傳播時(shí)，上式中x前改為+號(hào)。波動(dòng)方程表示x軸上任一點(diǎn)(坐標(biāo)為x)的振動(dòng)。

(原點(diǎn)處振動(dòng)傳到x處需時(shí)間等于t=若，即X處相位比o點(diǎn)落后2nX/入。上面兩式(j)為同一值)

如果沒有直接給出O點(diǎn)的振動(dòng)方程，也可以按［四】中所述的方法，由題給條件求出原點(diǎn)處的振動(dòng)式，再改寫為波動(dòng)式。

(2)先設(shè)波動(dòng)方程(波沿X軸正向傳播時(shí)y=Acos(cot-2nx/；l+<|>)，波沿x軸負(fù)向傳播時(shí)，x前符號(hào)為+),并寫出速度式

v=ay/at=-roAsin(cot-27tx/X+<|>).根據(jù)題給條件求A、①、(|),其方法與求振動(dòng)方程相似。

公式法：將題中條件（如t=0時(shí)x處y值及v正負(fù)）代入波動(dòng)方程與速度式，可聯(lián)立求解（|）值。

波動(dòng)曲線法：山圖可知A、入、u的方向（決定波動(dòng)方程中X項(xiàng)的符號(hào)），以及波形圖所對(duì)應(yīng)的「時(shí)刻各質(zhì)元的位移、速度方

向（按波速方向平移波動(dòng)曲線可得）。按公式法，由X、v值可求出如果給出了t*0時(shí)的波形圖，還可求出3。

旋轉(zhuǎn)矢量法：根據(jù)某一時(shí)刻（t=0或t，時(shí)刻）、某一點(diǎn)的y值以及v的方向作矢量圖，可確定（|）值。

對(duì)兩列波在某一點(diǎn)處的合振動(dòng)，山6?與62作相量圖，對(duì)特殊角可直接求小，對(duì)一般角可確定小的象限。

2.由波動(dòng)方程求某處質(zhì)元的振動(dòng)方程與速度：將X值代入上面的波動(dòng)方程與速度公式即可，也可畫振動(dòng)曲線。

這時(shí)，用加下標(biāo)的y表示具體點(diǎn)的振動(dòng)位移（不要將其寫作x）。

3.波的能量波的傳播是能量的傳播。在傳播過程中質(zhì)元的動(dòng)能和勢(shì)能在任何時(shí)刻都相等（與質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)不同），在平衡位置處

2

AWk=AWp=1Am32A（最大），在最大位移處A網(wǎng)=AWp=0

4.波的干涉（兩相干波的疊加）①相干條件：頻率相同，振動(dòng)方向致，位相差恒定；

±2kn加強(qiáng)(Ar=r-=士祖)

②相位差與相長(zhǎng)干涉、相消干涉：△-儲(chǔ)=件（七-八）={2

士（2%+1就減弱(Ar=r2-八=±(2%+l)專)

5.半波損失：波從波疏媒質(zhì)（PU較?。﹤飨虿苊劫|(zhì)（PU較大），在反射點(diǎn)處，反射波與入射波的相位差△4>=），波程差

A=1X（相當(dāng)于反射波多走了方力）。（注）相位差±7等價(jià)，但一般取+”，波程差±方九等價(jià)。

6.駐波：兩列振幅相等的相干波，在同直線上沿相反方向傳播，所形成的分段振動(dòng)的現(xiàn)象。相鄰波節(jié)（或波腹）之間的距離

為林。取波腹為坐標(biāo)原點(diǎn)，則波節(jié)位置=Q/2,波腹位置=（k+9譏/2（k=o,i,2-）

弦線上形成駐波的條件：L=nA./2（n=l,2-）

波從波疏媒質(zhì)傳向固定端并形成駐波時(shí)，是半波反射，固定端是波節(jié)；波從波密媒質(zhì)傳向自由端并形成駐波時(shí)，是全波反

自由端是波腹。

注意：對(duì)于角頻率相同的兩個(gè)振動(dòng)或兩列波的合成問題，如果初相位為±乃/2時(shí)可將方程式化為正弦或余弦式，再直接相加。

【六】光的干涉

1.獲得相干光的方法：把一個(gè)光源的一點(diǎn)發(fā)出的光分為兩束，具體有分波陣面法和分振幅法

2.光程：光程L=nr（光在介質(zhì)中傳播r距離，與光在真空中傳播nr距離時(shí)對(duì)應(yīng)的相位差相同）_￡

相位差△。與光程差△的關(guān)系：A,b=2n-={2k?t="=吐（相長(zhǎng)）t

X（2k+l）n=>A=（2k+l）f（相消）T彪--------D-----

在條光線傳播的路徑上放置折射率為n,厚度為d的透明介質(zhì)，引起的光程改變?yōu)椋╪-l）d；介質(zhì)內(nèi)V=N/n

3.楊氏雙縫干涉：分波陣面法，干涉條紋為等間隔的直條紋。（入射光為單色光，光程差A(yù)=dsin0）

明條紋：dsin@=±kA（中央明紋對(duì)應(yīng)于k=0,e=0）

中心位置Xk=Dtg9=Dsin0=±kXy（k=0,1,2,—）

喑紋：dsin。=土號(hào)?A,中心位置xk=Dtg0gDsin9=±審■入號(hào)(k=0,1,2,3,-)

相鄰明（暗）紋間隔：AX二石入，相鄰兩明（或暗）紋對(duì)應(yīng)的光程差為入，相鄰明、暗紋光程差為入/2

典型問題：在縫S1上放置透明介質(zhì)（折射率為n,厚度為b）,求干涉條紋移動(dòng)方向、移動(dòng)的條紋數(shù)目、條紋移動(dòng)的距離。

分析：（1）判斷中央明紋（△=（））的移動(dòng)。在縫&上放置透明介質(zhì)后，上邊光路的光程增大（n?l）d,只有下邊光路的光程也增

大，由馬〉］］可知，新的中央明紋在0點(diǎn)上方，因此條紋整體向上移動(dòng)。（如果在縫S2上放置透明介質(zhì)則條紋向下移）

（2）設(shè)新中央明紋的位置在原條紋的k級(jí)明紋處，其坐標(biāo)為Xk。由（n?l）b=k'入可求出移動(dòng)的條紋數(shù)k'=（n-l）b/入;

由（n-l）b=dsino,可求出中央條紋移動(dòng)的距離=Dtg%Dsino=（n-l）bD/d，也是所有條紋整體移動(dòng)的距離。

4.薄膜干涉1一一等厚條紋（同一條紋對(duì)應(yīng)的膜厚相等.包括劈尖膜、牛頓環(huán)）：光線近于垂直入射到薄膜的上表面，在薄膜上

下表面處產(chǎn)生的兩反射光發(fā)生干涉?！鞣?2ne+?,0）（反射光有一次且只有一次半波損失時(shí)才加入九/2項(xiàng)）;

同一條紋處等厚，相鄰兩明（或暗）紋間隔為0=Ax=2^0,對(duì)應(yīng)的厚度差為△e=47

牛頓環(huán)半徑：明紋r=J（2k-1）九R/（2n）,（k=i,…）；暗紋r=Jk九R/n,（k=o,...）

5.薄膜干涉2——增透膜、增反膜（均厚介質(zhì)表面鍍膜，光線垂直入射，對(duì)特定波長(zhǎng)的反射光分別發(fā)生

相消、相長(zhǎng)干涉，以增加入射光的透射率、反射率）

光程差：△反=2ne+（/,0）（膜的上下兩表面中只存在--次半波損失時(shí)才加上4/2）

6.邁克爾遜干涉儀：利用分振幅法產(chǎn)生雙光束干涉，干涉條紋每移動(dòng)一條相當(dāng)于空氣膜厚度改變/九。

兩反射鏡到分光點(diǎn)的距離差為h,則A=2h；在干涉儀一條光路上放置透明介質(zhì)（n,b）,則光程差的改變量為2（n-l）b。

薄膜干涉的分析步驟：以膜的上下表面為反射面，判斷半波反射，求出光程差，由干涉相長(zhǎng)（或相消）條件確定明紋（或暗紋）。

【七】光的衍射

1.惠更斯一菲涅耳原理：子波，子波干涉

2.單縫（半波帶法）：喑紋asin。=±U,明紋dsin9=±笥lX,式中k=1,2,3,…（與雙縫干涉的暗紋公式不同?。?/p>

（中央明紋中心對(duì)應(yīng)于。=0。條紋不等寬，中央寬，其它窄，光強(qiáng)主要集中在中央明紋內(nèi)）

中央明條紋線寬度：AXo=2*f*tg0=2*fsin0=2fX/a（衍射反比定律：f、九一定時(shí)，Axo/l/a）

3.光柵衍射：光柵方程（決定主極大位置）：dsinG=±kX（k=0,l,2,-,kra其中d=a+b,a為透光縫寬；（應(yīng)用一①可

見的最高譜線級(jí)次：由6="/2求kmax=d/Qkmax帶小數(shù)時(shí)km取其整數(shù)，口曲恰為整數(shù)時(shí)h=。（心,”對(duì)應(yīng)的位置

無限遠(yuǎn)，看不見）；②譜線強(qiáng)度受單縫衍射調(diào)制，一般有缺級(jí)現(xiàn)象。呼為整數(shù)時(shí)，它就是第一缺級(jí)；③求單縫衍射明紋或光

柵主極大位置xK的方法與雙縫干涉相似，但要注意0角較大時(shí)ig0Wsin9:④單縫衍射中央明紋內(nèi)有（2k-D條干涉明紋（dsin

o=kX,asin0=x）；⑤兩種入射光波長(zhǎng)不同時(shí)，光柵譜線重疊表示對(duì)應(yīng)同一衍射角J

（附1）入射光傾斜入射時(shí)，A=AC+CB=d（sini±sin0）,入射光與衍射光在光軸同側(cè)時(shí)取正號(hào)，k值正負(fù)取決坐標(biāo)正向。

（附2）雙縫干涉一一明暗條紋相間且等間隔；單縫衍射一一中央明紋亮且寬，其它明紋C

光強(qiáng)迅速下降.光柵衍射一一明紋窄而亮，中央明紋寬度約為雙縫干涉的1/N.人1

（附3）幾何光學(xué)是波動(dòng)光學(xué)在入/a-0時(shí)的極限情形。

4.光學(xué)儀器分辨本領(lǐng)儀器的最小分辨角（角分辨率）：39=1.22九/D,其倒數(shù)為分辨率R。1

單孔衍射：Dsin0=1.22入（。為中央亮斑半徑對(duì)圓孔中心的張角，D為透鏡直徑）

5.X射線衍射布拉格公式（主極大）：2dsin<t>=kXk=l,2,…，（掠射角巾：入射光與晶面夾角）

【/J光的偏振按偏振狀態(tài)將光分為線偏振光、自然光、部分偏振光.線偏振光也稱完全偏振光或平面偏振光.

1.馬呂斯定律：I=IoCOS2a（I。為入射的線偏振光強(qiáng)度，a為入射光E振動(dòng)方向與檢偏器偏振化方向的夾角）

偏振化方向即豆振動(dòng)方向。理想情況下，右圖中自然光通過三個(gè)偏振片，光強(qiáng)

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依次為Ii="Po，I2=Ijcosa.I3=I2cosa=I2cos（900-a）

2.布儒斯特定律：tgi°=奇i0為起偏振角（布儒斯特角），此時(shí)反射光為線偏振光，折射光為部分偏振光，且反射光垂直

于折射光。用點(diǎn)或短線表示偏振方向，作圖時(shí)要標(biāo)出箭頭、角度。（當(dāng)i=i0時(shí)要標(biāo)明反射光_1折射光）

3.雙折射現(xiàn)象光軸：不發(fā)生雙折射的方向，主平面：光軸與光線構(gòu)成的平面。o光（尋常光，_1_主平面）遵從折射定律，e

光（非尋常光，在主平面內(nèi)）。正晶體V0>Ve，負(fù)晶體V0<Ve，在光軸方向上V0=Ve

［附］幾種干涉、衍射公式的比較：

光程差明紋暗紋條紋特點(diǎn)

dsin0=k九dsine=(2k+l)X/2等間隔、等寬；明紋k稱干涉

雙縫干涉級(jí)，中央明紋k=0

S=dsin。

（分波列）條紋中心Xk=±k平Xk二+2k+1X.D

2d相鄰明紋間隔”二普X

(k=0,1,2,-)(k=0,1,2,…)

劈尖頂端e=o,相鄰明紋間隔

A=2ne或

2ne+(y,0)=kXA=(2k+l)X/2?22

t=AAx=-----=---

薄膜干涉A=2ne+y(k=0,1,2,…)2〃sin。2n0

(k=l,2,???)

（分振幅）牛頓環(huán)r2=KiR膜的上下表面有且僅有一次半

(n是膜的折射牛頓環(huán)kR

n波反射時(shí)△=2ne+X/2,

率)2n

否則△=2ne

條紋不等寬，中央明紋是其它

asin0=±(2k+l)X/2asin0=±kX

單健衍射8=6/sinQ明紋兩倍寬；寬度2fX/a

(k=l,2,???)(k=l,2,??-)

式右對(duì)應(yīng)的明暗紋與其它不同

在暗背景下的窄且亮的細(xì)線。

光柵衍射（a+b）sin6(a+b)sin0=±kX

不作要求

（d=a+b）（垂直入射時(shí)）d=a+b,缺土7的整數(shù)倍

(k=0,1,2,-)

2dsin(p=kX

X射線衍射2dsin<p°為掠射角（入射光與晶面的夾角）

(k=l,2,…)

【九】量子物理基礎(chǔ)

1.黑體輻射：幅出度M=dA/（dSdt）=P/S（對(duì)于白熾燈，P為功率，s為燈絲表面積）

（1）斯特藩一玻爾茲曼定律：M=oT4其中。=5.67X10sW/（m2?K1）

（2）維恩位移律：入nT=b其中b=2.897X10，m?K

2.光電效應(yīng)：①光子的能量E=h八動(dòng)量p=&質(zhì)量〃？=5=華=仇

2

②光電效應(yīng)方程：hv=ymv+A或hv=hv（）+eUa>其中遏（截）止電壓=+mv：“/e,紅限頻率勺=y；

③在單位時(shí)間內(nèi)，從陰極釋放的電/數(shù)Nxi/hu（I為入射光強(qiáng)），飽和光電流im=Ne。

3.康普頓散射：X射線與物質(zhì)中電子相互作用引起散射光波長(zhǎng)改變

△/I=/L-4）=兒、（1-cos。）=4sin24（0為散射角一反射光與入射光的夾角）

康普頓波長(zhǎng)4=念=2.43X10-3nm"=90°時(shí)的△入）

4.實(shí)物粒子的波動(dòng)性——德布羅意波

粒子的能量E=hi/；粒子的動(dòng)量P=mv=%。當(dāng)V?c時(shí)，動(dòng)能E=Ek=p2/2m：高速E=mc2（相對(duì)論，如光子）

5.波函數(shù)①標(biāo)準(zhǔn)化條件：?jiǎn)沃?、連續(xù)、有限；②歸一化條件：2dx=1；③幾率密度p=|w『

6.不確定關(guān)系：粒子的位置和動(dòng)量不可能同時(shí)精確確定，由粒/的波動(dòng)性決定，適用于任何粒了。

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Ax-\px>h/2；\E-\t/2（估算式A