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文檔簡介
河南省鄭州市十九中2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1.若,則下列說法正確的是()A.若,則 B.若,則C.若且,則 D.若,則2.“”是“”成立的()條件A.充分不必要 B.必要不充分C.充要 D.既不充分也不必要3.設(shè),,若,則ab的最小值是()A.5 B.9C.16 D.254.函數(shù)f(x)=-|sin2x|在上零點(diǎn)的個數(shù)為()A.2 B.4C.5 D.65.函數(shù)與(且)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是()A. B.C. D.6.一個空間幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為A.7B.9C.11D.137.若函數(shù)且在上既是奇函數(shù)又是增函數(shù),則的圖象是A. B.C. D.8.已知函數(shù),則的概率為A. B.C. D.9.已知平面向量,,且,則等于()A.(-2,-4) B.(-3,-6)C.(-5,-10) D.(-4,-8)10.設(shè)函數(shù)在區(qū)間上為偶函數(shù),則的值為()A.-1 B.1C.2 D.3二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知扇形的弧長為6,圓心角弧度數(shù)為2,則其面積為______________.12.在三棱錐中,,,,則三棱錐的外接球的表面積為________.13.某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中有正品和次品,其中正品重/個,次品重/個.現(xiàn)有10袋產(chǎn)品(每袋裝100個),其中1袋裝的全為次品,其余9袋裝的全為正品.將這10袋產(chǎn)品從1~10編號,從第i號袋中取出i個產(chǎn)品,則共抽出______個產(chǎn)品;將取出的產(chǎn)品一起稱重,稱出其重量,則次品袋的編號為______.14.對于定義在上的函數(shù),如果存在區(qū)間,同時滿足下列兩個條件:①在區(qū)間上是單調(diào)遞增的;②當(dāng)時,函數(shù)的值域也是,則稱是函數(shù)的一個“遞增黃金區(qū)間”.下列函數(shù)中存在“遞增黃金區(qū)間”的是:___________.(填寫正確函數(shù)的序號)①;②;③;④.15.已知函數(shù)集合,若集合中有3個元素,則實數(shù)的取值范圍為________16.已知函數(shù),設(shè),,若成立,則實數(shù)的最大值是_______三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.已知函數(shù).(1)判斷的奇偶性,并證明;(2)證明:在區(qū)間上單調(diào)遞減.18.已知函數(shù),(1)求函數(shù)的最小正周期;(2)求函數(shù)的對稱中心;(3)當(dāng)時,求的最大值和最小值.19.近年來,隨著我市經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展,政府對民生越來越關(guān)注市區(qū)現(xiàn)有一塊近似正三角形的土地(如圖所示),其邊長為2百米,為了滿足市民的休閑需求,市政府?dāng)M在三個頂點(diǎn)處分別修建扇形廣場,即扇形和,其中與、分別相切于點(diǎn),且與無重疊,剩余部分(陰影部分)種植草坪.設(shè)長為(單位:百米),草坪面積為(單位:萬平方米).(1)試用分別表示扇形和的面積,并寫出的取值范圍;(2)當(dāng)為何值時,草坪面積最大?并求出最大面積.20.已知為定義在上的奇函數(shù),當(dāng)時,函數(shù)解析式為.(1)求的值,并求出在上的解析式;(2)求在上的最值21.某中學(xué)共有3000名學(xué)生,其中高一年級有1200名學(xué)生,為了解學(xué)生的睡眠情況,現(xiàn)用分層抽樣的方法,在三個年級中抽取了200名學(xué)生,依據(jù)每名學(xué)生的睡眠時間(單位:小時),繪制出了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求樣本中高一年級學(xué)生的人數(shù)及圖中a的值;(2)估計樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)(保留兩位小數(shù));(3)估計全校睡眠時間不低于7個小時的學(xué)生人數(shù).
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個小題給出的四個選項中,恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】根據(jù)選項舉反例即可排除ABC,結(jié)合不等式性質(zhì)可判斷D【詳解】對A,取,則有,A錯;對B,取,則有,B錯;對C,取,則有,C錯;對D,若,則正確;故選:D2、B【解析】通過和同號可得前者等價于或,通過對數(shù)的性質(zhì)可得后者等價于或,結(jié)合充分條件,必要條件的概念可得結(jié)果.【詳解】或,或,即“”是“”成立必要不充分條件,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的性質(zhì)以及充分條件,必要條件的判定,屬于中檔題.3、D【解析】結(jié)合基本不等式來求得的最小值.【詳解】,,,,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,由.故選:D4、C【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出兩個函數(shù)y1=與y2=|sin2x|的圖象,根據(jù)圖象判斷兩個函數(shù)交點(diǎn)的個數(shù),進(jìn)而得到函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中分別畫出函數(shù)y1=與y2=|sin2x|的圖象,結(jié)合圖象可知兩個函數(shù)的圖象在上有5個交點(diǎn),故原函數(shù)有5個零點(diǎn)故選C【點(diǎn)睛】判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)時,可轉(zhuǎn)化為判斷函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的個數(shù)問題,解題時可畫出兩個函數(shù)的圖象,通過觀察圖象可得結(jié)論,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用5、B【解析】分析一次函數(shù)的單調(diào)性,可判斷AD選項,然后由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得的范圍,結(jié)合直線與軸的交點(diǎn)與點(diǎn)的位置關(guān)系可得出合適的選項.【詳解】因為一次函數(shù)為直線,且函數(shù)單調(diào)遞增,排除AD選項.對于B選項,指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,則,可得,此時,一次函數(shù)單調(diào)遞增,且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的上方,合乎題意;對于C選項,指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞減,則,可得,此時,一次函數(shù)單調(diào)遞增,且直線與軸的交點(diǎn)位于點(diǎn)的下方,不合乎題意.故選:B.6、B【解析】該幾何體是一個圓上面挖掉一個半球,S=2π×3+π×12+=9π.7、D【解析】根據(jù)題意先得到,,判斷其單調(diào)性,進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)且在上是奇函數(shù),所以所以,,又因為函數(shù)在上是增函數(shù),所以,所以,它的圖象可以看作是由函數(shù)向左平移一個單位得到,故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性以及函數(shù)圖象變換,熟記函數(shù)性質(zhì)即可,屬于??碱}型.8、B【解析】由對數(shù)的運(yùn)算法則可得:,當(dāng)時,脫去符號可得:,解得:,此時;當(dāng)時,脫去符號可得:,解得:,此時;據(jù)此可得:概率空間中的7個數(shù)中,大于1的5個數(shù)滿足題意,由古典概型公式可得,滿足題意的概率值:.本題選擇B選項.9、D【解析】由,求得,再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】解:因為,,且,所以m=-4,,所以=(-4,-8),故選:D10、B【解析】由區(qū)間的對稱性得到,解出b;利用偶函數(shù),得到,解出a,即可求出.【詳解】因為函數(shù)在區(qū)間上為偶函數(shù),所以,解得又為偶函數(shù),所以,即,解得:a=-1.所以.故選:B二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、9【解析】根據(jù)扇形的弧長是6,圓心角為2,先求得半徑,再代入公式求解.【詳解】因為扇形的弧長是6,圓心角為2,所以,所以扇形的面積為,故答案為:9.12、【解析】構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為4,5,,則長方體的對角線長等于三棱錐P-ABC外接球的直徑,即可求出三棱錐P-ABC外接球的表面積【詳解】∵三棱錐P?ABC中,PA=BC=4,PB=AC=5,PC=AB=,∴構(gòu)造長方體,使得面上的對角線長分別為4,5,,則長方體的對角線長等于三棱錐P?ABC外接球的直徑.設(shè)長方體的棱長分別為x,y,z,則,∴三棱錐P?ABC外接球的直徑為,∴三棱錐P?ABC外接球的表面積為.故答案為:26π.【點(diǎn)睛】本題主要考查三棱錐外接球表面積的求法,屬于難題.要求外接球的表面積和體積,關(guān)鍵是求出球的半徑,求外接球半徑的常見方法有:①若三條棱兩垂直則用(為三棱的長);②若面(),則(為外接圓半徑);③可以轉(zhuǎn)化為長方體的外接球;④特殊幾何體可以直接找出球心和半徑.13、①.55②.8【解析】將這10袋產(chǎn)品從編號,從第號袋中取出個產(chǎn)品,2,,,則共抽出個產(chǎn)品;將取出的產(chǎn)品一起稱重,稱出其重量,得到取出的次品的個數(shù)為8個,進(jìn)而能求出次品袋的編號【詳解】某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中有正品和次品,其中正品重個,次品重個現(xiàn)有10袋產(chǎn)品(每袋裝100個),其中1袋裝的全為次品,其余9袋裝的全為正品將這10袋產(chǎn)品從編號,從第號袋中取出個產(chǎn)品,2,,,則共抽出個產(chǎn)品;將取出的產(chǎn)品一起稱重,稱出其重量,取出的次品的個數(shù)為8個,則次品袋的編號為8故答案為:55;814、②③【解析】由條件可得方程有兩個實數(shù)解,然后逐一判斷即可.【詳解】∵在上單調(diào)遞增,由條件②可知,即方程有兩個實數(shù)解;∵x+1=x無實數(shù)解,∴①不存在“遞增黃金區(qū)間”;∵的兩根為:1和2,不難驗證區(qū)間[1,2]是函數(shù)的一個“遞增黃金區(qū)間”;在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下:由圖可得方程有兩個根,∴③也存在“遞增黃金區(qū)間”;在同一坐標(biāo)系中畫出與的圖象如下:所以沒有實根,∴④不存在.故答案為:②③.15、或【解析】令,記的兩根為,由題知的圖象與直線共有三個交點(diǎn),從而轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的分布問題,然后可解.【詳解】令,記的零點(diǎn)為,因為集合中有3個元素,所以的圖象與直線共有三個交點(diǎn),則,或或當(dāng)時,得,,滿足題意;當(dāng)時,得,,滿足題意;當(dāng)時,,解得.綜上,t的取值范圍為或.故答案為:或16、【解析】設(shè)不等式的解集為,從而得出韋達(dá)定理,由可得,要使,即不等式的解集為,則可得,以及是方程的兩個根,再得出其韋達(dá)定理,比較韋達(dá)定理可得出,從而求出與的關(guān)系,代入,得出答案.【詳解】,則由題意設(shè)集合,即不等式的解集為所以是方程的兩個不等實數(shù)根則,則由可得,由,所以不等式的解集為所以是方程,即的兩個不等實數(shù)根,所以故,,則,則,則由,即,即,解得綜上可得,所以的最大值為故答案:三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)是偶函數(shù),證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)先求定義域,再利用函數(shù)奇偶性的定義證明即可,(2)利用單調(diào)性的定義證明【小問1詳解】為偶函數(shù),證明如下:定義域為R,因為,所以是偶函數(shù).【小問2詳解】任取,且,則因為,所以,所以,即,由函數(shù)單調(diào)性定義可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減.18、(1)最小正周期(2),(3),【解析】(1)利用兩角和公式和二倍角公式對函數(shù)解析式化簡整理,利用周期公式求得函數(shù)的最小正周期,利用三角函數(shù)圖象和性質(zhì)求得其對稱軸方程(2)根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得;(3)利用的范圍求得的范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在區(qū)間上最大值和最小值【小問1詳解】解:即所以的最小正周期為,【小問2詳解】解:令,,解得,,所以函數(shù)的對稱中心為,【小問3詳解】解:當(dāng)時,,所以則當(dāng),即時,;當(dāng),即時,19、(1),,;(2)時,草坪面積最大,最大面積為萬平方米.【解析】(1)因為,所以可得三個扇形的半徑,圓心角都為,由扇形的面積公式可得答案;(2)用三角形面積減去三個扇形面積可得草坪面積,再利用二次函數(shù)可求出最值.【詳解】(1),則,,在扇形中,的長為,所以,同理,.∵與無重疊,∴,即,則.又三個扇形都在三角形內(nèi)部,則,∴.(2)∵,∴,∴當(dāng)時,取得最大值,為.故當(dāng)長為百米時,草坪面積最大,最大面積為萬平方米.【點(diǎn)睛】弧度制中求扇形弧長和面積的關(guān)鍵在于確定半徑和扇形圓心角弧度數(shù),解題時通常要根據(jù)已知條件列出方程,運(yùn)用方程思想求解,強(qiáng)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).屬于中檔題.20、(1)在上的解析式為;(2)函數(shù)在[0,1]上的最大與最小值分別為0,-2.【解析】(1)根據(jù)函數(shù)的奇偶性可知,代入即可求值;(2)利用換元得出新的函數(shù),再結(jié)合新的函數(shù)解析式求最值即可.【詳解】(1)為定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且在處有意義,即,設(shè),則又,所以,在上的解析式為(2)當(dāng),,∴設(shè)則當(dāng)t=1時,取最大值,最大值為1-1=0.當(dāng)t=0時,取最小值為-2.所以,函數(shù)在[0,1]上的最大與最小值分別為
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