內(nèi)蒙古呼和浩特市金山學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題含解析

內(nèi)蒙古呼和浩特市金山學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則下列說(shuō)法中一定正確的是（）A. B.C. D.2．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.3．世界上最早在理論上計(jì)算出“十二平均律”的是我國(guó)明代杰出的律學(xué)家朱載堉，他當(dāng)時(shí)稱這種律制為“新法密率”十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它前一個(gè)單音的頻率的比都相等，且最后一個(gè)單音是第一個(gè)單音頻率的2倍.已知第十個(gè)單音的頻率，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是（）A.880 B.622C.311 D.2204．在長(zhǎng)方體中，，，則異面直線與所成角的正弦值是（）A. B.C. D.5．《周髀算經(jīng)》是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作，書中提到:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個(gè)節(jié)氣的日影子長(zhǎng)依次成等差數(shù)列.若冬至、大寒、雨水的日影子長(zhǎng)的和是尺，芒種的日影子長(zhǎng)為尺，則冬至的日影子長(zhǎng)為（）A.尺 B.尺C.尺 D.尺6．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.7．已知命題p：，，則（）A.， B.，C.， D.，8．設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在平面內(nèi)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限9．在等比數(shù)列中，若，，則（）A. B.C. D.10．設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo)，則等于（）A. B.C. D.以上都不對(duì)11．已知函數(shù)對(duì)于任意的滿足，其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則下列各式正確的是（）A. B.C. D.12．已知圓：，是直線的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則的最小值為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一道樓梯共10階，小王同學(xué)要登上這道樓梯，登樓梯時(shí)每步隨機(jī)選擇一步一階或一步兩階，小王同學(xué)7步登完樓梯的概率為___________.14．已知雙曲線：，，是其左右焦點(diǎn).圓：，點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是________.15．若和或都是假命題，則的范圍是__________16．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若點(diǎn)在直線上，則______；______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）求適合下列條件的曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1），焦點(diǎn)在軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）焦點(diǎn)在軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程18．（12分）已知正項(xiàng)數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，平面，，是的中點(diǎn).（1）若為線段的中點(diǎn)，證明：平面；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求的長(zhǎng)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．（12分）如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，，分別是棱與的中點(diǎn).（1）求以，，，為頂點(diǎn)的四面體的體積；（2）求異面直線和所成角的大小.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線C的焦點(diǎn)為、，實(shí)軸長(zhǎng)為.（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，求直線l的方程.22．（10分）如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥面ABCD，E為PD的中點(diǎn).（1）證明：PB∥面AEC；（2）設(shè)AP＝1，AD＝，三棱錐P－ABD的體積V＝，求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】AD選項(xiàng)，舉出反例即可；BC選項(xiàng)，利用不等式的基本性質(zhì)進(jìn)行判斷.【詳解】當(dāng)，時(shí)，滿足，此時(shí)，故A錯(cuò)誤；因，所以，，，B正確；因?yàn)椋?，，故，C錯(cuò)誤；當(dāng)，時(shí)，滿足，，，所以，D錯(cuò)誤.故選：B2、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進(jìn)而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C3、C【解析】依題意，每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，由，算出公比，結(jié)合，即可求出.【詳解】設(shè)第一個(gè)單音的頻率為，則最后一個(gè)單音的頻率為，由題意知，且每一個(gè)單音的頻率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，設(shè)公比為，則，解得：又，則與第四個(gè)單音的頻率最接近的是311,故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是分析題意將其轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列的知識(shí)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】連接，可得，得到異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，設(shè)，求得的值，在中，利用余弦定理，即可求解.【詳解】如圖所示，連接，在正方體中，可得，所以異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，由在長(zhǎng)方體中，，，設(shè)，可得，在直角中，可得，在中，可得，所以，因?yàn)椋?故選：C.5、D【解析】根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列，求首項(xiàng).【詳解】設(shè)冬至的日影長(zhǎng)為，雨水的日影長(zhǎng)為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，芒種的日影長(zhǎng)為，，解得：，，所以冬至的日影長(zhǎng)為尺.故選：D6、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長(zhǎng)為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長(zhǎng)為2，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.7、C【解析】由全稱命題的否定：將任意改存在并否定結(jié)論，即可寫出原命題p的否定.【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，∴是“，”.故選：C.8、A【解析】計(jì)算出復(fù)數(shù)即可得出結(jié)果.【詳解】由于，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，在第一象限，故選：A.9、D【解析】由等比數(shù)列的性質(zhì)得，化簡(jiǎn)，代入數(shù)值求解.【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等比數(shù)列，所以，由題意，所以.故選：D10、C【解析】根據(jù)目標(biāo)式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的定義即可得結(jié)果.【詳解】.故選：C11、C【解析】令，結(jié)合題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出，變形即可得出結(jié)果.【詳解】令，則，又，所以，令，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，即，則.故選：C12、A【解析】根據(jù)題意，為四邊形的面積的2倍，即，然后利用切線長(zhǎng)定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離求解.【詳解】圓：的圓心為，半徑，設(shè)四邊形的面積為，由題設(shè)及圓的切線性質(zhì)得，，∵，∴，圓心到直線的距離為，∴的最小值為，則的最小值為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，分別求出每種的基本事件數(shù)，再利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可分為步、步、步、步、步、步共6種情況，①步：即步兩階，有種；②步：即步兩階與步一階，有種；③步：即步兩階與步一階，有種；④步：即步兩階與步一階，有種；⑤步：即步兩階與步一階，有種；⑥步：即步一階，有種；綜上可得一共有種情況，滿足7步登完樓梯的有種；故7步登完樓梯的概率為故答案為：14、##【解析】利用雙曲線定義，將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的最小值問(wèn)題，然后結(jié)合圖形可解.【詳解】由題設(shè)知，，，，圓的半徑由點(diǎn)為雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)知∴∴.故答案為：15、【解析】先由和或都是假命題，求出x的范圍，取交集即可.【詳解】若為假命題，則有或若或是假命題，則所以的范圍是即的范圍是胡答案：16、①.；②.【解析】根據(jù)等差數(shù)列的定義，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式、裂項(xiàng)相消法進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，所以數(shù)列是以，公差為的等差數(shù)列，所以；因?yàn)?，所以，于是，故答案為：；三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）或【解析】（1）設(shè)方程為（，），即得解；（2）由題得，即得解.【詳解】（1）解：由題意，設(shè)方程為（，），，，，，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（2）焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2，，∴當(dāng)焦點(diǎn)在軸上時(shí)，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為或18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由遞推關(guān)系式化簡(jiǎn)及等比數(shù)列的的定義證明即可；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法求解即可得解.【小問(wèn)1詳解】證明：由得，而且，則，即數(shù)列為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列【小問(wèn)2詳解】由上可知，所以，19、（1）證明見解析；（2）存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為，理由見解析.【解析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，得到，結(jié)合面面平行的判定定理證得平面平面，進(jìn)而得到平面；（2）以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求得的法向量為和向量，結(jié)合向量的夾角公式列出方程，求得的值，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：取的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，且，所以平面平面，又由平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】解：以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸，以垂直平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)榈酌媸沁呴L(zhǎng)為2的菱形，設(shè)，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，因?yàn)?，所以，即，解得，設(shè)，可得，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，設(shè)直線與平面所成角為，所以，解得，即，所以存在點(diǎn)，且的長(zhǎng)為.20、（1）（2）【解析】（1）由題意可知該四面體為以為底面，以為高的四面體，可得四面體體積；（2）連接，，可得即為異面直線和所成的角的平面角，根據(jù)余弦定理可得角的大小.【小問(wèn)1詳解】解：連接，，，以，，，為頂點(diǎn)的四面體即為三棱錐，底面的面積，高，則其體積；【小問(wèn)2詳解】解：連接，，，則即為異面直線和所成的角的平面角，在中，，，，則，故，即和所成的角的的大小為.21、（1）（2）.【解析】（1）根據(jù)條件，結(jié)合雙曲線定義即可求得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，不符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線，變形后由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得斜率，即可求得直線方程.【詳解】（1）根據(jù)題意，焦點(diǎn)在軸上，且，所以，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為C：.（2）過(guò)點(diǎn)的直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，且Q恰好為線段的中點(diǎn)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線方程為，則由雙曲線對(duì)稱性可知線段的中點(diǎn)在軸上，所以不滿足題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，設(shè)，則，化簡(jiǎn)可得，因?yàn)橛袃蓚€(gè)交點(diǎn)，所以化簡(jiǎn)可得恒成立，所以，因?yàn)榍『脼榫€段的中點(diǎn)，則，化簡(jiǎn)可得，所以直線方程為，即.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)雙曲線定義求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與雙曲線的位置關(guān)系，由中點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程，屬于中檔題.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】(1)設(shè)