江西省重點中學協(xié)作體2025屆數(shù)學高二上期末綜合測試試題含解析

江西省重點中學協(xié)作體2025屆數(shù)學高二上期末綜合測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面內有一點，平面的一個法向量為，則下列四個點中在平面內的是（）A. B.C. D.2．在中，，滿足條件的三角形的個數(shù)為（）A.0 B.1C.2 D.無數(shù)多3．《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有五人分五錢，令上兩人與下三人等，問各得幾何？”其意思為：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5錢，甲、乙兩人所得之和與丙、丁、戊所得之和相同，且是甲、乙、丙、丁、戊所得以此為等差數(shù)列，問五人各得多少錢？”（“錢”是古代一種重量單位），這個問題中戊所得為（）A.錢 B.錢C.錢 D.錢4．命題“，”的否定是A.， B.，C.， D.，5．若圓與圓有且僅有一條公切線，則（）A.－23 B.－3C.－12 D.－136．命題“存在，使得”的否定為（）A.存在， B.對任意，C對任意， D.對任意，7．已知空間向量，則（）A. B.C. D.8．已知正實數(shù)a，b滿足，若不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．若方程表示雙曲線，則（）A. B.C. D.10．已知直線l與圓交于A，B兩點，點滿足，若AB的中點為M，則的最大值為（）A. B.C. D.11．橢圓的焦點坐標為（）A.， B.，C.， D.，12．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝2，a2+a3＝13，則a4+a5+a6等于（）A.40 B.42C.43 D.45二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若復數(shù)滿足，則_____14．若函數(shù)，則_______15．若、是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的左右兩支分別交于，兩點.若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為________.16．達?芬奇認為：和音樂一樣，數(shù)學和幾何“包含了宇宙的一切”，從年輕時起，他就本能地把這些主題運用在作品中，布達佩斯的伊帕姆維澤蒂博物館收藏的達?芬奇方磚，在正六邊形上畫了具有視覺效果的正方體圖案（如圖1），把三片這樣的達?芬奇方磚形成圖2的組合，這個組合表達了圖3所示的幾何體.若圖3中每個正方體的邊長為1，則點到直線的距離是__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在等差數(shù)列中，已知公差，前項和(其中)（1）求；（2）求和：18．（12分）已知A（-3，0），B（3，0），四邊形AMBN的對角線交于點D（1，0），kMA與kMB的等比中項為，直線AM，NB相交于點P.（1）求點M的軌跡C的方程；（2）若點N也在C上，點P是否在定直線上?如果是，求出該直線，如果不是，請說明理由.19．（12分）如圖，在四棱錐中，面ABCD，，且，，，，，N為PD的中點.（1）求證：平面PBC；（2）在線段PD上是否存在一點M，使得直線CM與平面PBC所成角的正弦值是.若存在，求出的值，若不存在，說明理由.20．（12分）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，.（1）求角B；（2）求a，c的值及的面積.21．（12分）在△中，內角所對的邊分別為，已知（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值22．（10分）在數(shù)列中，,，數(shù)列滿足（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列前項和為，且滿足，求的表達式；（3）令，對于大于的正整數(shù)、（其中），若、、三個數(shù)經適當排序后能構成等差數(shù)列，求符合條件的數(shù)組.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】設所求點的坐標為，由，逐一驗證選項即可【詳解】設所求點的坐標為，則，因為平面的一個法向量為，所以，，對于選項A，，對于選項B，，對于選項C，，對于選項D，故選：A2、B【解析】利用正弦定理得到，進而或，由，得，即可求解【詳解】由正弦定理得，，或，，，故滿足條件的有且只有一個.故選：B3、D【解析】根據(jù)題意將實際問題轉化為等差數(shù)列的問題即可解決【詳解】解：由題意，可設甲、乙、丙、丁、戊五人分得的錢分別為，，，，則，，，，成等差數(shù)列，設公差為，整理上面兩個算式，得：，解得，故選：4、C【解析】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，故命題的否定是“”.本題選擇C選項.5、A【解析】根據(jù)兩圓有且僅有一條公切線，得到兩圓內切，從而可求出結果.【詳解】因為圓，圓心為，半徑為；圓可化為，圓心為，半徑，又圓與圓有且僅有一條公切線，所以兩圓內切，因此，即，解得.故選：A.6、D【解析】根據(jù)特稱命題否定的方法求解，改變量詞，否定結論.【詳解】由題意可知命題“存在，使得”的否定為“對任意，”.故選：D.7、A【解析】求得，即可得出.【詳解】，，，.故選：A.8、D【解析】利用基本不等式求出的最小值16，分離參數(shù)即可.【詳解】因為，，，所以，當且僅當，即，時取等號由題意，得，即對任意的實數(shù)x恒成立，又，所以，即故選：D9、C【解析】根據(jù)曲線方程表示雙曲線方程有，即可求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，，可得.故選：C.10、A【解析】設，，則、，由點在圓上可得，再由向量垂直的坐標表示可得，進而可得M的軌跡為圓，即可求的最大值.【詳解】設，中點，則，，又，，則，所以，又，則，而，，所以，即，綜上，，整理得，即為M的軌跡方程，所以在圓心為，半徑為的圓上，則.故選：A.【點睛】關鍵點點睛：由點圓位置、中點坐標公式及向量垂直的坐標表示得到關于的軌跡方程.11、A【解析】由題方程化為橢圓的標準方程求出c，則橢圓的焦點坐標可求【詳解】由題得方程可化為，所以所以焦點為故選：A.12、B【解析】根據(jù)已知求出公差即可得出.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，因為，，所以，則.故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設，則，利用復數(shù)相等，求出，的值，結合復數(shù)的模長公式進行計算即可【詳解】設，則，則由得，即，則，得，則，故答案為【點睛】本題主要考查復數(shù)模長的計算，利用待定系數(shù)法，結合復數(shù)相等求出復數(shù)是解決本題的關鍵14、1【解析】先對函數(shù)求導，然后令可求出的值【詳解】因為，所以，則，解得故答案為：15、【解析】根據(jù)雙曲線的定義算出△AF1F2中，|AF1|=2a，|AF2|=4a，由△ABF2是等邊三角形得∠F1AF2=120°，利用余弦定理算出c=a，結合雙曲線離心率公式即可算出雙曲線C的離心率.【詳解】因為△ABF2為等邊三角形，可知，A為雙曲線上一點，，B為雙曲線上一點，則，即，∴由，則，已知，在△F1AF2中應用余弦定理得：，得c2=7a2，則e2＝7?e＝故答案為：【點睛】方法點睛：求雙曲線的離心率，常常不能經過條件直接得到a，c的值，這時可將或視為一個整體，把關系式轉化為關于或的方程，從而得到離心率的值.16、【解析】根據(jù)題意，求得△的三條邊長，在三角形中求邊邊上的高線即可.【詳解】根據(jù)題意，延長交于點，連接，如下所示：在△中，容易知：；同理，，滿足，設點到直線的距離為，由等面積法可知：，解得，即點到直線的距離是.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）12（2）18【解析】（1）根據(jù)已知的,利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式即可列式求解；（2）由第（1）問中求解出的的通項公式，要求前12項絕對值的和，可以發(fā)現(xiàn)，該數(shù)列前6項為正項，后6項為負項，因此在算和的時候，后6項和可以取原通項公式的相反數(shù)即可計算，即為，然后再加上前6項和，即為要求的前12項絕對值的和.【小問1詳解】由題意可得，在等差數(shù)列中，已知公差，前項和所以，解之得，所以n=12【小問2詳解】由（1）可知數(shù)列{an}的通項公式為，所以即18、（1）；（2）點P在定直線x=9上.理由見解析.【解析】(1)設點，根據(jù)兩點坐標距離公式和等比數(shù)列的等比中項的應用列出方程，整理方程即可；(2)設直線MN方程為：，點，聯(lián)立雙曲線方程消去x得到關于y的一元二次方程，根據(jù)韋達定理寫出，利用兩點坐標和直線的點斜式方程寫出直線PA、PB，聯(lián)立方程組，解方程組即可.【小問1詳解】設點，則，又，所以，整理，得，即軌跡M的方程C為：；【小問2詳解】點P在定直線上.由(1)知，曲線C方程為：，直線MN過點D(1,0)若直線MN斜率不存在，則，得，不符合題意；設直線MN方程為：，點，則，消去x，得，有，，，，所以直線PA方程為：，直線PB方程為：，所以點P的坐標為方程組的解，有，即，整理，得，解得，即點P在定直線上.19、（1）證明見解析（2）存在，且【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，利用直線與平面所成角的正弦值列方程，化簡求得.【小問1詳解】設是的中點，連接，由于，所以四邊形是矩形，所以，由于平面，所以，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，，設平面的法向量為，則，故可設.，且平面，所以平面.【小問2詳解】，設，則，，，設直線與平面所成角為，則，，兩邊平方并化簡得，解得或（舍去）.所以存在，使直線與平面所成角的正弦值是，且.20、（1）（2），，【解析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得，進而求得.（2）利用余弦定理求得和，由此求得三角形的面積.【小問1詳解】由于，∴.又∵，∴.∴.【小問2詳解】∵，且，，，∴，解得或（舍）.∴，.∴.21、（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理，將條件中的邊化成角，可得，進而可得的值；（2）由三角形面積公式可得，再由余弦定理可得，得最后結論試題解析：（1），又∴又得（2）由，∴又得，∴得考點：正弦定理；余弦定理【易錯點睛】解三角形問題的兩重性：①作為三角形問題，它必須要用到三角形的內角和定理，正弦、余弦定理及其有關三角形的性質，及時進行邊角轉化，有利于發(fā)現(xiàn)解題的思路；②它畢竟是三角變換，只是角的范圍受到了限制，因此常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”（即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結構”）是使問題獲得解決的突破口22、（1）證明見解析，；（2）；（3）.【解析】（1）由已知等式變形可得，利用等比數(shù)列的定義可證得結論成立，確定等比數(shù)列的首項和公比，可求得數(shù)列的通項公式；（2）求得，然后分、兩種情況討論，結合裂項相消法可得出的表達式；（3）求得，