2025屆湖北省黃岡、華師大附中等八校數(shù)學高三上期末聯(lián)考試題含解析

2025屆湖北省黃岡、華師大附中等八校數(shù)學高三上期末聯(lián)考試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．5782．函數(shù)的大致圖象是A． B． C． D．3．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．4．已知，則，不可能滿足的關(guān)系是（）A． B． C． D．5．關(guān)于圓周率π，數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實驗和查理斯實驗．受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計下面的實驗來估計的值：先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對；再統(tǒng)計兩數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù)；最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值，那么可以估計的值約為（）A． B． C． D．6．如圖，已知三棱錐中，平面平面，記二面角的平面角為，直線與平面所成角為，直線與平面所成角為，則（）A． B． C． D．7．如圖，在中，點是的中點，過點的直線分別交直線，于不同的兩點，若，，則（）A．1 B． C．2 D．38．蒙特卡洛算法是以概率和統(tǒng)計的理論、方法為基礎(chǔ)的一種計算方法，將所求解的問題同一定的概率模型相聯(lián)系；用均勻投點實現(xiàn)統(tǒng)計模擬和抽樣，以獲得問題的近似解，故又稱統(tǒng)計模擬法或統(tǒng)計實驗法.現(xiàn)向一邊長為的正方形模型內(nèi)均勻投點，落入陰影部分的概率為，則圓周率（）A． B．C． D．9．已知集合A，B=,則A∩B=A． B． C． D．10．函數(shù)的最小正周期是，則其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是（）A． B． C． D．11．已知集合，，若，則（）A． B． C． D．12．已知，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則展開式中的系數(shù)為__14．設(shè)數(shù)列為等差數(shù)列，其前項和為，已知，，若對任意都有成立，則的值為__________．15．將含有甲、乙、丙的6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料，則甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一個組的概率為__________.16．在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，且，成等差數(shù)列，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓與拋物線有共同的焦點，且離心率為，設(shè)分別是為橢圓的上下頂點（1）求橢圓的方程；（2）過點與軸不垂直的直線與橢圓交于不同的兩點，當弦的中點落在四邊形內(nèi)（含邊界）時，求直線的斜率的取值范圍.18．（12分）某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調(diào)查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統(tǒng)計，將數(shù)據(jù)按照，，，，分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.理科方向文科方向總計男110女50總計（1）根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的，求的分布列、期望和方差.參考公式：，其中.參考臨界值：0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，∠，是邊長為2的正三角形，，為線段的中點．（1）求證：平面平面；（2）若為線段上一點，當二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積．20．（12分）已知與有兩個不同的交點，其橫坐標分別為（）.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）求證：.21．（12分）為了解甲、乙兩個快遞公司的工作狀況，假設(shè)同一個公司快遞員的工作狀況基本相同，現(xiàn)從甲、乙兩公司各隨機抽取一名快遞員，并從兩人某月(30天)的快遞件數(shù)記錄結(jié)果中隨機抽取10天的數(shù)據(jù)，整理如下：甲公司員工：410，390，330，360，320，400，330，340，370，350乙公司員工：360，420，370，360，420，340，440，370，360，420每名快遞員完成一件貨物投遞可獲得的勞務(wù)費情況如下：甲公司規(guī)定每件0.65元，乙公司規(guī)定每天350件以內(nèi)(含350件)的部分每件0.6元，超出350件的部分每件0.9元.（1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)寫出甲公司員工在這10天投遞的快件個數(shù)的平均數(shù)和眾數(shù)；（2）為了解乙公司員工每天所得勞務(wù)費的情況，從這10天中隨機抽取1天，他所得的勞務(wù)費記為(單位：元)，求的分布列和數(shù)學期望；（3）根據(jù)題中數(shù)據(jù)估算兩公司被抽取員工在該月所得的勞務(wù)費.22．（10分）已知.（Ⅰ）當時，解不等式；（Ⅱ）若的最小值為1，求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復(fù)出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復(fù)出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應(yīng)用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.2、A【解析】

利用函數(shù)的對稱性及函數(shù)值的符號即可作出判斷.【詳解】由題意可知函數(shù)為奇函數(shù)，可排除B選項；當時，，可排除D選項；當時，，當時，，即，可排除C選項，故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)圖象的判斷，函數(shù)對稱性的應(yīng)用，屬于中檔題．3、B【解析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.4、C【解析】

根據(jù)即可得出，，根據(jù)，，即可判斷出結(jié)果．【詳解】∵；∴，；∴，，故正確；，故C錯誤；∵，故D正確故C．【點睛】本題主要考查指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運算，以及基本不等式：和不等式的應(yīng)用，屬于中檔題5、D【解析】

由試驗結(jié)果知對0～1之間的均勻隨機數(shù)，滿足，面積為1，再計算構(gòu)成鈍角三角形三邊的數(shù)對，滿足條件的面積，由幾何概型概率計算公式，得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積，即可估計的值．【詳解】解：根據(jù)題意知，名同學取對都小于的正實數(shù)對，即，對應(yīng)區(qū)域為邊長為的正方形，其面積為，若兩個正實數(shù)能與構(gòu)成鈍角三角形三邊，則有，其面積；則有，解得故選：．【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應(yīng)用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形，可以直接解出可行域的面積；求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.6、A【解析】

作于,于,分析可得,,再根據(jù)正弦的大小關(guān)系判斷分析得,再根據(jù)線面角的最小性判定即可.【詳解】作于,于.因為平面平面,平面.故,故平面.故二面角為.又直線與平面所成角為,因為,故.故,當且僅當重合時取等號.又直線與平面所成角為,且為直線與平面內(nèi)的直線所成角,故,當且僅當平面時取等號.故.故選：A【點睛】本題主要考查了線面角與線線角的大小判斷,需要根據(jù)題意確定角度的正弦的關(guān)系,同時運用線面角的最小性進行判定.屬于中檔題.7、C【解析】

連接AO，因為O為BC中點，可由平行四邊形法則得，再將其用，表示.由M、O、N三點共線可知，其表達式中的系數(shù)和，即可求出的值.【詳解】連接AO，由O為BC中點可得，，、、三點共線，，.故選：C.【點睛】本題考查了向量的線性運算，由三點共線求參數(shù)的問題，熟記向量的共線定理是關(guān)鍵.屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】

計算出黑色部分的面積與總面積的比，即可得解.【詳解】由，∴.故選：A【點睛】本題考查了面積型幾何概型的概率的計算，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先解A、B集合，再取交集?！驹斀狻?所以B集合與A集合的交集為，故選A【點睛】一般地，把不等式組放在數(shù)軸中得出解集。10、D【解析】

由三角函數(shù)的周期可得，由函數(shù)圖像的變換可得，平移后得到函數(shù)解析式為，再求其對稱軸方程即可.【詳解】解：函數(shù)的最小正周期是，則函數(shù)，經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為，由，得，當時，.故選D.【點睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換，屬基礎(chǔ)題.11、A【解析】

由，得，代入集合B即可得.【詳解】，，，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

利用函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，可得，再利用對數(shù)運算性質(zhì)比較a,c進而可得結(jié)論.【詳解】依題意，函數(shù)與函數(shù)關(guān)于直線對稱，則，即，又，所以，.故選：B.【點睛】本題主要考查對數(shù)、指數(shù)的大小比較，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1．【解析】

由題意求定積分得到的值，再根據(jù)乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，求出展開式中的系數(shù)．【詳解】∵已知，則，

它表示4個因式的乘積．

故其中有2個因式取，一個因式取，剩下的一個因式取1，可得的項．

故展開式中的系數(shù)．

故答案為：1．【點睛】本題主要考查求定積分，乘方的意義，排列組合數(shù)的計算公式，屬于中檔題．14、【解析】

由已知條件得出關(guān)于首項和公差的方程組，解出這兩個量，計算出，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出的最大值及其對應(yīng)的值，即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，解得，.所以，當時，取得最大值，對任意都有成立，則為數(shù)列的最大值，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數(shù)列前項和最值的計算，一般利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)求解，考查計算能力，屬于中等題.15、【解析】

先求出總的基本事件數(shù)，再求出甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件數(shù)，然后根據(jù)古典概型求解．【詳解】6人平均分成兩組參加“文明交通”志愿者活動，其中一組指揮交通，一組分發(fā)宣傳資料的基本事件總數(shù)共有個，甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的基本事件個數(shù)有：個，所以甲、乙至少一人參加指揮交通且甲、丙不在同一組的概率為.故答案為：【點睛】本題主要考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.16、【解析】

利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關(guān)于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為，成等差數(shù)列，所以，由等比數(shù)列通項公式得，，所以，解得或，因為，所以，所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為：【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式；考查運算求解能力和知識綜合運用能力；熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關(guān)鍵；屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）或【解析】

（1）由已知條件得到方程組，解得即可；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由得到的范圍，設(shè)弦中點坐標為則，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿足，得到不等式組，解得即可；【詳解】解：（1）由已知橢圓右焦點坐標為，離心率為，，，所以橢圓的標準方程為；（2）由題意得直線的斜率存在，設(shè)直線方程為聯(lián)立，消元整理得，，由，解得設(shè)弦中點坐標為，所以在軸上方，只需位于內(nèi)（含邊界）就可以，即滿足，即，解得或【點睛】本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質(zhì)，直線與橢圓的綜合應(yīng)用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．18、（1）列聯(lián)表見解析，有；（2）分布列見解析，，.【解析】

（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在、之間的學生人數(shù)，可得列聯(lián)表.根據(jù)列聯(lián)表計算的值，結(jié)合參考臨界值表可得到結(jié)論；（2）從該校高一學生中隨機抽取1人，求出該人為“文科方向”的概率.由題意，求出分布列，根據(jù)公式求出期望和方差.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可得分數(shù)在之間的學生人數(shù)為，在之間的學生人數(shù)為，所以低于60分的學生人數(shù)為120.因此列聯(lián)表為理科方向文科方向總計男8030110女405090總計12080200又，所以有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關(guān).（2）易知從該校高一學生中隨機抽取1人，則該人為“文科方向”的概率為.依題意知，所以（），所以的分布列為0123P所以期望，方差.【點睛】本題考查獨立性檢驗，考查離散型隨機變量的分布列、期望和方差，屬于中檔題.19、（1）見解析；（2）.【解析】

（1）先證明，可證平面，再由可證平面，即得證；（2）以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系，設(shè)，求解面的法向量，面的法向量，利用二面角的余弦值為，可求解，轉(zhuǎn)化即得解.【詳解】（1）證明：因為是正三角形，為線段的中點，所以．因為是菱形，所以．因為，所以是正三角形，所以，所以平面．又，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）由（1）知平面，所以，．而，所以，．又，所以平面．以為坐標原點，建立如圖所示空間直角坐標系．則．于是，，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，即．設(shè)，易得，．設(shè)面的一個法向量，由得令，則，，即．依題意，即，令，則，即，即．所以．【點睛】本題考查了空間向量和立體幾何綜合，考查了面面垂直的判斷，二面角的向量求解，三棱錐的體積等知識點，考查了學生空間想象，邏輯推理，數(shù)學運算的能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）見解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，分析函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，即得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，可證得：，，分析直線，與從左到右交點的橫坐標，在，處的切線即得解.【詳解】（1）設(shè)函數(shù)，，令，令故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∵時；；時.（2）①過點，的直線為，則令，，，.②過點，的直線為，則，在上單調(diào)遞增.③設(shè)直線，與從左到右交點的橫坐標依次為，，由圖知.④在，處的切線分別為，，同理可以證得，.記直線與兩切線和從左到右交點的橫