2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1空間向量及其運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算課時(shí)跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-1

PAGE空間向量的數(shù)乘運(yùn)算[A組學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]1．設(shè)M是△ABC的重心，記a＝eq\o(BC,\s\up10(→))，b＝eq\o(CA,\s\up10(→))，c＝eq\o(AB,\s\up10(→))，則eq\o(AM,\s\up10(→))為()A.eq\f(b－c,2) B.eq\f(c－b,2)C.eq\f(b－c,3) D.eq\f(c－b,3)解析：M為△ABC重心，則eq\o(AM,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\o(AB,\s\up10(→))＋\o(AC,\s\up10(→))))＝eq\f(1,3)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)(c－b)．答案：D2.如圖所示，空間四邊形OABC中，OA＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，點(diǎn)M在OA上，且eq\o(OM,\s\up10(→))＝2eq\o(MA,\s\up10(→))，N為BC中點(diǎn)，則eq\o(MN,\s\up10(→))等于()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)cB．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)cD.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(ON,\s\up10(→))－eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))－eq\f(2,3)eq\o(OA,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(b＋c)－eq\f(2,3)a＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.答案：B3.在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up10(→))＝2eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))＋λeq\o(CB,\s\up10(→))，則λ等于()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,3)C．－eq\f(1,3) D．－eq\f(2,3)解析：∵eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(CA,\s\up10(→))＋eq\f(2,3)eq\o(CB,\s\up10(→))，∴λ＝eq\f(2,3).答案：A4．非零向量e1，e2不共線，使ke1＋e2與e1＋ke2共線的k等于()A．0 B．1C．－1 D．±1解析：若ke1＋e2與e1＋ke2共線，則ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝λ，,λk＝1，))∴k＝±1.答案：D5．在下列條件中，使M與A，B，C確定共面的是()A.eq\o(OM,\s\up10(→))＝3eq\o(OA,\s\up10(→))－2eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OC,\s\up10(→))B.eq\o(OM,\s\up10(→))＋eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→))＝0C.eq\o(MA,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(MC,\s\up10(→))＝0D.eq\o(OM,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(OB,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up10(→))解析：∵eq\o(MA,\s\up10(→))＋eq\o(MB,\s\up10(→))＋eq\o(MC,\s\up10(→))＝0，∴eq\o(MA,\s\up10(→))＝－eq\o(MB,\s\up10(→))－eq\o(MC,\s\up10(→))，∴M與A，B，C必共面．答案：C6．化簡(jiǎn)：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在△ABC中，已知D是AB邊上一點(diǎn)，若eq\o(AD,\s\up10(→))＝3eq\o(DB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up10(→))＋λeq\o(CB,\s\up10(→))，則λ＝________.解析：eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(DB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\f(1,4)(eq\o(CB,\s\up10(→))－eq\o(CA,\s\up10(→)))＝eq\f(3,4)eq\o(CB,\s\up10(→))＋eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up10(→))，又eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(1,4)eq\o(CA,\s\up10(→))＋λeq\o(CB,\s\up10(→))，所以λ＝eq\f(3,4).答案：eq\f(3,4)8．在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，若eq\o(AC1,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋2yeq\o(BC,\s\up10(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up10(→))，則x＋y＋z＝________.解析：如圖所示，eq\o(AC1,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CC1,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up10(→)).又∵eq\o(AC1,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋2yeq\o(BC,\s\up10(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up10(→))，∴xeq\o(AB,\s\up10(→))＋2yeq\o(BC,\s\up10(→))＋3zeq\o(C1C,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋(－1)eq\o(C1C,\s\up10(→))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,2y＝1，,3z＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(1,2)，,z＝－\f(1,3)，))∴x＋y＋z＝1＋eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(7,6).答案：eq\f(7,6)9.如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若eq\o(A1B1,\s\up10(→))＝a，eq\o(A1D1,\s\up10(→))＝b，eq\o(A1A,\s\up10(→))＝c.試用a，b，c表示eq\o(B1M,\s\up10(→))，eq\o(C1M,\s\up10(→)).解析：eq\o(B1M,\s\up10(→))＝eq\o(B1A1,\s\up10(→))＋eq\o(A1A,\s\up10(→))＋eq\o(AM,\s\up10(→))＝－a＋c＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up10(→))＝－a＋c＋eq\f(1,2)(a＋b)＝－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c，eq\o(C1M,\s\up10(→))＝eq\o(C1B1,\s\up10(→))＋eq\o(B1M,\s\up10(→))＝eq\o(D1A1,\s\up10(→))＋eq\o(B1M,\s\up10(→))＝－b－eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.10.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，請(qǐng)推斷向量eq\o(EF,\s\up10(→))與eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))是否共線？解析：∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)．∴eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))eq\o(AF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))又∵eq\o(EF,\s\up10(→))＝eq\o(AF,\s\up10(→))－eq\o(AE,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→)))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up10(→))＝eq\f(\o(AD,\s\up10(→))＋\o(AC,\s\up10(→))－\o(AB,\s\up10(→)),2)又∵eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(AC,\s\up10(→))－eq\o(AB,\s\up10(→))＝2eq\o(EF,\s\up10(→))∴eq\o(EF,\s\up10(→))與eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))共線．[B組實(shí)力提升]11．給出下列命題：①若A，B，C，D是空間隨意四點(diǎn)，則有eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(BC,\s\up10(→))＋eq\o(CD,\s\up10(→))＋eq\o(DA,\s\up10(→))＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共線的充要條件；③若eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))共線，則AB∥CD；④對(duì)空間隨意一點(diǎn)O與不共線的三點(diǎn)A，B，C，若eq\o(OP,\s\up10(→))＝xeq\o(OA,\s\up10(→))＋yeq\o(OB,\s\up10(→))＋zeq\o(OC,\s\up10(→))(其中x，y，z∈R)，則P，A，B，C四點(diǎn)共面．其中不正確命題的個(gè)數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：明顯①正確；若a，b共線，則|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②錯(cuò)誤；若eq\o(AB,\s\up10(→))，eq\o(CD,\s\up10(→))共線，則直線AB，CD可能重合，故③錯(cuò)誤；只有當(dāng)x＋y＋z＝1時(shí)，P，A，B，C四點(diǎn)才共面，故④錯(cuò)誤．故選C.答案：C12．已知非零向量e1，e2不共線，假如eq\o(AB,\s\up10(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up10(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up10(→))＝3e1－3e2，則A，B，C，D四點(diǎn)()A．確定共線B．恰是空間四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)C．確定共面D．確定不共面解析：因?yàn)榉橇阆蛄縠1，e2不共線，eq\o(AB,\s\up10(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up10(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up10(→))＝3e1－3e2，所以5eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→))＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝eq\o(AC,\s\up10(→))，所以eq\o(AC,\s\up10(→))＝5eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→)).由平面對(duì)量基本定理可知，A，B，C，D四點(diǎn)共面．答案：C13.如圖所示，在四面體O-ABC中，eq\o(OA,\s\up10(→))＝a，eq\o(OB,\s\up10(→))＝b，eq\o(OC,\s\up10(→))＝c，D為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，則eq\o(OE,\s\up10(→))＝________(用a，b，c表示)．解析：eq\o(OE,\s\up10(→))＝eq\o(OA,\s\up10(→))＋eq\o(AE,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up10(→))＝a＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up10(→))－eq\o(OA,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up10(→))＋eq\o(OC,\s\up10(→)))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c14.如圖所示，已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M，N分別為PC，PD上的點(diǎn)，且PM∶MC＝2∶1，N為PD的中點(diǎn)．若eq\o(MN,\s\up10(→))＝xeq\o(AB,\s\up10(→))＋yeq\o(AD,\s\up10(→))＋zeq\o(AP,\s\up10(→))，則x＋y＋z＝________.解析：在PD上取一點(diǎn)F，使PF∶FD＝2∶1，連接MF(圖略)，則eq\o(MN,\s\up10(→))＝eq\o(MF,\s\up10(→))＋eq\o(FN,\s\up10(→)).因?yàn)閑q\o(FN,\s\up10(→))＝eq\o(DN,\s\up10(→))－eq\o(DF,\s\up10(→))＝eq\f(1,2)eq\o(DP,\s\up10(→))－eq\f(1,3)eq\o(DP,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)eq\o(DP,\s\up10(→))＝eq\f(1,6)(eq\o(AP,\s\up10(→))－eq\o(AD,\s\up10(→)))，eq\o(MF,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(CD,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(BA,\s\up10(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))，所以eq\o(MN,\s\up10(→))＝－eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\f(1,6)eq\o(AD,\s\up10(→))＋eq\f(1,6)eq\o(AP,\s\up10(→))，所以x＝－eq\f(2,3)，y＝－eq\f(1,6)，z＝eq\f(1,6).故x＋y＋z＝－eq\f(2,3).答案：－eq\f(2,3)15．在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求證：eq\o(A1N,\s\up10(→))與eq\o(A1B,\s\up10(→))，eq\o(A1M,\s\up10(→))共面．證明：∵eq\o(A1B,\s\up10(→))＝eq\o(AB,\s\up10(→))－eq\o(AA1,\s\up10(→))，eq\o(A1M,\s\up10(→))＝eq\o(A1D1,\s\up10(→))＋eq\o(D1M,\s\up10(→))＝eq\o(AD,\s\up10(→))－eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up10(→))，eq\o(AN,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))，∴eq\o(A1N,\s\up10(→))＝eq\o(AN,\s\up10(→))－eq\o(AA1,\s\up10(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(AB,\s\up10(→))＋eq\o(AD,\s\up10(→)))－eq\o(AA1,\s\up10(→))＝