2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布7.2離散型隨機變量及其分布列教師用書教案新人教A版選擇性必修第三冊

PAGE7.2離散型隨機變量及其分布列新版課程標準學業(yè)水平要求1.借助詳細實例,了解離散型隨機變量及其分布列.2.體會連續(xù)型隨機變量與離散型隨機變量的共性與差異.1.借助教材實例,了解離散型隨機變量及其分布列.(數(shù)學抽象)2.了解離散型隨機變量的性質、兩點分布的概念.(數(shù)學抽象)3.會求簡潔的離散型隨機變量的分布列.(數(shù)學運算)必備學問·素養(yǎng)奠基1.離散型隨機變量(1)隨機變量:對于隨機試驗樣本空間Ω中的每一個樣本點ω,都有唯一的實數(shù)XQUOTE與之對應,我們稱X為隨機變量.(2)離散型隨機變量:可能取值為有限個或可以一一列舉的隨機變量,我們稱之為離散型隨機變量.(3)表示:隨機變量用大寫英文字母表示,如X,Y,Z;隨機變量的取值用小寫英文字母表示,如x,y,z.(4)本質:通過引入一個取值依靠于樣本點的變量X,來刻畫樣本點和實數(shù)的對應關系,實現(xiàn)樣本點的數(shù)量化.2.離散型隨機變量的分布列(1)定義:設離散型隨機變量X的可能取值為x1,x2,…,xn,我們稱X取每一個值xi的概率PQUOTE=pi,i=1,2,…,n為X的概率分布列,簡稱分布列.(2)表示:表格Xx1x2…xnPp1p2…pn概率分布圖(3)性質:①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.3.兩點分布對于只有兩個可能結果的隨機試驗,用A表示“勝利”,QUOTE表示“失敗”,定義X=QUOTE假如PQUOTE=p,則PQUOTE=1-p,那么X的分布列為X01P1-pp我們稱X聽從兩點分布或0-1分布.若隨機變量X的分布列為X12P那么X聽從兩點分布嗎?提示:不聽從兩點分布,X的取值只能是0,1.1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)一只大熊貓一年內的體重是離散型隨機變量.()(2)離散型隨機變量的取值肯定是有限個.()(3)離散型隨機變量是指某一區(qū)間內的隨意值.()提示:(1)×.大熊貓一年內的體重是連續(xù)型隨機變量.(2)×.離散型隨機變量的取值可能是無限個,但是能一一列出.(3)×.離散型隨機變量的取值可以是隨意的實數(shù).2.下列變量:①某機場候機室中一天的旅客數(shù)量為X;②某尋呼臺一天內收到的尋呼次數(shù)為X;③某水電站視察到一天中長江的水位為X;④某立交橋一天內經過的車輛數(shù)為X.其中不是離散型隨機變量的是()A.①中的X B.②中的XC.③中的X D.④中的X【解析】選C.①②④中的隨機變量X可能取的值,我們都可以按肯定次序一一列出,因此它們都是離散型隨機變量;③中的X可以取某一區(qū)間內的一切值,無法按肯定次序一一列出,故它不是離散型隨機變量.3.袋中有大小相同的5個鋼球,分別標有1,2,3,4,5五個號碼.在有放回地抽取條件下依次取出2個球,設兩個球號碼之和為隨機變量X,則X全部可能值的個數(shù)是()A.25 B.10 C.9 D.5【解析】選C.第一次可取1,2,3,4,5中的隨意一個,由于是有放回地抽取,其次次也可取1,2,3,4,5中的任何一個,兩次的號碼和可能為2,3,4,5,6,7,8,9,10.關鍵實力·素養(yǎng)形成類型一離散型隨機變量的概念【典例】1.下列所述:①某加工廠加工的一批某種鋼管的外徑與規(guī)定的外徑尺寸之差X;②某報社一天內收到的投稿件數(shù)X;③一天之內的溫度X;④一位射擊手對目標進行射擊,擊中目標得1分,未擊中目標得0分,用X表示該射擊手在一次射擊中的得分.其中X是離散型隨機變量的是()A.②③B.②④C.③④D.③④2.(多選題)拋擲兩枚骰子一次,記第一枚骰子擲出的點數(shù)減去其次枚骰子擲出的點數(shù)之差為X,那么“X≤-4”表示的隨機事務的結果是()A.第一枚1點,其次枚4點B.第一枚2點,其次枚6點C.第一枚1點,其次枚5點D.第一枚1點,其次枚6點【思維·引】1.依據(jù)離散型隨機變量的定義推斷;2.利用兩次擲出的點數(shù)驗證.【解析】1.選B.②④中的X可以取的值可以一一列舉出來,而①③中的X可以取某一區(qū)間內的一切值,屬于連續(xù)型的.2.選BCD.拋擲兩枚骰子,點數(shù)之差滿意小于等于-4的只有三種狀況,故第一枚為1點、其次枚為6點,第一枚為1點、其次枚為5點,第一枚為2點、其次枚為6點.【內化·悟】本例2中,假如擲出的點數(shù)之差的肯定值為隨機變量X,則X取值有哪些?提示:X=0,1,2,3,4,5.【類題·通】1.關于離散型隨機變量的推斷(1)把握離散型隨機變量的特點:有限個或能一一列出;(2)依據(jù)實際狀況或條件求出隨機變量的取值進行推斷.2.關于離散型隨機變量取值的意義關鍵是明確隨機試驗產生隨機變量的方法,就可以反推隨機變量的取值對應的試驗結果.這個試驗結果對于求隨機變量取值對應的概率至關重要.【習練·破】在8件產品中,有3件次品,5件正品,從中任取一件,取到次品就停止,設抽取次數(shù)為X,則X=3表示的試驗結果是________.

【解析】X=3表示共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品.答案:共抽取3次,前2次均是正品,第3次是次品【加練·固】一個袋中裝有5個白球和5個黑球,從中任取3個,其中所含白球的個數(shù)為ξ.(1)列表說明可能出現(xiàn)的結果與對應的ξ的值;(2)若規(guī)定抽取3個球中,每抽到一個白球加5分,抽到黑球不加分,且最終結果都加上6分,求最終得分η的可能取值,并判定η是否為離散型隨機變量.【解析】(1)ξ0123結果取得3個黑球取得1個白球,2個黑球取得2個白球,1個黑球取得3個白球(2)由題意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范圍為{0,1,2,3},所以η對應的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值為6,11,16,21.明顯,η為離散型隨機變量.類型二離散型隨機變量的分布列的性質【典例】1.離散型隨機變量X的分布列為X01P9C2-C3-8C則常數(shù)C的值為()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE或QUOTE D.以上都不對2.設離散型隨機變量X的分布列為X01234P0.20.10.10.3m求:(1)2X+1的分布列;(2)求P(1<X≤4)的值.【思維·引】1.利用分布列中概率和為1求出C值,再驗證是否符合性質(1);2.(1)求出2X+1的取值,再求出對應的概率后列分布列;(2)依據(jù)分布列求出當1<X≤4時的概率.【解析】1.選B.由離散型隨機變量X的分布列,得QUOTE解得C=QUOTE或QUOTE(舍去).2.由分布列的性質知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.(1)由題意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3,P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3.所以2X+1的分布列為:2X+113579P0.20.10.10.30.3(2)P(1<X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0.1+0.3+0.3=0.7.【內化·悟】本例1中,C為什么不能取QUOTE?提示:若C=QUOTE,則3-8C=3-QUOTE=-QUOTE<0,不符合分布列的性質.【類題·通】關于離散型隨機變量的分布列的性質(1)X的各個取值表示的事務是互斥的,可以利用互斥事務和的概率公式求隨機變量在肯定范圍內的概率;(2)兩特性質p1+p2+…=1,且pi≥0,i=1,2,…,要逐一驗證,特殊不能忽視pi≥0.【習練·破】1.(2024·重慶高二檢測)已知隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),則實數(shù)m=()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選C.因為隨機變量ξ的分布列為P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得實數(shù)m=QUOTE.2.已知隨機變量X的分布列:X12345Pa(1)求a;(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).【解析】(1)由QUOTE+QUOTE+a+QUOTE+QUOTE=1,得a=QUOTE.(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=QUOTE+QUOTE=QUOTE,P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE.類型三求離散型隨機變量的分布列【典例】某電視臺“挑戰(zhàn)主持人”節(jié)目的挑戰(zhàn)者闖第一關須要回答三個問題,其中前兩個問題回答正確各得10分,回答不正確得0分,第三個問題回答正確得20分,回答不正確得-10分.假如一位挑戰(zhàn)者回答前兩個問題正確的概率都是QUOTE,回答第三個問題正確的概率為QUOTE,且各題回答正確與否相互之間沒有影響.若這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總分不低于10分就算闖關勝利.(1)求這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X的分布列.(2)求這位挑戰(zhàn)者闖關勝利的概率.【思維·引】(1)先確定總得分X的取值,再分別求出概率后列分布列;(2)利用分布列求X≥10的概率.【解析】(1)這位挑戰(zhàn)者回答這三個問題的總得分X全部可能的取值為-10,0,10,20,30,40,P(X=-10)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=0)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=10)=QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=20)=QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=30)=QUOTE×QUOTE×QUOTE×QUOTE=QUOTE,P(X=40)=QUOTE×QUOTE=QUOTE.所以X的分布列為:X-10010203040P(2)依題意總分不低于10分就算闖關勝利,所以這位挑戰(zhàn)者闖關勝利的概率P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1-QUOTE-QUOTE=QUOTE.【類題·通】求離散型隨機變量的分布列的一般步驟:(1)確定X的全部可能取值xi(i=1,2,…)以及每個取值所表示的意義;(2)利用概率的相關學問,求出每個取值相應的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…);(3)寫出分布列;(4)依據(jù)分布列的性質對結果進行檢驗.【習練·破】在射擊的試驗中,令X=QUOTE假如射中的概率為0.75,則隨機變量X的分布列為________.

【解析】由P(X=1)=0.75,得P(X=0)=0.25.所以X的分布列為:X10P0.750.25答案:X10P0.750.25課堂檢測·素養(yǎng)達標1.已知隨機變量X的分布列是X123Pab則a+b=()A.QUOTEB.QUOTEC.1D.QUOTE【解析】選A.由隨機變量X的分布列的性質得:QUOTE+a+b=1,解得a+b=QUOTE.2.某人進行射擊,共有10發(fā)子彈,若擊中目標或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)為ξ,則ξ=10,表示的試驗結果是()A.第10次擊中目標B.第10次未擊中目標C.前9次未擊中目標D.第9次擊中目標【解析】選C.擊中目標或子彈打完就停止射擊,射擊次數(shù)ξ=10,則說明前9次均未擊中目標,第10次擊中目標或未擊中目標.3.設隨機變量X等可能取值1,2,3,…,n,若P(X<4)=0.3,則n=()A.3 B.4 C.10 D.不確定【解析】選C.因為X等可能取1,2,3,…,n,所以X的每個值的概率均為QUOTE.由題意知P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=QUOTE=0.3,所以n=10.4.在一次競賽中,需回答三個問題,競賽規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個問題的總得分ξ的全部可能取值是________.

【解析】在一次競賽中,需回答三個問題,競賽規(guī)定:每題回答正確得100分,回答不正確得-100分,則選手甲回答這三個