2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.6余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)學(xué)案含解析北師大版必修4

PAGE6余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)考綱定位重難突破1.會(huì)利用誘導(dǎo)公式、圖像的平移得到余弦函數(shù)的圖像．2.會(huì)用五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)畫(huà)函數(shù)y＝cosx在x∈[0,2π]上的簡(jiǎn)圖．3.駕馭余弦函數(shù)的性質(zhì).重點(diǎn)：1.用“五點(diǎn)法”畫(huà)余弦函數(shù)的圖像．2.余弦函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用．難點(diǎn)：余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)綜合應(yīng)用.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第16頁(yè)[自主梳理]1．余弦函數(shù)圖像的畫(huà)法(1)平移法(2)五點(diǎn)法①五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πcosx10－101②函數(shù)y＝cosx，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖③y＝cosx，x∈[0,2π]的圖像向左、向右平行移動(dòng)(每次平移2π個(gè)單位)得到余弦函數(shù)y＝cosx(x∈R)的圖像，此圖像叫做余弦曲線．2．余弦函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝cosx定義域R值域[－1,1]奇偶性偶函數(shù)周期性周期函數(shù)，最小正周期為2π單調(diào)性在每一個(gè)區(qū)間[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是增加的，在每一個(gè)區(qū)間[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是削減的[雙基自測(cè)]1．使cosx＝1－m有意義的m的取值范圍是()A．m≥0 B．0≤m≤2C．－1＜m＜1 D．m＜－1或m＞1解析：∵y＝cosx∈[－1,1]，∴－1≤1－m≤1，∴0≤m≤2.答案：B2．下列關(guān)于y＝cosx，x∈R的圖像描述錯(cuò)誤的是()A．在[0,2π]和[4π，6π]上的圖像形態(tài)相同，只是位置不同B．介于直線y＝1與直線y＝－1之間C．關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)D．與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn)答案：C3．在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝－cosx的圖像與余弦函數(shù)y＝cosx的圖像()A．只關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng) B．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C．關(guān)于原點(diǎn)、x軸對(duì)稱(chēng) D．關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)解析：作出函數(shù)y＝cosx與函數(shù)y＝－cosx的簡(jiǎn)圖(圖略)，易知選C.答案：C授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第16頁(yè)探究一余弦函數(shù)的圖像及應(yīng)用[典例1]用“五點(diǎn)法”作函數(shù)y＝1－cosx(0≤x≤2π)的簡(jiǎn)圖．[解析]列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝1－cosx01210描點(diǎn)并用光滑的曲線連接起來(lái)，如圖．1．用“五點(diǎn)法”作圖，首先要找到關(guān)鍵的五個(gè)點(diǎn)，然后連線．2．學(xué)習(xí)中需加強(qiáng)對(duì)用五點(diǎn)法作正弦、余弦函數(shù)圖像區(qū)分和聯(lián)系的理解．1．畫(huà)函數(shù)y＝2cosx＋3，x∈[0,2π]的簡(jiǎn)圖．解析：(1)列表：x0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πy＝cosx10－101y＝2cosx＋353135(2)描點(diǎn)：在平面直角坐標(biāo)系中描出(0,5)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，3))，(π，1)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，3))，(2π，5)五個(gè)點(diǎn)．(3)連線：用光滑的曲線將描出的五個(gè)點(diǎn)順次連接起來(lái)，如圖所示．探究二余弦函數(shù)的定義域、值域[典例2]求函數(shù)f(x)＝eq\r(2cosx－1)的定義域、值域．[解析]由2cosx－1≥0知cosx≥eq\f(1,2)，作出y＝cosx在x∈[－π，π]的圖像(圖略)知，2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z，∴定義域?yàn)閧x|2kπ－eq\f(π,3)≤x≤2kπ＋eq\f(π,3)，k∈Z}．又∵eq\f(1,2)≤cosx≤1，∴1≤2cosx≤2.∴0≤2cosx－1≤1.∴y＝eq\r(2cosx－1)的最小值為0，最大值為1，即值域?yàn)閇0,1]．求與余弦函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的定義域、值域時(shí)要留意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，以及余弦函數(shù)的有界性．2．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y＝2cos2x－2acosx－(2a＋1)的最小值為f(a)，試確定滿意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值．解析：令cosx＝t，t∈[－1,1]，則y＝2t2－2at－(2a＋1)，函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸為直線t＝eq\f(a,2).當(dāng)eq\f(a,2)＜－1，即a＜－2時(shí)，函數(shù)y在[－1,1]上單調(diào)遞增，ymin＝1≠eq\f(1,2)；當(dāng)eq\f(a,2)＞1，即a＞2時(shí)，函數(shù)y在[－1,1]上單調(diào)遞減，ymin＝－4a＋1＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(1,8)，與a＞2沖突；當(dāng)－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2時(shí)，ymin＝－eq\f(a2,2)－2a－1＝eq\f(1,2)，a2＋4a＋3＝0，解得a＝－1或a＝－3，∴a＝－1.此時(shí)ymax＝－4a＋1＝5.綜上可知，滿意f(a)＝eq\f(1,2)的a的值為－1，此時(shí)y的最大值為5.探究三余弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用[典例3]比較coseq\f(18π,7)與cos(－eq\f(π,7))的大?。甗解析]∵coseq\f(18π,7)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(4π,7)))＝coseq\f(4π,7)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7)))＝coseq\f(π,7)，且0＜eq\f(π,7)＜eq\f(4π,7)＜π，又∵y＝cosx在[0，π]上是減函數(shù)，∴coseq\f(π,7)＞coseq\f(4π,7)，即coseq\f(18π,7)＜coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,7))).比較大小常利用函數(shù)的單調(diào)性，單調(diào)性是對(duì)一個(gè)函數(shù)某個(gè)區(qū)間而言的，不同的函數(shù)名稱(chēng)，且所給數(shù)值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)時(shí)，應(yīng)先由誘導(dǎo)公式進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較大?。?．利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，比較cos(－eq\f(23π,5))與cos(－eq\f(17π,4))的大?。馕觯篶os(－eq\f(23π,5))＝coseq\f(23π,5)＝coseq\f(3π,5)，cos(－eq\f(17π,4))＝coseq\f(17π,4)＝coseq\f(π,4).因?yàn)?＜eq\f(π,4)＜eq\f(3π,5)＜π，且函數(shù)y＝cosx，x∈[0，π]是減函數(shù)，所以coseq\f(π,4)＞coseq\f(3π,5)，即cos(－eq\f(23π,5))＜cos(－eq\f(17π,4))．利用分類(lèi)探討的思想求參數(shù)的值[典例](本題滿分12分)當(dāng)函數(shù)y＝－cos2x＋acosx－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)(a≥－2)的最大值為1時(shí)，求實(shí)數(shù)a的值．[解析]設(shè)t＝cosx，則y＝－t2＋at－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(a,2)))2＋eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，①3分其中－1≤t≤1，對(duì)稱(chēng)軸t＝eq\f(a,2).4分①若－1≤eq\f(a,2)≤1，即－2≤a≤2時(shí)，②當(dāng)t＝eq\f(a,2)時(shí)，ymax＝eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)，6分令eq\f(a2,4)－eq\f(a,2)－eq\f(1,2)＝1，解得a＝1±eq\r(7)，舍去a＝1＋eq\r(7)，所以a＝1－eq\r(7).8分②若eq\f(a,2)>1，即a>2時(shí)，②當(dāng)t＝1時(shí)，ymax＝eq\f(a,2)－eq\f(3,2).令eq\f(a,2)－eq\f(3,2)＝1，③所以a＝5，11分綜上所述，a＝1－eq\r(7)或a＝5.④12分[規(guī)范與警示](1)在①處，換元后將函數(shù)的一般式變形為頂點(diǎn)式，為利用二次函數(shù)的性質(zhì)及“最大值為1”這一條件奠定基礎(chǔ)．這是解題的關(guān)鍵點(diǎn)．在②處，由a≥－2，函數(shù)在不同的區(qū)間內(nèi)最值不同，所以對(duì)參數(shù)a進(jìn)行分類(lèi)探討，分兩類(lèi)探討，即①－1≤eq\f(a,2)≤1，②eq\f(a,2)>1，本步為易漏點(diǎn)，也是失分點(diǎn)．解答本題常忽視③處