2025屆高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)的概念及基本初等函數(shù)I第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)學案理含解析

PAGE第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù)[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.了解冪函數(shù)的概念.2.結(jié)合函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝eq\f(1,x)，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))的圖象，了解它們的改變狀況.3.理解并駕馭二次函數(shù)的定義、圖象及性質(zhì).冪函數(shù)一般不單獨命題，常與指數(shù)、對數(shù)函數(shù)交匯命題；二次函數(shù)的圖象與應(yīng)用仍是2024年高考考查的熱點，題型多以選擇題、填空題為主，屬于中檔題，分值為5分.1.邏輯推理2.數(shù)學運算‖學問梳理‖1．冪函數(shù)(1)定義：形如eq\x(1)y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù)x是自變量，α為常數(shù)．常見的五類冪函數(shù)為y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝xeq\s\up6(\f(1,2))，y＝x－1.(2)性質(zhì)①冪函數(shù)在(0，＋∞)上都有定義．②當α>0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．③當α<0時，冪函數(shù)的圖象都過點(1，1)，且在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．2．二次函數(shù)(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：f(x)＝eq\x(2)ax2＋bx＋c(a≠0)．②頂點式：f(x)＝eq\x(3)a(x－m)2＋n(a≠0)．③零點式：f(x)＝eq\x(4)a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．(2)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)圖象eq\a\vs4\al()eq\a\vs4\al()定義域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))單調(diào)性在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞減；在eq\x(5)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞增在eq\x(6)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(b,2a)))上單調(diào)遞增；在eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)，＋∞))上單調(diào)遞減對稱性函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－eq\f(b,2a)對稱?常用結(jié)論(1)二次函數(shù)y＝f(x)對定義域內(nèi)全部x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要條件是函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱(a為常數(shù))．(2)一元二次不等式恒成立的條件①ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0.))②ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要條件是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))‖基礎(chǔ)自測‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)．(1)函數(shù)y＝2xeq\s\up6(\f(1,3))是冪函數(shù)．()(2)當n>0時，冪函數(shù)y＝xn在(0，＋∞)上是增函數(shù)．()(3)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不行能是偶函數(shù)．()(4)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值肯定是eq\f(4ac－b2,4a).()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×二、走進教材2．(必修1P79T1改編)已知冪函數(shù)f(x)＝k·xα的圖象過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，則k＋α＝()A．eq\f(1,2) B．1C．eq\f(3,2) D．2答案：C3．(必修1P44A9改編)若函數(shù)f(x)＝4x2－kx－8在[－1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是___________________．答案：(－∞，－8]∪[16，＋∞)三、易錯自糾4．已知a，b，c∈R，函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，則()A．a(chǎn)>0，4a＋b＝0 B．a(chǎn)<0，4a＋b＝0C．a(chǎn)>0，2a＋b＝0 D．a(chǎn)<0，2a＋b＝0解析：選A由f(0)＝f(4)>f(1)，得f(x)＝ax2＋bx＋c圖象的對稱軸為x＝－eq\f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0.又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，∴f(x)先減后增，于是a>0，故選A．5．若(a＋1)－2>(3－2a)－2，則a的取值范圍是____________________．解析：由y＝x－2的圖象關(guān)于y軸對稱知，函數(shù)y＝x－2在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)．因為(a＋1)－2>(3－2a)－2，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1>0，,3－2a>a＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a<0，,a＋1<0，,3－2a<a＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a>0，,a＋1<0，,3－2a>－（a＋1）))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－2a<0，,a＋1>0，,－（3－2a）>a＋1，))解得－1<a<eq\f(2,3)或a∈?或a<－1或a>4，所以a的取值范圍是(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))∪(4，＋∞)eq\a\vs4\al(考點一\a\vs4\al(冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)))|題組突破|1．(2025屆福建龍巖新羅區(qū)期中)若函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm是冪函數(shù)，且圖象與坐標軸無交點，則f(x)()A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C．是單調(diào)遞減函數(shù) D．在定義域內(nèi)有最小值解析：選B由冪函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm的圖象與坐標軸無交點，可得m2－m－1＝1，且m≤0，解得m＝－1，則函數(shù)f(x)＝x－1，是奇函數(shù)，在定義域上不是減函數(shù)，且無最值．故選B．2．已知點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，27))在冪函數(shù)f(x)＝(t－2)xa的圖象上，則t＋a＝()A．－1 B．0C．1 D．2解析：選B∵點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，27))在冪函數(shù)f(x)＝(t－2)xa的圖象上，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝(t－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(a)＝27，且t－2＝1，解得t＝3，a＝－3，∴t＋a＝3－3＝0.故選B．3．如圖的曲線是冪函數(shù)y＝xn在第一象限內(nèi)的圖象．已知n分別取±2，±eq\f(1,2)四個值，與曲線C1，C2，C3，C4相對應(yīng)的n依次為()A．2，eq\f(1,2)，－eq\f(1,2)，－2 B．2，eq\f(1,2)，－2，－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2)，－2，2，eq\f(1,2) D．－2，－eq\f(1,2)，eq\f(1,2)，2解析：選A依據(jù)冪函數(shù)y＝xn的性質(zhì)及在第一象限內(nèi)的圖象，當n>0時，n越大，遞增速度越快，故曲線C1對應(yīng)的n＝2，曲線C2對應(yīng)的n＝eq\f(1,2)；當n<0時，x→＋∞時，|n|越大，曲線遞減速度越快，所以曲線C3對應(yīng)的n＝－eq\f(1,2)，曲線C4對應(yīng)的n＝－2.故選A．?名師點津冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)問題的解題策略(1)關(guān)于圖象辨識問題，關(guān)鍵是熟識各類冪函數(shù)的圖象特征，如過特別點、凹凸性等．(2)關(guān)于比較冪值大小問題，結(jié)合冪值的特點利用指數(shù)冪的運算性質(zhì)化成同指數(shù)冪，選擇適當?shù)膬绾瘮?shù)，借助其單調(diào)性進行比較或應(yīng)用．(3)在解決冪函數(shù)與其他函數(shù)的圖象的交點個數(shù)、對應(yīng)方程根的個數(shù)及近似解等問題時，常用數(shù)形結(jié)合的思想方法，即在同一坐標系下畫出兩函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解．eq\a\vs4\al(考點二\a\vs4\al(二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)))|題組突破|4．如圖是二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c圖象的一部分，圖象過點A(－3，0)，對稱軸為x＝－1.給出下面四個結(jié)論：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正確的是()A．②④ B．①④C．②③ D．①③解析：選B因為圖象與x軸交于兩點，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正確；對稱軸為x＝－1，即－eq\f(b,2a)＝－1，2a－b＝0，②錯誤；結(jié)合圖象知，當x＝－1時，y>0，即a－b＋c>0，③錯誤；由對稱軸為x＝－1知，b＝2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正確．故選B．5．函數(shù)f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在區(qū)間[－1，＋∞)上是遞減的，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－3，0) B．(－∞，－3]C．[－2，0] D．[－3，0]解析：選D當a＝0時，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上遞減，滿意條件；當a≠0時，f(x)的對稱軸為x＝eq\f(3－a,2a)，由f(x)在[－1，＋∞)上遞減，知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))解得－3≤a<0.綜上，a的取值范圍為[－3，0]．故選D．6．由于被墨水污染，一道數(shù)學題僅能見到如下文字：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過點(1，0)…求證：這個二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線x＝2對稱．依據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)肯定不具有的性質(zhì)是()A．在x軸上截得的線段的長度是2B．與y軸交于點(0，3)C．頂點是(－2，－2)D．過點(3，0)解析：選C由已知得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0，,－\f(b,2a)＝2，))解得b＝－4a，c＝3a，∴二次函數(shù)為y＝a(x2－4x＋3)，∴其頂點的橫坐標為2.故選C．?名師點津二次函數(shù)性質(zhì)應(yīng)用的求解策略(1)先定性：當二次項系數(shù)含參數(shù)時，要分類探討：二次項參數(shù)大于0，等于0，小于0.(2)再定量：依據(jù)分類，畫出符合條件的草圖，結(jié)合圖象列式計算．eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(二次函數(shù)的最值問題——變式探究))【例】設(shè)函數(shù)y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函數(shù)的最小值為g(a)，求g(a)．[解]∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴對稱軸為直線x＝1.當－2<a≤1時，函數(shù)在[－2，a]上單調(diào)遞減，則當x＝a時，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；當a>1時，函數(shù)在[－2，1]上單調(diào)遞減，在[1，a]上單調(diào)遞增，則當x＝1時，y取得最小值，即ymin＝－1.綜上，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－2a，－2<a≤1，,－1，a>1.))|變式探究|1．(變條件)若“y＝x2－ax，x∈[－2，2]”，問題不變．解：∵對稱軸x＝eq\f(a,2)，∴①當eq\f(a,2)≤－2，即a≤－4時，此時在[－2，2]上單調(diào)遞增，故當x＝－2時，ymin＝g(－2)＝4＋2a.②當eq\f(a,2)≥2，即a≥4時，此時在[－2，2]上單調(diào)遞減，∴當x＝2時，ymin＝g(2)＝4－2a.③當－2<eq\f(a,2)<2，即－4<a<4時，函數(shù)在x＝eq\f(a,2)時取得最小值，即ymin＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝－eq\f(a2,4).綜上，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＋2a，a≤－4，,－\f(a2,4)，－4<a<4，,4－2a，a≥4.))2．(變條件)若“y＝ax2－2x，x∈[0，1]”，問題不變．解：①當a＝0時，f(x)＝－2x在[0，1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝－2；②當a≠0時，有f(x)＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))eq\s\up12(2)－eq\f(1,a).(ⅰ)當a>0時，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向上，且對稱軸為x＝eq\f(1,a).∴f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))＝－eq\f(1,a)；當eq\f(1,a)＞1，即0<a<1時，函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸在[0，1]的右側(cè)，∴f(x)在[0，1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2；(ⅱ)當a<0時，函數(shù)f(x)的圖象的開口方向向下，且對稱軸x＝eq\f(1,a)<0，在[0，1]的左側(cè)，∴f(x)在[0，1]上遞減，∴f(x)min＝f(1)＝a－2.綜上所述，g(a)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－2，a<1，,－\f(1,a)，a≥1.))?名師點津求二次函數(shù)在給定區(qū)間上最值的方法二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(不妨設(shè)a>0)在區(qū)間[m，n]上的最大或最小值如下：(1)當－eq\f(b,2a)∈[m，n]，即對稱軸在所給區(qū)間內(nèi)時：f(x)的最小值在對稱軸處取得，其最小值是feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))＝eq\f(4ac－b2,4a)；若－eq\f(b,2a)≤eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值為f(n)；若－eq\f(b,2a)≥eq\f(m＋n,2)，f(x)的最大值為f(m)．(2)當－eq\f(b,2a)?[m，n]，即給定的區(qū)間在對稱軸的一側(cè)時：f(x)在[m，n]上是單調(diào)函數(shù)．若－eq\f(b,2a)<m，f(x)在[m，n]上是增函數(shù)，f(x)的最小值是f(m)，最大值是f(n)；若n<－eq\f(b,2a)，f(x)在[m，n]上是減函數(shù)，f(x)的最小值是f(n)，最大值是f(m)．(3)當不能確定對稱軸－eq\f(b,2a)是否屬于區(qū)間[m，n]時：則需分類探討，以對稱軸與區(qū)間的關(guān)系確定探討的標準，然后轉(zhuǎn)化為上述(1)(2)兩種情形求最值．|跟蹤訓練|求函數(shù)f(x)＝x2＋2ax＋1在區(qū)間[－1，2]上的最大值．解：f(x)＝(x＋a)2＋1－a2，由題意得，f(x)的圖象是開口向上的拋物線，對稱軸為x＝－a.①當－a<eq\f(1,2)，即a>－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(2)＝4a＋5；②當－a≥eq\f(1,2)，即a≤－eq\f(1,2)時，f(x)max＝f(－1)＝2－2a，綜上，f(x)max＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＋5，a>－\f(1,2)，,2－2a，a≤－\f(1,2).))eq\a\vs4\al(考點\a\vs4\al(二次函數(shù)的創(chuàng)新應(yīng)用問題))【例】設(shè)f(x)與g(x)是定義在同一區(qū)間[a，b]上的兩個函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x)－g(x)在x∈[a，b]上有兩個不同的零點，則稱f(x)和g(x)在[a，b]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，區(qū)間[a，b]稱為“關(guān)聯(lián)區(qū)間”．若f(x)＝x2－3x＋4與g(x)＝2x＋m在[0，3]上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則m的取值范圍是________．[解析]由題意知，y＝f(x)－g(x)＝x2－5x＋4－m在[0，3]上有兩個不同的零點．在同始終角坐標系下作出函數(shù)y＝m與y＝x2－5x＋4(x∈[0，3])的圖象如圖所示，結(jié)合圖象可知，當函數(shù)y＝m與y＝x2－5