高中數(shù)學第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理一導學案新人教A版必修5

1.1.1正弦定理(一)教學目標1.駕馭正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡潔的解三角形問題．教學過程一、創(chuàng)設(shè)情景老師首先提出問題：通過學生對課本的預習，讓學生通過觀看《1.1.1正弦定理（一）》課件“情景引入”部分，讓學生與大家共享自己對正弦定理的了解。通過舉例說明和相互溝通.做好老師對學生的活動的梳理引導，并賜予主動評價.二、自主學習1.eq\f(a,sinA)＝______________＝______________＝2R(其中R是________________________)；提示：eq\f(b,sinB)eq\f(c,sinC)△ABC外接圓的半徑2．a(chǎn)＝eq\f(bsinA,sinB)＝eq\f(csinA,sinC)＝2RsinA；3．sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝________________，sinC＝____________________.提示：eq\f(b,2R)eq\f(c,2R)4.一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的________．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做________________．提示：元素解三角形三、合作探究探究點1：正弦定理的證明問題1如圖，在Rt△ABC中，eq\f(a,sinA)、eq\f(b,sinB)、eq\f(c,sinC)各自等于什么？提示：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝c.問題2在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)還成立嗎？課本是如何說明的？提示：在一般的△ABC中，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)仍舊成立，課本采納邊AB上的高CD＝bsinA＝asinB來證明．例1在鈍角△ABC中，證明正弦定理．證明如圖，過C作CD⊥AB，垂足為D，D是BA延長線上一點，依據(jù)正弦函數(shù)的定義知：eq\f(CD,b)＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sinA，eq\f(CD,a)＝sinB.∴CD＝bsinA＝asinB.∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB).同理，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).故eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).名師點評：(1)本例用正弦函數(shù)定義溝通邊與角內(nèi)在聯(lián)系，充分挖掘這些聯(lián)系可以使你理解更深刻，記憶更堅固．(2)要證eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，只需證asinB＝bsinA，而asinB，bsinA都對應CD.初看是神來之筆，細致體會還是有跡可循的，通過體會思維的軌跡，可以提高我們的分析解題實力．探究點2：用正弦定理解三角形例2在△ABC中，已知A＝32.0°，B＝81.8°，a＝42.9cm，解三角形．解依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，C＝180°－(A＋B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.依據(jù)正弦定理，得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(42.9sin81.8°,sin32.0°)≈80.1(cm)；依據(jù)正弦定理，得c＝eq\f(asinC,sinA)＝eq\f(42.9sin66.2°,sin32.0°)≈74.1(cm)．名師點評：(1)正弦定理事實上是三個等式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，每個等式涉及四個元素，所以只要知道其中的三個就可以求另外一個．(2)詳細地說，以下兩種情形適用正弦定理：①已知三角形的隨意兩角與一邊；②已知三角形的隨意兩邊與其中一邊的對角．探究點3：邊角互化例3在隨意△ABC中，求證：a(sinB－sinC)＋b(sinC－sinA)＋c(sinA－sinB)＝0.證明由正弦定理，令a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，k>0.代入得：左邊＝k(sinAsinB－sinAsinC＋sinBsinC－sinBsinA＋sinCsinA－sinCsinB)＝0＝右邊，所以等式成立．例4在△ABC中，A＝eq\f(π,3)，BC＝3，求△ABC周長的最大值．解設(shè)AB＝c，BC＝a，CA＝b.由正弦定理，得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(3,sin\f(π,3))＝2eq\r(3).∴b＝2eq\r(3)sinB，c＝2eq\r(3)sinC，a＋b＋c＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sinC＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－B))＝3＋2eq\r(3)sinB＋2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)cosB＋\f(1,2)sinB))＝3＋3eq\r(3)sinB＋3cosB＝3＋6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(B＋\f(π,6)))，∴當B＝eq\f(π,3)時，△ABC的周長有最大值9.名師點評：利用eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R或正弦定理的變形公式a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)能夠使三角形邊與角的關(guān)系相互轉(zhuǎn)化．四、當堂檢測1.在△ABC中，肯定成立的等式是()A．a(chǎn)sinA＝bsinBB．a(chǎn)cosA＝bcosBC．a(chǎn)sinB＝bsinAD．a(chǎn)cosB＝bcosA2．在△ABC中，sinA＝sinC，則△ABC是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．銳角三角形 D．鈍角三角形3．在△ABC中，已知BC＝eq\r(5)，sinC＝2sinA，則AB＝________.4．在△ABC中，a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝eq\f(π,4)，則A＝________.提示：1．C2.B3.2eq\r(5)4.eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)五、課堂小結(jié)本節(jié)課我們學習過哪些學問內(nèi)容?提示：1.定理的表示形式：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，或a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC(k>0)．2.正弦定理的應用范圍：(1)已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．(2)已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和兩角．3.利用正弦定理可以實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化：一方面可以化邊為角，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題來解決；另一方面，也可以化角為邊，轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來解決．六、課例點評本節(jié)課《正弦定理》第一課時，出自新人教A版必修5第一章第一節(jié)《正弦定理和余弦定理》。課程支配在“三角、向量”學問之后，是三角函數(shù)學問在三角形中的詳細運用，更是初中“三角形邊角關(guān)系”和“解直角三角形”內(nèi)容的干脆持續(xù)和拓展，同時也是處理可轉(zhuǎn)化為三角形計算的其他數(shù)學問題及生產(chǎn)生活實際問題的重要工具。本節(jié)課以實際問題作為驅(qū)動，創(chuàng)設(shè)了問題情境，明確了學習目標。從特別到一般，猜想正弦定理，然后證明正弦定理。猜想、證明的流程自然、有序、明白，體現(xiàn)了學習的認知規(guī)律，進行了思想方法的滲透，展示了數(shù)學內(nèi)在的邏輯力氣?！跋炔潞笞C”是數(shù)學探討的一般模式，用之于數(shù)學教學也是合情合理的。在學生大膽揣測結(jié)論的過程中，還對定理的發(fā)覺機制進行了設(shè)計，從形式美的角度大膽揣測，讓學生學會觀賞數(shù)學結(jié)構(gòu)之美、之稱。然后回來引例，首尾呼應，通過兩個例題，讓學初步體會學有所成，能夠剛好應用，收獲成就感。課堂教學中，運用多媒體課件協(xié)助于課堂教學，學生手腦并用，兩者結(jié)合得恰到好處。從整體上看，本節(jié)課以問題作為學問產(chǎn)生之源，在猜想證明中分析問題解決問題，