2024年中考數(shù)學壓軸題提升訓練圖形規(guī)律探索題含解析

圖形規(guī)律探究題【例1】如圖，在平面直角坐標系中，等腰直角三角形OA1A2的直角邊OA1在y軸的正半軸上，且OA1=A1A2=1，以OA2為直角邊作其次個等腰直角三角形OA2A3，以OA3為直角邊作第三個等腰直角三角形OA3A4，…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形OA2024A2024，則點A2024的坐標為 【答案】（0，21008）.【解析】解：由題意知：A1(0,1)，A2(1,1)，OA2=A2A3=，OA3=2，∴A3(2,0),同理，A4(2,－2)，A5(0,－4)，A6(－4,－4)，A7(－8,0)，A8(－8,8)，A9(0,16)……每隔8個點恰好處于同一坐標系或象限內，2024÷8=252……1，即點A2024在y軸正半軸上，橫坐標為0，各點縱坐標的肯定值為：20,20,21,21,22,22,23,23，……2024÷2=1008……1，可得點A2024的縱坐標為：21008，故答案為（0，21008）.【變式1-1】如圖，在一個單位為1的方格紙上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，是斜邊在x軸上、斜邊長分別為2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的頂點坐標分別為A1(2，0)，A2(1，-1)，A3(0，0)，則依圖中所示規(guī)律，A2024的橫坐標為（）A．-1008 B．2 C．1 D．1011【答案】A.【解析】解：視察圖形可知，奇數(shù)點在x軸上，偶數(shù)點在象限內，所以A2024在x軸上，A1，A5，A9，A13……，A4n－3在x正半軸，4n－3=2024，n=505.5，所以A2024不在x正半軸上；A3（0,0），A7（－2,0），A11（－4,0），A15（－8,0）……，3=4×0+3，7=4×1+3，11=4×2+3，15=4×3+3，……，2024=4×504+3，∴－2×504=－1008，即A2024的坐標為（－1008，0），故答案為：A.【變式1-2】如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，為一次旋轉，依此方式，……，繞點O連續(xù)旋轉2019次得到正方形OA2019B2019C2019，假如點A的坐標為(1，0)，那么點B2019的坐標為 .【答案】（－,0）.【解析】由旋轉及正方形性質可得：B(1,1),B1(0,)，B2(－1,1)，B3(－,0)，B4(－1,－1)，B5(0,－)，B6(1,－1)，B7(,0)，B8(1,1)，……∴360÷45=8，2024÷8=252……3，∴點B2024落在x軸負半軸上，即B2024(－,0)，故答案為：（－,0）.【例2】如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點A順指針旋轉到△AB1C1的位置，點B、O分別落在點B1、C1處，點B1在x軸上，再將△AB1C1繞點B1順時針旋轉到△A1B1C2的位置，點C2在x軸上，將△A1B1C2繞點C2順時針旋轉到△A2B2C2的位置，點A2在x軸上，依次進行下去…，若點A（，0），B（0，4），則點B2024的橫坐標為（）A．5 B．12 C．10070 D．10080【答案】D．【解析】解：由圖象可知點B2024在第一象限，∵OA=，OB=4，∠AOB=90°，在Rt△BOA中，由勾股定理得：AB=，可得：B2（10，4），B4（20，4），B6（30，4），…∴點B2024橫坐標為10080．故答案為：D．【變式2-1】我們將如圖所示的兩種排列形式的點的個數(shù)分別稱作“三角形數(shù)”（如1，3，6，10…）和“正方形數(shù)”（如1，4，9，16…），在小于200的數(shù)中，設最大的“三角形數(shù)”為m，最大的“正方形數(shù)”為n，則m+n的值為（）A．33 B．301 C．386 D．571【答案】C．【解析】解：由圖形知：第n個三角形數(shù)為1+2+3+…+n＝，第n個正方形數(shù)為n2，當n＝19時，＝190＜200，當n＝20時，＝210＞200，所以最大的三角形數(shù)：m＝190；當n＝14時，n2＝196＜200，當n＝15時，n2＝225＞200，所以最大的正方形數(shù)：n＝196，則m+n＝386，所以答案為：C．1.如圖，邊長為1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．連接對角線AC，以AC為邊作其次個菱形ACC1D1，使∠D1AC=60°；連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形AC1C2D2，使∠D2AC1=60°；…，按此規(guī)律所作的第n個菱形的邊長為．【答案】．【解析】解：∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB=60°，∴AB=BC=1，∠ACB=∠CAB=30°，∴AC=AB=，同理可得：AC1=AC=（）2，AC2=AC1=3=（）3，……第n個菱形的邊長為：，故答案為：．2.如圖，在平面直角坐標系中，∠AOB=30°，點A的坐標為（2，0），過點A作AA1⊥OB，垂足為點A1，過A1作A1A2⊥x軸，垂足為點A2；再過點A2作A2A3⊥OB，垂足為點A3；再過點A3作A3A4⊥x軸，垂足為點A4…；這樣始終作下去，則A2024的橫坐標為（）A．?（）2015 B．?（）2024 C．?（）2024 D．?（）2024【答案】B．【解析】解：∵∠AOB=30°，點A坐標為（2，0），∴OA=2，∴OA1=OA=，OA2=OA1=2×，OA3=OA2=2×…，∴OAn=（）nOA=2（）n．∴OA2024=2×（）2024=?（）2024故答案為：B．3.如圖，函數(shù)的圖象記為C1，它與x軸交于點O和點A1，將C1繞點A1選擇180°得C2，交x軸于點A2……，如此進行下去，若點P(103，m)在圖象上，則m的值是（ ）A.-2 B.2 C.-3 D.4【答案】A．【解析】解：由圖可知：橫坐標每間隔8個單位，函數(shù)值相同，即函數(shù)圖象重復周期為8，103÷8=12……5，當x=5時，y=－2，即m=－2，故答案為：A.4.如圖，彈性小球從點P(0，1)動身，沿所示方向運動，每當小球遇到正方形DABC的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當小球第1次遇到正方形的邊時的點為P1(-2，0)，第2次遇到正方形的邊時的點為P2，……，第n次遇到正方形的邊時的點為Pn，則點P2019的坐標是（）A．(0，1) B．(-4，1) C．(-2，0) D．(0，3)【答案】D．【解析】解：依據(jù)圖象可得：P1(-2,0)，P2(-4,1)，P3(0,3)，P4(-2,4)，P5(-4,0)，P6(0,1)，P7（－2,0）……2024÷6=336……3，即P2024（0,3），故答案為：D.5.如圖，在坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，點B在y軸上，OA=1，先將菱形OABC沿x軸的正方向無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續(xù)翻轉2024次，點B的落點依次為B1，B2，B3，…，則B2019的坐標為（）A.(1010,0) B.(1310.5,) C.(1345,) D.(1346,0)【答案】D.【解析】解：連接AC，如圖所示．∵四邊形OABC是菱形，∴OA=AB=BC=OC．∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形．∴AC=AB．∴AC=OA．∵OA=1，∴AC=1．由圖可知：每翻轉6次，圖形向右平移4．∵2024=336×6+3，∴點B3向右平移1344（即336×4）到點B2024．∵B3的坐標為（2，0），∴B2024的坐標為（1346，0），故答案為：D．6.如圖，在直角坐標系中，已知點A（﹣3，0），B（0，4），對△OAB連續(xù)作旋轉變換，依次得到△1，△2，△3，△4，…，則△2024的直角頂點的坐標為（）A．（8076，0） B．（8064，0） C．（8076，） D．（8064，）【答案】A．【解析】解：∵點A（﹣3，0）、B（0，4），由勾股定理得：AB＝5，由圖可知，三個三角形為一個循環(huán)，經(jīng)驗一次循環(huán)前進的水平距離為：12，2024÷3＝673，直角頂點在x軸上，673×12＝8076，∴△2024的直角頂點的坐標為（8076，0）．故答案為：A．7.如圖，在平面直角坐標系中，函數(shù)y=2x和y=﹣x的圖象分別為直線l1，l2，過點（1，0）作x軸的垂線交l1于點A1，過點A1作y軸的垂線交l2于點A2，過點A2作x軸的垂線交l1于點A3，過點A3作y軸的垂線交l2于點A4，…依次進行下去，則點A2024的坐標為．【答案】（21008，21009）．【解析】解：由圖可知：A1（1，2），A2（﹣2，2），A3（﹣2，﹣4），A4（4，﹣4），A5（4，8），…，∵2024=504×4+1，∴點A2024在第一象限，∵2024=1008×2+1，∴A2n+1（（﹣2）n，2（﹣2）n）（n為自然數(shù)）．∴A2024的坐標為（（﹣2）1008，2（﹣2）1008）=（21008，21009）．故答案為：（21008，21009）．8.如圖，在平面直角坐標系中，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉2024次得到正方形OA2024B2024C2024，假如點A的坐標為（1，0），那么點B2024的坐標為（）A．（1，1） B．（0，） C．（，0） D．（﹣1，1）【答案】D．【解析】解：∵四邊形OABC是正方形，OA＝1，∴B（1，1），連接OB，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB＝，由旋轉性質得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝，∴B1（0，），B2（﹣1，1），B3（﹣，0），…，360÷45=8，每8次一循環(huán)，2024÷8＝252……2，∴點B2024的坐標為（﹣1，1）.故答案為：D．9.將直角三角形紙板OAB按如圖所示方式放置在平面直角坐標系中，OB在x軸上，OB＝4，OA＝2．將三角形紙板繞原點O逆時針旋轉，每秒旋轉60°，則第2024秒時，點A的對應點A′的坐標為（）A．（﹣3，﹣） B．（3，﹣） C．（﹣3，） D．（0，2）【答案】A．【解析】解：360÷60=6，即每6秒一循環(huán)，2024÷6=336……3，即2024秒時，點A與其對應點A′關于原點O對稱，∵OA＝4，∠AOB＝30°，可得：A(3,)，∴第2024秒時，點A的對應點A′的坐標為(－3,－)，故答案為：A.10.正方形ABCD的位置在坐標中如圖所示，點A、D的坐標反別為（1，0）、（0，2），延長CB交x軸于點A1，作正方形A1B1C1C，延長C1B1交x軸于點A2，作正方形A2B2C2C1，…按這樣的規(guī)律進行下去，第2024個正方形的面積為 【答案】．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，∴∠ADO=∠BAA1，∵∠DOA=∠ABA1，∴△DOA∽△ABA1，∴，由勾股定理得：AB=AD=，∴BA1=，∴第2個正方形A1B1C1C的邊長A1C=A1B+BC=，面積=，同理，第3個正方形的面積為：，第4個正方形的面積為：，……∴第2024個正方形的面積為：.即答案為：.11.2的⊙OA0A0OA1A1O60°⊙OA2A2A2O方向運動到⊙OA3A3O60°的方向運動到⊙OA4A2017A2017A0間的距離是 【答案】4.【解析】解：由圖分析可知，A6點與A0點重合，2024÷6=336……1，即點A2017與A1重合，∵⊙O的2，∴點A2017與點A0間的距離是4.12.如圖，由一些點組成形如正多邊形的圖案，依據(jù)這樣的規(guī)律擺下去，則第n（n＞0）個圖案須要點的個數(shù)是．【答案】n2+2n.【解析】解：由圖知，第1個圖形點數(shù)為3+0×3，第2個圖形點數(shù)為4+1×4；第3個圖形點數(shù)為5+2×5；第4個圖形點數(shù)為6+3×6……第n個圖形點數(shù)為：（n+2）+（n－1）（n+2）=n2+2n，即答案為：n2+2n.13..如圖所示的坐標系中放置一菱形OABC，已知∠ABC=60°，點B在y軸上，OA=1，先將菱形OABC沿x軸的正方形無滑動翻轉，每次翻轉60°，連續(xù)翻轉2024次，點B的落點分別是B1，B2，B3，……，則B2024的坐標為 【答案】（1345.5，）.【解析】解：由題意知：OB=OA=，即B(0,)，∴B1的縱坐標為：，橫坐標為：×=，即B1(，)，由圖可知，每翻折6次，圖形向右平移4個單位，2024=336×6+1，求得：B2024（336×4+，），即B2024（1345.5，），故答案為：（1345.5，）.14.如圖，在平面直角坐標系中，點A1，A2，A3，……和點B1，B2，B3，……分別在直線和x軸上，△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3……都是等腰直角三角形，若點A1(1,1)，則點A2024的縱坐標是 【答案】.【解析】解：如圖，分別過A1，A2，A3作x軸的垂線，∵點A(1,1)在直線上，∴b=，由△OA1B1是等腰直角三角形，得：OB1=2，設A2(x,y)，則B1C2=x－2，y=x－2,∴x－2=，解得：x=，y=，即A2的縱坐標為：；同理可得：A3的縱坐