專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算（17類(lèi)重點(diǎn)考向）（原卷版）

主題四平面幾何專(zhuān)題18特殊四邊形及圓的相關(guān)證明與計(jì)算目錄一覽知識(shí)目標(biāo)（新課程標(biāo)準(zhǔn)提煉）中考命題趨勢(shì)（分析考察方向，精準(zhǔn)把握重難點(diǎn)）重點(diǎn)考向（以真題為例，探究中考命題方向）?考向一直角三角形斜邊上的中線(xiàn)?考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)?考向三矩形的判定與性質(zhì)?考向四菱形的判定與性質(zhì)?考向五正方形的判定與性質(zhì)?考向六垂徑定理的應(yīng)用?考向七圓周角定理?考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)?考向九三角形的外接圓與外心?考向十直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系?考向十一切線(xiàn)的判定與性質(zhì)?考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心?考向十三正多邊形和圓?考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算?考向十五扇形面積的計(jì)算?考向十六圓錐的計(jì)算?考向十七圓的綜合題最新真題薈萃（精選最新典型真題，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，優(yōu)化解題技巧）1.理解矩形、菱形、正方形的概念，以及它們之間的關(guān)系；探索并證明矩形、菱形、正方形的性質(zhì)定理和判定定理.2.探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，了解并證明圓周角定理及其推論；理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念，了解等圓、等弧的概念；知道三角形的外心；3.圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．了解直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系，掌握切線(xiàn)的概念，探索切線(xiàn)與過(guò)切點(diǎn)的半徑關(guān)系，會(huì)用三角尺過(guò)圓上一點(diǎn)畫(huà)圓的切線(xiàn)；知道三角形的內(nèi)心．4.會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積；了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系．特殊四邊形考點(diǎn)內(nèi)容是考查重點(diǎn)，年年都會(huì)考查，分值為15分左右，預(yù)計(jì)2024年各地中考還將出現(xiàn)，并且在選擇、填空題中考查利用特殊四邊形性質(zhì)和判定求角度、長(zhǎng)度問(wèn)題的可能性比較大。解答題中考查特殊四邊形的性質(zhì)和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函數(shù)、動(dòng)態(tài)問(wèn)題綜合應(yīng)用的可能性比較大。對(duì)于本考點(diǎn)內(nèi)容，要注重基礎(chǔ)，反復(fù)練習(xí)，靈活運(yùn)用。圓的性質(zhì)及其證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。與切線(xiàn)有關(guān)的證明與計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為8分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查，在解答題中想必還會(huì)考查切線(xiàn)的性質(zhì)和判定，和直角三角形結(jié)合的求線(xiàn)段長(zhǎng)的問(wèn)題和三角函數(shù)結(jié)合的求角度的問(wèn)題等知識(shí)點(diǎn)綜合，考查形式多樣，多以動(dòng)點(diǎn)、動(dòng)圖的形式給出，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。弧長(zhǎng)、扇形面積相關(guān)計(jì)算板塊內(nèi)容以考查綜合題為主，也是考查重點(diǎn)，除了填空題和選擇題外，年年都會(huì)考查綜合題，對(duì)多數(shù)考生來(lái)說(shuō)也是難點(diǎn)，分值為5分左右。預(yù)計(jì)2024年各地中考肯定還是考查的重點(diǎn)在選擇、填空題中考查弧長(zhǎng)、扇形面積，考查形式多樣，難度較大。關(guān)鍵是掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，力爭(zhēng)拿到全分。?考向一直角三角形斜邊上的中線(xiàn)1．（2023?株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：cm）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知∠ACB＝90°，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm2．（2023?荊州）如圖，CD為Rt△ABC斜邊AB上的中線(xiàn)，E為AC的中點(diǎn)．若AC＝8，CD＝5，則DE＝．?考向二平行四邊形的判定與性質(zhì)3．（2023?貴州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至D，使得BD＝CB，過(guò)點(diǎn)A，D分別作AE∥BD，DE∥BA，AE與DE相交于點(diǎn)E．下面是兩位同學(xué)的對(duì)話(huà)：小星：由題目的已知條件，若連接BE，則可證明BE⊥CD．小紅：由題目的已知條件，若連接CE，則可證明CE＝DE．（1）請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的說(shuō)法，并進(jìn)行證明；（2）連接AD，若，求AC的長(zhǎng)．4．（2023?揚(yáng)州）如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是平行四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，連接AF、CE相交于點(diǎn)M，連接AG、CH相交于點(diǎn)N．（1）求證：四邊形AMCN是平行四邊形；（2）若?AMCN的面積為4，求?ABCD的面積．?考向三矩形的判定與性質(zhì)5．（2023?雅安）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，P為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，作PD⊥BC于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，則DE的最小值為．6．（2023?大慶）如圖，在平行四邊形ABCD中，E為線(xiàn)段CD的中點(diǎn)，連接AC，AE，延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)F，連接DF，∠ACF＝90°．（1）求證：四邊形ACFD是矩形；（2）若CD＝13，CF＝5，求四邊形ABCE的面積．?考向四菱形的判定與性質(zhì)7．（2023?德陽(yáng)）如圖，?ABCD的面積為12，AC＝BD＝6，AC與BD交于點(diǎn)O，分別過(guò)點(diǎn)C，D作BD，AC的平行線(xiàn)相交于點(diǎn)F，點(diǎn)G是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是四邊形OCFD邊上的動(dòng)點(diǎn)，則PG的最小值是（）A．1 B． C． D．38．（2022?遼寧）如圖，CD是△ABC的角平分線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，BC的平行線(xiàn)，交BC于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F．若∠ACB＝60°，CD＝4，則四邊形CEDF的周長(zhǎng)是．?考向五正方形的判定與性質(zhì)9．（2020?臺(tái)州）下列是關(guān)于某個(gè)四邊形的三個(gè)結(jié)論：①它的對(duì)角線(xiàn)相等；②它是一個(gè)正方形；③它是一個(gè)矩形．下列推理過(guò)程正確的是（）A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③ C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②10．（2017?玉林）如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D是AB的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是AC，BC上的點(diǎn)（點(diǎn)E不與端點(diǎn)A，C重合），且AE＝CF，連接EF并取EF的中點(diǎn)O，連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使GO＝OD，連接DE，DF，GE，GF．（1）求證：四邊形EDFG是正方形；（2）當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最??？并求四邊形EDFG面積的最小值．?考向六垂徑定理的應(yīng)用11．（2023?廣西）趙州橋是當(dāng)今世界上建造最早，保存最完整的中國(guó)古代單孔敞肩石拱橋．如圖，主橋拱呈圓弧形，跨度約為37m，拱高約為7m，則趙州橋主橋拱半徑R約為（）A．20m B．28m C．35m D．40m12．（2023?東營(yíng)）“圓材埋壁”是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中的一個(gè)問(wèn)題：“今有圓材，埋在壁中，不知大?。凿忎徶钜淮?，鋸道長(zhǎng)一尺．問(wèn)：徑幾何？”轉(zhuǎn)化為現(xiàn)在的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD，垂足為E，CE＝1寸，AB＝10寸，則直徑CD的長(zhǎng)度為寸．?考向七圓周角定理13．（2023?云南）如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)．若∠BOC＝66°，則∠A＝（）A．66° B．33° C．24° D．30°14．（2023?深圳）如圖，在⊙O中，AB為直徑，C為圓上一點(diǎn)，∠BAC的角平分線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)D，若∠ADC＝20°，則∠BAD＝°．?考向八圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)15．（2023?西藏）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為BC延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)．若∠DCE＝65°，則∠BOD的度數(shù)是（）A．65° B．115° C．130° D．140°16．（2023?淮安）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BC是⊙O的直徑，BC＝2CD，則∠BAD的度數(shù)是°．?考向九三角形的外接圓與外心17．（2023?自貢）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的直徑，連接BD，∠DCA＝41°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．41° B．45° C．49° D．59°18．（2023?湖北）如圖，在3×3的正方形網(wǎng)格中，小正方形的頂點(diǎn)稱(chēng)為格點(diǎn)，頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上的圖形稱(chēng)為格點(diǎn)圖形，圖中的圓弧為格點(diǎn)△ABC外接圓的一部分，小正方形邊長(zhǎng)為1，圖中陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣?考向十直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系19．（2023?宿遷）在同一平面內(nèi)，已知⊙O的半徑為2，圓心O到直線(xiàn)l的距離為3，點(diǎn)P為圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線(xiàn)l的最大距離是（）A．2 B．5 C．6 D．820．（2023?鎮(zhèn)江）已知一次函數(shù)y＝kx+2的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、四象限，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心，r為半徑作⊙O．若對(duì)于符合條件的任意實(shí)數(shù)k，一次函數(shù)y＝kx+2的圖象與⊙O總有兩個(gè)公共點(diǎn)，則r的最小值為．?考向十一切線(xiàn)的判定與性質(zhì)21．（2023?郴州）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)．在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)D，連接CD，使∠BCD＝∠A．（1）求證：直線(xiàn)CD是⊙O的切線(xiàn)；（2）若∠ACD＝120°，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含π的式子表示）．22．（2023?巴中）如圖，已知等腰△ABC，AB＝AC，以AB為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作DF⊥AC于點(diǎn)E，交BA延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：DF是⊙O的切線(xiàn)．（2）若CE＝，CD＝2，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用π表示）．?考向十二三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心23．（2023?廣州）如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙I與BC，CA，AB分別相切于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若⊙I的半徑為r，∠A＝α，則（BF+CE﹣BC）的值和∠FDE的大小分別為（）A．2r，90°﹣α B．0，90°﹣α C．2r， D．0，24．（2023?攀枝花）已知△ABC的周長(zhǎng)為l，其內(nèi)切圓的面積為πr2，則△ABC的面積為（）A．rl B．πrl C．rl D．πrl?考向十三正多邊形和圓25．（2023?福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率π的近似值為3.1416．如圖，⊙O的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)⊙O的面積，可得π的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得π的估計(jì)值為（）A． B．2 C．3 D．226．（2023?衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是．?考向十四弧長(zhǎng)的計(jì)算27．（2023?青島）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∠B＝58°，∠ACD＝40°．若⊙O的半徑為5，則的長(zhǎng)為（）A． B． C．π D．28．（2023?阜新）如圖，四邊形OABC1是正方形，曲線(xiàn)C1C2C3C4C5…叫作“正方形的漸開(kāi)線(xiàn)”，其中，，，，…的圓心依次按O，A，B，C1循環(huán)，當(dāng)OA＝1時(shí)，點(diǎn)C2023的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，﹣2022） B．（﹣2023，1） C．（﹣1，﹣2023） D．（2022，0）?考向十五扇形面積的計(jì)算29．（2023?連云港）如圖，矩形ABCD內(nèi)接于⊙O，分別以AB、BC、CD、AD為直徑向外作半圓．若AB＝4，BC＝5，則陰影部分的面積是（）A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．2030．（2023?婁底）如圖，正六邊形ABCDEF的外接圓⊙O的半徑為2，過(guò)圓心O的兩條直線(xiàn)l1、l2的夾角為60°，則圖中的陰影部分的面積為（）A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣?考向十六圓錐的計(jì)算31．（2023?赤峰）某班學(xué)生表演課本劇，要制作一頂圓錐形的小丑帽．如圖，這個(gè)圓錐的底面圓周長(zhǎng)為20πcm，母線(xiàn)AB長(zhǎng)為30cm．為了使帽子更美觀，要粘貼彩帶進(jìn)行裝飾，其中需要粘貼一條從點(diǎn)A處開(kāi)始，繞側(cè)面一周又回到點(diǎn)A的彩帶（彩帶寬度忽略不計(jì)），這條彩帶的最短長(zhǎng)度是（）A．30cm B．30cm C．60cm D．20πcm32．（2023?蘇州）如圖，在?ABCD中，AB＝+1，BC＝2，AH⊥CD，垂足為H，AH＝．以點(diǎn)A為圓心，AH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，與AB，AC，AD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，G．若用扇形AEF圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r1；用扇形AHG圍成另一個(gè)圓錐的側(cè)面，記這個(gè)圓錐底面圓的半徑為r2，則r1﹣r2＝．（結(jié)果保留根號(hào)）?考向十七圓的綜合題33．（2023?杭州）如圖，在⊙O中，直徑AB垂直弦CD于點(diǎn)E，連接AC，AD，BC，作CF⊥AD于點(diǎn)F，交線(xiàn)段OB于點(diǎn)G（不與點(diǎn)O，B重合），連接OF．（1）若BE＝1，求GE的長(zhǎng)．（2）求證：BC2＝BG?BO．（3）若FO＝FG，猜想∠CAD的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．34．（2023?棗莊）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)BD的垂線(xiàn)，垂足為E．（1）求證：CE是⊙O的切線(xiàn)；（2）若BE＝3，AB＝4，求BC的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積（用含有π的式子表示）．1．（2023?赤峰）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．點(diǎn)F是AB中點(diǎn)，連接CF，把線(xiàn)段CF沿射線(xiàn)BC方向平移到DE，點(diǎn)D在AC上．則線(xiàn)段CF在平移過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域形成的四邊形CFDE的周長(zhǎng)和面積分別是（）A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，162．（2022?杭州）如圖，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E在線(xiàn)段AM上，EF⊥AC于點(diǎn)F，連接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求證：CE＝CM．（2）若AB＝4，求線(xiàn)段FC的長(zhǎng)．3．（2022?德陽(yáng)）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線(xiàn)，交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)H．點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)沿BD方向以2cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)E從點(diǎn)H出發(fā)沿HD方向以1cm/s向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E，F(xiàn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（單位：s），且0＜t＜3，過(guò)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，連結(jié)EF．（1）求證：四邊形EFGH是矩形；（2）連結(jié)FC，EC，點(diǎn)F，E在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△BFC與△DCE是否能夠全等？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．4．（2022?涼山州）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交CE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：四邊形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面積為40．求AC的長(zhǎng)．5．（2022?威海）如圖1，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，HA＝EB＝FC＝GD，連接EG，F(xiàn)H，交點(diǎn)為O．（1）如圖2，連接EF，F(xiàn)G，GH，HE，試判斷四邊形EFGH的形狀，并證明你的結(jié)論；（2）將正方形ABCD沿線(xiàn)段EG，HF剪開(kāi)，再把得到的四個(gè)四邊形按圖3的方式拼接成一個(gè)四邊形．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，則圖3中陰影部分的面積為cm2．6．（2023?蘇州）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C，D在半圓上，，連接OC，CA，OD，過(guò)點(diǎn)B作EB⊥AB，交OD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E．設(shè)△OAC的面積為S1，△OBE的面積為S2，若，則tan∠ACO的值為（） B． C． D．8．（2023?遼寧）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，CE平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）求證：EF與⊙O相切；（2）若∠CAB＝30°，AB＝8，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于點(diǎn)M，交⊙O于點(diǎn)G，交AB于點(diǎn)N，求的長(zhǎng)．9．（2023?