寒假作業(yè)11分式方程與應(yīng)用（18道經(jīng)典題型6道中考真題）-2024年八年級(jí)數(shù)學(xué)寒假培優(yōu)練（人教版）

限時(shí)練習(xí)：40min完成時(shí)間：月日天氣：寒假作業(yè)11分式方程與應(yīng)用1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根．若這個(gè)整式方程本身無解，當(dāng)然原分式方程就一定無解．4．分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題、行程問題、銷售問題等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．1．在①，②，③，④中，其中關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】①，是分式，不是分式方程，故①錯(cuò)誤，不符合題意；②是關(guān)于的分式方程，故②錯(cuò)誤，不符合題意；③，是一元一次方程，不是分式方程，故③錯(cuò)誤，不符合題意；④，是關(guān)于的分式方程，故④正確，符合題意；關(guān)于的分式方程的個(gè)數(shù)為1個(gè)，故選A．2．分式方程的解為（

）A． B．， C． D．此方程無解【答案】C【解析】去分母得：，，解得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，原方程的解為：，故選C．3．小明和小亮解答“解分式方程：”的過程如框，對(duì)他們的解答過程（每一步只對(duì)上一步負(fù)責(zé)）有以下判斷，則判斷錯(cuò)誤的是（）小明的解法：小亮的解法：解：去分母得：①解：去分母得：①去括號(hào)得：②去括號(hào)得：②移項(xiàng)得：③移項(xiàng)得：③合并同類項(xiàng)得：④合并同類項(xiàng)得：④系數(shù)化為1得：⑤系數(shù)化為1得：⑤是原分式方程的解⑥A．小明的步驟①錯(cuò)誤，漏乘 B．小明的步驟②、③、④都正確C．小明的步驟⑤錯(cuò)誤 D．小亮的解答完全正確【答案】D【解析】根據(jù)題意得：小亮的解答沒有檢驗(yàn)過程，出錯(cuò)，步驟⑤出錯(cuò)；小明的步驟①錯(cuò)誤，漏乘，小明的步驟②、③、④都正確，小明的步驟⑤錯(cuò)誤．故選D．4．某市開發(fā)區(qū)在一項(xiàng)工程招標(biāo)時(shí)，接到甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的投標(biāo)書，工程領(lǐng)導(dǎo)小組根據(jù)甲、乙兩隊(duì)的投標(biāo)書測算，共有三種施工方案：①甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程，剛好如期完工；②乙隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，要比規(guī)定工期多用5天；③

，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工．某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為天，根據(jù)題意列出了方程：，則方案③中被墨水污染的部分應(yīng)該是A．甲乙合作了4天B．甲先做了4天C．甲先做了工程的D．甲乙合作了工程的【答案】A【解析】某同學(xué)設(shè)規(guī)定的工期為天，根據(jù)題意列出了方程：，甲工作了4天，乙工作了天，即甲乙合作了4天，剩下的工程由乙隊(duì)單獨(dú)做，也正好如期完工，可知在③應(yīng)填入的內(nèi)容為：甲乙合作了4天，故選A．5．若方程的根為，則m的值是（

）A．0 B．3 C． D．1【答案】C【解析】∵方程的根為，∴將代入得，，解得．故選C．6．若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】B【解析】去分母得：，關(guān)于的分式方程有增根，，解得：，故選B．7．青年志愿團(tuán)隊(duì)到某地開展志愿服務(wù)活動(dòng)，他們從距離活動(dòng)地點(diǎn)的地方出發(fā)．一部分人騎自行車先走，過了后，其余的人乘汽車出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車速度是自行車速度的倍，設(shè)自行車的速度為．根據(jù)題意，下列方程正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】∵自行車的速度為，汽車的速度是自行車速度的倍，汽車的速度是，又，∴．故選B.8．若分式方程有增根，則a的值是（

）A． B．0 C．0或 D．0或2【答案】C【解析】方程兩邊都乘，得，∵原方程有增根，∴最簡公分母，∴增根是或，當(dāng)時(shí)，方程化為：，解得：；當(dāng)時(shí)，方程化為，即，解得或．故選C．9．解方程：(1)；(2)．【解析】（1）方程變形得，，方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，檢驗(yàn)：把代入最簡公分母得，，∴原方程的解是.（2）方程變形得，，方程兩邊同時(shí)乘以最簡公分母得，，去括號(hào)得，，移項(xiàng)得，，合并同類項(xiàng)得，，系數(shù)化為得，，檢驗(yàn)：把代入最簡公分母得，，∴原方程無解．10．2023年4月24日，在“中國航天日”主場活動(dòng)啟動(dòng)儀式上，國家航天局和中國科學(xué)院聯(lián)合發(fā)布了中國首次火星探測火星全球影像圖，我國航天事業(yè)的飛速發(fā)展激發(fā)了學(xué)生探索科學(xué)奧秘的興趣，某中學(xué)為滿足學(xué)生的需求，充實(shí)物理興趣小組的實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目，決定購入A、B兩款物理實(shí)驗(yàn)套裝，其中A款套裝單價(jià)是B款套裝單價(jià)的倍，用9600元購買的A款套裝數(shù)量比用7200元購買的B款套裝數(shù)量多套，問A、B兩款套裝的單價(jià)分別是多少元？【解析】設(shè)款套裝的單價(jià)是元，則A款套裝的單價(jià)是元，由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意，，答：A款套裝的單價(jià)是元，款套裝的單價(jià)是元．11．已知關(guān)于的分式方程的解為非負(fù)數(shù)，則的取值范圍為（

）A．且B．且C．且D．且【答案】A【解析】，去分母得，解得，∵方程的解為非負(fù)數(shù)，∴，∴，∵，∴，∴，∴a的取值范圍是且，故選A．12．若關(guān)于x的分式方程無解，則k的取值是（

）A． B．或 C． D．或【答案】B【解析】，，，，∵關(guān)于x的分式方程無解，∴當(dāng)時(shí)，即時(shí)，分式方程無解；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)分式方程有增根，∴，解得或，∴當(dāng)時(shí)，即，解得；∴當(dāng)時(shí)，即，無解；綜上所述，k的取值是或．故選B．13．如果關(guān)于的分式方程有整數(shù)解，且關(guān)于的不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，那么符合條件的整數(shù)的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．0【答案】A【解析】解分式方程得：，∵分式方程有整數(shù)解，∴為的倍數(shù)，且，即，解不等式組，得，∵不等式組有且只有四個(gè)整數(shù)解，∴，解得，綜上所述，.故選A.14.學(xué)校在某商場購買甲、乙兩種不同類型的足球，相關(guān)信息如下表：(1)在上表中用含x的代數(shù)式分別表示購買甲、乙兩種足球的數(shù)量；(2)若本次購買甲種足球的數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍，求甲、乙兩種足球在此商場的銷售單價(jià)；(3)為滿足學(xué)生需求，這所學(xué)校決定再次購買甲、乙兩種足球共50個(gè)．恰逢該商場對(duì)兩種足球的銷售單價(jià)進(jìn)行調(diào)整，甲種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)提高了，乙種足球的銷售單價(jià)比上次購買時(shí)降低了．如果此次購買甲、乙兩種足球的總費(fèi)用不超過2950元，求這所學(xué)校最多可以購買乙種足球的數(shù)量．【解析】（1）購買甲種足球的數(shù)量為個(gè)，購買乙種足球的數(shù)量為個(gè).（2）∵購買甲種足球的數(shù)量是購買乙種足球數(shù)量的2倍，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，，答：甲種足球在此商場的銷售單價(jià)為50元，乙種足球在此商場的銷售單價(jià)為70元.（3）設(shè)購買乙種足球m個(gè)，則購買甲種足球個(gè)，（元），（元），由題意得：，．答：這所學(xué)校最多可購買25個(gè)乙種足球．15．閱讀：對(duì)于兩個(gè)不等的非零實(shí)數(shù)a、b，若分式的值為零，則或．又因?yàn)?，所以關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，分別為，．應(yīng)用上面的結(jié)論解答下列問題：(1)方程的兩個(gè)解分別為、，則______，______；(2)方程的兩個(gè)解中較大的一個(gè)為______；(3)關(guān)于x的方程的兩個(gè)解分別為（），求的值．【解析】（1）∵方程的兩個(gè)解分別為、，∴，，故答案為：，2.（2）設(shè)方程的兩個(gè)解分別為a，b，則，，∴或，∴兩個(gè)解中較大的一個(gè)為3；故答案為：3.（3）∵，∴，即，∴或，或，∵，∴，，∴．16．定義一種新運(yùn)算，例如．依據(jù)上面的公式解決下列問題：(1)求的結(jié)果；(2)若，求k的值．【解析】（1）根據(jù)題意得：.（2）∵，∴，∴．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．17．給出如下的定義：如果兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b使得關(guān)于的分式方程的解是成立，那么我們就把實(shí)數(shù)a，b稱為關(guān)于的分式方程的一個(gè)“方程數(shù)對(duì)”，記為[a，b]．例如：，就是關(guān)于x的分式方程的一個(gè)“方程數(shù)對(duì)”，記為[2，]．(1)判斷數(shù)對(duì)①[3，]，②[，4]中是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”的是____；（只填序號(hào)）(2)若數(shù)對(duì)[，]是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”，求的值；(3)若數(shù)對(duì)[]（且，）是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”，用含m的代數(shù)式表示k．【解析】（1）①當(dāng)，時(shí)，解方程得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，又，∴是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”.②當(dāng)，時(shí)，解方程得，經(jīng)檢驗(yàn)，是該分式方程的解，又，故不是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”，故答案為：①.（2）∵數(shù)對(duì)是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”，∴是關(guān)于的分式方程的解，將代入分式方程中，得，解得；（3）∵數(shù)對(duì)（且，）是關(guān)于的分式方程的“方程數(shù)對(duì)”，∴是關(guān)于的分式方程的解，將代入分式方程中，得，則，∵，∴．18．先閱讀下面的材料，然后回答問題：方程的解為，；方程的解為，；方程的解為，；…(1)根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于x的方程的兩個(gè)解是．(2)解方程：，可以變形轉(zhuǎn)化為的形式，寫出你的變形求解過程，運(yùn)用（1）的結(jié)論求解．(3)方程的解為．【解析】（1）根據(jù)上面的規(guī)律，猜想關(guān)于的方程的兩個(gè)解是，，故答案為：，.（2），，，，或，，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解；（3）令，則原方程可化為：，，，，或，解得，，經(jīng)檢驗(yàn)：，是原方程的解，故答案為：，．19．（2023·四川內(nèi)江·中考真題）用計(jì)算機(jī)處理數(shù)據(jù)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，某研究室安排兩名程序操作員各輸入一遍，比較兩人的輸入是否一致，本次操作需輸入2640個(gè)數(shù)據(jù)，已知甲的輸入速度是乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完．這兩名操作員每分鐘各能輸入多少個(gè)數(shù)據(jù)？設(shè)乙每分鐘能輸入x個(gè)數(shù)據(jù)，根據(jù)題意得方程正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】設(shè)乙每分鐘能輸入x個(gè)數(shù)據(jù)，則甲每分鐘能輸入個(gè)數(shù)據(jù)，由題意得，故選D．20．（2023年黑龍江中考真題）若分式方程的解為負(fù)數(shù)，則a的取值范圍是（

）A．且 B．且C．且 D．且【答案】D【解析】去分母得：，解得，∵分式方程的解是負(fù)數(shù)，∴，，即，解得：且，故選D．21．（2023湖南永州中考真題）若關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，則增根是．【答案】【解析】∵關(guān)于x的分式方程（m為常數(shù)）有增根，∴，解得，故答案為：．22．（2023江蘇無錫中考真題）方程的解是：．【答案】【解析】去分母得：，去括號(hào)得：，移項(xiàng)得：，合并同類項(xiàng)得：，檢驗(yàn)：把代入最簡公分母中，得，∴原分式方程的解為：，故答案為：.23．（2023年重慶中考真題A卷）若關(guān)于x的一元一次不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是．【答案】4【解析】，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式組的解集為，∵不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，∴，解得：.由得，解得：，∵y的值是非負(fù)整數(shù)，，∴當(dāng)a=5時(shí)，y=2；當(dāng)a=3時(shí)，y=1；當(dāng)a=1時(shí)，y=0，∵y=2是分式方程的增根，∴a=5舍去，∴滿足條件的a的值為1，3，∴，故答案為4．24．（2023·四川德陽·中考真題）2022年8月27日至29日，以“新能源、新智造、新時(shí)代”為主題的世界清潔能源裝備大會(huì)在德陽舉行．大會(huì)聚焦清潔能源裝備產(chǎn)業(yè)發(fā)展熱點(diǎn)和前瞻性問題，著力實(shí)現(xiàn)會(huì)展聚集帶動(dòng)產(chǎn)業(yè)聚集．其中德陽清潔能源裝備特色小鎮(zhèn)位于德陽經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)，規(guī)劃面積平方公里，計(jì)劃2025年基本建成．若甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)計(jì)劃參與修建“特色小鎮(zhèn)”中的某項(xiàng)工程，已知由甲單獨(dú)施工需要18個(gè)月完成任務(wù)，若由乙先單獨(dú)施工2個(gè)月，再由甲、乙合作施工10個(gè)月恰好完成任務(wù)．承建公司每個(gè)月需要向甲工程隊(duì)支付施工費(fèi)用8萬元，向乙工程隊(duì)支付施工費(fèi)用5萬元．(1)乙隊(duì)單獨(dú)施工需要幾個(gè)月才能完成任務(wù)？(2)為保證該工程在兩年內(nèi)完工，且盡可能的減少成本，承建公司決定讓甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)同時(shí)施工，并將該工程分成兩部分，甲隊(duì)完成其中一部分工程用了a個(gè)月，乙隊(duì)完成另一部分工程用了b個(gè)月，已知甲隊(duì)施工時(shí)間不超過6個(gè)月，乙隊(duì)施工時(shí)間不超過24個(gè)月，且a，b為正整數(shù)，則甲