江蘇省溧陽市2021年八年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題和參考答案

23/23常州市溧陽市2021年八年級上學(xué)期《數(shù)學(xué)》期中試題和參考答案一、選擇題本大題共有8小題，每小題2分，共16分，在每小題所給的四個選項中，只有一項是正確的。1．以下四個汽車車標中，不是軸對稱圖形的是（）A．B．C．D．【解答】A、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；B、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；C、不是軸對稱圖形，故此選項符合題意；D、是軸對稱圖形，故此選項不合題意；故選：C．2．如圖，已知AC＝BD，添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC≌△BAD的是（）A．CB＝DAB．∠BAC＝∠DBAC．∠ABC＝∠BADD．∠C＝∠D＝90°【解答】A、根據(jù)SSS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；B、根據(jù)SAS即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；C、SSA無法判斷三角形全等，故本選項符合題意；D、根據(jù)HL即可判斷三角形全等，故本選項不符合題意；故選：C．3．下列四組線段中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．2cm、4cm、5cmB．15cm、20cm、25cmC．0.2cm、0.3cm、0.4cmD．1cm、2cm、2.5cm【分析】由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解答】A、∵2+4≠5，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；B、∵15+20＝25，∴此組數(shù)據(jù)能作為直角三角形的三邊長，故本選項符合題意；C、∵0.2+0.3≠0.4，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；D、∵1+2≠2.5，∴此組數(shù)據(jù)不能作為直角三角形的三邊長，故本選項不符合題意；故選：B．4．若一個三角形三個內(nèi)角度數(shù)的比為1：2：3，那么這個三角形是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等邊三角形【解答】設(shè)三角形的三角的度數(shù)是x°，2x°，3x°，則x+2x+3x＝180，解得x＝30，∴3x＝90，即三角形是直角三角形，故選：A．5．根據(jù)下列已知條件，能唯一畫出△ABC的是（）A．AB＝3，BC＝4，AC＝8B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30°C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4D．∠C＝90°，AB＝6【解答】A、因為AB+BC＜AC，所以這三邊不能構(gòu)成三角形；B、因為∠A不是已知兩邊的夾角，無法確定其他角的度數(shù)與邊的長度；C、已知兩角可得到第三個角的度數(shù)，已知一邊，則可以根據(jù)ASA來畫一個三角形；D、只有一個角和一個邊無法根據(jù)此作出一個三角形．故選：C．6．下列命題中真命題的是（）A．等腰三角形底邊上的高是該等腰三角形的對稱軸B．三角形各邊的垂直平分線交于一點，這點到三角形的三個頂點的距離相等C．三角形的任何一個外角都不會小于90°D．等腰直角三角形的三條角平分線交于一點，這點剛好是這個三角形的直角頂點【分析】根據(jù)各個小題中的說法可以判斷是否真確，從而可以解答本題．【解答】A、等腰三角形底邊上的高所在的直線是該等腰三角形的對稱軸，原命題是假命題；B、三角形各邊的垂直平分線交于一點，這點到三角形的三個頂點的距離相等，是真命題；C、鈍角三角形的一個外角會小于90°，原命題是假命題；D、等腰直角三角形的三條角平分線交于一點，這點不是這個三角形的直角頂點，原命題是假命題；故選：B．7．《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則可列方程為（）A．x﹣6＝（10﹣x）B．x﹣6＝（10﹣x）C．x+6＝（10﹣x）D．x+6＝（10﹣x）【解答】如圖，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，則AB＝10﹣x，BC＝6，在Rt△ABC中，AC+BC＝AB，即x+6＝（10﹣x）．故選：D．8．如圖，已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝90°，且它的頂點D是BC的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E、DF交AC于點F，連接EF．給出以下四個結(jié)論：①AE＝CF；②S＝0.5S；③△EDF是等腰直角三角形；④BE+CF＝EF，當(dāng)∠EDF在△ABC內(nèi)繞頂點D旋轉(zhuǎn)時，點E不與A、B重合．上述結(jié)論中始終正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個【分析】根據(jù)圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理，得出△ADE≌△CDF，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)對題中的結(jié)論逐一判斷．【解答】如圖，連接AD，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，點D是BC的中點，∴AD＝BD＝CD，∠DAE＝∠DCF＝45°，AD⊥BC，∴∠EDF＝∠ADC＝90°，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（ASA），∴AE＝CF，DE＝DF，S＝S，故①正確，∴S＝S＝S，故②正確，∵DE＝DF，∠EDF＝90°，∴△EDF是等腰直角三角形，故③正確，∵EF＝AE+AF，∴EF＝CF+AF，故④正確，故選：D．二、填空題本大題共有10小題，每小題2分，共20分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上。9．等腰三角形的底角度數(shù)為80°，則是它的頂角的度數(shù)為20．【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)，可以求得其頂角的度數(shù)．【解答】∵等腰三角形的一個底角為80°，∴頂角＝180°﹣80°×2＝20°．故答案為：20°．10．若直角三角形兩直角邊長分別為12和16，則斜邊長為20．【分析】根據(jù)勾股定理即可求出答案．【解答】直角三角形的兩直角邊長分別為12、16，∴直角三角形的斜邊長為＝20，故答案為：20．11．如圖，△DEF是由△ABC沿直線BC向右平移得到，若BC＝6，當(dāng)點E剛好移動到BC的中點時，則CF＝3．【分析】根據(jù)平移性質(zhì)得出BC＝EF，BE＝CF，進而解答即可．【解答】由平移的性質(zhì)可得：BC＝EF，BE＝CF，∵BC＝6，點E剛好移動到BC的中點，∴BE＝EC＝CF＝3，故答案為：3．12．如圖，△ABC≌△DEF，請根據(jù)圖中提供的信息，寫出x＝18．【分析】根據(jù)“全等三角形對應(yīng)邊相等”的性質(zhì)可直接求得結(jié)果．【解答】如圖，∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF＝18，即x＝18，故答案為：18．13．如圖，點E是正方形ABCD中的一點，連接EB、EC、EA、ED，若△EBC為等邊三角形時，則∠EAD＝15°．【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)證明∠DAE＝∠DEA＝∠CBE＝∠CEB＝75°即可解決問題．【解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DC，∠ADC＝∠BCD＝∠DAB＝∠ABC＝90°，∵△EBC是等邊三角形，∴AB＝BE＝DC＝EC，∠EBC＝∠ECB＝60°，∴∠ABE＝∠DCE＝30°，∵AB＝BE＝CE＝CD，∴∠BAE＝∠BEA＝∠CDE＝∠CED＝75°，∴∠EAD＝90°﹣75°＝15°．故答案為：15°．14．如圖，AB＝AC，BD＝BC，若∠A的外角為140°，則∠DBC等于40°．【分析】根據(jù)AB＝AC，則∠C＝∠ABC，再由BD＝BC，可得出∠C＝∠CBD，由∠A的外角為140°，可求出∠C，再求出∠DBC即可．【解答】∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵BD＝BC，∴∠C＝∠CBD，∵∠A的外角為140°，∴∠A＝40°，∴∠C＝∠ABC＝∠CBD＝70°，∴∠CBD＝40°，故答案為40°．15．甲、乙兩人同時從同一個地點出發(fā)，甲往北偏東30°方向走了3.6公里，乙往北偏西60°方向走了4.8公里，這時甲、乙兩人相距6公里．【分析】根據(jù)甲、乙兩人所走的方向，可知甲、乙兩人的路線可構(gòu)成直角三角形，兩人的間距為直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理可求解出．【解答】設(shè)甲往北偏東30°的方向的距離為AB，乙往往北偏西60°的方向的距離為AC．根據(jù)勾股定理可得：AB+AC＝BC，所以BC＝（公里），故答案為：6．16．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是中線，點E在AD的延長線上，若AD＝DE＝2，則S＝6．【分析】先證得△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝CE，再利用勾股定理逆定理證得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面積，即可得出△ABC的面積．【解答】∵AD是邊BC上的中線，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴△ABD的面積＝△ECD的面積，AB＝CE＝3，∴△ABC的面積＝△ACE的面積，∵AE＝AD+DE＝4，AC＝5，CE＝3，∴AE+CE＝AC，∴△ACE是直角三角形，∴△ABC的面積＝△ACE的面積＝CE×AE＝×3×4＝6，故答案為：6．17．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，點M為BC中點，MN⊥AC于點N，則MN的長是．【分析】連接AM，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到AM⊥BC，根據(jù)勾股定理求得AM的長，再根據(jù)在直角三角形的面積公式即可求得MN的長．【解答】連接AM，∵AB＝AC，點M為BC中點，∴AM⊥CM（三線合一），BM＝CM，∵AB＝AC＝5，BC＝6，∴BM＝CM＝3，在Rt△ABM中，AB＝5，BM＝3，∴根據(jù)勾股定理得：AM＝＝＝4，又S＝MN?AC＝AM?MC，∴MN＝＝．18．如圖，在直線AP上方有一個正方形ABCD，∠PAD＝30°，以點B為圓心，AB長為半徑作弧，與AP交于點A，M，分別以點A，M為圓心，AM長為半徑作弧，兩弧交于點E，連結(jié)ED，則∠ADE的度數(shù)為15°或45°．【分析】分點E與正方形ABCD的直線AP的同側(cè)、點E與正方形ABCD的直線AP的兩側(cè)兩種情況，根據(jù)正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)解答．【解答】∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AE，∠DAE＝90°，∴∠BAM＝180°﹣90°﹣30°＝60°，AD＝AB，當(dāng)點E與正方形ABCD的直線AP的同側(cè)時，由題意得，點E與點B重合，∴∠ADE＝45°，當(dāng)點E與正方形ABCD的直線AP的兩側(cè)時，由題意得，E′A＝E′M，∴△AE′M為等邊三角形，∴∠E′AM＝60°，∴∠DAE′＝360°﹣120°﹣90°＝150°，∵AD＝AE′，∴∠ADE′＝15°，故答案為：15°或45°．三、解答題本大題共8小題，共64分，請在答題卡指定區(qū)城內(nèi)作答，如無特殊說明，解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或推理過程。19．（9分）如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，陰影部分是由2個小正方形組成一個圖形，請你分別在下圖方格內(nèi)添涂2個小正方形，使這4個小正方形組成的圖形滿足：圖1有且只有一條對稱軸；圖2有且只有兩條對稱軸；圖3有且只有四條對稱軸．【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可．【解答】如圖所示：20．（8分）如圖，每個小正方形的邊長為1．（1）求圖中格點三角形ABC的面積；（2）判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）利用矩形的面積減去三個頂點上三角形的面積即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出AC，BC，AB，再利用勾股定理的逆定理判斷出△ABC的形狀即可．【解答】（1）如圖．S＝S﹣S﹣S﹣S＝6×5﹣×5×5﹣×3×1﹣×6×2＝30﹣12.5﹣1.5﹣6＝10；（2）△ABC是直角三角形．理由如下：∵AC＝6+2＝40，BC＝3+1＝10，AB＝5+5＝50，∴AC+BC＝AB，∴∠ACB＝90°，即△ABC是直角三角形．21．（8分）已知：如圖，點A、B、C、D在一條直線上，AE∥DF，AE＝DF，AB＝CD．（1）求證：∠E＝∠F；（2）若∠D＝28°，∠ECA＝100°，求∠F的度數(shù)．【分析】（1）證明△EAC≌△FDB（SAS），即可得出結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．【解答】（1）證明：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，∴AC＝DB，在△EAC和△FDB中，，∴△EAC≌△FDB（SAS），∴∠E＝∠F；（2）解：由（1）得：△EAC≌△FDB，∴∠ECA＝∠FBD＝100°，∴∠F＝180°﹣∠D﹣∠FBD＝180°﹣28°﹣100°＝52°．22．（8分）如圖，在Rt△ACB和Rt△ADB中，∠C＝∠D＝90°，AD＝BC，AD、BC相交于點O．求證：（1）AC＝BD；（2）CO＝DO．【分析】（1）由HL證明Rt△ACB≌Rt△BDA即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得∠CBA＝∠DAB，則OA＝OB，進而得出結(jié)論．【解答】證明：（1）∵∠C＝∠D＝90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形，在Rt△ACB和Rt△BDA中，∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），∴AC＝BD；（2）由（1）得：Rt△ACB≌Rt△BDA，∴∠CBA＝∠DAB，∴OA＝OB，又∵AD＝BC，∴CO＝DO．23．（8分）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．（1）尺規(guī)作圖：①作∠ACB的角平分線CP；②作AB的垂直平分線MN，分別交AC、AB．CP于點E，F(xiàn)、H；③連接AH、BH．（2）若∠AHB＝90°，求EH的長．【分析】（1）利用尺規(guī)作出∠ACB的角平分線CP，線段AB的垂直平分線MN即可．（2）解直角三角形分別求出EF，F(xiàn)H即可．【解答】（1）如圖，射線CP，直線MN即為所求．（2）由作圖可知，AF＝BF，MN⊥AB，∴HA＝HB，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝＝＝10，∵∠AHB＝90°AF，F(xiàn)B，∴FH＝AB＝5，連接EB，∵EF垂直平分線段AB，∴AE＝EB，設(shè)AE＝EB＝x，在Rt△ECB中，則有x＝（8﹣x）+6，∴x＝，∴AE＝，∴EF＝＝＝，∴EH＝EF+FH＝+5＝．24．（8分）勻股定理被帶為“幾何明珠”，在數(shù)學(xué)的發(fā)展歷程中占有舉足輕重的地位．它是初中數(shù)學(xué)中的重要知識點之一，也是初中學(xué)生以后解決數(shù)學(xué)問題和實際問題中常常運用到的重要知識，因此學(xué)好勾股定理非常重要．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)“不僅要知其然，更要知其所以然”，所以，我們要學(xué)會勾股定理的各種證明方法．請你利用如圖圖形證明勾股定理：已知：如圖，四邊形ABCD中，BD⊥CD，AE⊥BD于點E，且△ABE≌△BCD．求證：AB＝BE+AE．【分析】連接AC，根據(jù)四邊形ABCD面積的兩種不同表示形式，結(jié)合全等三角形的性質(zhì)即可求解．【解答】連接AC，∵△ABE≌△BCD，∴AB＝BC，AE＝BD，BE＝CD，∠BAE＝∠CBD，∵∠ABE+∠BAE＝90°，∴∠ABE+∠CBE＝90°，∴∠ABC＝90°，∴S＝S+S＝BD?AE+BD?CD＝AE?AE+AE?BE＝BE+BD?BE，又∵S＝S+S＝AB?BC+CD?DE＝AB?AB+BE?DE＝AB+BE?DE，∴BE+AE?BE＝AB+BE?DE，∴AB＝BE+BD?BE﹣BE?DE，∴AB＝BE+（BD﹣DE）?BE，即AB＝BE+AE．25．（6分）如圖，△ABC是等邊三角形，點C關(guān)于AB的對稱的點為E，點P是直線EB上的一個動點，連接AP，作∠APQ＝60°，交射線BC于點Q．（1）如圖1，連接AQ，求證：△APQ為等邊三角形；（2）如圖2，當(dāng)點P在線段EB延長線上時，請你補全圖形，并寫出線段BQ、AB、BP之間的數(shù)量關(guān)系（無需證明）．【分析】（1）如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點F，連接AQ．證明△PBQ≌△PFA（ASA），可得結(jié)論．（2）結(jié)論：BQ＝BP+AB．如圖2中，在BD上取一點F，使得BF＝PB，連接AQ．證明△BPA≌△FPQ（SAS），推出AB＝QF，可得結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1中，作∠BPF＝60°交AB于點F，連接AQ．∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∵點E與點C關(guān)于AB對稱，∴∠EBA＝∠CBA＝60°＝∠BPF，∴∠PFB＝60°．∴△PBF是等邊三角形，∴PB＝PF，AFP＝120°＝∠PBQ．∵∠BPQ+∠QPF＝60°，∠APF+∠QPF＝60°，∴∠BPQ＝∠APF，在△PBQ和△PFA中，，∴△PBQ≌△PFA（ASA），∴PQ＝PA，∵∠APQ＝60°，∴△APQ是等邊三角形．（2）解：補全圖形，如圖2所示：②解：結(jié)論：BQ＝BP+AB．理由：如圖3中，在BD上取一點F，使得BF＝PB，連接AQ．∵∠FBP＝60°，B