北京市朝陽區(qū)東北師范大學(xué)朝陽學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題 含解析

數(shù)學(xué)科試卷考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)樗怨蔬x：B2.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由知，運(yùn)用復(fù)數(shù)的除法即可求出，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所?故選：A3.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，對(duì)四個(gè)函數(shù)逐一判斷可得答案.【詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，不符合；函數(shù)是偶函數(shù)，但是在(0,+∞)上單調(diào)遞減，不符合；函數(shù)不是偶函數(shù)，不符合；函數(shù)既是偶函數(shù)又在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增，符合.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.4.設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】解：∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，故選：C.5.已知，，則“”是“”（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)基本不等式可知當(dāng)時(shí)，；反之不成立，即可得出結(jié)論.【詳解】若“”，可知當(dāng)時(shí)，不成立，即可知充分性不成立；若，可得，即可得，即必要性成立，因此可得“”是“”的必要不充分條件；故選：B6.已知是兩個(gè)不同的平面，是兩條不同的直線，能使成立的一組條件是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用給定條件得到，判斷A，利用給定條件得到判斷B，舉反例判斷C，D即可.【詳解】對(duì)于A，若，則，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，若，則，故B正確，對(duì)于C，若，則可能相交，平行或異面，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，若，則可能相交，平行或異面，故D錯(cuò)誤.故選：B7.已知函數(shù)，則下列命題正確的是（）A.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在上為增函數(shù)D.的圖象向右平移個(gè)單位得到一個(gè)偶函數(shù)的圖象【答案】C【解析】【分析】結(jié)合正弦型函數(shù)的圖象與性質(zhì)驗(yàn)證依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，，的圖象關(guān)于直線不對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由，得的圖象關(guān)于點(diǎn)不對(duì)稱，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由，得，由正弦函數(shù)性質(zhì)知在區(qū)間上單調(diào)遞增，C正確；對(duì)于D，圖象向右平移個(gè)單位得到，故不是偶函數(shù)，D錯(cuò)誤.故選：C8.如圖，在中，為邊上的中線，若為的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得.【詳解】.故選：D9.德國心理學(xué)家艾·賓浩斯研究發(fā)現(xiàn)，人類大腦對(duì)事物的遺忘是有規(guī)律的，他依據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)繪制出“遺忘曲線”．“遺忘曲線”中記憶率隨時(shí)間（小時(shí)）變化的趨勢(shì)可由函數(shù)近似描述，則記憶率為時(shí)經(jīng)過的時(shí)間約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2小時(shí) B.0.8小時(shí) C.0.5小時(shí) D.0.2小時(shí)【答案】C【解析】分析】根據(jù)題設(shè)得到，兩邊取對(duì)數(shù)求解，即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意得，整理得到，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)，得到，即，又，所以，得到，故選：C.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，則下列說法中正確的是（）A.為遞增數(shù)列 B.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值C.不等式的解集為 D.不等式的解集為無限集【答案】C【解析】【分析】利用可求得，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得；由此可求得；根據(jù)的二次函數(shù)性和的一次函數(shù)性依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】由得：，，即；設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得：，對(duì)于A，，為遞減數(shù)列，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，當(dāng)或時(shí)，取得最大值，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由得：，，，C正確；對(duì)于D，，由得：，則不等式的解集為，為有限集，D錯(cuò)誤.故選：C.二、填空題共5小題，每小題5分，共25分．11.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為．【答案】【解析】【詳解】試題分析：∵角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（1，-2），∴tanα=-2?tan2α==．考點(diǎn)：二倍角公式．12.已知數(shù)列滿足，則前6項(xiàng)和為___________.【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的定義，結(jié)合等比數(shù)列前項(xiàng)和公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以的前6項(xiàng)和為.故答案為：.13.若函數(shù)，對(duì)任意的都滿足，則常數(shù)的一個(gè)取值為_______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由，代入利用兩角和與差的余弦公式化簡即可.【詳解】由，即，即，即，又，所以，所以，即常數(shù)的一個(gè)取值為，故答案為：.14.已知正方形的邊長為1，點(diǎn)滿足，則的最大值為__________．【答案】##【解析】【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)向量的坐標(biāo)，由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得，再由二次函數(shù)的最值知識(shí)即可求得.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：.15.設(shè)函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)的值域是；②，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根；③，使得；④若實(shí)數(shù)，且.則的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是__________.【答案】②③④【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對(duì)四個(gè)結(jié)論依次分析，即可求解結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，其圖象如下圖所示：對(duì)于①，由圖可知，函數(shù)的值域不是，故①不正確；對(duì)于②，由圖可知，，方程恰有3個(gè)實(shí)數(shù)根，故②正確；對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，使得有成立，即與有交點(diǎn)，這顯然成立，故③正確；對(duì)于④，不妨設(shè)互不相等的實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)滿足時(shí)，由圖可知，即，，即，所以，由圖可知，，而在上單調(diào)遞減，所以，所以，則的最大值為，故④正確.故答案為：②③④.三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步?或證明過程．16.已知函數(shù).（1）求的最小正周期；（2）求在上的最大值和最小值.【答案】（1）最小正周期為（2）最大值為，最小值為【解析】分析】（1）根據(jù)輔助角公式可得，結(jié)合公式計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)題意可得，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出函數(shù)的最值.【小問1詳解】由題意知，，則，所以函數(shù)的最小正周期為；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，而函?shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最大值為；當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得最小值為.17.在中，.（1）求；（2）若，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使△存在且唯一確定，求△的面積.條件①：；條件②：；條件③：△的周長為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（2）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換得到，即可得到；（2）條件①：利用正弦定理得到，根據(jù)大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角得到，此時(shí)不唯一，故條件①不成立；條件②：利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系得到，利用正弦定理得到，根據(jù)正弦的和差公式和三角形內(nèi)角和得到，最后根據(jù)三角形面積公式求面積即可；條件③：根據(jù)周長和余弦定理列方程，解方程得到，然后根據(jù)三角形面積公式求面積即可.【小問1詳解】由正弦定理，，因?yàn)?，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)椋?【小問2詳解】選擇條件①：因?yàn)?，由正弦定?因?yàn)?，所以不唯一，故條件①不成立.選擇條件②：因?yàn)?，，所?因?yàn)?，由正弦定?又，，所以.所以的面積.選擇條件③：因?yàn)榈闹荛L為，，即⑴，由余弦定理得，，所以，即⑵，由⑴⑵解方程組，所以的面積.18.如圖，已知四棱錐，底面是邊長為的菱形，，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為側(cè)棱的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解析】【分析】（Ⅰ）連接，交于點(diǎn)；根據(jù)三角形中位線可證得；由線面平行判定定理可證得結(jié)論；（Ⅱ）由等腰三角形三線合一可知；由面面垂直的性質(zhì)可知平面；根據(jù)線面垂直性質(zhì)可證得結(jié)論；（Ⅲ）利用體積橋的方式將所求三棱錐體積轉(zhuǎn)化為；根據(jù)已知長度和角度關(guān)系分別求得四邊形面積和高，代入得到結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于點(diǎn)四邊形為菱形為中點(diǎn)又為中點(diǎn)平面，平面平面（Ⅱ）為正三角形，為中點(diǎn)平面平面，平面平面，平面平面，又平面（Ⅲ）為中點(diǎn)又，，由（Ⅱ）知，【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何中線面平行、線線垂直關(guān)系的證明、三棱錐體積的求解問題；涉及到線面平行判定定理、面面垂直性質(zhì)定理和判定定理的應(yīng)用、體積橋的方式求解三棱錐體積等知識(shí)，屬于常考題型.19.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）若，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值；（3）若在區(qū)間上恒成立，求a的最大值.【答案】（1）（2）答案見詳解（3）1【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；（2）分類討論判斷導(dǎo)函數(shù)符號(hào)，進(jìn)而確定原函數(shù)的單調(diào)性及最大值；（3）根據(jù)恒成立理解可得，分類討論，結(jié)合（2）運(yùn)算求解.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，則，令．因?yàn)?，則所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是【小問2詳解】．令，由，解得，（舍去）．當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在上是減函數(shù)．所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)，即時(shí)，x在上變化時(shí)，的變化情況如下表x++-↗↘所以函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為．【小問3詳解】當(dāng)時(shí)，則在上恒成立∴函數(shù)在上是減函數(shù)，則∴成立當(dāng)時(shí)，由（2）可知：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上恒成立，則成立；②當(dāng)時(shí)，由于在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，即在區(qū)間上存在使得，不成立綜上所述：a的取值范圍為，即a的最大值為．20.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，①求曲線在處的切線方程；②求證：在上有唯一極大值點(diǎn)；（2）若沒有零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）①；②證明見解析（2）【解析】【分析】（1）①利用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，直接求出切線方程；②令，利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上有唯一零點(diǎn)，利用列表法證明出在上有唯一極大值點(diǎn)；（2）令.對(duì)a分類討論：①，得到當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)；②，無零點(diǎn)，符合題意.【小問1詳解】若，則，.①處，，.所以曲線在處的切線方程為.②令，，在區(qū)間上，，則在區(qū)間上是減函數(shù).又，所以在上有唯一零點(diǎn).列表得：+-極大值所以在上有唯一極大值點(diǎn).【小問2詳解】，令，則.①若，則，在上是增函數(shù).因?yàn)椋?，所以恰有一個(gè)零點(diǎn).令，得.代入，得，解得.所以當(dāng)時(shí)，的唯一零點(diǎn)為0，此時(shí)無零點(diǎn)，符合題意.②若，此時(shí)的定義域?yàn)?當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上是增函數(shù).所以.又，由題意，當(dāng)，即時(shí)，無零點(diǎn)，符合題意綜上，的取值范圍是.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍.21.已知項(xiàng)數(shù)為的數(shù)列是各項(xiàng)均為非負(fù)實(shí)數(shù)的遞增數(shù)列.若對(duì)任意的，（），與至少有一個(gè)是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).（1）判斷數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，求證：；（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，且不是等差數(shù)列，求項(xiàng)數(shù)的所有可能取值.【答案】（1）數(shù)列，，，不具有性質(zhì)；（2）證明見解析；（3）可能取值只有.【解析】【分析】（1）由數(shù)列具有性質(zhì)的定義，只需判斷存在與都不是數(shù)列中的項(xiàng)即可.（2）由性質(zhì)知：、，結(jié)合非負(fù)遞增性有，再由時(shí)，必有，進(jìn)而可得，，，，，應(yīng)用累加法即可證結(jié)論.（3）討論、、，結(jié)合性質(zhì)、等差數(shù)列的性質(zhì)判斷是否存在符合題設(shè)性質(zhì)，進(jìn)而確定的可能取值.【小問1詳解】數(shù)列，，，不具有性質(zhì).因?yàn)?，，和均不是?shù)列，，，中的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).【小問2詳解】記數(shù)列的各項(xiàng)組成的集合為，又，由數(shù)列具有性質(zhì)，，所以，即，所以.