人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)重難點(diǎn)專題提升精講精練第二十一章一元二次方程易錯(cuò)必考68題(10個(gè)考點(diǎn))專練(原卷版+解析)

第二十一章一元二次方程易錯(cuò)必考68題（10個(gè)考點(diǎn)）專練易錯(cuò)必考題一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，則一次項(xiàng)是（）A． B． C．x D．12．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一元二次方程化成的形式則．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．易錯(cuò)必考題二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)校考期末）如果關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．20255．（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀﹥蓚€(gè)關(guān)于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．16．（2023春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m為方程的根，那么的值為．7．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎欠橇銓?shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．8．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知x是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值．9．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡(jiǎn)，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．易錯(cuò)必考題三、換元法解一元二次方程10．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．無(wú)數(shù)對(duì)11．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．12．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．13．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知方程的根為，，則方程的根是．14．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．15．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，那么原方程可化為①，解得．當(dāng)，時(shí)，，∴．∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴．故原方程的解為，，，．解答問(wèn)題：(1)上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；(2)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：；(3)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：．易錯(cuò)必考題四、配方法的應(yīng)用16．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．917．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．202318．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）實(shí)數(shù)x和y滿足，則．19．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則的值是．20．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：．

②求的最小值．解：原式

解：原式

．

，

，

即的最小值為2．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：_______________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．21．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用例如：已知可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式的最小值．解：；無(wú)論取何實(shí)數(shù)，都有，，即的最小值為．【嘗試應(yīng)用】（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值______；【拓展應(yīng)用】（2）試說(shuō)明：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義；【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．易錯(cuò)必考題五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值是（

）A．或1 B． C． D．23．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或24．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列解方程的過(guò)程，并解決相關(guān)問(wèn)題．解：將方程左邊分解因式，得，…第一步方程兩邊都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左邊分解因式的方法是，解方程的過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是；②請(qǐng)直接寫(xiě)出方程的根為．25．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：且，，那么的值等于．26．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根，求此時(shí)的值．27．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．易錯(cuò)必考題六、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)28．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．1029．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且30．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且31．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，且a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且32．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，則的取值范圍是．33．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程與一元二次方程有一個(gè)公共解，若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，則的值為．34．（2023春·山東泰安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．35．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是．36．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值，并求出此時(shí)方程的根；(3)有實(shí)根，求m的最小整數(shù)值．37．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在的值，使為非負(fù)整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．38．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此時(shí)的值和這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．39．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)根，請(qǐng)用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個(gè)方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；易錯(cuò)必考題七、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系40．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．841．（2023秋·福建龍巖·九年級(jí)校考階段練習(xí)）若a，b是方程的兩根，則（）A．2024 B．2023 C．2022 D．202142．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．43．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值為(

)A．或1 B．或3 C． D．344．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則．45．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）已知方程的兩根分別為，則．46．（2023·四川成都·?？既＃┮阎?，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．則的值為．47．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、，滿足等式：，則．48．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為，且，求m的值．49．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根，滿足，求k的值；(3)已知方程的一個(gè)根為，求代數(shù)式的值．50．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：①若，，求的取值范圍；②請(qǐng)判斷的值能否等于，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不能說(shuō)明理由．51．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則________，________．(2)類(lèi)比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求的值．易錯(cuò)必考題八、一元二次方程與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題52．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒53．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則的長(zhǎng)為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（

）A． B． C．或 D．54．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．55．（2023春·安徽·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動(dòng)．（1）；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)：經(jīng)過(guò)秒后的面積等于．56．（2023春·云南昆明·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線方向運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)______，______．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為．(3)是否存在某一時(shí)刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．57．（2022秋·廣西桂林·九年級(jí)桂林市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．易錯(cuò)必考題九、一元二次方程中的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題58．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）品山西風(fēng)味，享三晉美食，就在司徒小鎮(zhèn)，十一假期某特色雜糧面店為擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，計(jì)劃降價(jià)銷(xiāo)售，該雜糧面店的成本價(jià)為每碗4元，若每碗賣(mài)18元，平均每天將銷(xiāo)售200碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷(xiāo)售20碗，為維護(hù)城市形象，店家現(xiàn)規(guī)定每碗售價(jià)不得超過(guò)15元，若每天盈利2800元，則每碗售價(jià)應(yīng)為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元59．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)店銷(xiāo)售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷(xiāo)售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷(xiāo)，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷(xiāo)售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元60．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）《安徽省電動(dòng)自行車(chē)管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對(duì)不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每件頭盔的利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的．若商店計(jì)劃每周銷(xiāo)售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為元．61．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）端午節(jié)又稱端陽(yáng)節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問(wèn)此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為．62．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）威寧火腿是貴州的傳統(tǒng)特產(chǎn)，距今已有600多年的歷史，早就聞名海內(nèi)外．某火腿經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某款威寧火腿4月份到6月份的銷(xiāo)售量，該款火腿4月份銷(xiāo)售量為，6月份銷(xiāo)售量為，且從4月份到6月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該款火腿銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)若該款火腿的進(jìn)價(jià)為120元，經(jīng)在市場(chǎng)中測(cè)算，當(dāng)售價(jià)為160元時(shí)，月銷(xiāo)售量為，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元，則月銷(xiāo)售量將減少，為使月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到9800元，則該款火腿的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少？（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）63．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）端午節(jié)前夕，某超市從廠家分兩次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子、紅豆粽子，兩次進(jìn)貨時(shí)，兩種粽子的進(jìn)價(jià)不變．第一次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子60袋和紅豆粽子90袋，總費(fèi)用為4800元；第二次購(gòu)進(jìn)蛋黃粽子40袋和紅豆粽子80袋，總費(fèi)用為3600元．(1)求蛋黃粽子、紅豆粽子每袋的進(jìn)價(jià)各是多少元？(2)當(dāng)?shù)包S粽子銷(xiāo)售價(jià)為每袋70元時(shí)；每天可售出20袋，為了促銷(xiāo)，該超市決定對(duì)蛋黃粽子進(jìn)行降價(jià)銷(xiāo)售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研，若每袋的銷(xiāo)售價(jià)每降低1元，則每天的銷(xiāo)售量將增加5袋．當(dāng)?shù)包S粽子每袋的銷(xiāo)售價(jià)為多少元時(shí)，每天售出蛋黃粽子所獲得的利潤(rùn)為220元？易錯(cuò)必考題十、一元二次方程中的新定義問(wèn)題64．（2023春·重慶沙坪壩·九年級(jí)重慶一中?？计谥校?duì)于代數(shù)式、，定義新運(yùn)算，則下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)為（

）①若，則或1；②若，則的值為3或；③若方程的解為、，則的值為；④若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則．A．1 B．2 C．3 D．465．（2023·山東淄博·?？级＃┒x表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，如，，．函數(shù)的圖像（部分）如圖所示，則方程有（

）個(gè)解．

A．4 B．3 C．2 D．166．（2023·廣東·二模）定義新運(yùn)算“※”：對(duì)于實(shí)數(shù)，，，，有，其中等式右邊是通常的加法和乘法運(yùn)算，如：．若關(guān)于的方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則的值是．67．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）【閱讀材料】配方法是數(shù)學(xué)中重要的一種思想方法．它是指將一個(gè)式子的某一部分通過(guò)恒等變形化為完全平方式或幾個(gè)完全平方式的和的方法．這種方法常被用到代數(shù)式的變形中，并結(jié)合非負(fù)數(shù)的意義來(lái)解決一些問(wèn)題．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示成（a、b是整數(shù)）的形式，則稱這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”．例如，5是“完美數(shù)”．理由：因?yàn)?，所?是“完美數(shù)”．(1)【解決問(wèn)題】數(shù)11“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；數(shù)53“完美數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)【探究問(wèn)題】已知，則；(3)【拓展提升】已知（x、y是整數(shù)，k是常數(shù)），要使S為“完美數(shù)”，試求出符合條件的k值，并說(shuō)明理由．68．（2022秋·八年級(jí)單元測(cè)試）對(duì)于m，n，定義：若，則稱m與n是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”．(1)填空：7與______是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”；與______是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”；(2)已知，其中a，b均為常數(shù)，且無(wú)論x取何值，A與B都是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”，求a，b的值；(3)若，且C與D是關(guān)于1的“對(duì)稱數(shù)”，求滿足條件的x的值．

第二十一章一元二次方程易錯(cuò)必考68題（10個(gè)考點(diǎn)）專練易錯(cuò)必考題一、一元二次方程的一般形式1．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，則一次項(xiàng)是（）A． B． C．x D．1【答案】A【分析】根據(jù)一元二次方程定義可得，，可得的值，再代入原方程，由此即可得結(jié)果．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程的常數(shù)項(xiàng)是6，∴，，解得：，把代入原方程可得，∴一次項(xiàng)是，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的一般形式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程的一般形式：一元二次方程的一般形式是，其中，是二次項(xiàng)，是一次項(xiàng)，是常數(shù)項(xiàng)．2．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一元二次方程化成的形式則．【答案】1【分析】直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．【詳解】解：將一元二次方程化成一般形式之后，變?yōu)?，故，，故答案為?．【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程的一般形式，正確把握定義是解題關(guān)鍵．3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知關(guān)于y的一元二次方程，求出它各項(xiàng)的系數(shù)，并指出參數(shù)m的取值范圍．【答案】二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：；參數(shù)m的取值范圍是【分析】先將原方程化為一般式，再回答各項(xiàng)系數(shù)，根據(jù)“二次項(xiàng)系數(shù)不為零”可以求m的取值范圍．【詳解】解：將原方程整理為一般形式，得：，由于已知條件已指出它是一個(gè)一元二次方程，所以存在一個(gè)隱含條件，即．可知它的各項(xiàng)系數(shù)分別是二次項(xiàng)系數(shù)是：，一次項(xiàng)系數(shù)是：，常數(shù)項(xiàng)是：．參數(shù)m的取值范圍是．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的一般式和系數(shù)、二次項(xiàng)系數(shù)不為零，掌握化一般式的方法是解題的關(guān)鍵．注意：在含參數(shù)的方程中，要認(rèn)定哪個(gè)字母表示未知數(shù)，哪個(gè)字母是參數(shù)，才能正確處理有關(guān)的問(wèn)題．易錯(cuò)必考題二、一元二次方程的解4．（2023春·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？计谀┤绻P(guān)于的一元二次方程的一個(gè)解是，則代數(shù)式的值為（

）A． B．2021 C． D．2025【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程的一個(gè)解是，得到即，代入計(jì)算即可．【詳解】∵一元二次方程的一個(gè)解是，∴，∴，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．5．（2023春·福建廈門(mén)·八年級(jí)廈門(mén)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谀﹥蓚€(gè)關(guān)于x的一元二次方程和，其中a，b，c是常數(shù)，且，如果是方程的一個(gè)根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（

）A．2 B． C． D．1【答案】B【分析】利用方程根的定義去驗(yàn)證判斷即可．【詳解】∵，，，∴∴，∴，，∴，，∵是方程的一個(gè)根，∴是方程的一個(gè)根，即，∴，∴是方程的一個(gè)根，即時(shí)方程的一個(gè)根．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的定義即使得方程兩邊相等的未知數(shù)的值，正確理解定義是解題的關(guān)鍵．6．（2023春·浙江金華·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m為方程的根，那么的值為．【答案】【分析】先根據(jù)一元二次方程解的定義得到，再用m表示得到，然后利用整體代入的方法計(jì)算．【詳解】解：∵m為方程的一個(gè)根，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，掌握整體代入的方法是解題關(guān)鍵．7．（2023春·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┮阎?，是非零實(shí)數(shù)，關(guān)于的一元二次方程，，，有公共解，則代數(shù)式的值為．【答案】或【分析】設(shè)公共解為，根據(jù)一元二次方程根的定義得到，，，三式相加可得：或，分別代入所求式可解答．【詳解】解：設(shè)公共解為，則，，，三式相加得，即，因?yàn)?，所以或，?dāng)時(shí)，，原式；當(dāng)時(shí)，，，，，原式，綜上，代數(shù)式的值為或．故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，理解方程解的定義是解題的關(guān)鍵．8．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知x是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，求代數(shù)式的值．【答案】【分析】利用一元二次方程的解可得出，將其代入的化簡(jiǎn)結(jié)果中即可求出答案．【詳解】解：∵x是一元二次方程的實(shí)數(shù)根，∴．，∴代數(shù)式的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解、分式的化簡(jiǎn)等知識(shí)，熟練掌握一元二次方程的解的定義和分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)統(tǒng)考期末）請(qǐng)閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的2倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入已知方程，得；化簡(jiǎn)，得；故所求方程為．這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”；請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別為已知方程根的相反數(shù)；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求方程的根為，則，將代入已知方程，化簡(jiǎn)即可得到答案；（2）設(shè)所求方程的根為，則，將其代入已知方程，然后化為一般形式即可得到答案．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，化簡(jiǎn)得，，這個(gè)一元二次方程為：；（2）解：設(shè)所求方程的根為，則，，把代入已知方程，得，去分母得，，若，則，于是方程有一根為0，不符合題意，，所求方程為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解答該題的關(guān)鍵是弄清楚“換根法”的具體解題方法．易錯(cuò)必考題三、換元法解一元二次方程10．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）若整數(shù)，使成立，則滿足條件的，的值有（

）A．4對(duì) B．6對(duì) C．8對(duì) D．無(wú)數(shù)對(duì)【答案】C【分析】先化簡(jiǎn)可得，設(shè)，則；然后求得a的值，最后列舉出符合題意的，的整數(shù)值即可解答．【詳解】解：由，設(shè)，則，∴，即，解得：或（舍棄），∴．∴滿足條件的，的整數(shù)值有：，，，，，，，，共8對(duì)．故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解一元二次方程、二元一次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，掌握二元一次方程的解是解答本題的關(guān)鍵．11．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）用換元法解方程時(shí)，如果設(shè)，那么原方程可變形為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將原方程中的換成，再移項(xiàng)即可．【詳解】解：根據(jù)題意，得，即；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查換元法解一元二次方程，換元法就是把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，實(shí)行等量代換．12．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如果關(guān)于的方程的解是，，那么關(guān)于的方程的解是．【答案】，，【分析】根據(jù)關(guān)于x的方程的解是，，令關(guān)于y的方程中，即可得到，解這個(gè)方程組即可得到答案．【詳解】解：∵,∴,關(guān)于的方程的解是，，令，∴，∴或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查換元法及一元二次方程解的定義，令關(guān)于y的方程中是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知方程的根為，，則方程的根是．【答案】，【分析】設(shè)，可得，根據(jù)的根為，，可得或，即可得到答案；【詳解】解：設(shè)，可得，∵的根為，，∴或，解得：，，故答案為，；【點(diǎn)睛】本題考查換元法求方程的解，解題的關(guān)鍵是設(shè)，得到，結(jié)合方程的根為，．14．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列材料：?jiǎn)栴}：已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倍．解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把，代入已知方程，得．化簡(jiǎn)，得，故所求方程為這種利用方程根的代換求新方程的方法，我們稱為“換根法”．請(qǐng)用閱讀材料提供的“換根法”求新方程（要求：把所求方程化為一般形式）：(1)已知方程，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的相反數(shù)，則所求方程為；(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根，求一個(gè)一元二次方程，使它的根分別是已知方程根的倒數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)所求方程的根為，則，所以，代入原方程即可得；（2）設(shè)所求方程的根為，則，于是，代入方程整理即可得．【詳解】（1）解：設(shè)所求方程的根為，則，所以，把代入方程，得：，故答案為：；（2）解：設(shè)所求方程的根為，則，于是，把代入方程，得，去分母，得，若，有，于是，方程有一個(gè)根為，不合題意，∴，故所求方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的解，解題的關(guān)鍵是理解方程的解的定義和解題的方法．15．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀材料：為了解方程，我們可以將看作一個(gè)整體，設(shè)，那么原方程可化為①，解得．當(dāng)，時(shí)，，∴．∴；當(dāng)時(shí)，，∴．∴．故原方程的解為，，，．解答問(wèn)題：(1)上述解題過(guò)程，在由原方程得到方程①的過(guò)程中，利用法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了的數(shù)學(xué)思想；(2)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：；(3)請(qǐng)利用以上知識(shí)解方程：．【答案】(1)換元；轉(zhuǎn)化(2)(3)【分析】（1）利用換元法達(dá)到了降次的目的，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想；（2）利用換元法解方程即可；（3）利用換元法解方程即可．【詳解】（1）解：利用了換元法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想；故答案為：換元，轉(zhuǎn)化；（2）設(shè)，原方程可變?yōu)?，則，∴或，∴，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得，∴原方程的解為；（3）設(shè)，原方程可變?yōu)?，解得，∵，∴，解得．【點(diǎn)睛】本題考查解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是理解并掌握換元法解方程．易錯(cuò)必考題四、配方法的應(yīng)用16．（2023春·山東威?！ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）用配方法解方程，若配方后結(jié)果為，則n的值為（

）A． B．10 C． D．9【答案】B【分析】利用配方法將方程配成，然后求出n的值即可．【詳解】∵，∴，

∴，即，

．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．17．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程新定義：若關(guān)于x的一元二次方程：與，稱為“同族二次方程”．如與就是“同族二次方程”．現(xiàn)有關(guān)于x的一元二次方程：與是“同族二次方程”．那么代數(shù)式取的最大值是（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023【答案】A【分析】利用“同族二次方程”定義列出關(guān)系式，再利用多項(xiàng)式相等的條件列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解得到a與b的值，進(jìn)而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定出代數(shù)式的最大值即可．【詳解】解：∵與就是“同族二次方程”，∴，即，∴解得∴＝＝，則代數(shù)式能取的最大值是2020．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了配方法的應(yīng)用，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，以及一元二次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．18．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）實(shí)數(shù)x和y滿足，則．【答案】【分析】將已知等式左邊第三項(xiàng)拆項(xiàng)后，重新結(jié)合利用完全平方公式變形后，利用兩非負(fù)數(shù)之和為0，得到兩非負(fù)數(shù)分別為0，求出x與y的值，代入所求式子中計(jì)算，即可求出值．【詳解】解：∵，∴且，解得：，，則，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．19．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）設(shè)為整數(shù)，且，方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，則的值是．【答案】【分析】將方程化為，根據(jù)為整數(shù)，且方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根即可求解．【詳解】解：，，，，，，為整數(shù)，且方程有兩個(gè)不相等的整數(shù)根，當(dāng)時(shí)，符合題意，解得：；故答案：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的配方法，求參數(shù)的整數(shù)問(wèn)題，掌握方法是解題的關(guān)鍵．20．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：．

②求的最小值．解：原式

解：原式

．

，

，

即的最小值為2．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：_______________．(2)因式分解：．(3)求的最小值．【答案】(1)4(2)(3)2【分析】（1）根據(jù)常數(shù)項(xiàng)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方進(jìn)行配方即可；（2）將32化成，前三項(xiàng)配成完全平方式，再利用平方差公式進(jìn)行因式分解即可；（3）將式子進(jìn)行配方，再利用平方的非負(fù)性即可求解．【詳解】（1）解：∵，故答案為：4；（2）解：；（3）解：∵，∴，∴的最小值為2．【點(diǎn)睛】本題考查配方法的應(yīng)用、因式分解的應(yīng)用，根據(jù)完全平方式進(jìn)行配方和平方的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·浙江寧波·八年級(jí)統(tǒng)考期中）我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了利用配方法解一元二次方程，其實(shí)配方法還有其他重要應(yīng)用例如：已知可取任何實(shí)數(shù)，試求二次三項(xiàng)式的最小值．解：；無(wú)論取何實(shí)數(shù)，都有，，即的最小值為．【嘗試應(yīng)用】（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值______；【拓展應(yīng)用】（2）試說(shuō)明：無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義；【創(chuàng)新應(yīng)用】（3）如圖，在四邊形中，，若，求四邊形的面積最大值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析；（3）【分析】（1）利用配方法把變形為，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可確定代數(shù)式的最小值；（2）利用配方法得到，則可判斷，然后根據(jù)二次根式有意義的條件可判斷無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義；（3）利用三角形面積公式得到四邊形的面積，由于，則四邊形的面積，利用配方法得到四邊形的面積，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)解決問(wèn)題．【詳解】解：（1），無(wú)論取何實(shí)數(shù)，都有，，即的最小值為；故答案為：；（2），，，無(wú)論取何實(shí)數(shù)，二次根式都有意義；（3），四邊形的面積，，，四邊形的面積，當(dāng)，四邊形的面積最大，最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了配方法的應(yīng)用：利用配方法把二次式變形為一個(gè)完全平方式和常數(shù)的和，然后利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)確定代數(shù)式的最值．易錯(cuò)必考題五、一元二次方程中的因式分解22．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)校考階段練習(xí)）若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根是0，則的值是（

）A．或1 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)一元二次方程的解的定義，把代入得，再解關(guān)于的方程，然后利用一元二次方程的定義確定的值．【詳解】解：把代入，得，解得或，而，所以的值為．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．23．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，我們規(guī)定符號(hào)表示a，b中的較大值，如：，因此，；按照這個(gè)規(guī)定，若，則x的值是（

）A．5 B．5或 C．或 D．5或【答案】B【分析】根據(jù)題意進(jìn)行分類(lèi)討論，當(dāng)時(shí)，可得，求出x的值即可；當(dāng)時(shí)，可得求出x的值即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），當(dāng)時(shí)，則，∴，即，解得：（不符合題意，舍去），，綜上：x的值是5或，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了新定義下的運(yùn)算和解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解題目所給新定義的運(yùn)算法則，熟練掌握解一元二次方程的方法和步驟．24．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）閱讀下列解方程的過(guò)程，并解決相關(guān)問(wèn)題．解：將方程左邊分解因式，得，…第一步方程兩邊都除以，得，…第二步解得…第三步①第一步方程左邊分解因式的方法是，解方程的過(guò)程從第步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是；②請(qǐng)直接寫(xiě)出方程的根為．【答案】公式法二可能為0，【分析】①根據(jù)公式法因式分解、等式的基本性質(zhì)判斷即可；②利用因式分解法求解即可．【詳解】解：①第一步方程左邊分解因式的方法是公式法，解方程的過(guò)程從第二步開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的原因是：可能為0，故答案為：公式法，二，可能為0；②∵，∴，∴，則，∴或，解得，，故答案為：，．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解，解一元二次方程．運(yùn)用平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．25．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知：且，，那么的值等于．【答案】或2【分析】先把已知條件化為，再利用因式分解法得到或，然后把或分別代入中計(jì)算即可．【詳解】解：∵，即，∴，∴或，當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即，∴的值等于或2．故答案為：或2．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右邊化為0，再把左邊通過(guò)因式分解化為兩個(gè)一次因式的積的形式，那么這兩個(gè)因式的值就都有可能為0，這就能得到兩個(gè)一元一次方程的解，這樣也就把原方程進(jìn)行了降次，把解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解一元一次方程的問(wèn)題了（數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想）．26．（2022春·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍；(2)如果是符合條件的最大整數(shù)，且一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根，求此時(shí)的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則，由此即可求解；（2）根據(jù)（1）中的取值范圍求出的值，由此可求出方程的解，把的值代入一元二次方程即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：，解得，∴的取值范圍．（2）解：由（1）可知，，∴的最大整數(shù)是，∴方程可化為，解得，∵一元二次方程與方程有一個(gè)相同的根，∴當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，又，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次方程的知識(shí)，掌握一元一次方程的定義，有實(shí)根的計(jì)算方法，解一元二次方程的方法的知識(shí)是解題的關(guān)鍵．27．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：無(wú)論m取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且為整數(shù)，求整數(shù)m所有可能的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)或或0或2【分析】（1）根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出，進(jìn)而可證出方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解方程求出方程的兩根為，，得出，然后利用有理數(shù)的整除性確定的整數(shù)值．【詳解】（1）解：證明：，無(wú)論取何值，方程都有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2），即，解得：或．一元二次方程的兩根為，，，，，如果為整數(shù)，則或或0或2，整數(shù)的所有可能的值為或或0或2．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式、解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是：（1）牢記“當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根”；（2）利用解方程求出的整數(shù)值．易錯(cuò)必考題六、根據(jù)一元二次方程根的情況求參數(shù)28．（2023春·內(nèi)蒙古巴彥淖爾·九年級(jí)?？计谥校┤絷P(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的值可以是（

）A． B． C． D．10【答案】D【分析】根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，運(yùn)用根的判別式進(jìn)行解答即可．【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴或，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，熟知關(guān)于的一元二次方程，若，則原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；若，則原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．29．（2023春·山東泰安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）若關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且然后解兩個(gè)不等式得到它們的公共部分即可；【詳解】解：根據(jù)題意得且，解得且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式和一元二次方程的定義，能根據(jù)題意得出關(guān)于的不等式是解此題的關(guān)鍵30．（2023·遼寧阜新·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的方程有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）．A． B．且 C． D．且【答案】C【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求出答案．【詳解】解：由題意可知：當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，原方程是一元一次方程，有實(shí)數(shù)根，∴故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程(為常數(shù))的根的判別式，理解根的判別式對(duì)應(yīng)的根的三種情況是解題的關(guān)鍵．當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．31．（2023春·廣東廣州·九年級(jí)統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，且a滿足，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．且【答案】C【分析】由所給方程是一元二次方程可知，由方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根可知，再解不等組，找出交集即可．【詳解】解：關(guān)于x的一元二次方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，，，，，a滿足，由得，由得，，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根的判別式、解不等式組，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根的判別式，即時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；時(shí)，方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．32．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第四十七中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)根，則的取值范圍是．【答案】且．【分析】根據(jù)一元二次方程的定義和根的判別式的意義得到且△，然后求出兩不等式的公共部分即可．【詳解】解：當(dāng)時(shí)，方程是一元二次方程，則△有實(shí)數(shù)根，解得且．故答案為且．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的定義和根與△有如下關(guān)系：當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．33．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元一次方程與一元二次方程有一個(gè)公共解，若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，則的值為．【答案】【分析】先解方程得，再把代入方程得，接著根據(jù)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，得到，然后通過(guò)解方程組求出、，從而得到的值．【詳解】解：解方程得，關(guān)于的一元一次方程與一元二次方程有一個(gè)公共解，為方程的解，，關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，，把代入得，解得，當(dāng)時(shí)，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解與根的判別式關(guān)系：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．34．（2023春·山東泰安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是．【答案】且【分析】根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式即可得出關(guān)于的一元一次不等式組，解之即可得出結(jié)論．【詳解】解：關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，解得：且．故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的定義、根的判別式以及解一元一次不等式組，根據(jù)一元二次方程的定義結(jié)合根的判別式列出關(guān)于的一元一次不等式組是解題的關(guān)鍵．35．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考三模）若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則k的最大整數(shù)值是．【答案】【分析】根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到，確定符合題意的整數(shù)解即可．【詳解】∵x的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∵k是整數(shù)，∴k的最大整數(shù)值是，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，方程滿足的條件，解不等式，熟練掌握根的判別式是解題的關(guān)鍵．36．（2022秋·上海普陀·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求m的取值范圍；(2)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求m的值，并求出此時(shí)方程的根；(3)有實(shí)根，求m的最小整數(shù)值．【答案】(1)且(2)，(3)0【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)，變成；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，根據(jù)方程根的情況可得，求解即可；（2）當(dāng)時(shí)，變成；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，根據(jù)方程根的情況可得，求解即可；（3）當(dāng)時(shí)，變成；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，根據(jù)方程根的情況可得，求解即可．【詳解】（1）解：，移項(xiàng)合并同類(lèi)項(xiàng)得：，當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，由題意得：，解得：；當(dāng)時(shí)，變成，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；∴m的取值范圍是且；（2）解：當(dāng)時(shí)，變成，只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，不符合題意；當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，由題意得：，解得：，把代入得：，整理得：，解得：；（3）解：當(dāng)時(shí)，變成，有一個(gè)實(shí)數(shù)根，符合題意，當(dāng)時(shí)，是一元二次方程，由題意得：，解得：，∴m的最小整數(shù)值是0；【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，掌握與一元二次方程根的情況是解題的關(guān)鍵．37．（2023春·山東煙臺(tái)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．(1)求的取值范圍．(2)是否存在的值，使為非負(fù)整數(shù)，且方程的兩根均為有理數(shù)？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)且(2)2【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的定義以及根的判別式，建立關(guān)于的不等式組，求得的取值范圍．（2）根據(jù)（1）中所求的取值范圍，得出使為非負(fù)整數(shù)的值，代入中，進(jìn)而求解即可．【詳解】（1）解：由題意知，且，∴，解得：且;（2）解：∵且，∴，．當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程的兩根均為無(wú)理數(shù)，不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程的兩根均為有理數(shù)，符合題意；故滿足條件的的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的情況與根的判別式的關(guān)系：①＞方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③＜方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根．也考查了一元二次方程的定義．38．（2022秋·江蘇南京·九年級(jí)校考階段練習(xí)）已知關(guān)于的方程．(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為4，另兩邊長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求此時(shí)的值和這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．【答案】(1)詳見(jiàn)解析(2)，周長(zhǎng)：【分析】（1）分情況討論：，化為一元一次方程，求解；，化為一元二次方程，運(yùn)用根的判別式處理；（2）對(duì)等腰三角形分情況討論，分別求解，運(yùn)用三角形三邊關(guān)系定理判斷取舍．【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，方程化為，解得：，方程有解；當(dāng)時(shí)，，，，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；綜上，無(wú)論取任何實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；（2）解：解方程得，，①當(dāng)腰長(zhǎng)為4，則∴，周長(zhǎng)②當(dāng)?shù)走厼?，則，∴．，，不符合題意．故，周長(zhǎng)為9【點(diǎn)睛】本題一元二次方程根的判別式，一元二次方程的求解；注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．39．（2023秋·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知關(guān)于x的方程．(1)求證：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程有兩個(gè)根，請(qǐng)用含有k的式子表示出方程的解；(3)在（2）的情況下，若這兩個(gè)方程的根為整數(shù)根，試求出正整數(shù)k的值；【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)，(3)或【分析】（1）分和兩種情況考慮：當(dāng)時(shí)，方程為一元一次方程，有實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，根的判別式，由此可得出方程有實(shí)數(shù)根．綜上即可證出結(jié)論；（2）由方程有兩個(gè)根，可得出，利用求根公式求出、的值，（3）由和為整數(shù)以及k為正整數(shù)，即可求出k的值．【詳解】（1）證明：當(dāng)，即時(shí)，原方程為，解得：；當(dāng)，即時(shí)，，∴方程有實(shí)數(shù)根．綜上可知：無(wú)論k取何值，此方程總有實(shí)數(shù)根；（2）∵方程有兩個(gè)整數(shù)根，∴，，且（3）由（2）可得，∵整數(shù)，k為正整數(shù)．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及利用公式法解方程，解題的關(guān)鍵是：（1）分和兩種情況考慮；（2）找出，．易錯(cuò)必考題七、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系40．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，且，則k的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整理即可求解．【詳解】解：由題意得：，，則：，即：，解得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握根與系數(shù)的是解題的關(guān)鍵．41．（2023秋·福建龍巖·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若a，b是方程的兩根，則（）A．2024 B．2023 C．2022 D．2021【答案】D【分析】由解的定義，得，由根與系數(shù)關(guān)系得，對(duì)代數(shù)式變形，代入求解．【詳解】解：由題意，，，∴．∴．故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查方程解的定義，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，掌握根與系數(shù)關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．42．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知是方程的兩根，則代數(shù)式的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)是方程的兩根，得出，，，然后對(duì)代數(shù)式變形，最后代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵是方程的兩根，∴，，，∴，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解、根與系數(shù)的關(guān)系以及整式的變形，根據(jù)需要對(duì)整式靈活變形成為解答本題的關(guān)鍵．43．（2023春·安徽六安·八年級(jí)統(tǒng)考期中）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值為(

)A．或1 B．或3 C． D．3【答案】C【分析】先根據(jù)根的情況得出判別式為非負(fù)數(shù)，求出的范圍，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，代入，然后解方程求出的值，再結(jié)合的范圍求解即可．【詳解】解：∵，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根∴，∴，由題可知，，代入，得，化簡(jiǎn)為，，，，∵，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和跟的判別式，熟練運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式是解題的關(guān)鍵．44．（2023秋·福建莆田·九年級(jí)福建省莆田市中山中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知，是方程的兩實(shí)數(shù)根，則．【答案】4092529【分析】先根據(jù)一元二次方程根的定義得到，則可變形為，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到，，然后利用整體代入的方法計(jì)算代數(shù)式的值．【詳解】解：∵m是方程的實(shí)數(shù)根，∴，∴，∴，∵m，n是方程的兩實(shí)數(shù)根，∴，∴．故答案為:4092529．【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時(shí)，，．45．（2023秋·陜西西安·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知方程的兩根分別為，則．【答案】15【分析】由題意知，，，則，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：由題意知，，，∴，∴，故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．46．（2023·四川成都·校考三模）已知，是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且．則的值為．【答案】【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：，解題的關(guān)鍵是熟知根與系數(shù)的關(guān)系且能靈活應(yīng)用．47．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）已知、，滿足等式：，則．【答案】【分析】根據(jù)題意可得出，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根，再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．【詳解】解：∵∴，∴∵滿足∴，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根，，，得出，為以為未知數(shù)的一元二次方程的兩根是解題的關(guān)鍵．48．（2023秋·湖南長(zhǎng)沙·九年級(jí)長(zhǎng)沙市南雅中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于x的一元二次方程．(1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根為，且，求m的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)，【分析】（1）只要證明△>0恒成立即可；（2）由題意可得，進(jìn)行變形后代入即可求解.【詳解】（1）證明：∵，∴，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：∵，方程的兩實(shí)根為，，，即，解得：，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根的存在條件的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.49．（2023春·浙江杭州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若方程兩實(shí)數(shù)根，滿足，求k的值；(3)已知方程的一個(gè)根為，求代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根可知，得出k的取值范圍；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，得，，結(jié)合即可求解；（3）將代入原方程，化簡(jiǎn)整理可得，利用整體代入法求解即可．【詳解】（1）解：∵原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴，解得：；（2）由根與系數(shù)的關(guān)系，得，．∵，∴，解得：或，又∵，∴；（3）∵方程的一個(gè)根為，∴，整理可得：，【點(diǎn)睛】本題主要考查的是一元二次方程中根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用，方程的解的定義，熟練掌握其基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．50．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：①若，，求的取值范圍；②請(qǐng)判斷的值能否等于，若能，請(qǐng)求出此時(shí)的值；若不能說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①；②不能，見(jiàn)解析【分析】先計(jì)算根的判別式的值得到，然后根據(jù)根的判別式的意義得到結(jié)論；根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，則，然后解不等式即可；由于，，所以，由于時(shí)，有最小值，從而可判斷的值不能為．【詳解】（1）證明：，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，，解得，即的范圍為；的值不能為．理由如下：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，，時(shí)，有最小值，的值不能為．【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式：一元二次方程的根與有如下關(guān)系：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根．也考查了根與系數(shù)的關(guān)系．51．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)哈爾濱市第六十九中學(xué)校?？奸_(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：材料1：關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，．材料2：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，求的值．解：，是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，，則．根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問(wèn)題：(1)應(yīng)用：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，則________，________．(2)類(lèi)比：已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出及的值；（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系，即可得出，，再利用完全平方公式將變形為，代入值進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，，故答案為：，；（2）解：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，通過(guò)完全平方公式變形進(jìn)行計(jì)算，熟練掌握關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，和系數(shù)，，，有如下關(guān)系：，，是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題八、一元二次方程與幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題52．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P，Q均停止運(yùn)動(dòng)，若的面積等于，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）A．1秒 B．4秒 C．1秒或4秒 D．1秒或秒【答案】A【分析】當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，根據(jù)的面積等于，可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，根據(jù)題意得：，即，整理得：，解得：，，當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去，∴．∴運(yùn)動(dòng)時(shí)間為1秒．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．53．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，以的速度沿向B運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從C出發(fā)，以的速度沿著CD向D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)停止．則的長(zhǎng)為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是（

）A． B． C．或 D．【答案】C【分析】過(guò)E作于點(diǎn)M，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，利用勾股定理解，可得關(guān)于t的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論．【詳解】解：如圖所示，過(guò)E作于點(diǎn)M，由題意知，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，，，，，根據(jù)勾股定理得：，即，整理得：，解得：，，的長(zhǎng)為時(shí)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是或，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理以及解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程．本題作答方法不唯一，也可以通過(guò)分類(lèi)討論求解．54．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，，，，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為，動(dòng)點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)沿方向向點(diǎn)勻速移動(dòng)，速度為．動(dòng)點(diǎn)，同時(shí)從，兩點(diǎn)出發(fā)，當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【答案】【分析】設(shè)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，可得，用表示出的面積，并令其等于，即可解出的值，即動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，且，則，．，，又的面積為，，解得，（舍去）．故動(dòng)點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確地設(shè)出未知量，并通過(guò)解方程求解是解決本題的常見(jiàn)方法．55．（2023春·安徽·八年級(jí)期中）如圖，在中，，，，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以1cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)，沿射線方向以4cm/s的速度移動(dòng)．（1）；（2）如果P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)：經(jīng)過(guò)秒后的面積等于．【答案】；1或7或．【分析】（1）根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得出，再根據(jù)勾股定理即可得出答案；（2）過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，根據(jù)的面積等于，即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴，∴；（2）解：過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)E，則，如圖所示，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，，，，，依題意得：．當(dāng)時(shí)，，解得：，；當(dāng)時(shí)，，解得：（不符合題意，舍去），．∴經(jīng)過(guò)1或7或秒后，的面積等于．故答案為：1或7或．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．56．（2023春·云南昆明·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿對(duì)角線方向運(yùn)動(dòng)．已知P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，連接．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

(1)______，______．(2)當(dāng)t為何值時(shí)，的面積為．(3)是否存在某一時(shí)刻t，使是以為底邊的等腰三角形？如果存在，求出t值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)3；6(2)當(dāng)t為1或2時(shí)，的面積為(3)存在；當(dāng)，使是以為底邊的等腰三角形【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和含角的直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，，，，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和三角形的面積公式解答即可；（3）根據(jù)是以為底邊的等腰三角形，得，再列方程解答即可．【詳解】（1）解：在矩形中，，，∴，，∵，即，解得：，負(fù)值舍去，∴，故答案為：3；6．（2）解：過(guò)點(diǎn)Q作于點(diǎn)H，如圖所示：

，，則，在中，，∴，∵的面積為，∴，解得：，，均符合題意，答：當(dāng)t為1或2時(shí)，的面積為．（3）解：存在，理由如下：∵是以為底邊的等腰三角形，∴，即，解得：，符合題意，答：當(dāng)，使是以為底邊的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形，一元二次方程的解法等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想思考問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．57．（2022秋·廣西桂林·九年級(jí)桂林市第一中學(xué)統(tǒng)考期中）在長(zhǎng)方形中，，，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，如果，分別從，同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．

(1)填空：，__________（用含的代數(shù)式表示）；(2)當(dāng)為何值時(shí)，的長(zhǎng)度等于？(3)是否存在的值，使得五邊形的面積等于？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)或(3)，理由見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，，可以求得；（2）用含的代數(shù)式分別表示和的值，運(yùn)用勾股定理求得為據(jù)此求出值；（3）根據(jù)題干信息使得五邊形的面積等于的值存在，利用長(zhǎng)方形的面積減去的面積即可，則的面積為，由此求得值．【詳解】（1）解：點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿邊向終點(diǎn)以的速度移動(dòng)，，故為故答案為：．（2）由題意得：，解得：，；當(dāng)秒或秒時(shí)，的長(zhǎng)度等于；（3）存在秒，能夠使得五邊形的面積等于．理由如下：長(zhǎng)方形的面積是：，使得五邊形的面積等于，則的面積為，，解得：不合題意舍去，．即當(dāng)秒時(shí)，使得五邊形的面積等于．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，以及勾股定理的應(yīng)用，利用含t的代數(shù)式表示各自線段的關(guān)系，根據(jù)題干數(shù)量關(guān)系即可確立等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．易錯(cuò)必考題九、一元二次方程中的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題58．（2022秋·山西臨汾·九年級(jí)統(tǒng)考期末）品山西風(fēng)味，享三晉美食，就在司徒小鎮(zhèn)，十一假期某特色雜糧面店為擴(kuò)大銷(xiāo)售，增加盈利，計(jì)劃降價(jià)銷(xiāo)售，該雜糧面店的成本價(jià)為每碗4元，若每碗賣(mài)18元，平均每天將銷(xiāo)售200碗，若價(jià)格每降低1元，則平均每天多銷(xiāo)售20碗，為維護(hù)城市形象，店家現(xiàn)規(guī)定每碗售價(jià)不得超過(guò)15元，若每天盈利2800元，則每碗售價(jià)應(yīng)為（

）A．15元 B．14元 C．13元 D．12元【答案】B【分析】可設(shè)每碗售價(jià)定為x元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)2800元，根據(jù)利潤(rùn)的等量關(guān)系列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)每碗售價(jià)定為x元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)2800元，依題意有，解得，∵每碗售價(jià)不得超過(guò)15元，∴．∴當(dāng)每碗售價(jià)定為14元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天利潤(rùn)2800元．故選：B【點(diǎn)睛】題目主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解．59．（2023春·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某網(wǎng)店銷(xiāo)售運(yùn)動(dòng)鞋，若每雙盈利40元，每天可以銷(xiāo)售20雙，該網(wǎng)店決定適當(dāng)降價(jià)促銷(xiāo)，經(jīng)調(diào)查得知，每雙運(yùn)動(dòng)鞋每降價(jià)1元，每天可多銷(xiāo)售2雙，若想每天盈利1200元，并盡可能讓利于顧客，贏得市場(chǎng)，則每雙運(yùn)動(dòng)鞋應(yīng)降價(jià)（

）A．10元或20元 B．20元 C．5元 D．5元或10元【答案】B【分析】先設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)平均每天售出的雙數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售利潤(rùn)，再列出方程，求出x的值，再根據(jù)盡可能讓利顧客，把不合題意的根舍去即可求出答案；【詳解】解：設(shè)每雙鞋應(yīng)降價(jià)x元，根據(jù)題意得：（40-x）（20+2x）=1200，解得x1=20，x2=10，∵盡可能讓利顧客，∴x=20．答：每雙鞋應(yīng)降價(jià)20元；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，掌握“平均每天售出的件數(shù)×每件盈利=每天銷(xiāo)售的利潤(rùn)”是解題的關(guān)鍵．60．（2023秋·福建泉州·九年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）《安徽省電動(dòng)自行車(chē)管理?xiàng)l例》自2023年3月1日起施行．《條例》規(guī)定，駕駛?cè)撕痛钶d人應(yīng)當(dāng)規(guī)范佩戴安全頭盔，同時(shí)，針對(duì)不規(guī)范佩戴安全頭盔提出具體的處罰標(biāo)準(zhǔn)．某商店以每件元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批安全頭盔，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，該頭盔每周銷(xiāo)售量（件）與銷(xiāo)售單價(jià)（元/件）滿足一次函數(shù)，物價(jià)部門(mén)規(guī)定每件頭盔的利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的．若商店計(jì)劃每周銷(xiāo)售該頭盔獲利元，則每件頭盔的售價(jià)應(yīng)為元．【答案】【分析】根據(jù)題意，列方程表示每周利潤(rùn)，代入求解即可．【詳解】解：由題意，得，即，解得，，，∵每件頭盔的利潤(rùn)不能超過(guò)進(jìn)價(jià)的，∴每件頭盔的售價(jià)不能超過(guò)元，所以舍去，所以售價(jià)應(yīng)為100元，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題，理解題意列出方程是解題的關(guān)鍵．61．（2023秋·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）端午節(jié)又稱端陽(yáng)節(jié)，是中華民族重要的傳統(tǒng)節(jié)日，我國(guó)各地都有吃粽子的習(xí)俗，某超市以9元每袋的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批粽子，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，售價(jià)定為每袋15元，每天可售出200袋；若售價(jià)每降低1元，則可多售出70袋，問(wèn)此種粽子售價(jià)降低多少元時(shí)，超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)可達(dá)到1360元？若設(shè)每袋粽子售價(jià)降低x元，則可列方程為．【答案】【分析】由售價(jià)及銷(xiāo)售間的關(guān)系，可得出降價(jià)后每袋粽子的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，每天可售出袋，利用超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)每袋的銷(xiāo)售利潤(rùn)日銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：每袋粽子的銷(xiāo)售利潤(rùn)為，每天可售出袋，∴超市每天售出此種粽子的利潤(rùn)．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．62．（2023春·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）威寧火腿是貴州的傳統(tǒng)特產(chǎn)，距今已有600多年的歷史，早就聞名海內(nèi)外．某火腿經(jīng)銷(xiāo)商統(tǒng)計(jì)了某款威寧火腿4月份到6月份的銷(xiāo)售量，該款火腿4月份銷(xiāo)售量為，6月份銷(xiāo)售量為，且從4月份到6月份銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率相同．(1)求該款火腿銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率；(2)若該款火腿的進(jìn)價(jià)為120元，經(jīng)在市場(chǎng)中測(cè)算，當(dāng)售價(jià)為160元時(shí)，月銷(xiāo)售量為，若在此基礎(chǔ)上售價(jià)每上漲0.5元，則月銷(xiāo)售量將減少，為使月銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到9800元，則該款火腿的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為多少？（利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)）【答案】(1)(2)應(yīng)定價(jià)為每千克190元【分析】（1）設(shè)該款火腿銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，根據(jù)該款火腿4月份及6月份的月銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）該款火腿的實(shí)際售價(jià)為y元，根據(jù)月銷(xiāo)售利潤(rùn)=每千克火腿的利潤(rùn)×月銷(xiāo)售量，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)該款火腿銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為x，依題意，得：，解得：，（不合題意，舍去）．答：該款火腿銷(xiāo)售量的月增長(zhǎng)率為．（2）設(shè)該款火腿的實(shí)際售價(jià)為y元，依題意，得：，整理，得：，解得：，答：該款火腿的實(shí)際售價(jià)應(yīng)定為190元．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．63．（2023春·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）端午節(jié)前夕，某超市從廠